（机械设计及理论专业论文）基于ansys的滚珠联轴器的设计与分析.pdf

南京航宅航夫人学硕十学忙论文 摘要 滚珠i | _ ) 轴器是一利r 新型高效的联4 t 1 1 d ；- ，小文应用有限儿分析的方法对滚珠联 轴器的失效机理和承载能力进行了分析和计算，是比较先进的。 阿允，对滚珠联轴器进行r 结构设汁，提出了两种结构设计方案。 其次，根据非线性接触理论，时滚珠联轴器在受扭矩载荷作用i 的接触应力 进行了分析和计算。在施加静载时，找出滚珠联轴器产生接触应力最火值的区 域，g - t q , t 。算在1 i 同结构参数下的应力值，分析滚珠联轴器的结构参数对应力值的 影u 内情况，获得了应力值变化规律曲线。 然后，比较两种方案在棚同载菏，相同结构参数p 所受应力值的差异，得出 了两种方案的优缺点，指 h 了它们的不同的应用场合。 最后，提出了滚珠联轴器设训方法，分析出了其最优的结构参数，为实际应 刑以及今后进一步分析打下了良好的基础。 关键词：滚珠联轴器；结构设计；非线性：接触；结构参数；有限元 基- ia n s y s 的滚珠联轴器的设计j 分析 a b s t r a c t t h es t e e l b a l lc o u p l i n gi sak i n do fn e wa n dh i g h l y e f f i c i e n td r i v ep a r tt h i sp a p e r a n a l y z e st h em e c h a n i s m o ft h er o l l i n g b a l lc o u p l i n gb e i n gd e s t r o y e da n dc a l c u l a t e si t sl o a d c a p a b i l i t yb yu s i n gt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h i c h i 8q u i t ea d v a n c e d f i r s t ，t h ec o u p l i n g sm o d e l i sc o m p l e t e d ，a n dt h et w o p r o j e c t sa b o u tt h i sm o d e l a r ep u t j b r w a r d 。 s e c o n d ，t h ec o u p l i n g sc o n t a c ts t t e s sv a l u e sa r c ：a n a l y z e da n dc a l c u l a t e dw h e np u t o n t h et o r q u e ，a c c o r d i n gt ot h en o n l i n e a rc o n t a c tt h e o r y t h el a r g e s tc o n t a c ts t r e s sv a l u e s 1 l a v eb e e nf o u n do u tb yt h es t a t i c1 0 a dt h er u l ec u r v e sa b o u tc h a n g i n gs t r e s sv a l u e sa r e o b t a i n e dt h r o u g ht h em e t h o do fa n a l y z i n ga n dc a l c u l a t i n gt h es t r e s sv a l u e so nd i f f e r e n t m o d e l p a r a m e t e r s t h i r d b o t ht h ed i s a d v a n t a g e sa n dt h ea d v a n t a g e sa b o u tt w op r o j e e t s ，a n dw h e r e t h e t w ok i n d so f c o u p l i n g sc o u l d b eu s e da r eo b t a i n e db y c o m p a r i n g t h e i rs l ；r e s si nt h es a m e c o n d i t i o n s ( t h el o a d sa r es a m e ，a n d t h e i rs t r u c t u r ep a r a m e t e r sa r es a m e ) f o r t h ，t h em e t h o d so fd e s i g n i n gt h ec o u p l i n g ss t r u c t u r ea r ep u tf o r w a r d ，a n d t h eb e s t c o u p l i n g ss t r u c t u r ep a r a m e t e r s a r ea l s oa c q u i r e ds ot h i sp a p e rh a sl a i dag o o df o u n d a t i o n f o tt h ec o u p l i n g sa p p l i c a t i o na n dt h ef l i r t h e ra n a l y s i s k e y w o r d s ：r o l l i n g b a l lc o u p l i n g ；s t m c t u r ed e s i g n i n g ；n o n l i n e a r ；c o n t a c t ；s t r u c t u r e p a r a m e t e r s ；f i n i t ee l e m e n t s 南京航空航犬人学颂+ 学位沦文 第一章绪论 1 1 联轴器的研究背景 联轴器足机械产品中一种常用的轴系部件，主要用来联接同轴线的两根轴，使其 一同吲转并传递运动和扭矩。l b 于两根轴的轴线= ：_ i i 可避免地存在偏差，因此，就要求 联轴器具有补偿两轴相对位移的功能，除此之外，有的联轴器还有缓冲减振和防l f ：轴 系过载等等功能。 联轴器种类繁多，要想对它们的基本特性有所了解，就需要有合理的分类。一般 把联轴器分为刚性联轴器和弹性联轴器两类。 刚性联轴器是山刚性元件组成的联轴器，可分为固定式和可移式两大类。固定式 刚性联轴器的联接元件之间不能相对运动，所以只能用于被联接的两轴在安装时能严 格对中和工作f 寸不会发生相对移动的场合。固定式h 9 性联轴器结构一一般比较简单，制 造成本低，无缓冲和减振作用，通常适用于载荷平稳或只有轻微冲击的场合。这类联 j = | 器包括：套筒联轴器、凸缘联轴器和夹壳联轴器等。可移式刚性联轴器依靠联接元 件问的相对可移性米补偿被联接的两轴安装时的对中误差，以及工作时的相对位移， 避免或减轻附加载荷。因此，这种联轴器可用于被联接的两轴存在一定的对中误差或 什i 对位移的场合。 弹性联轴器出_ j 具有能产生较大弹性变形和阻尼作用的弹性元件，冈此除了能补 偿两轴相对位移外，还能起缓冲和吸振的作用。传动轴系的载荷往往是变化的，引起 载荷变化的原因很多，可能是由于动力机的驱动不稳定，如内燃机的驱动力矩是周期 世 ：变化的；电可能是山于工作机的载荷不稳定，如往复式压缩机、破碲机等的阻力不 足呈周期陀变化就是呈随机性的波动。此外，传动系统本身也有可能产生动力载荷， 如齿轮传动中园齿轮的齿形和基节误差等引起速比变化而产生的冲击，又如轴系巾因 转动零件小乎衡产生的离心力引起的动载荷等。由于弹性联轴器能适应载荷的波动， 所以其应用较广，类型也较多。这种联轴器的缓冲和吸振性能主要与刚度和阻尼有关。 随着： 业和科学技术的发展，机械在现代工业中的应用不断扩大，机械设施和构 件的种类不断增加，对其性能的要求也越来越高。为_ 广提高机械装置的效能和可靠性， 保i 叫儿械的零部件，尤其是联轴器，具有高质量是卜分重要的。因此，尽管已有了不 少系列化、标准化的联轴器，但由于机械种类繁多，且其载荷、转速、t 作环境各小 州同，敞还需要各种性能不同的联轴器，以适应不同的工作状况车使用要求。为此， 币断研制新的联轴器，改进原有的联轴器是t 分必要的。正是摹于这厅酮的考虑， 小课题才选择进行滚珠联轴器的分析和设计 基j a n s y s 的滚珠联轴器的陵计与分析 l 2 本课题的研究意义 目前吲内和剧际上较为先进的联轴器就是滚珠联轴器，即设计联轴器时采用滚珠 作为传递扭矩的元件。滚珠联轴器具有轴向、径向、角向补偿功能，特别是当外半联 轴器与滚珠相接触的内表面做成圆弧状时，可以有较大角向补偿量。在传递扭矩较小 h 、j ，最大轮廓尺寸明显l l e - 2 缘联轴器小，补偿各种偏移良好。在传递较大扭矩时，最 大轮廓尺寸接近齿轮联轴器，但结构相对要简单、造价低。在其工作时，传动钢球始 终处于滚动状态，摩擦系数小，在相对滚动接触中产生的温度低、润滑状况好、使用 寿命氏，有较好的吸振性，运行更加平稳。 在轧钢系统中，现在大多使用梅花瓣联轴器、齿轮联轴器和十字万向联轴器等， 实际j 二完全可以用滚珠联轴器来替代它们。与它们相比，滚珠联轴器制造维修方便， 适用范围广。传递的扭矩大、效率高、寿命长，故可以取得很好的经济效益。有资料 显示，在连续挤压机的工作过程中，主机与减速箱采用弹性联轴器后改用齿轮联轴器 联接，都无法消除主机主轴受热伸长而产生的轴向力，应用滚珠联轴器后，基本消除 了轴向力，设备性能得到很大改善。在平整机的轧辊平整较厚的钢板时，要求传动轴 具有一定| | f 匀轴向位移量( 5 1 0 r a m ) 和一定的转角( 小于3 。) ，应用滚珠联轴器可 以满足其生产工艺要求，能够基本消除振动，提高产品的质量和产量。在交通运输行 业中，新型高速的电力机车越来越成为未来发展的趋势，这对联轴器有很高的要求， 要求使用的联轴器能有较大的轴向i 角发补偿，在枫车运行和转弯时，能减少振动和 减轻受力。在困外像日本、法国等国家在这方面已经取得了一定的成果，他们在机车 车轮轴之间采用大轴向孙偿的滚珠联轴器，轴向补偿量可以达到1 5 0 m m 3 0 0 m m ， 而我国对该项技术的研究还处于起步阶段，故对滚珠联轴器进行深入的分析研究具有 广阔的前景。 本文用有限元方法对滚珠联轴器进行分析研究，具有一定的创新意义。从目前的 资制来看，对滚珠联轴器的研究一般均采用数值公式计算的方法，这种方法对求解复 杂问题有些困难，而且精确度差。本课题用有限元分析软件a n s y s 对其进行接触分 析，避免了数值公式计算的缺点，具有实际应用意义。 1 3 滚珠联轴器的结构设计 1 3 1 工作原理及特性 滚珠联轴器的基本结构形式如图1 1 所示。 j 、。斛n j j j f07 i j l j i i ffff f f 幽11 滚珠联轴器结构i 划 联轴器的基本结构由：外半联轴器1 、内半联轴器5 、传力滚珠3 、防尘套4 、轴 魔2 以及周定螺钊6 等组成。在内半联幸血器上按周舟分前i 有均匀的半圆彤凹坑，在外 半暇轴器上有纵向的球槽与滚珠柏配。传动滚珠位于内半联轴器的半圆形凹坑中，并 在整个联轴器传递扭矩的过程中处于滚动状态。同时滚珠可以沿外半联轴器的球槽作 滑移运动，但不能用向错位。故联轴器在传递扭矩时，可允许两轴之叫存在一定的轴 向位移利偏角位移：径向位移由_ 两个半联轴器之问的径向间隙来保证，密封防尘套的 作用是用来防止外界的灰尘迸入滚珠机构，一般采用橡胶作为防! 冷套的材料，联轴器 的润滑主要采用脂润滑方式，即在装配时往内半联轴器的半圆形球坑中和外半联轴器 的球槽。p 加注钙钠壮润滑脂【2 j 。 滚珠联轴器的基本的工作原理为：当滚珠联牟1 4 1 器受到一定外载时( 外载多为扭 觚) ，内轴香转动豹趋势，通过；勺半联轴器把力传递给滚珠；浚臻与外半联鞑器凹坑 紧密接触，产生挤压力，从而将扭矩从内半呋轴枯传递到外半联轴器，使内轴转动带 动外轴共同转动。所以在滚珠、轴瓦、以及轴的受力允许范围内，滚珠联轴器可以起 到传递扭矩的目的，即达到承载的目的。同时，滚珠联轴器允许轴向有一定的滑移， 外半联轴器与内半联轴器允许有一定的角度偏转。 滚珠联轴器中的滚珠是传递扭矩的主要构件。由f 这一特点使得这种联轴器自了 自己独特的工作特性，在联轴器的整个运动中，滚珠处于一边滚动，一边承受力，并 传递力的状态。由。j 二结构上的原因使得滚珠在侧联轴器( 内半联轴器) l 卜| f 1 勺运动是 “1 坑。 i 的滚动。m 在联轴器的另一侧( 外半联轴器) 的运动是可以沿纵| 1 j 球槽的滚 动。( | ，联轴嚣巾，出 坑o j 滚珠接触是 爵接触形式，接触应力比较小；丽滚蹀与纵融球 栅之问的接触理论 ：是种点接触形式，接触应力比较人，这一结论存厉i f ：1 第j 1 ：毋的 堡j ：坐! ! 塑鎏壁壁塑堡塑壁丛! ! 坌塑 h 算c ，榍到了验砒， 1 3 2 结构设计要考虑的问题和设计方案 借峪弹性接触理论和轴承工作原理”，根据滚珠联轴器的结构特点，结构设计时 r 要考虑以下些问题： 笫、理沦卜滚珠与外半联轴器球楷之问是点接触，存赫兹应力作用i 下形成一个 微小的椭圆【 i ：i 。在许j 丰j 的接触应力一f ，考虑联轴器各部分的接制 强度，设b l 滚珠和球 槽的结构尺寸，升分析结构尺寸的变化对接触应力的影响。 第：二、考虑到滚珠联轴器的补偿( 轴向、径向和角向) 凼素，所以与滚珠相接触 的内半联轴器球坑采用半网球形状；外半联轴器球坑的径向也采用半圆形，纵向( 轴 向) 则采用个与之对应的弧形或直线形滚槽。用弧形滚槽可以使滚珠诅二滚槽中自动 定位r 防1 e 滚珠由于轴向位移过大f | 丁滑出，同时可以保证角度补偿；用直线滚槽可以 使滚珠联轴器有较大的轴向补偿。 第三、分别考虑滚珠和球槽之问有游隙和兀游隙情况下的承载能力。 基于上述分析，可以考虑采用下列两种设计方案，它们的区别主要体现在外半联 轴器球坑纵向的形状上。 方案一：滚珠联轴器外半联轴器球坑纵向为直线滚槽，如图1 2 所示。 方案：滚珠联轴器外半联牟由器球坑纵向为圆弧滚槽，如图1 3 所示。 l 、翮 、冉f 、 、 j 一一| 一j i j 0 一一一 - 幽1 2 直线滚槽 一、腻 、卜? 、j 0 【 罔13 圆弧滚槽 南京航卒航天人学硕士1 、位论文 1 4 本课题的研究内容和分析工具 1 。研究内容 本课题主要对滚珠联轴器在静载卜的承载能力进行研究，并对其结构设计提出指 导性的方法，找出比较合理的滚珠联轴器尺寸参数。 采用有限元分析方法埘前述两种结构方案的滚珠联轴器进行分析研究。内、外半 联轴器球槽和滚珠之间的接触属于非线性有限元问题，使用a n s y s 软件作为分析工 只，对滚珠联轴器接触构件的接触应力进行计算分析。 刘第一种方案手要分析计算内、外半联轴器球槽半径和游隙大小对滚珠联轴器所 受的接触应力值的影响，得出其合理的结构尺寸：对第二种方案除了以上分析外，还 对滚珠联轴器角向偏移、传递的功率值、滚珠的大小产生变化后，其所受的接触应力 相应的变化情况进行分析计算，得到第二种方案下的滚珠联轴器结构设- q 。方法：同时， 还对两种方案的滚珠联轴器进行分析比较，得出它们各自的使用特点，指出它们不同 的使用场合。 2 ，分析工具 采用a n s y s 软件【。 a n s y s 软什是融结构、流体、f 乜场、磁场、声场分! j 于体的人型通用有限元 分析软件。由世界上最大的有限元分 i 软忭公r d 之的关陶a n s y s 公司开发，它能 与多数c a d 软竹接门，实现数据的荚亭和变换，如p r o e n g i n e e r , n a s t r a n ，a l o g o r ， i d e a s ，a u t o c a d 等，是现代j “。i 设汁中的商缴c a d 工具之。 软件土要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。的处理模块 摊供，一个实体建模及网格划分】：熟，川、i j _ 以方便地构造有限元模型；分析计算模 块包括结构分析( t u 进行线性分析、非线性分析和商j 蔓非线性分析) 、流体动力学分 卡j i 、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦台分析，n j 模拟多种物理介 质的州i 作用，具柯灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块丁将训算结果以彩色等 值线j i i ! 永、梯度恩_ o 矢量最示、粒子流迹娃示、立体切片鼹示、透 ! j i j 及半透明鼹j j 石到绌构内部) 等吲形力式展示出柬，也可将训算结果以图表、曲线形式j i i i l ，卜或 输出。软件提供了1 0 0 种以卜的单儿类型，用求模拟1 程中的各种结构年l l 剌料。 旗ja n s y s 的滚琳联轴器的啦计。j 分析 第二章有限元法分析的理论基础 2 1 有限元的基本概念 有限元分析( f e a ，f i n i t e e l e m e n ta n a l y s i s ) 的摹本概念是用较简单的问题代替复 杂问题后再求解。它将求解域看成是山许多称为有限元的小的h 连子域组成，对每一 单元假定一个合适的( 较简单的) 近似解，然后推导求解这个域总的满足条件( 如结 构的平衡条件) ，从而得到问题的解。这个解1 i 是准确解，而是近似解，凶为实际问 题被较简单的问题所代替了。由于大多数实际问题难以得到准确解，用有限元法不仅 能提高计算精度，而且能适应斧种复杂形状，因而成为行之有效的1 程分析手段。 有l i l l jr , 是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散r 靼元。有限死的雏形早z 【：几 个世纪前就已经形成，但作为种方法而被提出，则是最近几十年的事，例如用多边 彤( 有限个直线单元) 逼近圆来求得圆的周长。有限元法最初铍称为矩阵近似万法， 应j 1 一j _ - 航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研 究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随萧计算机技术的快速发展和普及， 有限，i 方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到儿乎所有的科学技术领域，成为种 。| 宙多彩、应用广泛并且艾用高效的数值分析方法。 仃限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区则在于它的近似性仅限于相 对小的予域中。2 0 世纪6 0 年代初苒次提出结构力学计算有限元概念的克拉大( c l o u g h ) 教授形象地将其描绘为：有限冗法= 雷利一里茨( r a y l e i g h - - r i t z ) 法+ 分片函数，即有 限冗法是r a y l e i g h - - r i t z 法的种局部化情况。不同于求解( 往往是匪l 难的) 满足整 个定义域边界条件的允许函数的r a y l e i g h - - r i t z 法，有限7 i 法将函数定义在简单儿何 形状( 如二维问题中的二角形或任意四边形) 的单元域上( 分片函数) ， 上不考虑整 个定义域的复杂边界祭什，这是有限兀法优于其他近似方法的原区】之。 对j j 不同物理性质平数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是 具体公，推导和运算求觯不同。有限兀求解问题的基本步骤通常为： 筇步：问题及求解域定义，根据实翰i 问题近似确定求解域的物理性质和儿们隧 域； 筇步：求解域离散化，将求解域近似为具有不同朽限大小年形状彼此 1 1 琏的 订限个l 、组成的离散域，习惯f 称为有限儿网格划分。姥然单元越小( 网格越细) 南京航空航天人学顶 _ 学付论文 则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增人，因此求解域的离散 化是有限元法的核心技术之一。 第三步：确定状忿变量及控制方法 题状态变量边界条件的微分方程式表示 价的泛函形式。 一个具体的物理问题通常可以用组包含问 为适合有限冗求解，通常将微分方程化为等 第v q 步：单几推导，对单元构造个适合的近似解，即推导有限单元的格式，其 。 r 包括选择合理的即元丝标系，缱立单元函数，以某种方法给出午元备状态变量的离 散灭系，从而形成币元矩阵( 结构力学中称刚度阵或柔度阵) 。 为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。列工程应用而占，重 要的是应注意每一种单y i 的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，即单元 的边长不要相筹太大，内角避免出现钝角，避免出现畸形，因为畸形时不仅精度低 而儿有缺秩的危险，将导致无法求解。 笫h 步：总装求解，将单元总装形成离散域的总矩阵方程( 联合方程组) ，反映 对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条什。总装是 在相邻单元节点进行，状态变量及其导数( 可能的话) 连续性建立在节点处。 第六步：联立方程组求解和结果解释，有限元法最终导致联立方程组。联立方程 组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结粜是单元节点处状态变量的近似值。 对于汁算结果的质最，将通过与设计准m 0 提供的允讷：值比较来评价并确定是否需要重 复计算。 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有 限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信 息，了解计算结果。 2 2 线弹性问题中有限元法 考虑在小变形隋况下服从虎克定律的物体，体积为在表面s 。上给定位移，曲 f ：给定外力，用育限元位移法解这个物体内的应变和应力分布基本 ：可以分为三步： 第一步：将连续体离散化。就是用有限个只在节点处联系的离散印元的组合体代 亭牛原来的结构。以代表节点总数，m 代表单元总数，以 6 代表整个系统各节点位 移的列向量，则 = “i v l w ，“：v ：w 2 “v 。w 2 。 第：步：学7 i 分析。这是有限t 扛l 方法的核心部分，它义包括： l 选以适“的化移模式将每个单元内部位移17 各：符点位移l 隘系起来。嫂单元的 符节点的位移向量为侈 。，则单死内仟。点的位移向量 ) 。= k ，v ，叫7 ，町求得如f 7 萃ja n s y s 的滚珠联轴器的殴计与分析 疗= 。( 2 2 1 ) 式。 t 【御为所选定的位移模式，其分量又称为形函数。它般庵使桐邻单元之m 满足变形协t 潮条件。 2 j q ( 2 2 1 ) 式代入小变形的j t f ”1 方程就n ，二 之得单元内各点的应变 斟。= d “ a 一 仃 d a 。0 ， 0 、，d _0 0 o 旦 o k0 旦旦o a 。0 。 a a 。 0 旦旦o 0 、，c o 。 = 陋弦扎2 2 ：) 对于小变形问题， 剀与 6 l 。无关，( 2 2 2 ) 式是伸 。的线性方程， 别称为应变矩 3 山小构关系得单c 内各点的应力 仃 | d 怡 。 【驯称为弹性弹阵，例如存平面心力情形i 、 f 驯2 专 11 7 v1 oo ( 2 2 3 1 ( 2 - 2 4 ) 4 建立荦。元平衡方程。设 6 妒为单元节点的无限小虚位移，则单元内部各点的 虚位移为i s o = d q ( 6 “，虚应变为砖 o = 陋】p 尸。以 x = ，硐7 为单位体积的体力向 量， ”= 【疋弓列7 为表面上的外力向量( 若是边界单元) 。而相邻单元通过节点传给此 币元的力以扣) 。代表，根据虚功原理得 ( 。) + j ( f ) 7 柳咖+ ，( ) 7 r d s = j ( ”) 7 咖( 2 2 5 ) 式中e 表示对整个单元积分，曲表示对作用在表面力 玎的即元边界s 积分由 t 二上式对任意可能的虚位移都成市，于是得单元的平衡条件如下 i 口】r c y d v = p 8 + f ；( 2 - 2 6 ) j u j ， 卜f 7 咖+ l 。i n 7 出 这是作刖在单九卜的载荷的等效 i 力，称为单元的节点载荷向爨 件f ( 2 2 6 ) 式刈。j 一 盯 是线性的。 将( 2 2 。2 ) ，( 2 2 3 ) 式代入( 2 2 6 ) 一可得以节点位移表示的平衡条件 ” d ) 。= 仞 。+ f i ( 2 - 2 7 ) 扫小变形条 ( 2 2 8 ) 8 、 j ，jf r【 o 0 0 0 一t 矿 o 0 卜 z 一一塑尘堕至堕查叁堂堡堂笪堡苎 式- p ， 6 = b 九d 剀d vf 2 2 9 、 称为单丘灼剐度矩阵，存这罩它只和单元的辫剌常数和儿倒尺寸有关。 第t 步：总体分析。将所有各单i 的上述特性集合起来得出整个系统的特性和平 衡方程，然后求解再i 了点的位移以及各单无的应变和应力。我们引用选择矩阵 c 一把 表示各啦儿特性的量和表示整个系统特性的量联系起来。每单元的节点位移向鼍 6 1 e ；乖| j 系统的总位移向量 6 j 山选择矩阵【q 8 联系自1 1 t ( j 。= c 。舻f 2 2 1 0 1 例如确：平i 酊情形，对节点为z ，j ， l 的i 角彤单元g ，各节点的位移有“，v 阿分 量， 式展开成以下形式 ；，； ! j； ! j ； n ；l0 ji ! !i 一一j 旦一! j 一一j 一一j 一一j 一一一；一一一一j 一一一j 一一一：广一一 !i!：10 ：! ： ： ： 卜式中的 q 。是一个6 x 2 n 的矩阵。其中所有未写m 的元素均为零。 裨。总体分析中无颓讨论连续条件，因在选取位移模式时已考虑到系统的位移连续 住，w 此j 需讨论平衡方程。用选择矩阵e ( 了。，r q 一每单元的平衡方程化2 8 ) 式写成 c ” 女r c 。舻 = ( c r ( p 。+ f ) ：)( 2 - 2 一l1 ) 将所有备单元的平衡方程相加，得 m mm ( c 九c 州声 一 c n + c 九硝 ( 2 2 1 2 ) 考虑节点处的i f 衡，以 f 表示系统的节点集中载荷向量，则箱 m c 九= 另外义引进总载荷 m ， = f 只) + c 。7 ，) i 及掸4 陆总刚度矩阵 m i k 。 - f c l 。时。 叭“， m “ “n 一一一 一 jliiii 一一 一o 一 一，o 一一一 ，f， 1 一 一o 一 1_， 一一 ) ) ) 3 4 5 i l 1 一 一 一 2 2 2 _ _ _ 2 2 2 ( ( ( 基_ ja n s y s 的滚殊联轴器的设计与分析 k 。 j = f )f 2 2 1 6 ) 这就是以节点位移表示的总体平衡方程。征t - i 雨f i d 题中，它是组2 个代数方 程，在空州问题r p 则是3 n 个联：方程。经过约束处理厉，可l u 此兜解 = 系统各节点 位移，然后再求单，i 内的虎变和心力。 2 3 非线性有限元法h m 线性有限元法虽然以各类非线性问题作为研究对象，但它脱胎于线性有限元， 而日在非线性方程求解时，是将其逐段线性化加以求解。 工业的进步使工程纬构越来越复杂，材料品种越来越多，1 程结构的工作环境越 来越恶劣，对工程结构的效率要求越来越高，因而对结构分析提出了更高的要求。在 很多厦要的实际问题r f i ，线弹性力学中的基本方程己刁i 能满足需要，应变和位移的关 系，j 能是非线性的，应力和应变的关系也可能足非线性的，变形前和变形后的平衡方 程也会发生变化，这就需要考虑非线性因素。 ： p 线性问题t 叮分为材料非线性、儿侗非线性及边界非线性问题。 材料非线性是指材料的本构关系是非线性的。可分为两类，类是不依赖于时问 的弹塑性问题，当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间变化。另+ 类 足依赖于时阳j 的粘( 弹、塑性) 性问题，比较复杂。弹塑性材料的綦本特性是：当载 荷卸去以后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力应变之问不再 存在着唯一的对应关系。 几何非线性足指物体在大变形和大应变情况f i = | ，位移与应变的关系不能用线性关 系以及小应变假设进行j f 确的描述，必须考虑变形对平衡的影响或采用大应变理论， 这时、f 衡方程和几何关系都是非线性的。 边界二 线性是指由于边界条件的性质随物体的运动发生变化所引起的非线性响 应，最典型的例子就是接触问题，这将在下一章中时论。 2 3 1 屈服准则 会属材料在变形晌过程中，总是由弹性状态过渡到塑性状态。在物体内一点j = h 现 塑性变形时应当满足的条件，称为屈服准则或称塑性条件。历史卜曾出现过各种t 不同 的荚j 屈服的假设，通过实验验证，能够应用于工程实际的主要有：屈雷斯 ( t r e s c a ) ) i i j k 准则，又称最人剪应力塑性条件：冯米赛斯w o n m i s e s ) 屈服准则，又称能量 耀一陛条什n 1 屈雷斯卡( t r e s c a ) 准则 槲i 7 1 昕譬作了系列的挤胍实验柬研究屈服条件，认为：肖最火剪应力达到某 南京航卒航大人1 、硕十学似论史 极限值时，材料即进入塑。陆状态。这个条件可以丐成 “口l 盯2 巧3h c j - i 一盯2 = 2 k 或在一股情况下为 0 - l o - 2 i 2 k i o - 2 盯，l 2 k 盯，一盯l 2 k f 2 3 一1 1 ( 2 - 3 2 ) 式巾，仃，口，j ，是丌相f 交的二个主心j , s ：k 是由材料本身所具有的性质所确定 的常数。 当上述三个关系式处于不等式的情况r ，材料处丁弹性状态。如i 个荚系式中的 t f 何个处丁等式的情况下，材料即处于塑性状态。这个准则称为屈雷斯卡塑性条中 ：。 存材料力学中埘于塑性材利常用最大翦应力扁月条件作为强度理论来使用，通常 称为笫三强度理论。 2 冯- 米赛斯( v o n m i s e s ) 屈服准则 屈雷斯 屈服条件小考虑中问麻力的影响，另外当应力处在两个屈服而的交线上 时，处理时要遇到一些数学q 困难，在主廊力方向不知时，屈服条件又很复杂，因 此米赛斯在1 9 1 3 年研究了实验结果后，提m 了另种屈服条件。冯米赛斯准则认 为，对丁各项同性材料，应力偏量第二不变量等于某定值时材料屈服。在复杂应力 状态卜，某点的应力状态山六个分量确定，即以应力分量或应变分量为坐标的空间， 审问中每点代表一个应力或应变状态，将处于屈服应力状态下的点连成丽即为屈服 i f r l ，可用应力分黾表示 ，( 口，o - ，o - 、) = k ( 2 - 3 3 ) k 为s t u d 料相关的屈服丰及限。应力偏量第二不变量- ，达到f 式条件时材利屈服。 , j ，= ( 2 3 4 ) “, 3 式中，a 。为材料单轴试验屈服应力。把一个多维应力状态用单轴应力等效起来， ! j l i j 小：峙，吗) 2 + 0 - - 0 + 3 ) 2 + h 1 ) 2 存三维卞应力窄问，冯米赛斯剧n 条 p l ：可以表示为 盯。= j 圭l 盯，一盯：) 2 + ( 盯：一( ，) 2 + ( 仃，一盯) 2 ( 2 3 5 ) f 2 - 3 6 1 式h 盯。、盯：、口、是二：个主心力。上式的儿何意义是以口，= 口! = 盯，为轴线的 脚十l = 【f 。竹：过原t i o 并h 蓐商。r 卣线盯。= 盯! = ( ，的z 平t i ，肺服两数的轨迹足半 竹为仃：的4 nj * j ，r f z t ：盯，= o 的i f 面上，屈服函数的轨迹是个椭圆，它的k 半 量! 二垒量! 些! 塑垄堕壁塑量堕堡生兰坌盟 轴为2 仃。，短j f 轴为、层吒。 v 米癸斯剧服条r r 从物理意义上j 以孵释为：捌料的形状改变弹性比能达到某一极 限值时，材制9 1 。始屈服；或者解释为：材料八i 自- 体上的剪应力达至0 某极限值时 材料丌始屈服。在材料力学中，j = j 米赛斯屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第 p u 强唐删论。 2 3 2 非线性有限元方程的解法 按照解的数学依据进行分类，非线性有限元方程的解法主要有最小化法、迭代法 和增量法等。 l 。最小化法 在结构力学中求解一个结构的平衡问题，通常等于求解结构的总位能兀的驻缸 问题 兀= v ( g ) 一 q l7 妒 ，中，u 0 ) 为结构的应变能，巾】幻 7 f 为外戡所做功。 是肖接数值搜索，即通过数学规划巾无约束最小化方法。 它的缺陷是：一、往往收敛于局部最小而不是全局最小 2 迭代法 使用虚功原理使式( 2 3 7 ) 总位能变分为零，得 o t i = 卜b ) 】= 尸( q ) j 一( f j ：医( g ) 】_ 卜( f 】= 0 式中， p 0 ) j 是与应力等效的节点力， 用是外载。 山此可以从第i 次的迭代求得第i + 1 次的未知变量妇。 ( 2 3 7 ) 上式的求解方法之一就 二、效率非常低。 ( 2 3 8 ) 西。) = 妇， 一w i k j l ( 【k ，】妇。) 一 尸 )( 2 3 9 ) 式中，k 。j 一妒 的力学意义为：第i 次迭代后的4 i 平衡力，当它等于零时， 溉+ = 叮j 是精确的，l q 它 - f 等于零时必须迭代求解以逼近精确值。为超松弛冈予， 川以加速收敛。当式中l k 。l 是割线方阵时，称为割线刚度阵，其严重缺陷是收敛性差。 如果采用切线刚度阱k 时就得到牛顿一拉斐逊( n e w t o n - - r a p h s o n ) 迭代法。 1 顿一拉斐逊迭代法的基本思想是： f ：f + a t 时刻，非线性求解的基本方程为 ”“ 尺_ 卜”“沪 _ 0( 2 - 3 1 0 ) 式c l ，向量“ r 为作用丁节点的外城荷，“” f 为等价j ：f p ，i 应力的节，点力向 l 。i i ：节l l 力，节 位移之川为：i 线r i ：关系，故必须对 一式迸行迭代求解，步骤如 下 堕至堕! 堕盔叁堂婴堂笪堡壅 a r “。= “忸 一”“妒10 ：1 ，2 ，3 ，) k 。“却= f 艘r ” + m g j “= h 出 叮) ”+ g “一1 式中， ( 2 3 11 ) f 2 3 12 ) f 2 3 一1 3 1 ”“w o = ，”“ 州o = 吖f 陋3 一1 4 ) j 述力程足根捌有限系统的响应线性化得到的，每一次迭代都是用式f 2 3 11 ) 纠算小、r 衡的载荷j l j 量，山这些载荷向量从式( 2 3 1 2 ) 中导出位移向量，然后继续迭 代直至不1 f 衡绒荷向虽 r r ”或位移向量f a q “足够小为止。 对切线刚度阵小同的选择方豢决定了一i 同的迭代方法。完全牛顿一拉斐逊法( f u l l n e w t o n - - r a p h s o n ) ( 简称f n r ) 在每一次迭代前都要重新形成一次l 世。l ，并解方 程( 2 3 - 1 2 ) 。为了1 ，约机时，尽量减少形成l k 。i ，以及对其进行二角分解的次数，修 正的牛顿拉斐逊法( m o d i f i e dn e w t o n - - r a p h s o n ) ( 简称m n r ) 仅沿用了f n l 时的 切线刚度阵k 。j ，这样仅形成一次切线川度阵并进行三角化分解，而后的迭代只是 线性方程组的回代过程。 实际应用修证的牛顿一拉斐逊法时可人为的舰定只要进i ? t 定次数的迭代，就 重新形成和分解次刚度矩阵，以改善i k 。i t 性质。 m n r 法在收敛性方面比f n r 法差，对于逐渐硬化和突然硬化这两种变形硬化 的结构，随着载荷的增加，典型位移的增加速度变慢，结构变得更加刚硬，这时用 m n r 法往往会导致发散，即迭代难以收敛。从效率上来说，对于一个软化或轻微硬 化结构，达到同加载步的收敛解的迭代次数，f n r 法比m n r 法少，故总的计算 时间f nr 不一定比m nr 方法多，尤其在非线性程度较高的情况下更是如此。 拟牛顿一拉斐逊法( q u i a s i n e w t o n r a p h s o n ) ( 简称q n r ) 提供了一个介于m n r 法和f n r 法之问的折衷办法，在每次迭代中既不重新形成和分解刚度矩阵，又不沿 用5 目的刚度矩阵，而是用一定的方法对旧的刚度矩阵加以修j f 并计算新的位移。拟牛 顿法给出了第( f 1 ) 次到第f 次矩阵的割线逼近，又称割线牛顿法。而最有效的方法为 b f g s 法( b r o y d e n f l e t c h e rg o t d f a r ds b a n n o ) ，它结合了无约束最小化方法给出了最后 公式。而它最大的缺点是要占用较多的计算机空洲。 比较上述三种方法( f n r 法，m n r 法和b f g s 法) ，一般来说，存计算效率 l 最高的为修正牛顿拉斐逊法，其次为b f g s 法，再次为全牛顿一拉斐逊法；在收敛 性方i 硎青况正好相反，最好的为全牛顿一拉斐逊法，其次为b f g s 法，再次为修i f 牛 顿一挝斐逊法。在结构的分析过程中，当非线性程度小高时( 一般为：! j f f 裁初期) 用修 卜牛顿一拉斐逊法，当非线性程度较高州( 一般是在加载后期) 使用b f g s 法或金牛 - 顷一拉斐逊法。 为了墩得较好的收敛解，在用a n s y s 计算滚珠联轴器的接触应j 过程l h 选i j 墨! 竺! ! 塑鎏堡壁塑塑塑壁i ! = 兰坌堕 令牛顿一拉叟逊法。 3 增量法 增量法求解非线性问题时，找衙是一步步逐级施加的。其前提条件足施加过程r p 载荷分撕，是不变化的，可以把某一时刻外载妒 丐为a f ， 为载荷粟了，护为 参考裁荷矢譬，这样增量形式的平衡方程为 p b b a f 呵= 0 ( 2 3 一l s ) h 白。 一岛， ：k ( 。址i 盯 ( 2 3 1 6 ) 式t h 增量刚度矩阵k 0 ) 点l 对应于真实变形曲线的梯度，这是增量法的个优 点，它可以追踪结构的变形历史，这对材料与几何非线性( 特别是极限屈曲分析) 是 很有用的。 最简单的增量法是欧拉一柯n ( e u l e r c a u c h y ) 法，它在非线性有限元法中称变刚 度法。在二述的方程中，k 0 ) ，t 1 由每一增量步”始时物体的构形计算出，步骤如下 k ( g ) ，】- 1 吼。 = + ； ( 2 - 3 一1 7 ) k 。 = k ， + b 。( 2 3 1 8 ) 此法曾存非线性有限元发展的初期广泛使用，但足其致命的弱点是很快漂移，而 卅二符合实际解。为避免漂移采用平衡修正法可大大提高精度，甚至避免漂移现象。 2 3 3 迭代收敛准则 对于方程组的平衡迭代而言，需要一个有效的收敛准则来判断是否结束迭代，用 于结构力学的收敛准则主要有三利t ”1 。 1 位移准则 l i g 。| | s a 。i i q ，+ a q 。| | ( 2 3 1 9 ) 式中口。为位移收敛容差，l f 幻。| | 为某种范数，通常取无穷范数、i 范数和2 范数。 在有些时候，位移收敛准则不可靠。 2 不平衡力( 残余力) 准则 不p 衡力表示为 f ) _ p 卜僻 ( 2 3 2 0 ) 式。1 f 为外载荷矢量，妲 为第r 次迭代终了时与内力相i f 衡的1 ，气力矢鲐， t 睁力分析刚即为f k ， 知，) 。 ，“门4 堑敛计k m fj 置 ! 塑塞塾竺璺盔查兰堡堂笪堡塞 忪酬茎口，i l r l l 奉准则有时也不lz j 靠。 3 能量准则 f 2 3 2 1 1 奉准则的意图神：于同时控制位移和力，使之一起处于平衡。方法是把每次迭代 时内能的增量( 即不甲衡j 在位移增量上做的功) 同初始的内能增量相比较。 吼 7 ( f 一 鼻) ) 口。 q 7 ( f 一 r )( 2 3 2 2 ) 式r h a 。足预定的能量容筹。 能最准则石起来比位移准则和不平衡力准则都要好，可是需要更多的计算量。 苎土垒型! ! 塑堡堡壁塾鲨! 塑壁堕尘坌塑 第三章滚珠联轴器传动接触问题的理论分析 3 1 求解接触问题的有限元方法c 9 在工程结构中t 经常会遇到大最的接触问题。如齿轮的嘴合，拯力容器的法兰联 接，电机组合转子的组装，机器轴承和联轴器的接触等等。在分析 nt , i 算中，常常需 要确定两个或多个相互接触物体的位移，接触区的大小和接触嘶上的应力分析情况。 早在18 8 2 年，赫兹( h h e r t z ) 在他的弹性接触问题一书巾，就较为系统地描述了 弹性接触问题，并提山了经典的h e r l z 弹性接触理论。由于h e r t z 理沦以及后来出其 他学者进一步发展的弹性接触理论，都是通过一些简单数学公式来解决弹性接触问 题，凶而这些理论公式只能运用于一些形状简单，半无限大体，以及接触