（机械工程专业论文）碰撞振动系统临界分岔参数的确定以及不变圈幅值分析.pdf

磁撞振动系统临界分岔参数的确定以及不变圈幄值分析 摘要 碰撞振动系统广泛地存在于机械工程领域，由于碰撞和冲击等因素造成的强 非线性，使得系统的动力学响应十分复杂多变。碰撞振动系统一般都是多参数的 高维系统，此特点增加了碰撞振动系统的理论分析难度。针对这一现状，本文做 了两方面的工作：一是碰撞振动系统的周期倍化临界分岔临界参数区域的分析， 二是碰撞振动系统h o p f 不变圈幅值的理论估计分析方法。 本文在s c h u r c o h n 准则的基础上建立了一类高维映射系统在参数空间寻找 稳定域及其边界的代数方法。不同于传统的分岔临界准则，该方法不依赖于计算 特征值，而是由一些列等式和不等式组成，有利于分岔参数机理分析。综合这一 方法和数值搜索法本文确定了冲击振动落砂机的分岔临界参数区域。数值仿真结 果验证了该方法的正确性，也显示在分岔临界值附近做不同扰动会引起各种不同 的分岔行为以及磕碰粘合运动等丰富的动力学特性。进一步，考察了以不动点处 三阶泰勒展开式为迭代式子的近似动力系统的动力学特性，并与仿真系统进行了 比较。利用中心流形一范式理论建立了理论估计h o p f 不变圈幅值范围的方法。 提出了一种坐标逆变换的方法通过范式所确定的不变圈幅值来确定原映射在原来 的坐标系下的不变圈的幅值。运用所提出的分析方法，阐明了碰撞振动系统不变 圈的产生原理，并对其幅值做了理论估计。 关键词：碰撞振动；冲击振动落砂机；h o p f 分岔；s c h u r c o h n 准则：中心流形一 范式理论；临界参数 i i 硕十学位论文 a bs t r a c t t h ev i b r o i m p a c ts y s t e m sa r ee x t e n s i v e l ya p p l i e di nm e c h a n i c a le n g i n e e r i n g f i e l d i m p a c t sl e a d st os t r o n gn o n l i n e a r i t ys u c ht h a tt h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h e v i b r o - i m p a c ts y s t e m sb e c o m ev e r yc o m p l e x a n dv i b r o - i m p a c ts y s t e m sa r eu s u a l l y h i g hd i m e n s i o n a la n dm u l t i - p a r a m e t e rs y s t e m s i nt h i st h e s i s ，t h ea n a l y s e so fc r i t i c a l p a r a m e t e r sa n dt h ei n v a r i a n tc i r c l e sa r ea d r e s s e d b a s e do nt h es c h u r c o h nc r i t e r i o n ，am e t h o do fd e t e r m i n i n gt h es t a b l ea r e aa n di t s b o u n d a r y o fc r i t i c a l i t yi nt h e p a r a m e t e rs p a c e i s p r o p o s e d w i t hn u m e r i c a l l y e s t i m a t i n gt h ev a r y i n gr a n g eo ft h ep a r a m e t e r si na d v a n c e ，t h i sm e t h o di sa p p l i e dt o a ni n e r t i a ls h a k e rm o d e l t h es t a b l ea r e aa n di t sb o u n d a r yo ft h ev i b r o i m p a c ts y s t e m a r ed e t e r m i n e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nv e r i f i e dt h em e t h o d f u r t h e r , t h e d i s t u r b a n c e so ft h ec r i t i c a lb i f u r c a t i o np o i n tg i v er i s et od i f f e r e n tk i n d so fb i f u r c a t i o n s i nt h es i m u l a t i o n s a n dt h eg r a z i n g s t i c k i n gm o t i o ni sf o u n d 。b a s e do nt h ep o i n c a r e m a p ，at h r e e - o r d e rt a l o ys e r i e sw h i c h c a nb ev i e w e da sa ni t e r a t e dm a pi sc a l c u l a t e d a tt h ef i x e dp o i n t t h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ei t e r a t e dm a pi ss t u d i e da n d c o m p a r e dw i t ht h a to ft h es i m u l a t i o ns y s t e m s b ya p p l y i n gt h et h e o r yo fc e n t r e m a n i f o l da n dn o r m a lf o r m s ，t h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tc i r c l ei nv i b r o - i m p a c ts y s t e m s i sp r o v e da n di t sa m p l i t u d ei se s t i m a t e dt h e o r e t i c a l l y k e yw o r d s ：v i b r o - i m p a c ts y s t e m ；i n e r t i a ls h a k e r ；h o p fb i f u r c a t i o n ；s c h u r - c o h n c r i t e r i o n ；t h e o r yo fc e n t r em a n i f o l da n dn o r m a lf o r m ；c r i t i c a l p a r a m e t e r i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 陆形乏 日期函沪年尸月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： b 觏：如矿年驴只b 日期：化氐星年g 月 日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 动力系统以及其分岔现象介绍 在具体讨论碰撞振动系统之前，本节就动力系统的基本概念及其分岔现象做 一个初步的介绍。动力系统通常需要具备两个要素：一是描述系统状态的量 x ( 称为状态点) ，二是从一个状态点到另一个状态点( 一个时刻到另一个时刻) 的对应。具备以上两个要素的系统自庞加莱以来就被称为一个动力系统 ( d y n a m i c a ls y s t e m ) 。其中所有状态点的集合称为相空间( p h a s es p a c e ) 。从相空间 一个状态点到另一个状态点的运动称为相流( p h a s ef l o w ) 。根据对应法则的不同， 动力系统一般分为两个最基本的类别：连续动力系统和离散动力系统。连续动力 系统通常用一个常微分方程( 组) 来描述： 害叫 ( 1 1 ) 其中x = ( 而，x 2 。毛) r 为刀维向量。x r 是r 中某一子集，( 1 1 1 ，段，) 7 1 是系统 参数，且为m 维向量。胁r 是尺中某一子集。f = ( 石厶，厶) r 为刀维向量函数。 如果微分方程组中含有状态变量或者其导数的高次项那么称此动力系统是非线性 的。 根据常微分方程的解的唯一性定理，只要( 1 1 ) 式在定义域内满足利普希茨 ( l i p s c h i t z ) 条f 牛t 1 1 ，那么其解就是唯一的。这就是说，当初始条件确定的时候，任 意时刻的解都是唯一确定的，动力系统( 1 1 ) 的运动状态就是完全可预测的。只要 能解出式( 1 1 ) ，那么就可以方便的研究连续动力系统的性态了。但是大部分的常微 分方程都是无法用传统的方法得出解析解的，这极大的限制了人们对常微分方程 的认识。自上个世纪四十年代计算机出现以来，常微分方程长时间历程的数值解 成为可能。其系统参数值和长时间的动力特性之间的关系得到了揭示。人们发现 了非线性系统特有的对初始条件的敏感依赖性以及服从确定性规律的随机运动， 即混沌。非线性动力系统不仅对初始条件有极端的敏感性，而且对其本身的参数 也有敏感依赖性，参数值的改变会使得非线性动力系统的动力响应发生质的改变。 为了说明连续系统的分岔行为，以范德波尔方程为例【2 】： f 南= x 2 t 如：一聃2 而+ 鲍( 1 一彳) 吃 ( 1 2 ) 碰撞振动系统临界分岔参数的确定以及不变圈幅值分析 a ) 稳定的焦点b ) 稳定的极限环 朋= 1 ，鲍= - 0 1朋= 1 ，鲍= o 1 图1 1 范德波尔方程相图 从式( 1 2 ) 可以看出，这是一个非线性动力系统。求出这个方程的解析解几乎 是不可能的，只能做数值计算。本文用m a t l a b 自带的o d e 软件包来求范德波尔 方程的数值解。取初始条件为( 0 1 ，0 1 ) ，朋= 1 。如图1 1 所示，当心= - 0 1 时，相 轨渐近趋向于平衡点( 0 ，0 ) 。此时的平衡点是渐进稳定的。而当心= o 1 时，轨线没 有趋向于平衡点，而是无限盘旋接近于一个极限环。可以验证，当膨 0 时轨线趋向于某个极限环。也就是说当心穿越0 值的时候，范德波尔方程的轨线的拓扑性质就发生了质的变化，由向内盘旋接近 于平衡点( o ，0 ) 变成向外无限盘旋接近于一个极限环。此时就称系统在膨= 0 处发 生了分岔，觞= 0 称为分岔点。一般来说对于非线性方程( 1 3 ) ，参量在某一个 值从附近做微小变化引起相空间轨线的拓扑性质发生突变的现象就称为分岔 ( b i f u r c a t i o n ) ，临界值版称为分岔值。 离散动力系统一般用一个映射来描述： 以+ 1 = g ( 以，) ( 1 3 ) 其中以r 刀，r 脚，g = ( 9 1 - 9 2 ，g 玎) 7 为以维向量函数。当向量函数中含有映射 点的二次以上的项的时候，就称此离散动力系统是非线性的。 离散系统的分岔概念与连续系统的分岔概念类似。为了说明离散动力系统的 分岔现象，考虑以下四维离散系统： x i ( k + 1 ) = 雎一( 后) 一心确( 七) x 2 ( k + 1 ，) 2 而呗 ( 1 4 ) x 3 ( k + 1 ) = 吃( 七) x 4 ( k + 1 ) = x 3 ( k ) 设此离散系统的不动点为( 西o ，娩o ，巧o ，确o ) ，取心= 0 2 ，初始迭代点为 ( _ o + o 0 1 ，嘞+ 0 0 1 ，而o ，面o ) 。令缸= 而- - x 1 0 ，啦= x 2 - x 2 0 ，如图1 2 a ) 所示，当 , u l = 0 7 1 时，离散系统渐近稳定于不动点处。而当m = 0 7 3 时，如图1 2 b ) 所示，映 2 硕十学位论文 射点没有被吸引到不动点上去，而是向外被吸引到一个不变环上去。多组迭代数 据可以证明，当朋小于0 7 18 时，系统渐近趋向于不动点，而当朋大于o 7 18 时 系统会被吸引到一个不变环上去。所以, u c = 0 7 1 8 是一个临界的参数值。类似于连 续系统的分岔行为，当系统参数超过某个临界值的时候，其迭代映射点集的拓扑 结构也会发生质的变化。这种离散系统映射点集的拓扑结构因参数值的变化而发 生质的改变的现象就是离散动力系统的分岔现象，临界值儿称为分岔值。 a ) 稳定的不动点 m = 0 7 1 1 2 碰撞振动系统介绍 图1 2 离散系统映射点图 b ) 不变圈 m = 0 7 3 碰撞振动现象广泛存在于机械工程，土木工程，航空和航天，生物工程等领 域。在机械工程领域，碰撞振动一般都是由动力机械内部或边界上的间隙引起的。 很多机械设备由于加工制造和装配误差，或使用过程中的磨损，在其零部件之间 不可避免的会产生间隙。另外一些设备或构件在设计时就会因为考虑到润滑，热 胀冷缩或传动副的因素而在部件之间预留间隙。这些设备如果含有振动源的话其 内部构件之间就会发生反复碰撞。这在一般情况下是有害的，它不仅会给碰撞表 面带来直接的破坏，而且重复冲击会导致构件的疲劳损坏。例如核电站热交换器 冷热水循环诱发的振动会导致管道与其支撑面间的反复碰撞磨损。高速转子与定 子因为接触丢失导致的重复碰撞破坏。但也有些冲击机械是利用碰撞振动来工作 的，如振动压路机、振动夯土机、打桩机、冲击振动落砂机，振动筛，振动搅拌 机，针式打印机，高层建筑阻尼器等【3 j 。 机械碰撞振动系统是一类特殊的动力系统，其相轨是分段连续的。这种分段 连续的运动相轨特征给其带来了很强的非线性，加之碰撞振动系统一般都是多参 数的高维系统，这就使得碰撞振动系统的动力学响应十分复杂多变。系统运行过 程中外部激励或者是系统本身参数的变化由可能会引起系统的动力学响应的本质 变化和一系列的非线性现象，如分岔和混沌等。碰撞振动系统的的分岔行为十分丰 碰撞振动系统临界分俞参数的确定以及不变圈幅值分析 富，如擦边分岔【5 引、c 分岔9 1 、周期倍化分俞10 1 、非共振h o p f 分贫【1 1 】以及共 振h o p f 分岔【1 2 】。此外还有余维分岔，包括退化的h o p f 分岔【l3 1 ，h o p f 分岔和周期 倍化分岔的交互，以及h o p f - h o p f 分岔【1 4 】等等。但是直到目前为止，对于碰撞振 动系统这种分段连续的动力系统的研究还不够深入，很多复杂的非线性现象的产 生机理还没有得到深入和全面的认识。而在工程领域，遇到非线性因素时一般都 采取线性化处理或者予以忽略。但是这些因素在动力系统的长时间响应过程中会 引起无法预测的后果，是无法被忽略的。如何积极有效的利用非线性因素，避免 其有害的一面成为当今工程领域亟待解决的重大课题。 1 3 碰撞模型的描述以及研究方法 碰撞是一种特殊的运动形式，它的特点是物体的速度在极短的时间内发生突 然的变化。碰撞导致系统状态发生显著变化或使系统构型发生改变。根据碰撞前 后系统所受到的约束，可以将机械碰撞振动系统划分为以下四类【2 】： 1 约束在碰撞前、碰撞中和碰撞后一直存在，碰撞并不改变原有的约束条件。 2 碰撞时有新的约束出现，并在碰撞后持久保持。 3 在受到一定约束的部件之间发生可恢复的弹性碰撞。 4 碰撞期间系统受到约束的限制，在碰撞结束时约束自行消失。 根据是否考虑碰撞持续时间而对碰撞过程采用的不同简化原则，对碰撞过程 一般有两种研究方法。 第一种方法所建立的模型称为准刚体模型，该模型对碰撞振动过程做如下基 本假定： 1 假设碰撞持续时间f 趋于0 ，而碰撞力趋于无穷大，由此产生有限的碰撞 冲量 尸= f 融 5 ， 和有限的速度改变 吣：p 7 m ( 1 6 ) 其中m 为沿碰撞面法线方向的等效质量。 2 因f 趋于0 ，在此时间内，除碰撞力外的其它有限力，如重力、弹簧力等 均忽略不计；碰撞体各质点来不及产生明显变形，所以可以忽略其微小位移；而 碰撞力所做的功为有限量。 3 准刚体假设：碰撞时物体的变形局限在碰撞体附近的微小区域里，物体各 质点几乎同时实现速度变化；整个碰撞过程可以划分为变形和恢复两个阶段。 4 碰撞接触面是光滑的，不考虑碰撞物体间的摩擦作用。 4 硕士学位论文 以上假设的核心可以归纳为“瞬间碰撞假设”，并基于冲量动量定理处理刚体 碰撞问题。相对应的碰撞分析包括碰撞前和碰撞后两部分，并通过恢复系数来规 定碰撞前后碰撞体的速度突变和能量损失，而不考虑碰撞过程的细节。n e w t o n 根据该模型分别以碰撞前后的速度关系和碰撞过程中的动量关系建立了n e w t o n 碰撞定律。碰撞前后的动量遵循动量守恒定律，而碰撞前后的质体之间的速度差 由恢复系数r 来确定。在经典的瞬间碰撞规律中，恢复系数被认为是一个只与碰 撞物体的材料性质相关的常数，其数值一般依赖于实验结果。 描述碰撞问题的第二种方法所建立的模型称为连续模型，它将碰撞的持续时 间考虑进来，并基于连续介质力学研究碰撞过程中的力位移关系。这种方法将所 有参与碰撞的柔性构件都处理为连续体模型，能够考虑碰撞产生的瞬态效应，分 析构件的动态强度，也能够分析受重复碰撞影响的系统的长期非线性动力学行为， 但是这在理论和数值分析上都面临着很大的困难。针对这一情况以及研究对象的 特性，本文采用第一种方法研究冲击振动落砂机基座和铸件之间的碰撞。 1 4 碰撞振动系统研究历史 对碰撞振动现象的研究已经有5 0 多年的历史了，其中对刚体碰撞振动模型的 研究大多是基于弹跳球问题模型的。弹跳球问题( t h eb o u n c i n gb a l lp r o b l e m ) 研究 的是只受重力作用的弹跳小球与一个做简谐运动的平台做反复碰撞的动力学行 为。虽然这是一个简单的动力学系统，但研究者们发现了很丰富的动力学行为。 如z b i g n i e w 等人【l5 】对弹跳球问题做了数值计算和实验，发现了长周期运动。j n s c h u l m a n 1 6 】甚至发现一个简单的分段线性系统也存在着与高阶非线性系统相类 似的混沌现象。这些研究虽然大多只是描述性的，其研究方法局限于数值模拟或 是实验观察，但碰撞振动系统展示出的非线性动力系统特有的动力学行为吸引了 很多研究者的兴趣。h o l m e s 最早用数学方法证实了简化的弹跳小球碰撞模型存在 倍化序列与马蹄现象，揭示了碰撞中混沌的存在。接着s h a w 和h o l m e s 1 。7 1 9 l 又从 现代动力系统观点研究了间歇激励下有约束的振子，特别是刚度无限大时的冲击 振子。这些工作奠定了现代动力系统理论在碰撞振动研究中的重要地位。此后， 很多学者沿用这种基于几何观点的数值方法来研究碰撞动力学问题。 国内也对碰撞振动系统做了深入的研究。罗冠炜，谢建华等人引入了一系列 机械碰撞系统【2 0 2 2 1 ，探讨了冲击振动落砂机的周期运动、稳定性以及各种分岔和 混沌的动力学现象。文 2 3 】提出了一种不需要求特征值就可以判断h o p f 分岔临界 参数的代数准则并应用这一准则直观的反求出了一个离散系统的临界参数区域。 文献 2 4 】提出了类似的周期倍化分岔和h o p f 分岔的代数判据，并将其应用到一个 两自由度碰撞振动系统中。文献 2 3 2 4 的工作已不再满足于单纯的动力学现象的 研究，转而考虑碰撞振动系统的各种复杂的动力学行为产生的机理，试图从理论 5 碰撞振动系统临界分岔参数的确定以及不变圈幅值分析 上进行解释。而这些基本层次上的机理性的探讨是碰撞振动系统的控制理论和方 法的奠基性的工作。 碰撞振动系统的分段连续的特殊运动特性使得其控制方面的研究面临很多未 知的问题和挑战。但是很多学者已经做出了许多有益的尝试。s h a w l ”j 研究了受简 谐激励的单自由度碰撞振子混沌运动的控制问题，通过在激励中附加适当的高频 项，使系统镇定于某个周期轨道。t a n a k a 等【2 6 】阐述了传统阻尼器不能抑制碰撞振 动的原因，在文【2 7 】中利用附加阻尼振子质量系统，采用半主动阻尼来抑制冲击 振动。w e g e r 等【2 8 】给出了将一类单自由度碰撞振动系统的一维简化映射的混沌轨 道控制成周期轨道的方法。胡海岩【2 9 】论证了o g y 方法的可行性。在文 3 0 】中以预 紧弹性约束的振子为例，将极点配置思想推广到分段线性化映射的分区极点配置， 构造出一种分段线性反馈策略来控制混沌。l e n c i 等研究了倒立摆碰撞振动系统 的非线性动力学特性和混沌控制问题，文 3 1 通过避免同宿相交，引入m e l n i k o v 方法进行理论研究。文 3 2 1 进行了数值模拟，并进一步在文 3 3 】中采用优化反馈策 略，对不同动力性态的要求用两种不同方法实现控制。虽然这些尝试都各有优点， 但是这些控制方法一般都是针对具体的碰撞振动系统而设计的，很难应用到其它 的碰撞振动系统中去。而且大部分对碰撞振动系统的控制还停留在简单的对其周 期运动的镇定上，控制目标单一。 1 5 本文的研究背景及意义 本文的研究工作以国家自然科学基金项目碰撞振动系统庞加莱映射的h o p f 分岔反控制研究为基础。此项目是传统的单纯研究h o p f 分岔的动力学机理的 逆问题，即主动利用h o p f 分岔的非线性特性，在指定的系统参数点，通过合适 的控制方法，设计出碰撞振动系统庞加莱映射的h o p f 分岔，使系统产生稳定的 拟周期运动。本文研究了其参数空间内的稳定域和临界参数边界，并用中心流形一 范式的理论对碰撞振动系统的分岔机理做了研究，为此项目的研究做出了有益的 尝试。 1 6 本文所做的工作 本文主要做了碰撞振动系统的周期倍化临界分岔参数区域的分析以及碰撞 振动系统h o p f 不变圈幅值的理论分析。具体做了以下几个方面的工作： 1 建立了冲击振动落砂机的力学模型，引入了周期运动、庞加莱映射以及不 动点的概念；并讨论了不动点处的雅克比矩阵。 2 以s c h u r c o h n 准则为基础，建立了高维映射( 离散) 系统的分岔代数准则。 以这一代数方法为基础，结合数值搜寻方法确定了冲击振动落砂机的稳定的参数 6 硕上学位论文 域及其分岔临界边界。 3 对冲击振动落砂机系统在分岔临界点附近的动力学行为做了一系列的数 值模拟。构建了以碰撞振动系统在不动点处的泰勒展开式为迭代式的近似系统， 对这一近似系统和仿真系统的动力学行为做了对比研究。 4 在中心流形范式理论分析的基础上提出了一种坐标逆变换的方法。这一 方法可以确定高维映射系统的h o p f 不变圈的幅值范围。把这一方法运用到了四 维冲击振动落沙机模型中，对其不变圈的幅值范围做了理论分析。 7 碰掩振动系统临界分彷参数的确定以及不变圈幅值分析 第2 章惯性式冲击振动落砂机模型建立 在铸件的生产过程中，落砂是一个必不可少的环节。惯性式冲击振动落砂机 是一种应用广泛的利用振动及碰撞原理进行落砂的设备。其落砂原理是落砂机在 振动过程中铸型在基座上被抛起，铸型回落后与基座发生碰撞，经过反复的碰撞， 把铸砂振散，使型砂与铸件分离。基座的运动是依靠偏心轴的偏心距回转所引起 的简谐运动。惯性式振动落砂机是一种典型的机械碰撞振动系统。目前已有很多 文献对其做了理论分析和数值模拟，发现了其丰富而复杂的动力学行为。惯性式 冲击振动落砂机是一个既有工程应用价值又有理论分析价值的机械碰撞振动系 统。本章将建立起其力学模型，为进一步的动力学行为的研究作理论上的准备。 2 1 基本理论 本节引入了线性映射和雅可比矩阵的概念；介绍了映射不动点及其稳定性的 概念。给出了一次近似理论。然后介绍了庞加莱截面法。本节的内容构成了碰撞 振动系统周期运动稳定性判别方法的理论基础。也给出了本文所使用的基本术语。 2 1 1 高维映射的基本理论 稳定性是动力系统的研究中最基本的内容之一。有了它做前提才能进一步研 究其它更加复杂的动力学现象。对于连续系统，已经有李雅普诺夫稳定性的定义 以及判别系统稳定性的定理。而对于离散的高维映射动力系统，也有类似的对稳 定性的定义以及稳定性的判别方法。 设厂：q 寸r 一是尺刀中开区域q 到r 一中的可微映射，x o q 是厂的不动点，即 厂( x o ) = x o 考虑在附近的动力学行为时，需研究线性映射 l ：r 一专r 一，厶= 血 式中，a = ( 可叙) l 是厂在点的雅可比矩阵。 定义2 1 设彳为刀刀阶矩阵，如果l i r aa 一= 0 ，则称彳为稳定阵。 # i - - ) o o 定理2 1a 为稳定矩阵的充要条件为其谱半径小于1 ，即 p ( 彳) = m a ) 【( f = 1 ，) 0 ，存在万 0 ，对任何刀0 ，有厂 ( 易( ) ) c 眈( ) ， 则称不动点是稳定的，其中易( 蜀) = x r 一：x k 4 0 ，当x 易( 扎) 时，厂一( x ) = x o ，则 称是渐近稳定的。 考虑映射 ，= a x + g ( x ) ( 2 2 ) 式中，彳为r xr l 阶矩阵；x r 一；g ：q r 一为连续函数，q 为含足以的开区域，且 g ( x ) = d ( x ) ，即对任何g o ，存在万 o ，当0 x 0 万时，i i g ( x ) l l 夕( 臼) 时，基体和铸件会发生碰撞。做一个基座与铸 件的位移差函数，表达式如下： g ( o ，x ，戈，夕，f ) = x ( o ，x ，贾，f ) - y ( o ，x ，夕) ( 2 2 5 ) 当g 第一次穿越0 值时基座和铸件发生第n + 1 次碰撞，设秒为式( 2 2 6 ) 的最小 根。 g ( o ，x ，戈，夕，r ) = 0( 2 2 6 ) 则在矿时刻，即碰撞后的瞬时，考虑到位移的连续性以及速度会遵循式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 发生突变，系统状态量变为： = x ( o + ，x ，戈，彳) = x ( o ，x ，量，f ) = z ( 乡，x ，童，f ) ( 2 2 7 ) 拈矾埘川确蜥川= 筹加一 如) + 等朋一( 2 2 8 ) 蜘肌硝川琉蜥川= 篙戈( o - , x , j q r ) + 等即一泐( 2 2 9 ) 矿时刻的初相位角将变为： f 7 = 0 + r ( m o d 2 x )( 2 3 0 ) 如果有一个点( p ，x ，戈，夕，f ) 1 满足式( 2 2 1 ) ，式( 2 2 3 ) 以及式( 2 2 6 ) ，并且 q ( o , x ，安，j c ，f ) = 宕( 毋，x ，文，0 - 5 , ( 0 , 茗，夕) 0 ( 2 3 1 ) 根据隐函数存在定理，( 2 31 ) 式可以局部的把秒确定为x ，膏，夕，f 的隐函数，表 示如下： 0 = o ( x ，戈，夕，f )( 2 3 2 ) 把式( 2 3 2 ) 代入式( 2 2 7 ) - ( 2 3 1 ) ，可以得到一个四维映射： f ：t a 寸r 3 x t l ( 2 3 3 ) 其具体表达式如下： x = 石( x ，j ，夕，f ) = 石( 秒( x ，文，夕，f ) ，x ，戈，f ) 戈= 以( x ，戈，夕，r ) = 五( 目( x ，膏，夕，f ) ，x ，文，夕，f ) 夕= a ( x ，戈，夕，f ) = a ( o ( x ，戈，j c ，r ) ，x ，戈，夕，r ) ，= ( x ，文，夕，f ) = o ( x ，文，夕，r ) + r ( m o d 2 x ) ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 其中q 是一个单连通的开区域。 这样，如果知道了第r 1 次碰撞后的系统状态和相位角，那么通过厂就可以求 出第n + 1 次碰撞的时刻以及碰撞后的系统状态值和相位角。同样，由第n + 1 次碰 撞后的系统状态值和相位角可以求出第n + 2 次碰撞的时刻以及碰撞后的系统状态 值和相位角。由此就建立了一个四维的可迭代的映射，记系统参数值为r 珊， 记此映射的形式为： 以+ l = f ( a ，以) ( 2 3 7 ) 这可以看作冲击振动落砂机分段连续的相轨的庞加莱映射。其庞加莱截面为 1 2 硕上学位论文 o r ，g rcr 4x s ，定义o r ： ( x ，膏，y ，岁，口) r 4xs ，x = y ，文= t ，夕= 几 。这个庞加莱截面 和传统截面的取法的不同之处在于此截面并不是相空间内的一个静止的截面，它 在每一次碰撞点处截取系统的状态量从而产生庞加莱映射点，而不是静止不变的。 如果存在一个点 ( 2 m r ，x o ，岛，丸，t o ) 7 t 1 r 3x t l ( 2 3 8 ) 满足式( 2 2 6 ) 和式( 2 3 2 ) ，并且满足 x o = f l ( 2 n r t ，x o ，如，) 岛= ( 2 n 7 r ，x o ，岛，y o ，) ( 2 3 9 ) 多q = ( 2 m r ，x o ，i o ，多o ，t o ) 那么x o = ( 翔，粕，如，t o ) 7 r 3x t l 就是映射( 2 3 7 ) 的不动点，记为f ( x o ) = x o ， 其表达式可以用系统参数解析的表达出来1 4 】： x o = - 2 r c z r i c o e l y d 0 2 + ( g 一1 ) 2 + s i n ( t o ) 岛= ( 1 2 r l r r ) e l z t ( 1 + r ) 0 0 = q 万 ( 2 4 0 ) 一o s - 1h 警+ 篙鲁等 ) 此不动点的周期为2 k 万l c o 。这个周期运动的稳定性等价于不动点的稳定 性。而的稳定性取决于映射式( 2 3 3 ) 在粕处的雅克比行列式： d f ( x o ) ( 2 4 1 ) 根据高维映射的一次近似理论，如果巧( 粕) 所有的特征值都在单位圆的内 部，那么不动点就是稳定的，周期为2 k z c l c o 的运动也相应的是稳定的。但是如果 有特征值穿越单位圆，那么周期运动就会失去稳定性，而且有可能会产生分岔。 这方面的讨论见下一章。 由于巧( ；c o ) 内含有中间变量乡，根据隐函数求导法则，d f ( x o ) i 行j 列的元 素的求法为； a g 瓦i f , = 嚣鸶+ 考 c 考一鲩， c 2 3 9 ， 瓠j8 e 瓠j 瓠j、敏jq 。 、j 最后考虑不动点的存在性。由式( 2 3 3 ) 知不动点托姐) 的一个分量是一个反 余弦值。如果存在，那么e o s ( r o ) 的绝对值必须比1 小，所以不动点存在的条 件为： l q 万c 等+ 三；饕芝黼 l - c 2 4 。， 这说明碰撞振动系统的不动点并不是在任何情况下都是存在的，只有当系统 参数满足一定的约束条件才会存在。 1 3 碰撞振动系统临界分俞参数的确定以及不变圈幅值分析 2 3 小结 本章引入了高维映射的稳定性和不动点的概念，介绍了一次近似理论；建立 了冲击振动落砂机的力学模型，引入了周期运动、庞加莱映射以及不动点的概念； 并讨论了不动点处的雅克比矩阵。这些为后面三章的内容做了理论上的准备。 1 4 硕士学位论文 第3 章分岔临界参数区域的理论分析 传统的确定分岔临界参数值的方法一般是在参数空间内进行逐点的数值搜 寻。碰撞振动系统一般都是多参数的高维系统，用数值搜寻的方法有很大的盲目 性，而且非常耗时。针对这一问题，本章旨在找到一个不需要直接求特征值具体 表达式就可以确定分岔临界参数区域的方法。 3 1 确定分岔临界参数区域的代数方法 考虑一般的聆维映射 x i + l = 无( x t ) ( 3 1 ) 其中魂+ l ，x k r 一是状态矢量，k 表示迭代指标，尺”是系统参数。 定义3 1 对于映射( 3 1 ) 如果在参数域r ”内存在一个区域r ，其内任意一个参 数点处都存在一个不动点o ) ，并且扎) 都是渐进稳定的。则称区域r 是无的 一个稳定域。 映射( 3 1 ) 的不动点失稳和分岔模式是由其在不动点处雅克比矩阵的最大特 征值穿越复平面上单位圆的方式确定的。以下引理l 和引理2 分别定义了周期倍 化分岔和h o p f 分岔产生的条件。 引理3 1 删 设映射无存在一不动点x o ( ) 。当且仅当下列条件( c 1 ) ( c 2 ) 满足时周期倍化分岔在= 从处发生： ( c 1 ) 特征值分布条件： 在= 以处，映射厶的雅克比矩阵坼( k ) 有一个特 征值是- 1 ，( 即a ( 心) = - 1 ) ，而其余特征值旯，( ) ，j = 3 9e 9 n 都位于单位圆内( 即， h ( 肌) l 0 ( c 2 ) ( 一1 ) 一p 血( 一1 ) 0 ( c 3 ) 如下两个胛一1 阶方阵 士_ l ( ) = a n 00 a n 一1a 一 ： i 0 口2一1a n f ，0 0 1i 。a 0 土10 l ( 吻巧 a o 口l ： a n 一2 是内向正定的。 可以看到s c h u r - c o h n 准则用特征多项式的系数构造的一些不等式来判断特 征值是否位于单位圆的内部。本章将利用s c h u r c o h n 准则确定参数的稳定区域以 及分岔临界参数区域。 设特征多项式中模最大的特征值为k a x ( ) ，满足： l 厶戤( ) i = m a x ( 1 以( ) i ) ，( f = 1 ，2 ，v ) ( 3 3 ) 由于a ( ) 是连续依赖于的，根据数学分析的知识可以知道a x ( ) 也是连 续依赖于的。在以下的讨论中设r 2 。 假设在r 2 内存在这样一个单连通的开区域d ：d 内的任意一点都满足引理 3 3 的条件( c 1 ) 、( c 2 ) 和( c 3 ) ，并且不动点存在。则根据引理3 3 ，在d 内i k 腻( ) i 0 ，n = o ，1 ，2 ，3 ，4 的前提下， 确定不可延拓稳定域边界的条件可以表述为： ( e 1 ) ：1 一a l + 口2 一a s + a 4 = 0 1 8 硕七学位论文 ( e 2 ) ： 1 + a i - i - a 2 - i - a s + a 4 = 0 ( e 3 ) ：i a 2 一a 2 a 4 + a 4 一司+ a 4 a 2 一a l a s l = a 2 a 4 一a 2 a 2 + 1 一露+ a l a s a 4 一