（微电子学与固体电子学专业论文）基于代理模型的电路成品率计算与优化研究.pdf

摘要 摘要 随着集成电路进入纳米工艺时代，工艺参数相对误差不断增人，导致集成电 路的参数成品率明显。卜降。此外，更小的器件特征尺寸、更加复杂的器件模型和 更大的电路规模显著增加了电路仿真时间成本使传统基于电路仿真的成品率计 算与优化方法的时间丌销大到令人无法接受的程度。为了解决这些问题，本文研 究了基二j ：l 乜路代理模型的成品率计算与优化方法。在电路参数成品牢计算方面， 本文提出了一种基j ：j - 阶响应曲面电路代理模型计算电路参数成品率的新算法， 在计算精度和速度方面优势明显，适用于计算工艺参数众多的大规模集成电路的 参数成品率。在电路参数成品率优化方面，本文提出了一种基于响应曲面代理模 型的参数成品率优化力法，与传统基于成品率计算的优化算法相比，其计算量较 小。上述方法结合电路实例进行验证，取得了良好效果，证明了其有效性。 关键词：代理模型集成电路成品率优化 h b s t r a c t a b s t r a c t a f t e ri n t e g r a t e dc i r c u i t s ( i c ) t e c h n o l o g yw a ss c a l e di n t on a n o - l e v e l ，t h er e l a t i v e v a r i a t i o n si np r o c e s sp a r a m e t e r sh a v eb e e nc o n t i n u o u s l yi n c r e a s i n g t h i ss e v e r e l y a f f e c t st h ep a r a m e t r i cy i e l do fi c s i na d d i t i o n ，s m a l l e rf e a t u r es i z e ，m o r ec o m p l i c a t e d d e v i c em o d e l s ，a n dl a r g e rc i r c u i ts c a l eh a v ei n c r e a s e dt h ec o s to fc i r c u i t p h y s i c a l s i m u l a t i o n ss om u c ht h a tt h er u n t i m en e e d e di nm o n t ec a r l oy i e l da n a l y s i s a n d o p t i m i z a t i o nm e h t o d sb a s e do nc i r c u i tp h y s i c a ls i m u l a t i o n sb e c o m e sf o r m i d a b l e 1 n o r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s ，t h i st h e s i sp r o p o s e sy i e l de s t i m a t i o na n do p t i m i z a t i o n m e t h o d sb a s e do ns u r r o g a t em o d e lo fc i r c ui t p e r f o r m a n c e i na s p e c to fp a r a m e t r i c y i e l de s t i m a t i o n ，t h i st h e s i sp r o p o s e san o v e la l g o r i t h mb a s e do nq u a d r a t i cr e s p o n s e s u r f a c e s u r r o g a t em o d e l ，w h o s ee f f i c i e n c ya n da c c u r a c ya r em u c hb e t t e rt h a n t r a d i t i o n a la l g o r i t h m t h i sm e t h o di sa p p r o p r i a t ef o re x t r a c t i n gt h ep a r a m e t r i cy i e l do f l a r g es c a l ei c s ，w h e r en u m e r o u sp r o c e s sr a n d o mv a r i a b l e sa r ei n v o l v e d i na s p e c to f p a r a m e t r i cy i e l do p t i m i z a t i o n ，t h i st h e s i sp r o p o s e sam e t h o db a s e do nr e s p o n s es u r f a c e m o d e l c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lp a r a m e t r i cy i e l do p t i m i z a t i o nb a s e do np a r a m e t r i c y i e l de s t i m a t i o n ，t h ec o m p u t a t i o n a lc o s to ft h ep r o p o s e dm e t h o dc a nb em u c hs m a l l e r t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d sh a sb e e nd e m o n s t r a t e di ns e v e r a lc i r c u i t c a s e s k e y w o r d ：s u r r o g a t em o d e li n t e g r a t e dc i r c u i t s y i e l d o p t i m i z a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人 在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特另, 1 ) j t l 以 标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果：也不包含为获得西安电了科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的 说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切法律责任。 本人签名： 关于论文使用授权的说明 本人完伞了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电了科技大学。 学校有权保留送交论文的复日j 件，允许金阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论 文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在j 解密后适用本授权书。 本人签名：塑鳖 刷磁轹霉忤 日期2 ：z 坐 u 期2 掣业 l 第章绪论 第一章绪论 1 1 集成电路成品率面临的挑战 集成电路工艺线制造出的性能符合指标要求的芯片数与芯片总数的比率称为 成品率。优化集成电路性能指标的标称值的同时保证较高的成品率已成为当前集 成电路设计中的重要问题之一。 集成电路成品率问题直接影响企业利润和竞争力。集成电路生产工艺十分复 杂，一个芯片的整个制造过程中任何一个t 艺步骤上的偏差都将会对产品的参数 性能造成影响。如果生产出的集成电路成品率过低，将会使生产成本大大增加， 降低产品的市场竞争力，甚至造成整个项目的失败。e i 前许多公司甚至适当牺牲 集成电路的性能来满足成品率要求。 在过去几十年中，集成电路的设计者往往不需要考虑工艺问题。但近年来， 品圆尺寸和集成电路规模不断扩大，器件特征尺寸的持续减小。刻蚀、注入、抛 光等关键工艺步骤的控制变得更加困难，工艺绝对误差没有与特征尺寸成比例地 减小，所以工艺相对误差不断增大。这导敛集成电路产品性能起伏更加显著，参 数成品率呈现持续下降的趋势。 无论是数宁集成电路还是模拟集成电路都存在参数成品率问题。对于数字电 路而言，器件参数设计标称值与加二i ：后器件参数实际值之间的偏差导致芯片中的 数据信号延迟和时钟信号延迟呈现一定的概率分布。这种信号延迟的随机变化性 有口能导致电路时序不正确，而时序错误是高速数字集成电路成品率下降的主要 原因。因此工艺参数误差给集成电路的时钟系统设计带来了挑战，对系统鲁棒性 提出了更高要求，有必要考虑信号延迟的不确定性以提高最终：芯片的成品率。 对于模拟电路来说，工艺参数误差的影响显得更为重要。许多模拟电路基本 模块( 例如，差分对、电流镜、开关电容放大器等等) 需要各个器件的参数相互匹 配才能正常工作。所以电路性能指标对芯片上工艺参数误差导致的器件之问的参 数欠配非常敏感。因此在模拟电路设计中更需要考虑工艺参数误差带来的影响。 此外，近年来出现了许多高性能新器件( 例蜘i 碳纳米管，f i n f e t 结构等) 。 虽然这些新型器件有良查j ：的性能，但由于目前的集成电路：l ：艺牛产出的这些器件 的可靠性和成品牢较低，所以这些新器件在实际电路设计中的应用受到了很大限 制。只有提高这螳器件的成品牢，才能存设计中利川它们来提高电路忡能。 总之，随着集成i 乜路工艺特征尺、r 缩小到纳米级别，工艺参数误差i i 断增大。 设计具有岛成晶率的高性能集成电路变得越水越确挑战性。 2 基于代理模型的f 乜路成品率计算与优化研究 1 2 集成电路成品率的研究内容 电路成品率可以大致分为功能成品率和参数成品率。功能成品率是指集成电 路制造以后，电路功能正确的芯片数与所有芯片数的比率。它反映了各种l ：艺缺 陷对电路功能的影响程度。功能成品率主要由电路结构缺陷引起，如开路和短路 等。其产生的主要原因是各种物理缺陷引起的局域畸变。提高功能成品牢的方法 有改进设计规则、优化布局布线、选择先进的工艺线、加入容错冗余设计等。 参数成品率是指集成电路制造以后，电路性能满足规格要求的芯片数与总芯 片数的比率。它反映出在电路功能正确的情况下，电路性能指标的起伏情况。这 种起伏是制造过程中各种工艺参数误差造成的，主要包括材料的非均匀性，光刻 误差，杂质注入剂量不稳定等。 自从七十年代末提出参数成品率问题以来，参数成品率的研究直受剑很高 的重视。近年来，线宽小于9 0 n m 的集成电路：f 艺中，：l ：艺相对误差不断增大， 参数成品率问题变得越来越严重，因此参数成品牢研究显得更加重要。参数成品 率降低土要有以下三方面原因。 ( 1 ) 工艺线水平、材料特性及环境的影响。集成电路工艺线不稳定会导致工 艺参数误差变大和成品率降低。改进措施包括调整工艺线、改善材料及环境、提 高工艺设备精度、实施统计过程控制( s p c ) 、提高工艺仿真模型精度等。集成电路 工艺线具有良好的受控性和稳定性是参数成品率提高的前提条件。只有工艺线受 控良好，才可以通过微电子测试方法得到工艺参数的分和特征，进而研究和提高 电路的参数成品率。 ( 2 ) 南于集成电路器件参数标称值设计不合理，造成电路性能指标的标称值 处丁电路性能规格范围的边界附近。虽然电路性能指标的标称值符合规范要求， 但足工艺参数稍有变化就会导致电路性能指标超出要求的范围。对于这种情况， 可以重新设计电路结构或修改器件参数，使设计出的电路性能指标的标称值尽量 靠近电路性能指标容许范同的中心点。 ( 3 ) 由于集成电路器件参数标称值设计不合理，造成电路性能指标对工艺参 数误差过于敏感。这样一来，电路性能指标允许的工艺参数误差范围太小。即使 工艺参数的起伏不人，集成电路性能指标的起伏也会比较人，造成最终成品率过 低。对于这种情况，需要进行优化以减小电路性能指标对工艺参数误差的灵敏度。 在以上三点巾，除了第一点需要在制造阶段考虑外，第二和第三点都需要在 电路设计阶段予以解决或者改善。 第一章绪论 1 3 本论文的内容与安排 本文是统计学、代理模型、最优化和电路参数成品率领域相结合的研究j i ：作， 以电路参数成品率为核心，对基于代理模型的成品率计算及优化进行了研究，取 得了如下研究成果： ( 1 ) 在电路参数成品牢计算方面，提出了一种基于二阶响应f h l 面电路代理模 型的计算成品率的新算法。该算法将待求解的概率密度函数看作连续时间信号， 然后引入信号处理领域中的相火算法，得到了电路性能指标分布的概率密度函数 和累积分布函数的近似样条函数。之后，在电路实例中将该算法和同样基于二阶 响应曲面电路代理模型的蒙特卡罗成品率计算方法进行了全面对比。结果表明本 文的算法不仅精度高，而且计算量小，适合于人规模集成电路的成品率计算。 ( 2 ) 在电路参数成品率优化方面，提出了一种基于响应曲面代理模型的成品 率优化方法。与传统的摹于成品率计算的优化方法不同，该优化方法不是将电路 参数成品率作为优化的直接目标，而是将i 乜路性能代理模型和其对各个工艺和器 件参数的一阶和j ：阶偏导数一起作为目标函数进行多目标优化。这样不仪使优化 后的电路性能指标的标称值尽晕靠近电路指标要求范围的中心点，同时降低了电 路性能指标对工艺参数起伏的敏感度。由于该方法4 i 涉及成品率计算，所以计算 量较小。通过电路实例验证，该方法取得了比较明显的优化效果。 第二章集成电路参数成品率理论基础 5 第二章集成电路参数成品率理论基础 本章介绍集成电路参数成品率研究中一些背景知识，主要是工艺参数误差分 析、电路仿真试验、电路代理模型，及其参数成品率计算与优化的一些传统方法， 为后面章节的讨论打下基础。 2 1 工艺参数误差 集成电路的参数成品率损失是由工艺参数误差引起的。工艺参数误差是指集 成电路制造完成后的工艺参数的实际值偏离工艺参数的设计标称值。本节介绍工 艺参数误差的相关知识。 2 i 1 工艺参数误差分类 工艺参数误差来源于生产中工艺设备的扰动。现代集成电路制造一般包含成 百上千道工序，因此工艺参数误差的具体米源是非常复杂的。但是，可以根据它 们的统计学特征、影响的空问范围和所在的工艺步骤分为几类。 2 1 1 1 系统工艺参数误差与随机工艺参数误差 从统计学角度来看，工艺参数误差可以分为系统工艺参数误差和随机工艺参 数误差( 1 】。系统工艺参数误差是指由于特定的具体原因造成的具有确定性和_ 口j 重 复性的工艺参数误差，因此从理论上来讲，系统工艺参数误差可以借助工艺原理 分析和仿真来预测。然而，在实践中，系统工艺参数误差的准确预测是不现实的， 原凶有如下两点i ： ( 1 ) 工艺的精确仿真计算量非常大，凶此不适用于大规模电路。 ( 2 ) 在集成电路设计的初期阶段，电路物理层设计的很多细节( 例如器件和互 联线的版图布局) 尚未确定。这同样限制了：i ：艺仿真的精度。 这样看来，系统j l ：艺参数误差虽然有确定性和可重复性，但是在：f ：程实践中 对系统工艺参数误差进行高效预测并不是一件容易的事情。 随机工艺参数误差是指由于：工艺控制不足或者- t 艺内存的同有起伏导致的不 可重复的工艺参数误差i iom o s f e t 沟道中掺杂原了数f j 的随机变化导致的阈值 电压起伏就是一个很好的例f 。在现代集成电路工艺中，一个m o s f e t 沟道中只 有几百个掺杂原了，冈此在乍产中很难精确控制掺杂剂景。掺杂剂量的随机工艺 6 基于代理模型的电路成晶率计算与优化研究 参数误差会导致m o s f e t 闽值电压的随机误差。 随着集成电路特征尺寸进一步减小，系统上艺参数误差和随机工艺参数误差 都会进一步增大i lj 。为了降低系统：r 艺参数误差，集成电路设计师可以在版图设 计规范方面采取措施 2 - 1 引。但是，随机工艺参数误差( 例如器件参数失配) 很难从 版图设计规范方面来控制。随着特征尺- 、j - 进一步减小，晶体管栅极沟道中的掺杂 原子数进一步下降，在线宽小于6 5 n m 工艺中，器件参数随机失配将成为工艺误 差的主要来源l lj 。 2 1 1 2 芯片间工艺参数误差与芯片内工艺参数误差 从：l ：艺参数误差的空间范围来看，2 1 ：艺参数误差可以分为四个层次：批次间 工艺参数误差、( 同一批次内) 晶圆间t 艺参数误差、( 同一晶圆内) 芯片间工艺参数 误差，及其同一芯片内各个器件之间的工艺参数误差 6 1 。前三类工艺参数误差也 可以统称为：醛片问工艺参数误差。芯片问工艺参数误差描述的是每个：占片内工艺 参数一致性地偏离设计标称值的现象。芯片内工艺参数误差描述的是同一个芯片 内各器件各自的然而又在空问上彼此相关的局部起伏性。芯片内误差又可以进一 步分为两种成分：相火性误差和独立性失配。芯片内各器件工艺参数误差的空问 相关性大小主要取决于器件之间的空问距离。之所以具有空间相关性，主要是凶 为系统工艺误差被当作随机工艺误差来进行表征1 6 。 2 1 1 3 前端工艺参数误差与后端工艺参数误差 现代半导体制造工艺先将晶体管及其它有源器件制作在半导体衬底上，然后 再淀积在器件之问传输信号和电源的金属层。所以从制造步骤划分，工艺参数误 差可以分为前端的器件工艺参数误差和后端的互联工艺参数误差l lj 。 前端工艺参数误差主要指的是器件制造中的工艺参数误差，主要包括晶体管 栅极长度和宽度误差、栅氧化层厚度误差、掺杂误差等等。这些误差可以通过测 量相应的器件电参数得到，包括漏源电流，傩、阈值电压v r 、栅极漏电流k 等。 例如，多品关键尺寸的起伏会影响，琊，栅氧化层厚度误差和掺杂浓度误差会影 响【1 1 0 存纳米级的集成l 乜路工艺中，晶体管栅极k 度( 即多晶关键尺寸) 很小，所以 其相对误差比较大。多品关键尺寸误差的来源包括曝光系统、掩膜和抵抗效应。 曝光系统工艺参数误差有光学，机械和光源等多j 。由l 的原因1 7 l 。掩膜误差包括针 孔、模糊、色斑、偏移等等1 8 1 。掩膜误差影响h 一个掩膜版下的所有芯片，所以 掩膜误差是一种系统误蓖i j lo 抵抗效应导致线条边缘秆l 糙一j 。过去几十年中，测 第二章集成电路参数成品率理论基础 7 为m o s f e t 的关键尺寸比粗糙度人几个数量级，所以线条边缘粗糙性影响不人。 但随着工艺特征尺寸向纳米级靠近，线条边缘粗糙度并没有随之成比例减小，所 以其占据栅极长度的比例( 即栅极长度的：r 艺参数相对误差) 越来越大i lj 。 栅极宽度工艺参数误差同样值得注意。一般来说，由1 ：晶体管栅极的宽度比 其长度大得多，栅极宽度工艺参数误差的影响不如栅极长度工艺参数误差明显。 但是，对于栅极宽度较小的晶体管i 町言，栅极宽度误差同样会对晶体管性能产生 严重影响。栅极宽度工艺参数误差主要来源于浅槽隔离工艺中的抛光步骤【l 们。浅 槽隔离是集成电路微结构之间电隔离的一种方法。在线宽小于o 3 5 m 的工艺中， 它是一种替代传统硅局部氧化( l o c a lo x i d a t i o no f s i l i c o n ，l o c o s ) 的电隔离方法。 这种方法使用氮化硅掩膜保护晶体管区，露出需要制作隔离槽的区域。随后在芯 片表面刻蚀出沟槽，填入二氧化硅。多余的二氧化硅使用化学机械抛光方法去除。 在刻蚀和填充过程中，品体管区可能被损耗掉一部分，所以多品的有效宽度会变 小。这种效应在窄宽度晶体管中尤为明显【l 】。栅极工艺参数误差的另一个来源足 图形的网角效应。该效应影响晶体管栅极有效长度和宽度。为了减轻这一问题， 必须使用特定的设计规则l lj 。 阈值电压也是受工艺参数误差影响较大的重要器件参数i lj 。阈值电压误差由 芯片间工艺参数误差和芯片内工艺参数误差共同引起。芯片间工艺参数误差主要 是晶圆级的非均匀性引起的( 例如热氧化中的非均匀温度分布) ，而芯片内随机工 艺参数误差是沟道和多品掺杂剂量的随机工艺参数误差引起的。在目前较先进的 生产工艺中，单个m o s f e t 的沟道中只有大约5 0 0 个掺杂原子。每个器件沟道巾 掺杂原子剂量的随机起伏独立地影响着各个器件的阈值电压，所以可近似为均值 为零的独立正态分布，其标准偏差和有效栅极宽度上j 长度的平方根成反比j 1 1 3 l 。 后端工艺参数误差指金属互联中的工艺参数误差。例如，金属线宽度、厚度 和层间电介质都可能有系统工艺参数误差或随机工艺参数误差。因此，包括电阻 和电容在内的互联电参数会有相应的误差。后端丁艺参数误差包括以下三方面： ( 1 ) 金属厚度误差。在9 0 r i m 工艺中，金属厚度误差可达其设计标称值的 3 0 - - 4 0 。如此大的误差会显著影响互联线的电阻和电容，导致严重的时序和信 号完整性问题。金属厚度误差的一个重要原因是化学机械抛光中的铜损耗【l 】。 ( 2 ) 层问电介质厚度误差。层问电介质用来隔开相邻的两个会属层。它能显 著影响金属互联的寄生电容。层问电介质厚度误差来源于二氧化硅化学机械抛光 速度的起伏1 1 4 1 。 ( 3 ) 金属宽度和问蹭的误差。金属宽度和问距误差主要是在光刻中引入的， 主要与金属宽度和问趼的大小有关i l j 。 基于代理模型的电路成品率计算与优化研究 2 1 2 工艺参数误差模型 为了进行集成电路成品率计算和优化，首先必须建立能够描述集成电路j l ：艺 参数误差的模型。本节简要介绍j l 艺参数误差模型。 2 i 2 1 角点模型 一种传统做法是定义一组工艺角点来描述工艺起伏性。也就是说，每个会随 机变化的工艺参数被赋予一个起伏的卜限值和下限值。然后，通过枚举这些工艺 参数的极端值的所有组合来找到电路性能的最好情况和最坏情况。各个工艺参数 极端值的一个组合就称为一个工艺角点。集成电路代工厂很早就已经开始将t 艺 角点上的器件模型信息加入它们的器件模型库中。也就是说，代t 线除了给出丁 艺参数标称值情况下的器件模型，还给出了一些工艺参数取极端值时的器件模型。 虽然工艺角点模型使用广泛，但是其在纳米工艺时代有几个主要的缺陷【l5 】： ( 1 ) 不能保证最坏情况一定真的会发生在事先就已经定义好的那些工艺角点 上。也就是说，电路性能指标出现最坏情况时，各个工艺参数的实际值的大小取 决于电路的拓扑结构和所关心的性能指标，而不一定等于代工厂预先定好的某个 工艺角点处的各个工艺参数的值。 ( 2 ) 角点模型忽略了电路参数之间的相关性。例如，在数字电路设计中，各 个门延迟之间般具有相关性，所以：1 ：艺参数发牛起伏时，各个门延迟不一定同 时向最坏方向移动。但是角点模型假设信号传输路径中的各个门延迟之间完全相 关且同时取最坏值。这会导致过低地估计成品率。这种悲观的估计会导致电路设 计师为提高成品率i 血改变电路设计，过多地以牺牲电路性能换取成品率的提高。 这样一来，最终得到的电路：卷片面积就会变大或者功耗就会提高l ij 。 2 1 2 2 统计学模型 为了解决 ：艺角点模型的根本缺陷，许多集成电路代工厂开始提供器件的统 计学模型1 1 6 l 。这些模型中定义了一些随机变量来描述芯片间和芯片内工艺参数误 差。器件模型参数也被表示成这些随机变量的函数。图2 1 是工艺参数误差的统 计学模型的一个例：f i lj 。随机变量蜀和岛是利用主成分分析法( 见2 1 3 1 节) 提取 出来的两个独立的随机变量。它们刖来描述与，的：出片问相关误差。当然， 业界实际使用的模型会复杂地多。为了描述所有具有空f h j 相父性的工艺参数误差， 需要使用的随机变量的个数会很多l l i 。 第二章集成i 乜路参数成品率理论基础 9 v d t y id i s t = g a u s ss k i = 1 v a r y e 2 d i s ! = g a u s ss k i = 1 m o d e ln m o sb - 4 + t y p e = n 4 - i o x = 4 e 一9 + l e - 1 0 ! 一i 3 e 1 0 飞t + 4 - v t h 0 = 0 6 q - 0 2 4 屯i + 0 3 2 4 - 4 - 罔2 1t 艺参数误差的统计学模型的一个例子1 1 1 2 1 3 工艺参数误差数据处理 2 1 3 1 主成分分析 许多工艺变量的随机j r 艺参数误差( 例如和) 都是有相关性的。然 而，统计学方法处理独立随机变量一般比处理带有相关性的随机变量容易地多。 例如，在蒙特卡罗方法中，使用随机数发牛器牛成相：白：独立的样本点就比牛成有 相关性的样本点容易地多【1 7 10 因此，在进行工艺参数误差的统计学建模和分析之 前，有必要将一组彼此相关的工艺变量等价变换为一组相互独立的随机变量，然 后用这组等价的随机变量表示工艺参数误差。主成分分析就是这样一种统计学方 法【l 引。它可以将服从多维正态分布的一组彼此相火的随机变量转换成服从多维标 准正态分布的一组彼此独立的随机变量。下面简要介绍这种方法j i g 。 给定个工艺参数x = i x ix 2 ，h 】1 ，其均值向量记作x o ，则随机工艺参数 误差向量为a x = x 一托。在集成电路参数成品率领域，一般认为从近似服从均 值为零的多维正态分布。a x 内各个工艺参数误差之间的相关性可以用。个半正 定的对称协方差矩阵尺来表示。主成分分析法将尺分解为 r = y v 7( 2 一1 ) 这里= d i a g ( ；q ，五，2 n ) 是一个对角阵，对角线元素足协方差矩阵r 的特征值， 矿= ik ，屹，l 包含着孝h 对应的彼此正交的特征向罱( y 7 y = i ，i 表示单位阵) 。 利用和矿，土成分分析法定义了一组新的随机变罱 a y = m 5v7 从( 2 - 2 ) 这些新的随机变量称为丰成分。y = f 缈。，畋，缈v 】满足标准正态分布 n ( 0 ，1 ) 。此外，很容易验证a y = 【蛳，奶，缈】。所有元素彼此无关【1 j ： l o 基丁代理模型的电路成品率计算与优化研究 g ( a r j ，7 ) = e ( - 0 5 y7 a x x 7 y 柚5 ) _ _ e - o - 5 y r e ( 从a x 7 ) 矿曲j ( 2 3 ) = 曲5 v 7 v 矿7 v 05 = i 这里e ( ) 表示数学期望。由于当且仅当联合正态分布随机变量相互无关时它们相 互独立 1 8 1 , 因此式( 2 3 ) 表, y la r = a y , ，舰，a y r 中的元素彼此独立。 主成分分析其实是将原随机变量所定义的空间进行了一次旋转操作。此外， 假如特征值 丑) 的模的大小彼此差距很大，那么就可以用一组较少数量的随机变 量来近似原来的维空间。关于主成分分析的更多介绍见【8 j 。 2 1 3 2 正态性检验与数据变换 在大多数实际情况下可以认为工艺参数服从多元正态分布e 1 1 ，这样一来，就 可以利用许多数学技巧来简化统计学分析。例如，主成分分析可以将服从多元联 合正态分布的彼此相关的一组随机变量变换为服从标准正态分布的一组独立随机 变量。但是，当彼此相火的一组随机变量不服从正态分布时，主成分分析法就不 能将其变换为一组独立随机变量了。 在有些情况下，从工艺数据中观察到的工艺参数误差是非正态分布的。例如， 系统上艺参数误差往往都是非正态分布的，因为它们本身4 i 是完全随机变化的i t 。 假如非正态分布的各个工艺参数之间相互独立，那么可以直接对它们进行统计学 分析( 例如利用蒙特卡罗方法) ，或者先利用非线性变换将它们变换为相互独立的 正态分布随机变鼍，然后利用正态分布相关的统计学方法处理这些变换后的随机 变量。下面简要介绍如何利用b o x c o x 变换法将独立非正态分布随机变量转化为 独立正态分布随机变量 1 9 1 。 b o x 和c o x 在1 9 6 4 年提出了一种将独立非正态分布随机变量变换为独立正 态分稚随机变量的方法。这种变换是利用指数函数族实现的。假设随机变量j ，的 观测值严格人于零，可以定义以下指数函数族进行b o x c o x 变换 ( y ，乃) = ( 】，乃) g i n ( y ) 卜和 i g i n ( r ) 卜夸r 如一1 ) 肛；f 乃0 ( 2 - 4 ) i g i n ( r ) l o g ( r ) ； f 乃= 0 其中 队( y ，以) = ( 1 0 y g 母( r 一) 1 ；) 乃；孑主三兰 c 2 5 ， 式( 2 4 ) 中g m ( ，) 足木变换前的随机变量的观测价的儿f u 平均值。例如当随机变晕 第二章集成电路参数成品率理论基础 】，的观测值为乃，儿时，随机变量j ，的几何平均值定义为 g m ( r ) - - e x p ( y 1 0 9 ( y , ) ) ，其中l o g ( ) 为自然对数。 要确定变换式( 2 - 4 ) ，只要确定其中的参数4 。假设已经得到y 的相瓦独立观 测值朔，儿，搜索五，的取值使得对数似然函数 l o g l ( f l , c r 2 , 名l ，) = 一1 。g ( 2 石) 一了r li 。g ( 盯2 ) ，一 2( 2 6 ) 一嘉 ( m ，彳) 一e e w ( y , ，五) 取得最人值。此时，使用式( 2 4 ) 变换后数据ij ，五，) 的分佰最为趋近于j f 态分布。 注意，式( 2 6 ) 中c r 2 = 骶 ( j ，乃) ，4 o 。鼹 ( j ，五) ，乃 是变换后的数据 i y ，以) 的方差平方和。 由于参数五的估计值是从y 的观测值乃，儿计算得到，所以4 的估计值同 样足一个随机变景。其置信水平为( 1 一a ) x 1 0 0 的置信区间为 a 2 l o g ( l ( ( 互) ，仃2 ( 互) ，互l y ) ) ，2 乃 i o g ( 上( ( 五) ，d r 2 ( 五) ，名吲l z 2 ( 1 ，l 一口) 其中互是参数以的估计值。z 2 ( 1 ，1 一口) 是自由度为1 的 方分布在累积分布概率 为1 - 6 t 处的分位点。只要从式( 2 7 ) 中解出名，即可确定参数a ，的置信水平为 ( 1 - c q 1 0 0 的置信区间。假如兄= l 被包括在置信区间中，则说明随机变量y 的 正态性很好，可以不必对其进行b o x c o x 变换。所以这可以作为：l ：艺数据是否服 从正态分布的判据。更多的关- | j ：b o x c o x 变换的详细内容见【l9 1 。 彼此相关的非正态随机变量必须使用它们的联合概率密度函数来描述，因此 很难进行统计学分析。对于这一类随机变量，蒙特卡罗方法也变得很难实施，因 为很难从一个多维联合概率密度函数中产生随机数1 1 7 1 2 0 1 。此外，由于从芯片的电 参数测量数据中提取多维联合概率密度函数很困难，所以工艺表征一般不使用相 关非正态分布。如何对相关非正态工艺参数误差分布进行建模和分析依然是一个 需要进一步探索的问题。 2 2 电路仿真试验与代理模型 现代集成电路规模1 i 断扩大，器件模型日益复杂。尽管计算机性能与 c a d e d a 软件功能飞速发展，但是集成电路的仿真时i h j 成本限制了电路成品率 计算与优化。传统的成品牢计算和优化方法是直接丛。r 电路物理模型仿真。这种 方j 上的精度比较高。但是| i f ! 着工艺线宽的减小和电路规模的增人，电路的物理模 型越来越复杂，造成仍r 0 汁鳍量人人上升，主要表脱征以f j l 个方面：。 1 2 基丁代珲模型的电路成品率计算与优化研究 ( 1 ) 器件模型非常复杂。例如先进的b s i m 4 模型包括超过2 0 ，0 0 0 行c 代码以 描述单个m o s 品体管的特性，因此晶体管级仿真计算成本很大。 ( 2 ) 大幅度的1 ：艺起伏使得电路特性的非线性效应明显，必须使用复杂模型 加以描述。 ( 3 ) 统计学器件模犁一般包括很多随机变最。例如6 5 n m 的c m o s 工艺需要多 达3 0 0 个独立的随机变量来描述芯片问工艺参数误差。假如同时考虑到芯片内器 件参数失配，那么每个晶体管还需要分别增加1 0 个随机变量i l j 。 ( 4 ) 互联模型变得更加复杂。不断减小的器件尺寸将工作频率推进至i j g h z ， 一个物理层上的互联模型可包含数百到数千个r c 元件。复杂的寄生效应也使晶体 管级仿真变得困难i ij 。 因此，基于电路物理模型仿真的传统成品率计算与优化方法的时间成本显著 增加，时间开销大到令人无法接受。女前文所述，蒙特卡罗方法是集成电路成品 率计算与优化的传统工具之一。这种方法需要大景的样本点数以保证足够的精度。 对于大规模电路而言，基于晶体管级电路仿真的蒙特卡罗方法由于计算莆大而使 用不便。这使得直接基丁电路物理模型仿真的成品率计算和优化方法实用性下降。 面对这种情况，使用电路性能指标的代理模型替代电路的物理模型进行仿真 可以大大降低仿真的计算量。如图2 2 所示，电路性能指标的代理模型的主要思 想是用工艺或者器件参数的简单函数去近似代替所关心的电路性能指标( 例如延 迟，功耗，增益等等) 的物理模型。在电路性能指标的代理模型中，自变量就是服 从一定统计分御的器件或者工艺参数( 例如和) ，因变量就是电路性能指标。 代理模型函数关系简单，所以电路的统计学分析就能容易很多。 回 圈j 图2 2 代理模型，j i 意图 2 2 1 构造电路代理模型的步骤 本节介绍建立电路代理模型的步骤和实现方法。 1 确定代理模型的输入变量和输出响应 “输入变最”和“输m 响应”是就数学模型而亩的。“器件工艺参数”和“性 能指标”是就电路实体如言的。一般来说，l 也路代理模犁的输入变罩是器件工艺 第二章集成电路参数成a 6 率理论基础1 3 参数，如电阻值，晶体符参数等；电路代理模型的输出响应是电路性能指标，如 增益，带宽等。对于特定的电路系统，依据设计要求，确定电路的性能指标以及 影响电路性能指标的器件j i ：艺参数，也就确定了代理模型的输入变量与输出响应。 另外，在确定输入变最同时，需要确定其变化范围。对电路工作原理的良好理解 有助于选择合理的器件工艺参数作为代理模犁的输入变罩和确定其变化范围。这 可以降低代理模型的建模成本，有利十系统优化。 2 制定试验方案，进行仿真试验采集数据 电路代理模型是一种经验模型。为了建立模型，需要有表示输出与输入之间 关系的数据。因此需要通过电路仿真试验得到用于模型参数估计的数据。 在人规模电路的成品率优化设计巾，器件工艺参数与性能指标的关系复杂， 很难预先估计最优点可能所在的区域。因此，在试验设计中，不能预先确定重点 抽样的空间。针对上述特点，本文使用“充满空间”的试验设计类型，使样本点尽 可能均匀地充满抽样空间。 3 利用试验数据，建立电路的代理模型 使用最为广泛的电路代理模型是一阶和j ：阶响应曲面模型【2 1 1 【2 引。响应曲面 模型形式是多项式，其数学原理容易理解，建模和分析方法成熟。利用响应曲面 模型可以分析因变量对自变量的灵敏度，因此本文使用响应曲面模型作为电路性 能指标的代理模型。 4 模型预测能力检验 为了检验模型预测能力，需要在设计空间抽取样本，这与建立模型时采集数 据的方法相同，只不过这些数据将用来检验模型而不是建立模型。为了保证检验 结果真实，检验样本应该与用于建立模型的样本有较大差别。 如果模型预测精度满足要求，则建模结束。否则，返回步骤1 ，重新选取输 入变鼍及其变化范围；同时也可以调整样本容量。缩小输入变量变化范围和增加 试验样本容量是提高模型精度的有效方法。 2 2 2 电路仿真试验设计 电路代理模型的建立需要能反映性能指标对于器件工艺参数依赖关系的数 据。因此需要按照。定的试验安排，逐次改变器件工艺参数并进行电路仿真以获 取在器件参数的不同设置下电路性能指标的数据。 电路仿真试验中采集到的数据来自于电路仿真软件中的数值计算程序而非真 实t h = 界的物理测晕，所以得! i ：| j 的试验数据是完全确定性的，没有随机测罩误差。 也就是说，给定同样的器件参数值，重复的电路仿真试验只会得到相扛i j 的仿真结 _ 果。这是电路仿真试验与真实f r j 物理试验最重要的不同 ，这。一特点对代理模型 1 4 基丁代理模型的电路成品率计算与优化研究 建立与分析方法都产牛重要影响1 2 9 o 因此需要选择合适的试验设计类型。 1 传统试验设计类型 在电路代理模型研究的早期阶段，广泛采用的是从物理试验发展起来的试验 设计类型，如部分因子设计、中心复合设计、b o x b e h n k e n 设计等。它们也称为 传统试验设计类型。这些试验类犁通常按照几何学原理构造试验方案，因此许多 设计点置于设计空间的角落。由十这些试验设计类型是针对真实世界的存在测量 误差的物理试验而提出的，所以需要使用重复试验来度量随机测量误差的大小。 因此这些设计存在堆积点，抽样点未布满整个空间，如图2 3 ( a ) 所示 1 o 0 5 1 20 o _ 05 1 0 10 0 5 近0 0 田5 1 0 i 冬i2 3 ( a ) 传统设计( b ) 充满空间设计 2 充满空间试验设计类型 随着仿真试验的兴起，迫切需要适合于计算机仿真试验的试验设计类型。对 于没有试验误差的仿真试验，试验丌i 需要重复。因此从上个世纪7 0 年代末，统计 学家开始研究充满空间试验设计，希望抽样点能均匀散布于整个设计空间，如图 2 3 ( b ) 所示。这些方法也称为现代试验设计，大致包括五种p o j ： ( 1 ) 球填充设计法( s p h e r ep a c k i n gd e s i g n ) 。该方法强调点的散布，最大化设 计点之问的最小距离。此最大化的效果是尽可能多的在设计区域内散布抽样点。 ( 2 ) 均匀设计法( u n i f o r md e s i g n ) 。使设计点( 它们为经验均匀分布) 和理论均 匀分布之间的偏离度变得最小。此类设计在获取未知函数积分的简单和精确估值 计时最为有用。估计值是试验中的观测响应的平均值。 ( 3 ) 拉丁超立方法( l a t i nh y p e r c u b ed e s i g n ) 。拉丁超立方法是球填充法和均匀 设计法的折衷。在拉丁超j 迂方试验设计中，每个因子的水平数与试验设计方案中 的试验个数一样多。因子的各个水平从因子的下限到上限被均匀隔开。像球填充 法一样，拉丁超立方法最大化设计点之间的最小距离) k 选择设计点，但是有一个 约束。这个约束保持阴了水平f u j 的等距。这种方法可生成模仿均匀分布的设计。 ( 4 ) 最低潜能法( m i n i m u mp o t e n t i a ld e s i g n ) 。最低潜能法将点分散到球体内。 要了解如何创建此设计，请将点想象为相互之间以弹簧连接的电子。库仑力会将 点推开，而弹簧却会将它们 移在起。该设计是最小化系统潜能的点间隔。 ( 5 ) 最大熵设计( m a x i m u me n t r o p yd e s i g n ) 。似朝f 使用高斯过程模型分析数 第- 二章集成电路参数成5 占率理论基础 1 5 据，拉丁超立方设计是当前最流行的试验设计类型。由于拉r j 超立方设计在坐标 轴上的投影服从均匀分布，所以在计算机仿真领域备受青睐。但是，拉丁超立方 设计不一定能很好的填充空间。在计算机试验中，最大熵设计对拉丁超立方设计 提出了强劲的挑战。 最大熵设计是基于最大熵原理的一种设计方法。熵存信息论中是信息的度量， 事件越不确定，其信息量越大，熵也越大。最大嫡设计方法是一种高效的计算机 试验设计方法，能以较少的试验运行次数建立较高精度的预测模型。 2 2 3 响应曲面代理模型 响应曲砸模型是使用最为广泛的代理模型之一。假如电路的拓扑结构已经给 定，电路性能指标厂可以近似为器件丁艺参数的一阶响应曲血模型【l l ( x ) = b 7 x + c( 2 8 ) 这里x = 【玉，j r 2 ，h 】7 表示器件工艺参数；b er 和c er 比t a 犬，。j 。数、，n 是器 件工艺参数的总数。 在工艺相对误差较小时，一阶响应曲面模型比较有效。但是，随着集成电路 工艺特征尺寸减小，工艺相对误差不断增大。例如，在9 0 n m 及其更小特征尺寸 的工艺中，栅长度的起伏范同可达3 5 【引i 。这意味着必须使用更高阶( 例如二阶) 响应曲面模型作为电路性能指标的代理模型才能保证精度。二阶响应曲面代理模 型对于模拟电路来讲尤其重要，因为在工艺相对误差较人时，模拟电路的性能指 标的非线性可能很强。二阶响应曲面模型的形式为 3 2 1 j ( x ) = x 7 从+ x + c( 2 9 ) 这里c r 是常数项。b 尺是一次项系数向量。a r 肌是二次项系数矩阵。 式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 中模型的未知系数可以采用最d - - 乘法，通过求解样本点处 的超定线性方程来估计得到 3 2 1 ： b 7 x ，+ c = z ( f 1 ，s ) ( 2 - 1 0 ) f a 一+ b 7 墨+ c = ，( i = 1 ，s ) ( 2 1 1 ) 这里置和厂分别是第i 个样本点处x 取值和的真实值；s 是样本点总数。 通常用 个检验点处代理模型预测值，和仿真试验真实值，之问的均方根误 差r m s e 来衡量模型预测能力的好坏 r m s e = ( 2 - 1 2