（凝聚态物理专业论文）二维不对称两组分费米气体的拓扑相变.pdf

中文摘要 i 中文摘要中文摘要 近年来,由于实验上的易操作性使得人们对非对称超冷原子气体的 研究产生越来越多的兴趣。在经典的超导bcs理论中，同一费米面附近具 有相反自旋态的费米子可以配对，但在极化费米子体系中，由于自旋向 上和自旋向下的费米子数目不相同，会形成两个不同的费米面。正是因 为这两个不同费米面的存在，sarma超流才可能会发生。在实验上，对拥 有不同数目的两个超精细态的费米子体系的研究已经取得了突破性的进 展，且可以实现准二维气体，即在某一方向上限制费米原子的运动。对 于二维费米气体来说， 它有一些不同于三维情况的特性,如在二维情况下 对于任意的耦合都存在束缚态，而对三维时只存在一个临界的耦合强度 来形成s波束缚态。文章主要基于泛函积分理论， 用数值方法来研究二维 配对质量不同的两组分费米气体在零温时的拓扑相变,并划分出正常相 与sarma相的区域，给出它们的相图。接着通过引入bcs拓展理论和反对 角长程序的概念，研究了二维分布不同的两组分费米气体在零温下的凝 聚体粒子数问题，并通过数值计算给出在极化率不同的情况下在凝聚分 数与束缚能的关系图。 关键词关键词：拓扑相变；sarma相；bcs-bec渡越 中文摘要 i abstractabstractabstractabstract recently，asymmetric two-component ultracold fermi gas has attracted more and more interest . the classical bcs theory of superconductivity describes pairing between opposite-spin fermionsnear asingle fermi surface. whenthefermionsoftwo species has different densities,effective masses,or chemical potentials, sarma superfluidity may occur, which has unmatched fermi surfaces. however two-dimensional (2d) fermi gases have also striking features not encounteredinthree dimension. two-bodyattractionis introducedin2d.inthis thesisweintroducefunctional integral formalism to derivetheself-consistenceequations.weinvestigate superfluid phaseand phasetransitionin 2d atzero temperature forasymmetric fermi gas.we identify regions corresponding to normal, sarma phase fordifferent polarization, or mass ratio and discuss topological phasetransitionin the bcs-bec crossover .wefind topological phasediagraminthis region. thenweconsider extended bcs theory and off-diagonal long-range orderof system asareliable approximation forstudying bcs-bec crossoveratzero temperature . hereweplot condensate fraction offermipairs as function with population imbalance and boundstateenergy byusing numerical calculation. keykeykeykey wordswordswordswords：topological phasetransition; sarma phase ;bcs-bec crossover 37 承诺书 承承承承诺诺诺诺书书书书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的， 学位论文的知识产权属于山西大学。 如果今后以其他单位名义发表与在 读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的 文献资料外， 本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的成果。 作者签名： 2011 年月日 38 学位论文使用授权声明 学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明学位论文使用授权声明 本人完全了解山西大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学 校有权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档， 允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、 汇 编学位论文。同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播 论文的全部或部分内容。 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者签名： 导师签名： 2011 年月日 第一章 背景介绍 1 第一章第一章第一章第一章 背景介绍背景介绍背景介绍背景介绍 二十世纪五十年代，由普朗克，德布罗意，波尔，海森堡，薛定谔，狄拉克， 泡利等人创立了量子力学的理论框架 1。 “量子”一词才真正引入到人们的生活中， 而在量子力学中提及的量子概念则是指量子理论中的某些物理量能像能量一样可 以用分立的单位表示。量子理论中的这种分立谱使得物理学家对之前自然界的理解 发生了根本上的变化。 在理论力学的一般原理下，在给定的时间下可以确定粒子的位置和动量，而且 每个粒子都能从其它的粒子中分辨出来。相反地，在量子力学中，海森堡的不确定 性原理告诉我们，不可能在相空间中确定粒子的动量和位置比在位移空间中更加精 确。因此，虽然我们不会知道在这个空间中粒子的确定位置，但可以确定这个粒子 在某一位置的几率。 全同粒子的不确定性的一种结论是自然界中粒子可以按照他们的交换对称性 2 进行分类。当粒子不可分辨时，在一个态中找到粒子的几率和另一个态上找到另一 个粒子的几率是相同的。即使这两个粒子交换位置结果也一样。在交换对称性下的 几率幅导致了两种可能性， 因此所有的粒子可以分成两种基本的群:()对称性波函 数描述的波色子,()反对称性波函数描述的费米子。 对于研究系统的热力学和统计 学性质，波函数的对称性特征给出重要的结论。因此，为了研究一个给定的量子系 统，首先应该确定构成系统的对称性。而哪些粒子是费米子哪些是玻色子这样的问 题在 1940 年才由 belinfante 和 pauli 研究的自旋电子学理论 3给出答案。这也是我 们接下来需要讨论的。 1.1玻色爱因斯坦和费米狄拉克统计玻色爱因斯坦和费米狄拉克统计玻色爱因斯坦和费米狄拉克统计玻色爱因斯坦和费米狄拉克统计 根据自旋电子学理论，波函数的对称性特征跟粒子的内禀自旋有关。这导致了 自然界中已知的粒子根据自旋角动量被分成整数和半整数两种群，用这种方式可以 将整个宇宙中的所有基本粒子进行分类，并分别用物理学家 s.n.bose 和 e.fermi 的名字命名为玻色子和费米子。 光量子(光子)，声量子(声子)，自旋波(磁振子)等具有整数内禀自旋的玻色子， 遵循玻色爱因斯坦统计。在玻色爱因斯坦统计中的一个重要结论就是非相互作用的 玻色子在足够低的温度下能够形成玻色爱因斯坦凝聚。这在凝聚态物理，核物理, 原子物理，分子和光物理等不同的领域中都已经得到验证。按照这种量子统计理论， 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 2 无穷多的全同玻色子可以共同分享相同的量子态。相反地，电子，质子，中子等具 有半整数内禀自旋的费米子，它们遵循费米狄拉克统计。费米狄拉克统计下的一种 结论是非相互作用的费米子在足够低的温度下形成费米海和费米压强。多亏了这样 地量子统计才使得在泡利不相容原理下的多占据的全同费米子不能去分享相同的量 子态。因此，在一个给定的空间中理想的全同玻色子喜欢彼此粘在一起，与此同时 全同的费米子却彼此相互逃避。图 1.1 中给出在简谐势下非相互作用且自旋为 0 的 玻色子和自旋为 1/2 的费米子在零温下所占据的量子态情况。 图 1.1 全同非相互作用的玻色子和费米子在零温下的量子统计的说明 另外除了上面讨论的全同玻色子和费米子，还有由这些基本粒子组合成的复合 粒子。像介子，重子，激子等复合粒子也可以根据它们所对应的整数或半整数总自 旋角动量分成费米子或玻色子。实际上，判断复合粒子是玻色子还是费米子只跟其 包含的费米子个数有关。包含偶数个费米子的复合粒子是玻色子而包含奇数个费米 子的复合粒子是费米子， 这跟复合粒子中所包含的玻色子个数没有关系。 举例来说， 中性原子中按中子的数目可以将其分成这样的两类。因此，如果中子数是偶数则中 性原子是玻色子，如果中子数是奇数那么是费米子。复合粒子中 4he,7li,85rb,23na 等等是玻色子，而 3he,6li,40k,171yt 等等是费米子。 只有当量子效应不可忽略时，区分全同玻色子和费米子与它们遵循玻色爱因斯 坦和费米狄拉克统计的量子力学问题才变得非常重要。例如，研究在低温下足够密 集的气体的动力学性质。换句话说，当德布罗意波长比在足够低密度和高温度下的 粒子间的平均距离小时，则这个区分是不必要的。当这种的情况发生时，所有的粒 子变得可分辨，它们的统计方法可以用麦克斯韦玻尔兹曼统计很好地描述 2。对于 玻色气体，通过在三维有限温度下的 bec 相变可以将量子极限从经典极限中分离出 来，但对于费米气体，无论在低温还是高温下都没有相变将其分离出来。 第一章 背景介绍 3 讨论了低温下非相互作用的玻色和费米气体的行为，下面讨论存在弱吸引和弱 排斥相互作用的玻色费米气体的低温行为。 ..1弱相互作用玻色气体弱相互作用玻色气体弱相互作用玻色气体弱相互作用玻色气体 在前面的章节，我们讨论了在低温下不可分辨的非相互作用玻色气体经过相变 形成一种违背压缩率的 bec。例如，压强消失。即使非常弱的粒子间相互作用也能 对稀释气体的低温性质产生戏剧性的影响，因此我们就不应对这种情况的发生感到 惊奇。那么现在的问题是当玻色气体间存在相互作用时会发生什么？对于弱相互作 用的玻色气体，这个问题已经在 1947 年被 bogoliubov 教授解决了 4。他的方法是 研究 bec 的理论基础，这些细节几乎在所有的现代技术文献中都能找到 5,6。 通过使用 bogoliubov 方法，可以证明吸引相互作用的均匀玻色气体在零温下 是不稳定的。因为系统可以通过增加粒子的密度来降低它的能量。在缺少一个足够 强的短程排斥相互作用去阻挠这种密度的增加时，吸引玻色气体是易受影响造成崩 溃的。因为玻色爱因斯坦统计不能阻止多粒子的重叠，所以正如上面提到的一样， 即使任意小的玻色子间的相互作用也能戏剧性地改变在吸引相互作用情况下理想 气体的行为。 从技术上讲，热力学稳定性条件需要气体的压缩率是正值。可以证明的是弱相 互作用玻色气体的压缩率与玻色子的密度和粒子间的相互作用强度成反比。这暗示 着压缩率随粒子间相互作用的消失而发散，与非相互作用的玻色气体得到的结果逐 渐吻合。根据这些我们可以得到一个很重要的推论，由于气体压缩率变成负值使得 带有弱吸引相互作用的玻色气体发生机械碰撞。 而这种碰撞的动力学问题 7,8已经被 很多人所研究过了，这里就不在对其作深入的讨论。 因此，只有当粒子间的相互作用是排斥的时候，弱相互作用的稀释气体才可能 经历一个 bec 相变。 ..2 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚(bec)(bec)(bec)(bec) 非相互作用理想玻色子的 bec 相变可能是玻色爱因斯坦统计结果，这被玻色教 授 9和爱因斯坦教授10分别在 1924 和 1925 年所预言。他们证明了在临界相变温度 下有限玻色子的含量(所有的玻色子在零温下)应该占据同一个量子态，这由玻色子 的质量和密度所决定。这种奇特的现象初期只能作为理论上的数学模型来讨论，直 到伦敦科学家用它来重新解释 4he 的超流。 之后在 1938 年由 kapitza 小组11在实验 上观测到，同年的 allen 和 misener 小组 12也得到相同结果。他们设想4he 超流是 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 4 一种由偶数个电子，质子，中子所组成的 4he 原子的 bec 的一种结果。随后对 bec 和超流之间联系的研究由 bogoliubov 4和 landau13给出理论依据。 经过多年的努力，原子物理学家已经能成功地将玻色气体冷却到量子简并(纳 米开尔文温度)，这种量子现象在 1995 年关于研究超冷温度下的弱相互作用稀释原 子气体的一系列地标志性的实验 14,15中被首次观测到。同时这也成为理论和实验研 究的世界性课题。在 2001 年的诺贝尔奖获得者 cornell,wieman,ketterle 的获奖 感言 16,17中对原子的 bec 的历史做了一个完美的总结。 需要强调的是， 在原子物理实验中用来产生bec的超冷玻色气体中的 85rb和23na 这类原子是由偶数个费米子紧束缚在一起组成的复合粒子。另外，如果能够容易地 操纵粒子间相互作用强度，或轻易地将这些相互作用由排斥变到吸引或者反过来从 吸引变到排斥，那么玻色原子系统将成为研究基本的多体物理的理想工具。 在玻色系统中得到的这些成功自然让人联想到是否可以俘获费米原子到超冷 温度，并控制和操纵粒子间的相互作用。研究由紧束缚费米原子形成的少量复合玻 色分子和它们之间形成的凝聚体是这篇论文关注的主要方向，也是接下来的章节所 要进一步讨论的。 ..3 弱相互作用的费米气体弱相互作用的费米气体弱相互作用的费米气体弱相互作用的费米气体 零温下非相互作用费米气体的基态，对应到费米海的情况是达到费米能的单粒 子态是被完全占据的，而其他态是完全未占据的。众所周知费米气体或流体的低温 相所遵循的量子统计与玻色子的情况是不同的。在有限温度下，费米系统的激发态 对应的物理情况是粒子从占据态到未占据态的传输 18。 在认识到原子的 bec 后，对玻色子的研究的自然补足就是研究相同强弱的相互 作用的费米原子在超冷温度下的情形。在 1999 年，通过使用与研究玻色原子相似的 技术， demarco 和 jin 19第一次成功的产生出由40k 原子组成的费米气体的量子简并。 受到这种对原子系统中费米气体的量子简并的研究启发，多个其它的实验小组分别 在 40k，6li，171yb20也实现了量子简并。跟研究玻色子系统一样，费米系统也提供了 很好的实验控制因素，例如粒子数密度，相互作用强度，自旋分布和温度。因此， 对原子费米气体的超流研究可以提供在金属，中子星或核物质等领域里对许多其它 系统的配对机制的深入理解。 相互作用的费米系统的基态也严格依靠粒子间的相互作用。例如，如果包含半 整数内禀自旋角动量的费米子的费米系统中存在粒子间排斥相互作用，那么能谱是 第一章 背景介绍 5 与玻色系统不同的。然而，如果粒子间相互作用是吸引的，将导致关联的粒子形成 配对，构成包含整数内禀自旋角动量的分子气体，并形成玻色能谱。这也是接下来 要讨论的。 ..4 bardeen-cooper-schrieffer(bcs)bardeen-cooper-schrieffer(bcs)bardeen-cooper-schrieffer(bcs)bardeen-cooper-schrieffer(bcs)超导超导超导超导 费米子的微观现象是类似于玻色子的 bec 现象。它是由 bardeen-cooper-schr ieffer(bcs)理论描述的库珀对的超流现象 21，而且观测 bcs 相变的可能性也是研 究超冷费米气体的重点。 在 1911 年发现金属汞的超导性（带电的超流体在无阻力下的流动） 22后的很 多年，超导的微观理论才在 1957 年由物理学家 bardeen,cooper 和 schrieffer 23 建立，就是如今我们经常用到的超导体的 bcs 理论。bcs 理论的作者在 1972 年被授 予诺贝尔物理学奖，他们的工作是基于 1956 年 cooper 所证明的粒子间存在吸引相 互作用的模型 24来计算的。 cooper 的基本思想是弱吸引相互作用可以绑定费米子对到配对中形成费米海， 而费米海是不稳定的，不利于在弱吸引相互作用的粒子间形成至少一对束缚对 24。 这个严格的结果是费米狄拉克统计和费米面存在的结论。要不是泡利不相容原理和 费米面出现的话，束缚态就不能在两个费米子之间产生。除非粒子间相互作用强度 达到一定的有效区域，则束缚态能在这个费米对中形成。而且 cooper 证明了这些 束缚对在费米海中相对静止时拥有最大的绑定能量，这里它们质量中心的动量为 零。 bcs 理论符合 cooper 关于多体部分中重要问题的解释， 基态是由包含反对称的 波函数的费米对构成，同时以电声相互作用引起的吸引相互作用作为前提条件。所 有这些中最重要的是，在低于有限温度的前提下，这个理论预言了超导态的激发能 谱中存在一个有限的能隙，这个能隙被看作是超导体的一种基本性质 23。在它们的 理论中，bcs 假设包含单自旋的费米子 cooper 对具有零自旋，而且每个配对的质量 中心是静止的。 在原子费米气体中，bcs 相变与普通金属从正常导体到超导体的相变和 3he 流 体从正常流体到超流体的相变类似 21。因此，这样一种在原子体系下的相变研究引 起理论和实验上的广泛的兴趣，这就是接下来要讨论的。 1.2 bcs-becbcs-becbcs-becbcs-bec 渡越渡越渡越渡越 至今， 我已经讨论了玻色和费米体系下的两种基本的低温超流行为。 总的来说， 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 6 玻色子的 bec 发生在比较高的临界温度下。这种临界温度是它们的简并温度。在大 多数情况下，这些玻色子被紧紧地束缚在由偶数个数组成的小的复合粒子。这些复 合粒子产生在一些非常高的温度范围内，而它们的凝聚体只能在非常低的温度下产 生。另一方面，在超导体的 bcs 理论中，正常态是费米气体在小于临界温度下形成 的不稳定配对的简并气体，这里的临界温度远小于费米能量。与复合粒子的 bec 相 比，库珀对和它们的凝聚体的发生则在相同的相变温度下。 对复合玻色分子的形成和凝聚的研究开启了对玻色爱因斯坦和费米狄拉克统计 之间在相同的物理体系下存在联系的可能性的探究。这就出现了研究是否能观察到 系统从费米统计到玻色统计的渡越过程的问题。当然现在我们已经知道这个过程就 是 bcs-bec 渡越。它是当今研究凝聚态物理，核物理，原子与分子物理的重要课题。 接下来我们对这个问题的历史做个简单介绍。 ..1 复合玻色子的历史复合玻色子的历史复合玻色子的历史复合玻色子的历史 微小的电子配对形成 bec 的想法要比 bcs 理论的出现要早。早在 1954 年，在 准化学平衡的理论中，blatt，schafroth 和 butler 想按电子配对的 bec 形成局域 地束缚态来解释金属超导体 25。不幸地是，这个理论不能与 bcs 理论相提并论。这 是因为由于数学上的困难使得他们不能得到跟实验上一致的著名bcs理论类似的结 果。之后，bcs 理论成功取代了紧束缚局域配对和由 cooper 对形成的 bec，以及在 动量空间中必要的费米面出现下形成的不稳定配对等许多著名的概念。需要强调的 是 blatt 在 1962 年时证明了他们的理论能够拓展给出 bcs 结论 26。 几年之后， 在 1969 年， eagles 成功在由 zr 参杂的 srtio3的陶瓷超导材料形成 的凝聚态体系中且在低密度载体的超导相变温度下实现配对 27。这一结果才是对 bcs-bec 渡越的首次讨论。他注意到，当载体密度较低时系统中的库珀对的大小较 小，bcs 理论的临界相变温度对应的不是一种相变而是执行配对的过程。他也讨论 了在配对形成的 bec 的情况中，在这个低密度区域中超导相变的发生需要更低的温 度的问题。然后他想要了解随着载体的密度变化时的渡越问题。 在图 1.2中我们对分别在 bcs 和bec 区域中形成的库珀对和紧束缚配对体做了 说明。在 bcs 区域中，库珀对的大小远大于粒子间的范围。但随着相互作用强度的 增加，在 bec 区域中，这一尺寸就远小于粒子间的范围。1980 年 leggett 将稀释费 米气体的渡越问题看作是在零温下的 s 波散射长度的函数问题 28。他的工作使我们 对 bcs-bec 渡越中的基态波函数问题有了更深入的了解。 第一章 背景介绍 7 图 1.2 库珀对和紧束缚配对体分别在 bcs 和 bec 区域中的说明。这里pair表示配对体的大小， kf-1是费米动量表示粒子间的距离。 ..2 leggettleggettleggettleggett 基态基态基态基态 受早期准化学平衡理论 25的启发，leggett 的前期工作想要将 bcs 波函数拓展 到更广的应用范围 23。在零温3he 超流的文章中，他研究了吸引相互作用的稀释费 米气体，而且用变分方法证明了从 bcs 基态到紧束缚双原子的 bec 的过程中存在一 个光滑的渡越。bcs-bec 渡越问题和单纯的 bcs 理论的区别是库珀配对机制不仅容 许能量接近费米能的费米子配对，而且对所有其它的费米子都容许形成配对。基于 这种考虑，leggett 注意到费米子的化学势不必固定在费米能附近而是必须与 bcs 序因子一起自洽地确定。 leggett 的基态自洽解能够重新获得在粒子间弱相互作用极限下的 bcs 结论。 然而，在相反地极限下，当粒子间吸引相互作用强度很大时，费米子的化学势的值 为负值且较大，它的大小为两体束缚态绑定能量的一半。另外，bcs 的序因子方程 由独立的双原子分子的薛定谔方程取代，其两倍的费米子化学势扮演了弱相互作用 的复合玻色气体的能量本征值角色。因此在这个极限下，leggett 处理了弱相互作 用双原子分子的 bec 问题。值得注意的是对于在所有的相互作用强度中即便是在交 互区域里自洽计算也能给出唯一的解。 leggett 认为与粒子间距离小的零温稀释费米气体中的粒子散射相比, 原子间 势不能很好的解释短程散射势能的细节，但是 s 波散射却很重要。在这些假设下， 超流性质由单个因子控制，这就是 s 波散射长度 as。他讨论了在 as0 时两体束缚态 存在一个临界相互作用强度，且在 as的 zeeman 分裂.在这些超 精细态中的束缚原子能够对应到相应的赝自旋列。例如， 6li 原子的不同超精细态 的能量可以作为磁场的函数，如图 1.5 中说明。因此，原则上研究超冷原子实验的 配对问题成为近年来理论和实验研究中的热点。 图 1.5 6li 原子的不同精细态能量随磁场的变化图 在创造了第一个量子简并后不久，2002 年 thomas 和他的合作者们 19创造了强 相互作用的共振费米气体，并观察到 6li 气体在自由展开下的超动力学行为40。在 2003 到 2004 年期间，几个实验小组也分别创造了 40k 和6li 原子组合的双原子分子 的超冷费米气体 41，并证明了这些由强相互作用的费米原子组成的双原子气体是相 当稳定的。而且在形成稳定的双原子气体分子后具有较长的寿命。强相互作用的费 米气体的稳定来自费米原子的自然属性，这多亏了 pauli 不相容原理使得非弹性三 体散射被强烈抑制 42。因此这个处理将涉及至少两种具有相同自旋态的理想费米 子，使其变得很近。这是对后来超流费米气体研究的关键要素。 在这之后，四个小组实现了 40k 和6li 原子的分子 bec。这些实验证明了一个新 的微观量子态的形成 43,44。由于其全局行为，强烈激发了一种与实验上具有相同兴 趣的理论研究，其研究领域可以涉及到凝聚态物理，核物理，中子到原子物理，分 子和光物理等的不同领域。 然后，我们可以研究一些下在 bcs-bec 演化过程中的性质 28,理论上对它的预 期是光滑地渡越。应该强调的是，由于在 bcs 极限中不存在两体束缚态，能观测到 的配对必须有多体效应。接下来对整个渡越区间内关于配对的实验包括集合激发， 第一章 背景介绍 11 声-频光谱，分子探测技术和比热的测定实验 45,46都为它提供了明确地证明。然而， 05 年 ketterle 和他的合作者对涡旋态的观测的报道是最终也是最直接的对强相互 作用费米气体的超流的证明 47。最近，两分量分布不均匀的费米混合气体被制造和 在这个区域中瞬间发生的几种相变被报道 48,49，二维的分布不均匀的费米混合问题 将在第三章中讨论。 在大多数的这些实验中，对粒子间相互作用强度的要求非常严格。这可以通过 feshbach 共振来调节外磁场的变化实现对其的调控， 具体内容也是我们接下来所要 讨论的。 1.4 feshbachfeshbachfeshbachfeshbach共振：相互作用的调节器共振：相互作用的调节器共振：相互作用的调节器共振：相互作用的调节器 feshbach共振是由h.feshbach 50在1958年提出来的。 这是一种在bose和fermi 系统中控制稀释原子气体间的相互作用强度最有力的技术。实际上，粒子间相互作 用的调节可以通过变化磁场强度。这给做关于稀释原子气体的实验提供了一个控制 相互作用的阀门。这种精确地控制使得原子气体能够作为研究多体现象的理想工 具。 在原子系统中，吸引势由原子间地vander waals 相互作用提供。多亏了相互间 感应原子的偶极矩，才能使这些势足够深来支持大量振动束缚态的存在。当这些束 缚态的能量和原子碰撞对的动能在不同的散射通道时 feshbach 共振发生。 只有当束 缚态存在于比碰撞原子对更高的能量的势中这样的简并才能发生。在超冷原子体系 中这样的情况决定了原子超精细结构的出现。这些共振现象在 1998 年的 23na 的 bec51和 85rb 电子云地激光冷却52中被首次观测到。 feshbach 共振的主要影响是在一个通道的弹性散射可以转换到另一个具有低 能束缚态的通道中。两个自由原子间势常涉及到开放的通道或称为三通道，同时包 含束缚态的势作为闭合的通道或叫单通道。单重态势能通常比三重态的值大。而原 子的散射却在单重势能外发生。这些单重和三重自旋态可以通过核自旋的超精细相 互作用耦合成另外一种态。当描述原子的单通道和三通道在不同的磁极时，相关的 原子内态的分离变化通过用一个外磁场的 zeeman 效应实现。单通道和三通道之间 的耦合效应很小，但在 feshbach 共振中，耦合效应能够有效地增强通过改变原子间 的有效势导致散射长度改变，这就是所知的共振散射21。 零点能附近的束缚态的出现影响了碰撞原子的散射性质。因为这些原子能够转 变为束缚态并直到碰撞后离开。对于单通道和三通道的一阶耦合，散射是不可交替 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 12 的。然而，两个三通道的粒子能够散射成单通道的中间态，并衰变回三通道。根据 微扰论，当能量接近简并时，二阶的处理暗示着巨大的贡献，即使束缚态存在在不 同碰撞原子间势中，束缚态能量依然能够改变散射长度。这种技术应用在 bose 和 fermi 原子的相关实验中，对分子 bec 的实验起到了重要的指导作用。 jin和他的合作者在 2003 年的工作中给出了 40k 费米气体在 feshbach 共振中的 散射行为53。正如图 1.6 中所示。图中存在三种重要的区域：(1)bcs 区域，对应着 较高的磁场和很小的散射长度且为负值， (2)bec 区域，对应着较低的磁场和很小的 散射长度且是正值，(3)幺正区域，对应着共振区域且散射长度的绝对值很大。值得 注意的是，散射长度作为在共振磁场中的标记变量，由于一个新束缚态在两体束缚 态形成前出现，导致散射长度发散。 图 1.6 (a) 40k 气体在feshbach共振下散射长度af在态|f=9/2,mf=-9/2与态 |f=9/2,mf=-7/2之间的行为，(b)散射长度 af与外磁场 b 的关系 53 至今，feshbach 共振被证明是研究 bcs-bec 渡越中很方便的工具。这些共振 现象近年来在光晶格中被观测到，使得在光晶格中的强相互作用费米气体的超流性 质开始被关注。 在这篇论文中，我主要研究了二维超冷超流费米气体的 bardeen-cooper-schrie- ffer (bcs)到 bose-einstein 凝聚的演化过程与粒子间相互作用强度的关系。吸引相 互作用的调节容许系统的基态从大量重叠的弱费米子吸引(bcs)极限到紧束缚玻色 分子的强费米子吸引极限。这个演化过程的实现依靠许多超流性质的反常行为和相 关的几个量子相变。接下来对其作具体讨论。 第二章 二维非均匀两组分费米气体 13 第二章第二章第二章第二章 二维非均匀两组分费米气体二维非均匀两组分费米气体二维非均匀两组分费米气体二维非均匀两组分费米气体 由于对标准的凝聚态体系缺乏精确的控制，阻碍了实验上对强关联系统的发 展，以及用原子体系作为工具对超流相的研究。但随着理论和实验上的发展，近年 来出现了许多非均匀分布的费米混合的研究。因为每个分量的分布情况与两分量间 的相互作用强度一样在实验上作为可调变量，所以它们是研究非均匀分布的两分量 费米超流的 bcs-bec 渡越的关键。相对于均匀分布的情况下找到的渡越问题，新 的实验都证明了在正常相与超流相之间存在相变。 在讨论过 bcs-bec 渡越的历史及实验背景后， 我简要的介绍下泛函积分体系， 这是这篇文章解决二维非均匀费米气体的理论体系。 2.1泛函积分体系简介泛函积分体系简介泛函积分体系简介泛函积分体系简介 在一些情况下，多体系统能被一些有效作用量很好的描述，这种关于基本粒子 场的初始作用量能用一种包含辅助量子场的作用量所代替。新的作用量可以用类似 超导，超流，铁磁，铁电等系统的序因子来表现。泛函积分为研究这样地多体系统 提供了一个有力地工具，这里配分函数写作对场属性的积分，提供一个对系统上的 直接描述和有效近似的起点。 这个体系使用 feynman 路径积分。这里在泛函积分中的变换仅仅改变积分变 量。路径积分的处理本质由 dirac 在 1933 年所提出 54，之后由 feynman 在 1948 年 做了推广 55。体系的具体细节能在大多数现代书目中找到56。 另外对于量子场论 57，泛函积分方法也被应用到统计物理中处理像 goldstone 声子和量子涡旋在超导超流中的集体激发 58。这个体系的一个好处就是原则上可能 简单地计算微扰展开的任何一阶。特别是对处理 bcs-bec 渡越的问题，另外通过 一个变分处理可以重现静 bcs 的结论 59。这个体系可以决定包含涨落的集合模式， 事实上，这只有在有限温度下被证明是非常重要的。下面便使用这个体系推导二维 费米气体的理论模型。 2.2 两组分费米气体哈密顿量两组分费米气体哈密顿量两组分费米气体哈密顿量两组分费米气体哈密顿量 对于一个两组分稀化费米气体的系统，其哈密顿量（=1）为 (2.1) 这里赝自旋=，表示超精细态，k是费米场湮灭算符， 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 14 bkq=-k+q/2k+q/2,k,=k,-其中k,=k2/(2m)是动能,是费米子的化学势。这里不同质 量和分布的费米子可由相应的化学势控制。g表示原子间相互作用耦合系数。 考虑配对密度的双线性形式bkq=-k+q/2k+q/2， 在连续空间中哈密顿量的相互作用 部分可以写作： （2.2） ..高斯有效作用量高斯有效作用量高斯有效作用量高斯有效作用量 取辅助场为平均场近似下的能隙，作hubbard-stratonovitch变换,这里是对组合 gb(x)(x)做hs变换，通过下面的推导： （2.3） 场算符可以通过交换费米子来调节初始相互作用。在这个观点下必须利用几个 复数积分的恒等式。费米相干态由复矢量z来描述，其中zi=xi+yi,这里的xi,yi是实数。 复数积分被定义为： 另外一个复数积分对单变量z的恒等式为： 使用这个定义可以使任何矩阵的厄米部分只留下正的本征值，高斯积分可以定 义为： 这里的可以是任何复矢量。 在定义=1-i2, *=1+i2,dd*=2id1d2和恒等式 这里的(x x x x,)(x)时空函数，定义在时空网格中的一个格点。 上面的式子通常被 写为 这里=1/t和代表有限温度体系的虚时。这里的积分元d*,定义为： (2.9) 这里=2ig/(3x)是归一化系数，我们可以在连续极限下(x, )0,用积分形 式d3x0d*(x) (x)取代分立求和形式xj,j*(xj)(xj). 配分函数可由虚时泛函积分给出：z=dd*exp(-s,*),这里配分函数z中的 第二章 二维非均匀两组分费米气体 15 作用量s=0dk,k()(-)k()+。在配分函数z中引人单位恒等式： 按照插入的s,*指示形式，在公式中的指数部分可以写作： （2.11） 对上式公式作以下的变换： （2.12） 公式中的最后两项变成： （2.13） 这种构造必须满足运动方程： （2.14） （2.15） 根据条件s/ =0和s/ =0推导。然后公式的左边最终写成： 在这个过程中我们吸收了相互作用相，取而代之的是有效场。对整个费米场做 积分，则得到的配分函数的形式为： 这里的s0表示有效作用量，它可以写成nambu传播子g的逆矩阵形式。中间的推导 步骤可以通过重新定义公式（2.11）为： 其中矩阵： 将配分函数重新写成： 使用公式（2.6）和表达式平均场近似下鞍点作用量s0可以写作： (2.21) 这里=1/t，k=(k,n)其中费米matsubara频率n=(2n+1)/,是序参量，g g g g0-1(k) 是费米传播子的逆矩阵。 对上述公式作空间fourier变换，得到： 二维不对称两组分费米气体的拓扑相变 16 这里的hk,是包含动能相k=k-的矩阵,其中k=k2/2m.矩阵还包含有耦合场。 新的矩阵写作： (2.23) 通过含时傅里叶变换k()=-1/2nk,ne-i得到的新矩阵g g g g0-1(k)定义为 (2.24) 热力学势鞍点贡献为0=s0/，它可以写为： (2.25) 这里f(x)=exp(x)+1-1是费米分布，ek,=(2k,+2)1/2k,-是准粒子和准空穴的能 量，其中k,=(k,k,)/2=k2/(2m)-，约化质量定义为m=2mm/(mm)，化学势重 新定义为=()/2。 ..耦合方程耦合方程耦合方程耦合方程 自旋为的粒子数可用n=-/表示。由于涨落对粒子数的贡献会在温度趋于0 的极限下消失，这样只需考虑来自鞍点近似的贡献。粒子数方程可写作， (2.26) (2.27) 这里n=n0,/v是粒子数密度，uk2=(1+k,+/ek)/2,vk2=(1-k,+/ek)/2，其中 ek=(ek,+ek,-)/2。能隙方程可由s0/=0得到， (2.28) 在二维情况下，束缚态能量比相互作用耦合系数g更适合描述bcs-bec渡越。 束 缚态方程可写作， (2.29) 将束缚态方程（2.29）与能隙方程（2.28）联立消去因子 g 后，可与粒子数方 程组成鞍点自洽方程组。 2.5耦合方程的数值处理耦合方程的数值处理耦合方程的数值处理耦合方程的数值处理 在做具体的数值处理之前，我们要引入一种处理方法，这个方法的目的是要将 方程作简化处理，从而使计算机能更好的得出所要的结果。这个处理方法就是无量 纲化。它的原理是将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达 式。其实无量纲化的历史很悠久，可以追溯到流体力学发展的早期，由于当时的数 第二章 二维非均匀两组分费米气体 17 学方法和数值计算水平都很有限，为了对一些流体现象做出理论分析（如机翼和船 体附近边