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摘要 仿射构形的可约性及因子分解 摘要 近3 0 年来，超平面构形研究取得了重大的进展，并广泛应用于代数、 组合、物理等领域。本文用矩阵方法讨论仿射超平面构形的可约性。 随着空间维数的增大，超平面个数的增加，由于缺乏几何直观，超平 面构形的结构将会变得非常复杂。为了了解构形的各种不同类型，分析它 们的性质及其特征，希望通过把构形分解为一些基本的成份，简化对构形 的研究。具体地讲，希望知道能否把仿射构形分解为若干个不能再分解的 子构形( 不可约构形) ，把对仿射构形的研究归结为对它的不可约子构形 的研究。而这些维数较低的子构形的超平面个数较少，性质比较简单，可 以通过对子构型的研究来得到原构形的性质。 我们知道，当取定一个坐标系以后，一个超平面可以用一个，元一次的 方程来表示，相应地，一个构形可以用n 个，元一次方程组成的方程组来 表示。通过适当的坐标变换，即对其系数矩阵做列变换，对其增广矩阵做 行互换( 相当于改变超平面的次序) ，得到特殊的相抵标准形。然后通过 证明仿射构形可约等价于对应的中心构形可约，把仿射构形因子分解存在 惟一性归结为中心构形相应的己知结论，得到仿射超平面构形因子分解的 存在惟一性。 本文还通过一些具体例子描述了构形因子分解的意义，最后还讨论了 超平而构形的诸如麦比乌斯函数，庞加莱多项式等一些性质和特征与其子 北京化t 大学硕上学位论文 构形相应性质和特征的关系。 关键词：仿射构形，可约，矩阵，分解 摘要 r e d u c i b i l i t ya n f 】df a c t o r j a z t i o no f a f f n 寸eh y p e r p l a n ea rran g e m e n t s a b s t r a c t i nl a t e l y3 0y e a r s ，t h e s t u d yo fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t sh a sm a d e s i g n i f i c a n tp r o g r e s sa n di sw i d e l yu s e di na l g e b r a ，c o m b i n a t o r i c s ，p h y s i c sa n d o t h e rf i e l d s i nt h i sp a p e r , t h er e d u c i b i l i t yo fa f f i n eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t si s d i s c u s s e db yu s i n gt h em a t r i xm e t h o d w i t ht h e i n c r e a s i n gi nt h e d i m e n s i o no fs p a c e sa n dt h en u m b e ro f h y p e r p l a n e s ，d u e t ot h el a c ko fi n t u i t i o n ，t h es t r u c t u r eo fh y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t sw i l lb e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e d i no r d e rt ou n d e r s t a n d v a r i o u sa r r a n g e m e n t s ，a n a l y z et h e i rp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s ，w eh o p et o d e c o m p o s et h ea r r a n g e m e n t si n t os e v e r a lb a s i cc o m p o n e n t s s ot h a tt h es t u d y c a l lb ee a s i e r c o n c r e t e l y , w eh o p et ok n o ww h e t h e raa f f i n eh y p e r p l a n e a r r a n g e m e n tc a nb ed e c o m p o s e di n t os e v e r a ls u b a r r a n g e m e n t st h a tc a n n o tb e d e c o m p o s e d ( i r r e d u c i b l es u b a r r a n g e m e n t s ) o rn o t t h u s ，w ec a nt r a n s f e rt h e s t u d yo fc o m p l i c a t e da r r a n g e m e n t si n t ot h e i ri r r e d u c i b l es u b a r r a n g e m e n t s t h e s el o w e rd i m e n s i o ns u b a r r a n g e m e n t sh a v el e s sn u m u b e ro fh y p e r p l a n e ， i i i 北京化t 大学硕1 ：学位论文 s i m p l e rp r o p e r t i e s ，s ow ec a ng e tt h ep r o p e r t i e so ft h eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t b ys t u d y i n gs u b a r r a n g e m e n t s w ek n o wt h a tah y p e r p l a n ec a nb es h o w nb yf i r s t o r d e re q u a t i o nw i t ho n e v a r i a b l ew h e nac o o r d i n a t e s y s t e m i s t a k e n ，a c c o r d i n g l y , ah y p e r p l a n e a r r a n g e m e n tc a nb es h o w nb yas y s t e m so fnf i r s t o r d e re q u a t i o n sw i t ho n e v a r i a b l e t h r o u g ha p p r o p r i a t e t r a n s f o r m a t i o no f c o o r d i n a t e s ，t h a ti s ， t r a n s f o r m a t i o no fc o l u m n so nt h em a t r i xo fc o e f f i c i e n t s ，a n di n t e r c h a n g e so f r o w so nt h ea u g m e n t e dm a t r i x ( e q u i v a l e n tt oc h a n g et h eo r d e ro fh y p e r p l a n e s ) ， w eg e tas p e c i a lc a n o n i c a lf o r m a n dt h e ni ti s p r o v e dt h a t a l la f f i n e a r r a n g e m e n ti sr e d u c i b l ei fa n do n l yi f , i t sc o r r e s p o n d i n gc e n t r a la r r a n g e m e n t i sr e d u c i b l e s ot h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o fa f f i n e h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n td e c o m p o s i t i o n si sc h a n g e di n t ot h a to f t h ec o r r e s p o n d i n gc e n t r a l h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n td e c o m p o s i t i o n s ，t h e r e f o r e ，t h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f a f f i n eh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n td e c o m p o s i t i o ni sg o t t h r o u g hs o m es p e c i f i ce x a m p l e s ，t h es i g n i f i c a n c eo ff a c t o r i z a t i o no f a r r a n g e m e n t si sd e s c r i b e d ，a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e ns o m ep r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r i s t i c s ，s u c ha st h em o b i u sf u n c t i o na n dt h ep o i n c a r ep o l y n o m i a l ，o f t h e a r r a n g e m e n t sa n dt h et h o s eo ft h e i rs u b a r r a n g e m e n t sa l ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：a f f i n ea r r a n g e m e n t ；r e d u c i b i l i t y ；m a t r i x ；d e c o m p o s i t i o n i v 北京化1 大学硕士学位论文 k 4 y z h q ( a 丁( 4 三( 4 x ，( x ) d 【i 】 x a y ( x v 】，) 4 x ) 万( a ，f ) 盯 【l ，f 】 符号说明 域 超平面构形 k 上的向量空间 向量空间的维数 4 中的超平面 么的定义多项式 超平面构形4 的中心 构形a 中超平面的所有非空交的集合 三( a ) 中的元 x 的秩( 余维数) 矩阵d 的行指标集和列指标集分别为，和j ，的子矩阵 中所有包含x u y ( x n y ) 的元的交 构形的一元麦比乌斯函数 构形的庞加莱多项式 置换 集合 l ，2 ，t ) 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：堇b 鱼室日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上一年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名： 导师签名： 掮晴雹 日期：竺：金墨塑三! 望 日期：三! 12 至! 旦至! 旦 第一章绪论 第一章绪论 超平面构形是数学的一个新的研究方向，近几十年来在国际上受到广泛关注，很 多学者从不同的角度对超平面进行了试探性研究，并取得了很大的进展，其理论成果 广泛应用于各个领域。 1 1 课题来源 在，维向量空间中，称，一1 维仿射子空间为超平面。超平面是平面中的直线、空 间中的平面之推广，有限个超平面的集合称为超平面构形。这是较为简单的代数曲面， 具有很好的代数、几何和拓扑性质。随着空间维数的增加，超平面个数的增加，由于 缺乏几何直观，超平面构形的结构将会变得非常复杂。为了了解构形的各种不同类型， 分析它们的性质及其特征，希望通过把构形分解为一些基本的成分，简化对构形的研 究。具体地讲，希望知道能否把仿射构形分解为若干个不能再分解的子构形( 不可约 构形) ，把对仿射构形的研究归结为对它的不可约子构形的研究。这些维数较低的子 构形的超平面个数较少，性质比较简单，可以通过对子构形的研究来得到原构形的性 质。 当取定一个坐标系以后，一个超平面可以用一个，元一次的方程来表示，记为 a 玉+ 口：而+ + a t x t + 6 = 0 。我们知道，超平面的方程依赖于所选取的坐标系，当所 选取的坐标系不同时，方程也不相同。显然地，n 个超平面构成的超平面构形可以用n 个，元一次方程来表示。记为 改写为矩阵形式 两边取转置，得 a l i x l + 口1 2 屯+ + 口l ，26 l 呸l 五+ 吒2 恐+ + 口2 ，x t = 6 2 口。l 五+ 2 恐+ + 吼f x l = 吃 口l i q 2 a 2 1a 2 2 口 12 。 a i r 。6 2 1 口n i 五 恐 ： x l 6 l 6 2 ： 吃 北京化工人学硕卜学位论文 设 ( ，恐，一) i 口2 - a l z + a u a 2 2a 2 t a n la n za n l a2 a t ia t z a 2 1a 2 2 la 2 = ( 6 i ，6 2 ，包) ， a l l 嘭， 口n ， 即 ( ，恐，西) 彳t = ( 1 5 l ，6 2 ，包) 。 我们可以把彳t 看作是向量( 6 i ，6 2 ，包) 在对偶空间乜1 的基瓴，屯，西) 下的坐标表示。 任取对偶空间的一组基o 。，m ) ，则存在可逆阵丁，使得 i ，y 2 ，乃) = ( 五，x 2 ，x t ) t 那么，( m ，儿9e * 9 y , ) t - 1 = ( 五，x 2 ，而) ，代入得( y i ，儿，y , ) t - 1 a r = ( h i ，6 2 ，吃) 。于 是，基变换引起的坐标变换转化为对a t 进行行变换，相当于对彳进行列变换。又注 意到可以进行行互换，即是对增广矩阵 a l ! 。 口2 1 a n l a i ，2 j i 巴，6 2 q ，吃 进行行互换，且在保持最后一列不变的情况下进行列变换，化为特殊的相抵标准形。 以下通过化增广矩阵为标准形，找到判断超平面仿射构形可约性的标准，证明仿射构 形可约等价于对应的中心构形可约，把仿射构形因子分解存在惟一性归结为中心构形 相应的已知结论，得到仿射超平面构形因子分解的存在惟一性。 1 2前人的研究成果 在文献【3 】中，p o r l i k 和l s o l o m o n 只给出了超平面构形可约的定义，对于如何判 断一个超平面构形是否可约没有给出一个明确的判定定理。可约性是构彤的一个重要 性质，对于可约构形分解因子后，它的因子构形的性质和特征是否跟原构形的性质和 2 第一章绪论 特征有关? 如果有，又有怎样的关系等等，这些问题都值得进一步研究。 在判定构形可约性上，文献 4 】己给出了一个用极大线性无关组来判定一个中心构 形是否可约的充要条件，设( 彳，y ) 是一个中心本质构形，彳= q ，皿，日。 ，乃，以 是超平面q ，h z ，只的法向量，若乃，以可分解为两个不相交的部分组呸，吒和 屈，见一。，不妨设它们的极大线性无关组分别是q ，a r 和屈，屈，若，q ， 屈，屈构成乃，以的极大线性无关组，则( 彳，矿) 可约4 1 。这种判定方法相当简单， 最后作者又给予了算法实现，但这个结果只能判定一个中心构形是否可约，具有一定 的局限性。 文献 5 以拟阵为工具，给出了中心本质构形彳可约的充要条件是对应的拟阵 肘( 柳不连通。进而得到中心构形因子分解的存在惟一性，即：每一个超平面中心构 形都可以分解成若干个不可约构形的乘积，并在不计因子次序意义下，这种分解是惟 一的嘲。 文献 6 以导子模为工具，首先给出了彳是可约的定义，即：如果存在非空子构 形4 与4 ，使得压4u 4 是一个不交并，并且经过适当的坐标变换后4 与以的定 义多项式不含有公共变量。因为中心非本质构形总能分解为一个空构形和一个中心本 质构形的乘积，所以是可约的。然后给出了中心本质构型彳是可约的当且仅当 d i m d l ( 彳) 1 ，具体地说，彳的不可约分支数等于d i md i ( 彳) 最后证明了构形分解成 不可约分支之直和在相差背景空间的一个同构下是惟一决定鲥引。 这些结果只适用于中心构形的情形，对于仿射构形还没有类似的结论。本文将通 过建立坐标系，把仿射构形的问题转化为非齐次线性方程组的问题，以矩阵为工具， 通过证明仿射构形可约等价于对应的中心构形可约，把仿射构形因子分解存在惟一性 归结为中心构形相应的已知结论，最后得到仿射超平面构形因子分解的存在惟一性。 1 3 本文的主要结果 使得 定义1 ：设d 是川，z 矩阵，且无零行或零列。若n 1 ，且存在置换方阵乞。和q 。 3 l 匕京化t 人学硕i ：学位论文 b p d q = l l d 其中曰，c 为非空矩阵，则称d 可分，否则称d 不可分。 由这个定义，司得 引理1 ：设d 是m x n 矩阵，且无零行或零列，则d 可分当且仅当d 含有零子矩 阵研l 以】和d 1 2i 以 且 u 厶= 1 ，2 ，m ) ，厶n 厶= a zu j 2 = 1 ，2 ，刀) ，以n , 1 2 = f 2 j 。 这里约定d i il ， 表示d 的行指标集和列指标集分别为和j ，的子矩阵，1 i , j 2 。 引理2 ：设 m s = 尽4 垦4 b s 是m ，z 矩阵，其中4 是不可分的吩矩阵，e 是非零镌xl 阵，f = l ，2 ，j ，则心 为不可分阵。 定理1 设构形4 = 日。，h 2 ，以) 是，维空间v 的仿射构形， 则增广矩阵 ， i - i , = k 呱a o x ：一岛) ， y = l a = ( 么b ) = 口l l口1 2 a 2 ia 2 2 a l ，6 i ， 6 2 吒lq 2吒，吃 可经过行互换和前，列的列变换化为如下分块矩阵 石 o n 。b 4 4 ( 1 k ，l ，0 m ，) 第一章绪论 其中b = 亏 ： b l 。 是6 的置换，可能研= o ( 表示无零列) ，使得4 ( 1 歹七) 为下列情形之一 ( 1 ) 4 = ( 2 ) 石= ( 竺“”)( 否为不可分的，2s z ，1 g 咒一材) ，其中 。 b 口” e = 推论1 若中心构形4 对应的系数矩阵为彳，则彳可经过行互换和列变换化为标 准形 以 2 q 。 4 其中4 = ( 1 ) 或( 三) ，e 为大于1 阶单位阵，曰不可分，可能m = 。( 表示无零列) 。 定理2 4 = h 。，以) 是z 维空间y 的中心本质构形，且1 ， 1 。 北京化工人学硕一l ：学位论文 定义2 若钟= 叫o ，称h ，和一为平行的超平面。构形中与给定超平面平行的所 有超平面的集合称为平行族。 定理3 构形4 可约当且仅当4 0 可约。 推论2 若仿射构形以= 4 a a ，对应的中心构形 4 0 = a o 凡o xa ，o ，则k = ，。 定理4 任一仿射构形a 都可以分解成若干个不可约构形的乘积，并且在不计因 子次序意义下，这种分解是惟一的。 1 4 预备知识 1 4 1 超平面构形中的基本概念 设y 是域k 上的，维向量空间，称y 的z 一1 维仿射子空间为y 中的超平面。设 4 = ，易，以 是矿中有限个超平面的集合，则称4 是矿中的超平面构形，简称 为构形，记为4 = ( 4 ，y ) 。当4 是空集时，称4 是空构形，记为a = 囝，。超平面日在 给定坐标系下对应一个，元一次方程口：a l x l + 口2 而+ + a t x t + 6 = 0 。设4 为超平面 构形，称q ( 4 ) = 1 - i 口为构形4 的定义多项式。约定q ( o ，) - - 1m 1 7 3 。超平面的方程依 爿e ，4 赖于所选取的坐标系，当坐标系不同时，方程也不相同。因为超平面可以用z 元一次 方程表示，所以由以个超平面构成的超平面构形可以用，1 个，元一次方程来表示，即我 们可以用这n 个，元一次方程组成的方程组来表示一个构形。 若构形a 中所有超平面的交非空，则称4 是中心构形，且称t = nh 为4 的中 彘j 心；否则称4 是非中心构形。中心构形和非中心构形统称为仿射构形。若4 是中心构 形，且丁( 4 ) = 0 ) 为一点，则称4 是本质构形? 否则称4 是非本质构形。 设a = q ，吼，以 ，定义( 4 ) 为构形a 中超平面的所有非空交的集合，即有 三( 么) = n 吼n n 吼i nh , 2n n 吼f 2 j ，1 之 ，d 【j lij i 】= o 厶= 盯- 1 驴+ 1 ) ，仃- 1 ( 厂+ 2 ) ，仃- 1 ( 聊) ) ，五= z - i ( 1 ) ，f 一( 2 ) ，f - 1 0 ) ) ，d 1 2i 以】= 0 且u 厶= 1 ，聊 ，n 厶= g j iu 以= 1 ，l 】，以n 厶= 囝 ( 仁) 若d 同时含有零子矩阵d i 】，d 厶l 以】，且u 厶= 1 ，m 】，n 厶= a ， u j ：= 【l ，n 】，以n 以= 囝，设l 厶l = ，l 以i = j ，不妨记 = 】i ，之，) ，以= 五+ ，工+ ：， ) ；厶= 戤。，0 ：，。) ，= z ，五，丘) 则存在盯( ：乏：2 ) ，f ( 2 ：2 ) ，即存在置换方阵尸，q ，使得 p d q 会f 含有零子矩阵， ， 1 ，2 ，) i j + 1 ，s + 2 ，z ) 】= 0 ，f 【 ，+ 1 ，聊) i 1 ，2 ，s ) 】= 0 ， 即p d q = 瞄a 2 2 可分性的判定 引理2 设m s = e 4 岛4 色 是m 玎矩阵，其中4 f 是不可分的m i x n i 矩 阵，忍是非零m i xl 阵，扛1 ，2 ，j ，则m s 为不可分阵。 证明 对块数j 做归纳，证明m 为不可分阵。下面简记丝= m 。 当块数s = 1 时，m = ( e ，4 ) 。反设m 可分，则存在置换方阵片，g ，使得 l o 第二章矩阵的叮分性及其判定 暑旧= 甜设尽经置换变枷，则置蝴或褂佩不妨删 为( 言) 朋。m ( 其中啊 ，否则4 有零行，与已知矛盾，f 拘- - y d , 则删去孽列得到的矩 阵( 羞 恰为4 经置换得到的矩阵，由定义可得4 可分，与已知矛盾。所以m 不可 分。 假设s - 1 块时已有结论成立。当块数为s 时，反设m 可分，则同时存在零子矩阵 m i 】和m 1 2i 以】且有( 1 ) 成立。 设 。= n 【1 ，m 一，终】，：= n m 一，+ 1 ，聊】，。= 以n 1 ，m 一他】，以：= 以n m 一，吃+ 1 ，历】， i = 1 ，2 ，贝忆。u 厶。= 【l ，m 一】，厶：u 厶：= 【所一+ 1 ，朋】，以。u 以。= 1 ，l 一体】，以：u 以：= 万一n + 1 ，刀】又由( 1 ) 得厶i n 厶t = f 2 j ，s l ln 以l = 9 ，k = 1 ，2 。 下证厶。g ，2 ，以。g ，以2 a 。若不然，则i = 囝，2 = a ，以。= a ，j i ：= 囝 中至少有一成立。 1 ) 若l = g ，贝l j ，l = 1 1 2c m - m s + 1 ，卵】，厶l = 1 ，m 一，吃】。 若以。= o ，nj , = 以：，。= 【1 ，n - n , ，可得d 厶。i 以。】- o ，即帜一。= o ，与假 设矛盾。 若以2 = g ，则= j t ， 1 ，刀一仇】，以：= 【刀一亿+ 1 ，z 。 ( i ) 设：= m m a + 1 ，z 】，若以。= 【1 ，n n s ，则最= 0 ，与已知矛盾。于是 。c 1 ，刀一亿】，以。= 1 ，刀一吃】一以。g ，则存在 p ) 以。，使得d 厶。jp = 0 。若 p = l ，则垦= o ( 1 f s 1 ) ，与已知矛盾。若p 1 则有1 i s - ：1 ，使4 有零列，与已 知矛盾。 ( i i ) 设2c m 一，+ l ，卵】，贝0 乞2 = ，7 l 一，以+ 1 ，m 卜厶2 a ，存在 g ) 厶：， 使得d 【 g ) l j ： = 0 。于是4 中有零行，与已知矛盾。 北京化工人学硕j 二学位论文 若以。囝，2 囝。 ( i ) 若以。f 2 j ，则存在p ) c 以。，d 1 2 ，l 尸) _ 0 。若尸= 1 ，则e = o ( 1 f s - 1 ) ， 与已知矛盾。若p 1 则有l i s 一1 ，使4 有零列，与已知矛盾。 ( i i ) 若以= o ，则。= 1 ，n - n ， ，注意：c m 一他+ 1 ，朋】。若k = 历一他+ 1 ，聊】， 由以：g ，则存在 g ) cj t ：，使得d 【：i g ) 】_ 0 ，4 中有零列，与已知矛盾。若 2c 【朋一，唿+ 1 ，研 ，贝f j 2 = g ，厶2 = 朋一，+ 1 ，m - z , 2 g ，以2 囝，以2 = 以囝， 又厶2u 厶2 = 【研一他+ 1 ，优】，2u 以2 = n - n 。+ l ，刀】，d 2i 以2 】= 0 ，d 1 2 ：l 以：】= 0 。可 得4 可分，与已知矛盾。 2 ) 若厶2 = a ，= t 1 ，聊一，吃】，2 = 肌一他+ 1 ，m 】。 若以。= g ，则= 以：，。= 1 ，n - n , 。 ( i ) 设。= 【1 ，l 一他】，则厶。= o l = 厶：= 珑一他+ l ，z 】，d i z | 以。】= 0 ，于是 e = 0 ，与已知矛盾。 ( i i ) 设。c 1 ，聊一】，则厶，g ，存在幻) c 厶。，使得d 【 g ) ij ：。】= 0 ，于是有 1 f s 一1 ，使4 中有零行，与已知矛盾。 ( 争若：= g ，贝i j 以= 。 1 ，n - n , ，j z ：= 刀一璩+ 1 ，刀】，于是d 【厶：l 以：】= 0 ， 4 = 0 ，与已知矛盾。 ( 爹若以。g ，：g 。 ( i ) 若以：囝，则存在 p ) c 以：，使得d 【厶：i 尸) 】= 0 ，4 中有零列，与已知矛 盾。 ( i i ) 若以：= o ，以：= n - n , + 1 ，z 】，且。c 1 ，m 一他】。若，= 1 ，m 一】，由 以o ，则存在垆) c ，使得d ，l p ) _ 0 ，若p = 1 时，则e = 0 0 f s 一1 ) ，与 已知矛盾。若p l 则有l f s l ，使得4 中有零列，与已知矛盾。若。c 1 ，朋一他】， 则 1 2 第- 二章矩阵的可分性夏：l t - 麴l 定 l = o ，厶l g ，以l a ，l = j 2 o ，又l iu ，2 ，= 1 ，m 一心】，以iu 以l = 【l ，n n s ，则 由o i l , ，i 以。】_ 0 ，d e l 2 。l 以。】= o 可得丝一。可分，与归纳假设矛盾。 综合1 ) ，2 ) ，可得厶l a ，i i 2 g 。同理可证厶i 9 ，厶2 囝 下证i a ，j t 2 o 。 3 ) 若j i 。= o ，则= ：，以。= 【1 ，n - n , 】，又厶。a ，存在 q ) 厶。，使得 d 【 办i j 2 。】= 0 ，于是有1 i s - 1 ，使4 中有零行，与已知矛盾。 4 ) 若以2 = a ，则= 。【1 ，n - n , 】，以2 = n - n + l ，n 】。由厶2 o ，存在 q ) 厶：， 使得d 办i 以：】_ o 。于是4 中有零行，与已知矛盾。 综上可得l g ，i i ：o ，以。a ，以2 囝。注意lu 厶。= 【1 ，m 一他】， 以。u 以。= 1 ，n - n , 】，d 【。l 。】= o ，d 1 2 。i 以。】亍o ，于是鸠一。可分，与归纳假设矛 盾。故反设不对，由归纳法有结论成立。 1 3 北京化r 人学硕十学位论文 3 1可约性 中 第三章仿射构形的可约性及因子分解 在下文中，约定： 1 ) 构形4 = 洱，马，圮) 表示，维空间y 的仿射构形 ， q = k 呱_ 一岛) ，1 f 以； 2 ) a 对应的中心构形4 0 表示多重集口? ，h o ，n o ) 删去重复者得到的构形，其 q 。= k 叫a v x j ) ，l f ，1 若4 可约，则可通过换基，使得4 在新基( 7 7 。，仉，仇) 下的矩阵 ? fb a = i l d 且( 仍，r 1 2 ，研) 可划分为两个部分组分别张成k ，使得v = kok 且 a 2 a l x a2 。 定理1 设构形a = 日，马，e ) 是的j f 维空间矿的仿射构形， q = k 叫以扩t 一岛) ，则增广矩阵 ，么= ( 彳b ) = q 1a 1 2 a 2 l a 2 2 a t ，包 口2 ，如 12q ，吃 可经过行互换和前，列的列变换化为如下分块矩阵 1 4 第二三章仿射构形的可约性及因子分解 其中 l k n ，0 m ，b = ： b t l q 。b 是b 经置换所得，可能m = 0 ( 表示无零列) ，使得 4 ( 1 后) 为下列情形之一 ( 1 ) 4 = e = ( b 不可分，2 u ，1 q n u ) ， 证明约定称( 木) 为标准形，对n 做归纳。 n = l 时，a = ( 口。口。：口。，6 1 ) 。根据超平面的定义，a 。，( 1 i ，) 不全为 零。显然可经过前，列的列变换化为( 10 06 1 ) 。 假设n l 行时已有结论。对n 行情形证明。 不妨设q 。o ( 否则，可通过列互换使左上角元不为零) ，第一列乘以上， 后第1 列乘以一a l l 加到第i 列( 2 i ，) ，得到 然 似 弘 一e b ，。l = 一4 、4 十i 国 舯 北京化r 大学硕士学位论文 a = 100 6 l a 2 i a 2 2 a 2 ，6 2 a 月l a n 2 a 月，吃 设a 去掉第l 行第l 列的矩阵为彳，则么的行数为n 一1 ，由归纳假设，彳可化为标 准形召。保持第一行不变，通过行互换和第2 至，列的列互换把么化为标准形，并 且当么做行互换时对彳+ 第1 列做相应的行互换，得到分块矩阵 1 e4 岛4 b m 5 1 e o 垦 以吃 其中4 为珥的矩阵，量，置为伤xl 的矩阵。 考虑到第l + 1 列只做行互换，为符号的简便，下文中只对前，列做变换。 不妨设置，垦吃不全为零( 否则已为标准形) ，设e 为b l ，岛b 中第一个不为 零的块，且设口l 。为e 中从上到下第一个非零元，若q 。所在的行对应于4 f = 或 4 = ( 茎 中云部分，则它形如。q 。，。；。，可将第一，列乘以c q 。，加 到第一列，消去第1 列的元。得到( 。1 ，。o ) ，再通过行互换，依次 换到第一行的下面。否则，不作处理。设变换后的矩阵为 不妨设e n ，最n ，吃1 不全为零，重复上述过程，直至所有 1 6 厶 d 4 4 ， ) ) 1(i(2(”引易；醌 第二三章仿射构形的可约性及因子分解 ( q 。：。包) 中的g 。全化为。 不妨设变换后的矩阵中e ，岛，吃不全为零，将e ，芝，吃 中 所有非零块所在行通过行互换换到第一行下面，再通过列互换得到 其中 c = c o 0 4 通过行互换，把( 置一) 中形如 c 。，的行依次换到第一行的下面，c 可化成( 言 的形式， 其中 曰。= c ld l c 2d 2 c p 哆为 = ( 茎) 中b 部分，q 为毛中非零部分。 由q 的元全不为零，得q 为不可分阵，= l ，2 ，p ，根据引理2 ，得b 为不可 分阵，即有结论成立。 推论1 砉中心构形五对应的系数矩阵为么，则爿可经过行互换和列变换化为 以 2 q 。 4 1 7 “ “ o ，既绕：既 北京化- 丁人学硕i j 学位论文 其中4 = ( 1 ) 或( 三) ，e 为阶数大于1 单位阵，艿不可分，可能朋= 。( 表示无零列) 。 定理2 设五= 。，见) 是，维空间v 的中心本质构形，且1 ，弘州，口。彤，口删) 分别是缸。，哆，) ，缸辨+ ，口脚彤，) 的极大无 关组， 则k = 三( 口。，口：，口p ) ，r 2 = 三( 口。+ 。，+ 2 ，口。+ ，) 由ko = y ， 有 d i m v l + d i mv 2 = d i mv = l ，p + t = l 。于是 q ，+ l ，+ ， 是 ，口。) 的 极大无关组。取基( q ，乞，q ) = ( q ，口，口删，口删) ，由于超平面次序可换，五在 这个基下的系数矩阵可写为p a = 局 垦 = ( 三) ，p 为置换方阵。显然b = ( 且 可分。 2 ) j 3 ) 若曰为可分的，则存在置换方阵暑，q l ，使得日b q l = ( e 于是存在置换方阵最= ( g t 鼻 ，使得 嘲= ( q i t 日g = ( 只貅 乘置换方阵只，得到 j 通过适当的行互换可化为标准形，即左 第三章仿射构形的町约性技因子分解 只彳q = 巨 骂 易 垦 = ( 4 l ，尼 1 4 j 3 ) 1 ) 设a 在基( 毛，岛，q ) 下的矩阵为a ，由题设可化为标准形且忌 1 。 不妨设尼= 2 。于是存在置换方阵p 和可逆矩阵q ，使得 a p a q = l 1 ( 互，最分别为p 阶，一p 阶单位矩阵。 4 _ 巨 b 巨 易 于是页在基( r l , r 2 , , t i t ) = ( q ，乞，_ ) ( q _ 1 ) t 下的矩阵为尸( 4 4 ) 。适当调换超 平面的次序，可设构形 ，气，) 的矩阵为( 44 ) ，( ，。，) 是玎级排 列。 设k = l ( 7 7 。，7 2 ，7 7 p ) ，= l ( r p + 。，+ ：，研) ；a 。= ，心， ， a ：= q + i ，日乙， 即有巧。圪= y ，五= 4 。4 ：，才可约。 若标准形中有零列，则可分解为空构形和仿射构形的乘积，从而可约，因此下面 我们仅考虑仿射构形矩阵标准形无零列的情形。 定义2 若田= 矽，称日，和h j 为平行的超平面。构形中与给定超平面平行的所 有超平面的集合称为平行族。 定理3 构形么可约当目仅当o 可约。 证明设4 的矩阵的标准形中系数矩阵为a = 1 9 。注意平行的超 北京化工人学硕：l 学位论文 平面有相同的法向量，可得4 0 的系数矩阵j = ，虿：圄与 i e 4 = ( 爱) 对应，其中巨，e 由瓦，虿删去相同的行得到。于是，一4 可约等价于尼 1 ，又 等价于4 0 可约。 推论2 若仿射构形4 = 4 几x - - - x a 。，对应的中心构形4 0 = a o 4 0 x a ，o ， 则k = z 。 3 2 仿射构形因子分解的存在与惟一性 定理4 任一仿射构形么都可以分解成若干个不可约构形的乘积，且并在不计因 子次序意义下，这种分解是惟一的。 证明存在性。设4 的增广矩阵标准形为 4 0 的系数矩阵标准形为 4 4 q 。，占 4 4 0 。 4 其中4 由4 删去相同的行得到，1 f 尼。当且仅当后者有零列时，前者有零列。此 时后者对应的非本质构形，可分解为以非零列为系数矩阵的本质构形和一个空构形之 积，前者对应的构形也有相应的分解。故不妨设后者对应本质构形，即去掉系数矩阵 中的零列，相应地也去掉前者的零列。尽管咒，n 未必相等，但块数k 是相同的。因为 在化标准形的过程中，仅对最后一列做相应的行互换。因此下面仅考虑4 的系数矩阵。 2 0 第三章仿射构形的可约性及冈于分解 设4 在基( 毛，乞，q ) 下的系数矩阵为m ，不妨设尼= 2 。于是存在置换方阵尸和可逆 矩阵q ，得 f ，才 p m q = i 1 ( 、i 一 石j _ 巨 骂 互 垦 于是才在基c 孙仍，仍，= c q ，岛，q ，c q 。1 ，t 下的系数矩阵为尸( 石乏 。适当调换超 平面的煽可设构形川的系数矩阵为( 石石卜，驴是以 级排列。设k = l ( r a ，j 7 2 ，) ，k - - l ( r p + ，彬，研) ； 4 ，= q ，心，心) 么：= 已。，+ 2 ， 即有k 。圪= 矿，4 = a ，a ：，显然，当 且仅当一4 0 = 钟x a ：。推广可得4 = a x a 。当且仅当4 。=