（微电子学与固体电子学专业论文）静电驱动mems变截面梁系统级建模方法研究.pdf

摘要 m e m s 器件的几何形状非常丰富与复杂，不同的几何形状为器件应用提供了有利的支持。本论文 所重点研究的变截面双端固支梁，利用中间的大面积区域制作l 心开关、光开关以及可交电容器关键 结构，并利用两端支撑的细梁减小和控制了器件的驱动力。对这类变截面双端同支梁建立系统级等效 电路宏模型具有重要的应用价值与研究价值。但是，对这种变截面的特殊结构建立系统级模型面临较 大的困难，主要的问题是这类结构的两维效应不可忽略，传统的l 司支梁一维模型存在着难以接受的大 误差。 论文的主要t 作围绕双端固支变截面梁的两维效应在模型中的处理开展研究。具体的研究对象是 静电驱动变截面梁，几何形状为中间宽两边窄的突变截面结构。以基本力学描述为基础，以等效电路 为工具，以机电耦合m e m s 器件的共性分析方法为核心开展研究。 论文工作首先利用有限元工具对双端崮支变截面梁因宽梁部分几何尺寸变化而导致的两维形变进 行分析与归类，总结出宽梁尺寸与两维形变之间的关系。接着研究了因忽略两维形变而导致的模型误 差，对丁采用一维近似所建立的等效电路宏模型利用s p i c e 进行静态和动态模拟，将模拟结果与有限 元的分析结果进行对比，对比结果表明一维近似模型存在着非常大的误差，最人误差接近5 0 。 在两维效应和尺寸关系分析以及一维模型建模方法分析的基础上，论文总结了产生误筹的三个方 面的因素：支持力的忽略，形变试函数的误筹，变截面处的二维效应。并针对这三个方面的问题进行 了研究，对一维模型进行了修正，建立了考虑两维形变效应的新的等效电路宏模型。 除进行理论工作外，本论文的研究t 作还包括了实验设计、流片与测试分析。 将本文所建立的新的静电驱动双端| 嗣支变截面梁等效电路宏模型采 j is p i c e 进行系统级模拟，包 括转移特性分析，时域特性分析和频域特性分析。采用商h j 软件c o v 饥t o f w 卸e 中的有限元模拟工具 c o s o l v e e m 进行同类型仿真，对所得到的相关数据进行对比验证，并利用激光多普勒测振仪对实验样 品进行测试，对比分析结果表明，本文所建立的系统级等效电路宏模型的误差均小于1 0 。 关键词：m e m s 器件，变截面梁，两维形变，误差，等效电路宏模型 a bs t r a c t t h eg e o m e t r i cs h a p co fm 匮m s 出v i i sv a r i o 璐a n dc o m p l 麟，d i f l 研ts 咖c t u r 髓p r o 访d ev a l m b l e 跚聊n sf o r 如n c t i o 觚ld c v i c 髓t h i sp a p 叮舭u s 嚣t l i e 谢a b l ec s s s e c t i 叽缸e d 6 x e db e 锄，o f 砌c h 也eb i gc c i l 舰l 他百0 nh 嬲b e 懈e df ；盯t h e 砸t i c a lp o n i o no fr fs 慨t c h e s ，o p t i c a ls 谢t i c h 懿，a i l dv 积a b l e c a p a c i t o r o nb 0 ls i d 鼯，t h em i nb 咖h 淞b e e i la p p l i e dt or e d u 勰dc o n 缸o lt h e “啊n gf 0 r c eo fm ed e 啊c e t h es y s t e m 1 e v e le q u i v a l e n tc i r c u i tm a c r o m o d e lo ft h i sv a r i a b l ec r o s s s e c t i o nf - e d f i x e db e 锄h a sa s i g n i f i c a i l ta p p l i c a t i o na i l dr e s e 卸c hv a l u e h o w e v c eb u i l d i n g 跚庙am o d e lf a c g d i 衢蕊l l t i 7 i h em 如 p r o b l 锄i st h a tm et w o d i l i l e n s i o n a le f f t so ft h i ss 仃u c 嘁c a nn o tb ei 霉l o r e d s ot l l e t r a d i t i o n a l o n e d i m e n s i o n a lm o d e lo ff i x o d f i 】【e db e 锄c a nn o ta c c 印tf o ri t sl m 眢ea t 0 rt h ew r 0 呔i l l u s 仃a t e st h e t w o _ d i m e n s i o n a le 珏c c to ft h e r i a b l ec r o s s s e c t i o nf 改e d f - e db e a mi i l d i c a t e db yt h em o d e l t h es p e c i f i c o b j e c to fr 镪e a r c hi st h ee l e c t r o s t a t i c d i i v e nv a r i a b l ec r o s s s e c t i o nb e 锄，o fw h i c hm eg 咖谢；s h a p ei s n a n d w0 nb o t l ls i d 懿锄d 丽d ei nt l l em i d d l e b a s e d t h em e c h a n i c s ，u s e dt h ee q u i v a l e i l tc 沁u i ta l sat 0 0 1 ， 、张c a r r yo nt h er e s e a r c hb ym ec o m m o n 锄a l ”i c a lm e t l l o d so fe l e c 仃姗e c h a n i lc o u p l i n gm e m sd e v i c e s 。 a tf i 璐t ，t h ef i n i t ee l 锄e n tm e t h o d ( f e m ) t o o li su t i l i z e dt oa i l a l y s i sa i 订c l 硒s i f i t 、o - d i m e n s i o n a l d e f b r m a t i o no ft h ef e d f i x e dc r o s s s e c t i o nb e 锄c a u s e db yt h es i z eo fw i d ep a r tc h a n 星弦s t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h et w o d i m e n s i o n a ld e f o 姗a t i o na n dt h es i z eo fw i d eb e a mh a sb e e ns u m m 撕z e d t h e nm em o d e l e 盯o rd u et 0 l en e g l c c to f 柳o _ d i m e l l s i o n a ld e f o 册a t i o nh 船b e 即c a l c u l a t e d b yu s i n gs p i c et 0c a n y 伽m e s t a t i c 狮dd y i l a m i cs i n m l a t i o na b o u to n e d i m e n s i o n a la p p r o x i m a t i o ne q u i v a l e i l tc i r c u i tm a c r o m o d e l ，m e s i m u l a t i o nr e s u l t sw e r ec o m p 删w i t hf e ma i l a l y s i sr e s u l t s m e a s u r e m e i l ts h o w sm a tt h e r ei sah u g e 哪r e x i s t i n gi no n e d i m e n s i o n a l 雒，p r o x i m a t i o nm o c i e l ，w h i c hi t sm a x i m u m v a l u ec a nr e a c hn e a r l y5 0 b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et 、v o d i m e n s i o n a le f f e c t 自o mt l l es i z eo ft h eb e a m a n do n e - d i m e n s i o n a lm o d e l i n gm e m o d ，t h i sp a p c rh a s 跚m m 撕z e dt h r e et y p e so fe r r o l l s t h ef i r s tf a c t o ri s 伽i t t i n gt h es u p p o r t i v ef o r c e 锄d 觚o m e ri sm o d i f i c a t i o no fd e f o m a t i o n c t i o n f i i l a l l 弘m o d i m e n s i o n a l e 仃酏t si nv a r i a b l ec r o s s s e c t i o fb e a ms h o u l da l s ob ei n c l u d e d c o n s i d e r i n gt l l e s em r e et y p e so fe r r o r s ， o n e - d i m e n s i o n a lm o d e lw a sm o d i f i e dt 0m en o v e le q u i l e n tc i r c u i tm a c r o - m o d ew h i c hi i l v o l v e do f t 、) l ，o d i m e n s i o n a ld e f o m a t i o n 碰e c t i i la d d i t i o nt ot h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，m i sp a p e ra l s oi i l c l u d e se x p 商m e n t a ld e s i g n ，f - a b r i c a t i o na n da n a l y s i s o ft h em e a s u r i 湘e n t t h en e ws y s t e m 1 e v e ls i m u l a t i o no ft h ee q u i v a l e n tc i r c u i tm a c 如l - m o d e lo ft l l ee l e c t r o s t a t i c 蹦v e v a f i a b l ec r o s s s e c t i o nf i x e d - f i x e db e a mw a su t i l i z e db ys p i c e ，i n c l u d i n gq u a s i s t a t i ca n a l y s i s ，a i l dn e q u e n c y c h a m c t e r i s t i ca n a l v s i s t h ef e mt o o lc o s o l v e e mm o d u l eo fc o m m e r c i a ls o n w a r ec o v e n t o v a r ew a su t l i z e d t oe x e c u t ec o n g e n e r i cs i m u l a t i o n c o m p a r i n gn l er e l e v a n td a t a6 o ms p i c es i m u l a t i o n ，l a s e rd o p p l e r v i b r o m e t e r ( l d v ) i sa l s oa p l a y e dt ot e s tt h es a m p l e sa n dt h ec o m p a r a t i v ea j l a l y s i so fr 豁u l t sd e m o n s t r a t e s t h a tt h e 咖ro fn e ws v s t e l l l 1 e v e le q u i v a l e i l tc i r c u i tm a c r o m o d e li sc o n t a i n e db e l l o wt h a nl0 k 田w o r d s ：m e m sd e v i c e ，v a r i a b l ec r o s s s e c t i o nb e a m ，m o d i m e n s i o n ad e f o 咖a t i o n ，e n o r ，e q u i v a l e n t c i i c u i tm a c r o m o d e l l l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 研究生签名： l 。 坌i 查二日期：主：三王：! ：! 里 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 j 研究生签名：丝l 奎二导师签名： 第一章绪论 第l 章绪论 1 1 静电驱动m e m s 变截面梁的结构 与传统的等截面梁( 如般端固支粱，悬臂粱) 在x 方向保持界面不变相比，变截亟粱随着x 的变 化，粱的宽度发生渐变或突变。例如十字粱( 图l 1 ) ，双十字粱( 图1 2 ) ，、# 十字粱( 图l 一3 ) 等。 吲1 3 甜限元樱艰r p 的n 斗字梁 这些变截面桀在受力作川肝产生的形变闻其结构的两维性而与等截面粱不同。幽1 4 羊1 5 分别 给出了等截而繁和蚓l 一1 所示的变截而粱受力后的形变h ，程然等截面粱庄y 方向的形变忙常小， 儿于不可分辨而变截咖桨且竹明显的两维形，吏。冈此，在m e m s 器卧建模1 ，模拟中，常常将等截而 粱进竹维近似。 东南大学硕士学位论文 由圈1 4 可以看出 幽1 三维形变酗 但在变截面梁中，同样的x 坐标，v 方向的形变变化相当明显，不能忽略不计，我们将在第二章 中详细计算由于二维效应带来的误差。 12 静电驱动m e m s 变截面梁的典型应用 静电驱动变截面尉支粱被j 泛用于可变电容、光开戈以及r fm e m s 开芙等器什中 目1 6 微机械光开光的结构示意翻 图1 - 6 为2 2 微机学光开哭的结构1 、意阿，微反射镜_ fl 咀极迕住一起，在没有叱压输入时，上 i u 极的忙置不动，微反射镜处住光通路上，从入射光纤发出的光被微反射镜反射，改变方向 i 进入刘 镜面同侧的射光纤中。这址开荚的反射状态。当上i u 极和 、l u 极2 间有l u 压输入时，入射光“ 卣 第一章绪论 线传播进入前方的出射光纤这是开光的直通状态。 图1 7 基丁c p w 的般端同支r fm e m s 开关的结构示意图 圈l - 7 为职端固支梁做r f 开关，但是只考虑了x 方向的形变，而忽略了v 方向的，这有可能使开戈吸 合电压带来误差。 咀俄 图1 8 m e m s 光开关扭臂驱动静态结构瞄 幽l 显示了微反射镜开荒的模l q 示意圈，微反射镜由两根扭臂支持，整个结构再由链接它的两 个锚区支持。在微镜r 方有两块电极，当在微镜与一个电极之间施加电压时，微镜在静电力作川下开 始以相反方向旋转，这样可以实现控制光输入输出角度的功能。 旧1 9 可变微l u 容结构削 幽l9 显示了个可7 l 微l u 择器的结构，1 1r 极扳移动f 簧肘t 、f 撇板间距肚十变化，从町 3 东南大学硕十学位论文 电容的大小发生变化，左右采用细梁作为支撑可以有效地降低驱动上极板运动所需施加的外力。 1 3 两维效应对m e m s 器件性能的影响 对具有变截面结构的器件进行分析时，设计者往往假设梁的中间部分是平行运动的，因此采用一 维梁近似，在一定的尺寸范围内，这种近似具有一定的适崩性，但随着宽梁部分的尺寸变大，误差也 越来越大。实际上，不仅仅是变截面梁，即使是等截面梁，随着梁的宽度增加，由于梁的抗弹性扭曲 作用，梁的中间部分在x 、y 两个方向会出现不同程度的弯曲【4 j 。基于平板的设计值和实际值并不一致， 从而导致计算误差和非线性效应。关键原因是平板近似中仅考虑了器件在x 方向的弯曲，假设在y 方 向上没有弯曲，使得器件模型不够精确，产生较大的误差。 如图l - 6 ，1 8 所示的光开关，如果出现二维效应，将使光的反射发生偏移。如图1 9 所示的可变 电容中的变截面梁，如果忽视二维效应，将在建立模型，计算下拉位移及估算谐振频率发生较天的误 差。 1 4 本论文的主要任务与工作 本论文主要研究了静电驱动变截面梁的系统级建模与模拟，提出了基于力学描述的m e m s 器件等 效电路建模方法，建立了变截面梁的等效电路宏模型。在人量分析的基础上，论文总结了一些规律， 为器件尺寸选择提供了必要的设计依据。 为了对器件的行为特性获得更加精确的预测，本文研究了变截面梁的尺寸比值对器件形变的影响， 在对变截面梁两维效应分析研究的基础上，建立了针对具有两维特征的变截面梁的力、电耦合等效电 路宏模型，并设计了实验结构、版图，采用表面微机械加丁技术试制了样品。将所建立的等效电路宏 模型采用s p i c e 进行系统级模拟，同时，为验证模型的正确性与精确性，本文还利用c o v e n t o r w a r e 的 有限元t 具c o s o l v e 与系统级模拟工具s a b e r 对相关结构进行了模拟。经过模拟、对比和验证，结果 表明，本论文所建立的等效电路宏模犁的模拟精度较一维近似具有了很大的改善，误差在1 0 以内， 而等效电路宏模型的模拟效率远远高丁有限元。 论文第一章介绍变截面在m e m s 器件中的运用，指出以往模型忽略了其二维效应。 第二章介绍了本论文的理论基础：利州受力分析、能鲑原理和牛顿第二定律等理论建立描述静电 驱动m e m s 器什动态特性的信号流图。 第三章中，我仃j 指出了在m e m s 器件的设计中，变截面梁的二维效应在某些情况下不应该被忽略。 通过c o v c n t o r w a r e 软件测量了梁的形变，并依此计算了忽略二二维效应所引起的误差，指出了这种误差 在何种情况下虑当予以考虑。进一步研究可使设计者能够选择合理的尺寸结构，建模时能够有效地改善 横向拉伸效应带米的精度不佳问题。 第四章将系统级建模方法应用于具有二维特征的变截面同支梁，建立起变截面梁的等效电路宏模 型，将模拟结果与c o v 饥t o r w a r e 相应的模拟结果进行对比，并分析了该模型的误差：支持力的忽略， 型函数的选择，以及二二维效应的存在。在此基础上，根据误差来源对模璎进行修i e 。最终得剑了误差 较小的模型。 第五章则通过实验，用多普勒仪测鼙的结果，分别与等效i 色路宏模型，c o v e n t o r 模拟的数据进行 对比。 第人章对本论文作出了总结，并提出了今后研究，i ：作的建议。 4 第二章静电驱动m e m s 器件的等效力学图像1 j 等效信号流程 第2 章静电驱动m e m s 器件的等效力学图像与等效信号流程 本章着眼于m e m s 器件工作的物理机理，通过受力分析归纳出机电耦合m e m s 器件所共有的力 学图像，并依据牛顿运动定律，以信号流程图的形式描述静电驱动下m e m s 器件的基本工作原理 2 1 静电驱动器件的受力分析 图2 1 为典型的静电驱动m e m s 器件示意图。当电压加在上下极板间后，由于静电吸引的作用上 极板向下弯曲2 1 ，梁受静电力所产生的的形变同时导致了结构产生弹性回复力，这个力试图抵抗静电 力的作用，当静电力等于因形变所产生的弹性回复力时，结构达到一个新的平衡，因此，如果静电力 是大小是变化的，则新的平衡位置不断产生，如果静电力是交变的，则梁将发生振动。显然形变是 分析结构状态的关键因素，通常假设器件按照一定的形函数关系x ，y ) 发生形变。 图2 1 静电驱动器件示意图 从能量角度1 3j 来看，器件的上极板在静电压作用卜产生了静电势能，极板弯曲后又产生了弹性形 变能，如果不计形变过程中的空气损耗，那么能量将在静电势能与弹性形变能以及动能之间相互转换， 成为一个能量守恒系统，这样就可以建立基于能量法的宏模型。但实际上由于器件的尺寸在微米量级， 工作时( 特别是动态分析中) 的空气阻尼作用不容忽视，需在上述基于能量法建立的宏模型基础上考 虑空气阻尼的作用，这样就可以得到较为精确的宏模型。在静电激励作h j 卜，分析该类器件的受力情 况可知，它总是受到三个力作用：极板间的静电吸引力、上极极抵抗弯曲的弹性同复力以及极板在运 动过程中受到的空气阻尼力，如图2 _ 2 所示。 2 2 力学表达式 运动方向 图2 2 静电驱动器件受力分析 下面简单介绍如何得到这三个力的解析表达式。假设该类器件按照“z ，y ) 的形式发生形变， 以x ，y ) 被称为形变试函数，它是与设计者所关注的关键点( 如悬臂梁的臼由端，薄膜的中心点) 位移 d 相关的函数，这个关键点何移就是器1 ；，l ：的纵向最人位移，也是本论文静态和动态分析的对象。虽然 5 乐丽大学坝士字位论义 m e m s 器件实际是一个分布参数系统，但分析中希望将其转换为等效集总参数来考虑。因此，这个所 谓的关键点就是将分布系统问题等效为集总系统后集总力作用的位置。 首先是静电吸引力，为了方便描述，这里静电能考虑的是系统的静电共能以。参照平行极板纵向 相对运动机电换能器的静电力学分析，单位面积的电容为 犯：鱼塑( 2 1 ) g + ( 工) 其中，a 为单位面积，g 为上下极板间距，w 0 ( 功为假设的形变试函数。那么系统的静电共能为 睁导肛= 字# 眨2 ， 矿是输入激励。卡氏第一定理【5 1 ( c a s t i g l i a n o st h e o i e mi ) 认为，在分析弹性体位移时，若弹性体上作 用有n 个力，在它们的共同作用下沿每个力方向的位移为4 ，那么应变能对该位移的偏导数等于造成 这个位移的力。因此，可以等效地认为系统静电共能所产生的静电吸引力为 屁：堑( 2 3 ) 拟 然后是弹性同复力，根据弹性力学理论【6 1 可知，各向异性材料弹性体的能晕密度函数为 矿= 高( + + 2 暇沙詈砖 泣4 ， 这里考虑的是平面应力状态。其中，e ，y 分别是材料的杨氏模量和泊松比；，q 分别是z y 方向 的正应变；g ：兰一为剪切模量；是关于硼方向的剪切应变。通常，占是与“x ，j ，) 有关的函 2 ( 1 + y ) 1 数。那么，整个弹性体所存储的弹性势能胁为矿在整个体积内积分。同样由r 氏第一定理得到系 统弹性势能所产生的弹性【亓i 复力为 砌：丝矗 ( 2 5 ) 最后考虑空气阻尼力。影响静电驱动m e m s 器件运动的空气阻尼效应主要是压膜阻尼 ( s q u e e z e f i l md a m p i n g ) 。首先利h j 雷诺方程【7 】( r e y i l o l d se q u a t i o n ) 解出空气膜压强p 似在单位面 积上的分布，然后将其在器件的整个平面上积分便得到空气阻尼力 c = i p ( x ，y ) 幽 ( 2 6 ) 至此，静电驱动m e m s 器仆运动时所受的三个力的解析表达式已经全部求得，针对具体器什的详 细推导过程将在后续章节讲解。接卜米借助牛顿第二定律和反馈机制，用信号流图描述该类器f ，l ：的动 态特性。 2 3 静电驱动m e m s 器件的信号流图 牛顿运动定律是一切宏观运动的基本理论，但实际上，它还是分析m e m s 器1 j ，l ：在负载条什卜静态 6 第二章静电驱动m e m s 器件的等效力学图像与等效信口流程 和动态特性的基础【8 1 因此，本论文借助牛顿第二定律对运动的m e m s 器件进行分析。牛顿第二运动 定律表明：物体的加速度口蹑物体所受的合外力f 成正比，跟物体的惯性质量所成反比，且加速度口 的方向跟合外力方向相同。那么，对上一节分析所得的三个力：静电吸引力、弹性回复力和空气阻尼 力，应用牛顿第二定律可以推导出静电驱动m s 器件在关键点处的加速度 面= 量朋= ( c + c + 乃) 所 上式中力的合成为矢量相加。同时注意到对式2 7 积分可得速度与位移，即 i = 婶t ( 2 7 ) ( 2 8 ) 孑= p 协 ( 2 9 ) 由前面的分析可知，静电驱动m e m s 器件存在着机械和电能域的耦合。根据2 2 节相关理论，等 效静电吸引力是输入电压y 和关键点位移d 、速度，的函数；等效弹性同复力与位移有关；等效阻尼 力与关键点的运动速度成正比。也就是说，器件在运动过程中的位移和速度会对上述三个分力( 有时 还会对集总质量) 造成“影响”，这种影响可以用反馈机制来体现。因此。通过牛顿第二定律和反馈机 制可以得剑描述静电驱动m e m s 器件工作原理的等效信号流酣9 j ： 图2 3 描述静电驱动m e m s 器件运动特性的信号流图 图2 3 的信号流图清楚地描述了静电驱动m e m s 器件工作时的受力情况以及速度、位移对力( 质 量) 的反馈作用。接下米只需将信号流程图转换成相戍的等效电路图，再利用电路分析软件，如s p i c e 川， 对其进行静态和动态特性分析。通过该法建立起来的等效电路宏模型物理意义十分明确，且避免了极 其繁琐的数学运算，精度和效率都很高，适j h ；j 于系统级模拟，并且对大信号和小信号激励均有效。已 有的研究结果表明，这种研究方法几乎适合所有的静电驱动m e m s 器件，只是不同的器件边界条件不 同。所选取的形变试函数从五y ) 不同，冈而力的解析表达式和反馈情况可能不同。后而的章。钳将针对 具体的m e m s 器什详述如何得到等效电路宏模型，如何将其用于器件的静态和动态分析。 7 第三章双端圊支徽机电变截面檗= 雏敏应的研究 第3 章双端固支微机电变截面梁二维效应的研究 3 1 变截面梁的二维形变 第一章提到，静电驱动变截面同支粱( 如图3 i 所示) 被广泛削丁可变电容、光开关以及r f m e m s 开夫等器件中，在进行器件分析时技计者往往假设粱的中间部分是平行运动的，因此采用一维粱近 似。实际上由于粱的抗弹性扭曲作用，粱的中间部分在x 、y 两个方向会出现不同程度的弯曲。基于 平板的设计值和实际值并不一致，从而导致计算误差和非线性效麻。关键原因是平板近似“1 中仅考虑 了器件在x 方向的弯曲，假设在y 方向上没有弯曲使得器什模型不够精确，产生较大的误差。为了 对器件的行为特性获得更加精确的预测本文分析了变截面粱的尺寸比值对器件形变盼影响，总结了 一些规律为器件尺寸选择提供了必要的设计依据”9 1 。 3 2 形变与几何尺寸的关系 凹3 1 为变截面圃支粱的结构示意圈。梁为中问宽，两端窄结构，为中心对称结构。，6 ，l 如分别为窄攀平u 宽粱的长度与宽度。粱厚为 f 电极仅在宽橥区域内存在，上f 极扳间距离为g 驱 动屯压为仉 圈3 1 静电驱动变截面吲支粱的三二维结构示意幽 附3 之结构平u 面幽 渤涵 幽3 3 二维形娈幽 由r 该变截面桨中问部分比两边宽，当驱动l u 劬n 上盯，特刖赴。1 虬较人时绁效应f 分岍轻 南 碗学位* 文 表现为宽粱部分不仅在x 方向上会有形变梯度在y 方向上同样也存在形变梯度。因为作为开关结构 的变截面梁工作于太形变情况这里给出形变图，如图3 3 所示。从图中可以看出形变呈现马鞍型， 宽絷部分在x 和y 方向均出现了弯曲。在相应的形变色筹图中( 圈3 4 ) 将会出现双曲线形式的弯曲。 在目中观察到窄粱部分的色差图在y 方向上基本为直线，即窄粱的形变仅是x 的函数，在y 方向上同 一个x 值基本一致，但宽粱部分的形变色差图不再是直线。而是逐渐出现了双曲线形式的弯曲，这就 表明宽粱的形变是一个关于x 和y 的函数，两维形变使上极板成为一个曲面显然，基于平行板的电 容计算将山现误差。另一方面当作为开荚应用时，开关的接触不再是面接触，而是首先出现点接触 并随着作用力的增加逐渐由部分接触过渡到面接触，开关面上的电荷也不再是均匀分布。下面，以具 有相同x 坐标的a 点与b 点与f 极板的距离来说明这种误差。 瞄3 4 形变色差吲 田为篇幅的关系，每个参数对桨的影响分析只选择了部分骺变色差图通过曲线来说明参数变化 对粱形变的影响，总结出尺寸、负载不同时粱形变的规律和曲线。 图3 反映了宽粱宽度变化时形变的情况比较的结构具有相同的窄桨并保持宽粱k 度不变。( a ) ， ( b ) 分别显示了6 ，二4 0 i i 和8 0 岬的形变色差图，( c ) 图u 给出了蚍百分比表示的a 、b 两点位移的 误差。 阙 e 日型 ( c ) 参数变化曲线 矧3 5 仪宽粱宽度变化引起啊彤变分布酬 ( ，= 5 0 p m ，6 ，= 2 0 i m ，l = 8 0 i i m ) 由可以看到，随着宽粱的宽度增加，b 点干a 点撕f 极板的距离误箨不断增人。表叫随着宽桨斑 增加，两维形变越米越严t 。 幽3 6 给的是市桀小娈h ，q 定僦辩的箍膻，曲变斑粱k 应时的情况。由幽3 6 f c ) u 以前剑住 。 丽 第三章双端固支徽机电变截面粱二雏效应的研究 同样的宽粱宽度条件t 宽粱k 度越小两维形5 1 罄f 重 羹萋雾蚕 幽 垆8 0 m i i i k 1 参数变化曲线 图3 6 宽粱长度引起的形变变化凹 【，；5 0 i l t l ，6 ，55 0 ，也28 0 删3 7 显示了保持粱的平面形状与尺寸仅改变桨厚度的分析结果。图3 罐显示了对丁同一个般 端同支变截面粱，当施加不同的电压( 负载) 时两维形蛮的分析。 1 秽 睡蚕 臣 习缉闷一 痢 一 一 p 匿e e 一 黛汹 东南大学碗学位论文 1 日 ( c ) 参数变化曲线 鳕3 7 粱厚度改变形变圈 ( ，f 2 0 m 、6 f 2 0 l i i l i 、垆8 0 m 、唧o l i i n ) ( b ) u = 1 5 0 v 臣 d*ww # ，l _ 一 ( c ) 参数变化曲线 幽3 8 电压改变形变蚓 ( f 尸2 0 岬， 尸2 0 岬，6 _ 5 0 “m 、6 产5 0 岬) 从幽3 7 平幽3 8 可以石到，粱的厚度变化或者外加负找的变化时，梁的_ l j 对形变不会发生变化。 通过分析静l h 驱动条制f 般端同支娈截面粱受力后产生晌戕曲线形式的弯曲以及形变受粱尺 寸、桨厚和外加负载变化影响，可咀得到r 列儿点规律 l 岢窄粱部分的k 刊宽1 n 定时，宽梁的k 应越短或宽度越宽，其一维效应越明显。这明显可以 从烈曲线渐进线的角度观察刘。 2 当6 ，6 ，比f ( 较人时( 这意味着宽架的斑度远远人j 窄粱的宽度) ， ：维放麻无法忽略，在这种 蚕 a 网 第三章职端崮支徽机电变截面集= 维敏应的研究 情况下，必须考虑y 方向的形变。 3 厚度和外加负载电压的变化不会产生双曲线形式弯曲程度的变化。外加负载的变化不对宽粱部 分烈曲线形式的弯曲产生影响说明了在梁运动的过程中，宽粱部分的笄点直保持同一个相对彤变( 表 现为同一个双曲线形式的弯曲) 但此时绝对位移不同随着电压的增大或者厚度的减小，绝对位移会 增加带来电容误差的增大。 3 3 一维模型误差 为了更直观地计算粱的二维效应所带来的误差，我们选择了两个典型的粱：一个有明显的二维效 廊而另一个二维效应较小，分别如图3 8 、3 母所示。第一步。我们认为宽粱部分是一个刚体，箍体下 压，墩b 点j 下极板的距离为整体的距离。第二步我们考虑x 方向的形变梯度。最后，我们考虑整个 粱的二维效应来精确的计算可变电容的值。 囝 脚3 _ 9 忙2 0 m 、6 点舞、垆2 0 m 、铲8 0 m u = 2 0 0 v 囤3 。1 0 社。岬“言沪8 0 岬“一。岬 田为粱的形变为中心对称我们只要计算其中某一象限各点就可。取梁中心为坐标原点，f 表列 出了第一象限备点位移值。 沁 87 562 5o7 512 5 3 87 5o5 5 8 l05 5 8 60s 5 8 305 5 8 8 筹 05 4 1 405 4 1 905 4 1 705 4 2 2 o5 2 4 705 2 5 4 05 2 5 l05 2 5 7 篆 05 0 8 105 0 9 005 0 8 7o5 0 9 4 0 4 9 1 60 4 9 2 70 4 9 2 20 4 9 2 62 5 0 4 7 5 20 4 7 6 80 4 7 6 00 4 7 7 7 慧 0 4 5 9 30 4 6 1 40 4 6 0 5 0 4 6 2 4 0 4 4 3 8 0 4 4 6 60 4 4 5 00 4 4 8 l 糕 0 4 2 8 8 0 4 3 2 7 0 4 3 1 00 4 3 4 5 0 4 1 4 8 0 4 1 9 90 4 1 7 104 2 2 7 1 37 50 4 0 1 704 0 8 40 4 0 5 40 4 1 1 6 等 o3 8 9 903 9 8 4o3 9 3 80 4 0 2 9 03 8 1 003 9 0 403 s 5 703 9 5 3 罴 03 7 5 003 8 5 2 o3 8 0 003 9 0 4 03 7 1 40 粥1 9 03 7 6 7( ) 3 r 7 l 】2 503 6 9 703 8 0 203 7 5 003 8 5 4 东南大学硕十学位论文 c ：三墅：y _ 兰l 4 丌磁- 4 兀： s 2 砾 ( 3 1 ) 当假设宽梁部分为一个刚体时，整个梁作为一个整体均匀下榻，梁上每个点与下极板的距离都等 于b 点与下极板的距离。此时电容值时8 ，7 7 凰当考虑了x 方向的形变时候，电容值变为8 7 3 瓯当考 虑了二维效应时，电容值增大为9 1 4 f r o 西为表3 1 中各点z 方向位移值，为介电常数，s 宽梁面积，k 为静电力常量。 由此我们可以看出某些情况下，二维效应一旦被忽略，误差可以达到4 1 ；甚至当仅仅考虑一维 效应时，误差会增加到4 5 。 用同样的方法，我们来分析另一个梁： 弋 1 7 51 2 57 52 5 3 7 5o 1 7 9 7o 1 7 7 3o 。1 7 5 50 1 7 4 8 3 2 50 1 9 6 2o 1 9 4 5 0 1 9 3 1o 1 9 2 5 2 7 50 2 1 0 7o 2 0 9 90 2 0 7 9o 2 1 8 1 2 2 5o 2 2 4 00 2 2 2 3o 2 2 1 20 2 2 0 6 1 7 5o 2 3 4 8o 2 3 3 lo 2 3 2 0o 2 3 1 4 1 2 5 0 2 4 2 80 2 4 1 00 2 3 9 90 2 3 9 3 7 50 2 4 9 l0 2 4 7 3 o 2 4 6 l0 2 4 5 5 2 50 2 5 1 4o 2 4 9 6 o 2 4 8 40 2 4 7 8 当作为一个刚体考虑时，电容值为1 6 2 m 仅仅考虑一维效应时电容值是1 5 9 纸考虑二维效应时， 电容值为1 5 9 舭 即使我们考虑了二维效应，此时误差最人也仅仅为1 8 。这表明在这种情况下，二维效应较之图 3 8 结构小了许多，可以近似做一维处理。 3 4 本章总结 本章，我们指出了住m e m s 器件的设计中，变截面梁的二维效应在某些情况f 不应该被忽略。我 们通过c o 啪t o r ，a r e 软件测量了梁的形变，并依此计算了忽略二维效应所引起的误筹，指出了这种 误差在何种情况f 应当予以考虑。进一步研究可使设计者能够选择合理的尺寸结构，建模时，能够有 效地改善横向拉伸效廊带来的精度不佳问题。 1 3 第四章机电耦合变截面梁等效电路宏模型 第4 章机电耦合变截面梁等效电路宏模型 目前，静电驱动变截面同支梁被广泛用于i 心开关，光开关，可变电容等设计中。为了验证基于 受力分析的等效电路宏模型建立方法的普适性，本章以变截面梁为研究对象，利用第二章提到的建模 方法建立等效电路宏模型，并用s p i c e 软件对宏模型进行各种分析，最后将模拟结果与c o v e i l t o r w a r e ： 中的相应结果对比。本章分为三个部分，首先分析了未考虑两维效应建立的模型模拟结果，其次分析 了误差产生的原因，最后，代入两维效应的影响对原模型进行修正，从最后的结果可以明显地看到， 新的模型模拟精度人大提高。 4 1 计算静电吸引力时的数学近似 在第二章，我f f j 介绍了通过将系统的静电共能求导的方式求静电吸引力的方式。在实际计算过程 中，由于形函数的复杂性，往往出现系统的静电共能无法求出，或者求出系统的静电共能后无法对位 移求导，从而无法解出静电吸引力的的情况，本章将提出一种数学近似在保证精度的情况下，运用 函数换元的方式来人人的化简数学计算。 4 1 1 理论分析 在计算静电为激励的双端同支梁时，电压为v ，g 为上卜极板i 司距离，w 似为梁的形函数，静电共 能及静电吸引力的计算公式如下： 咖孚肛= 字# 凡：望 如果形函数w 似比较复杂，例如出现二次或高次项，或者三角函数，实际计算中变得相当复杂。 但是义由丁积分后u 是d 的函数，与工无关，且w 仅) 远远小丁g ，所以我们可以将w & ) 替换为 ( a ) o 甜= f 2 者俐，“= c 南倒，= 等 g 一缈( x ) 替换为 g 一厂( 们 ，其中一 f 2 一j ， 在舣端同支梁中，我们假设形函数为以功= 一d ( 1 一c 。s 筹) 又冈为c 叫- 一s 筹胁= 一鲁 所以牝f 鲁惜扣1 一s 予出 g i 一 替换前： 1 4 东南大学硕士学位论文 州一 砌2 g ；( g d ) ；g l g a ) 替换后： = f j 扣 g i ，l 2g 一吾 对位移d 微分 里：! ! 万d 2 ( g d ) 2 对比如_ 卜： 鲁2c 南缸t 义因为在小形变下d 远小于g ，所以可以近似的认为凡j 与飓相等，既近似有效。 4 1 2 数学验证 设定各种参数为 表4 。l 梁参数列表 密度p ( k m 3 ) e ( 杨氏模量)电压u ( v )6 ，( 啦n )6 2 ( “m ) 8 8 5 木l0 1 22 3 0 01 6 0 宰1 0 95 02 05 0 ，( ”m )如( p m )“岬)间距g ( 肚m )厚度h ( 岬) 泊松比v 5 01 0 01 5 0230 2 3 通过有限元软什计算，此时加上电压1 5 0 v 时，出1 4 4 4 1 0 9 替代前： c = 丢他g ( ( g d ) g ) 2 替代后： = 4 6 4 3 8 术1o 6 1 5 _l驴：一i 、j 一 力分 一 一 微 一 悖d 1 一 a 移 = 1；桅型 第四章机电耦合变截卣梁等效电路宏模型 c ：等“8 2 伊 误差为：( 4 8 2 1 7 1 0 。6 _ 4 6 4 3 8 l o 4 8 2 1 7 l o 毫3 6 8 4 2 理论分析 下图为变截面固支梁的结构示意图。梁为中间宽，两端窄的结构，左右两边窄梁完全对称。，为 梁的总长度。，卜6 ，分别为窄梁的长度与宽度，( ，j ) 、6 2 为宽梁的长度与宽度，梁的厚度为j l ，下电 极在全区域存在，上下极板间的距离为g ，驱动电压为儿整个梁分为等截面区域l ，以及突出的区域 2 。 l 1 l 2 l 3 o 卜叫卜呻_ x 图4 - l 变截面圃支梁示意图 梁的左右两端同定，发生形变时位移为o 。由_ 丁该变截面梁左右对称，因此最人位移点应该在其 中心点，将中