（机械设计及理论专业论文）齿轮传动系统非线性动力特性及轮齿修缘理论研究.pdf

内容摘要 本文对单对齿轮啮合传动系统的动力学特性及修缘减振理论进行了系统的分析，建 立了齿轮系统动态分析的动力学模型，研究了系统在内、外和参数激励作用的主共振、 谐波共振和组合共振响应，提出了理论渐开线直齿轮轮齿修缘参数的确定方法。研究内 容及主要结论如下： 1 将时变啮合综合刚度按5 次谐波展开，齿侧间隙非线性描述函数用高次多项式拟合， 考虑齿侧间隙、时变啮合刚度、传递误差等多种非线性因素，建立了单对直齿轮传动系 统的非线性动力学分析模型。 2 按3 次多项式拟合系统齿侧间隙非线性描述函数，应用摄动方法推导了系统在内部、 外部激励，参数激励作用下的主共振、谐波共振和组合共振时稳态响应的频率响应方程， 绘制了相应的频率响应哇珏线，分析了系统中的不同参数对系统稳态响应的影响作用。 3 按7 次多项式拟合系统的齿侧间隙非线性描述函数，应用多尺度方法对系统动力学 模型进行了分析，指出了系统中存在的常共振、非共振、主共振、超谐波共振、次谐波 共振、分数共振、组合共振等多种谐波共振频率因子，推导了主共振时稳态响应的频率 响应方程。 4 提出了有效的数值计算方法，并对具体的齿轮系统在各种不同激励下的响应进行了 计算，获得了激励频率与响应幅值之间的关系曲线。 5 建立了渐开线直齿轮齿廓动态修缘模型，给出了考虑齿廓修缘的齿轮系统动力学分 析方程，讨论了齿廓修缘三要素：修缘量、修缘长度和修缘曲线确定方法，推导了不同 激励频率下系统共振响应幅值表达式，针对不同的修缘曲线给出了相应的修缘公式，并 结合具体实例进行了分析。 6 建立了单对斜齿轮传动系统的5 自由度弯- 扭一轴耦合非线性动力学分析模型。模型中 计及了系统的扭转振动，且考虑了由于轮齿啮合产生的轴向动态啮合力而引起的轴向振 动及齿轮轴弯曲变形产生的横向振动，应用多尺度方法对系统动力学模型进行了分析， 获得了系统中存在的多种频率因子。 关键词：时变刚度，齿侧间隙，多尺度法，轮齿修形，频率因子 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ed y n a m i cb e h a v i o r sa n dv i b r a t i o nd e p r e s s i o nf o ri n v o l u t e s p u r g e a r sw i t hm o d i f i e dt o o t hp r o f i l e sa r es y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t e d t h en o n l i n e a rd y n a m i c m o d e lf o rg e a rp a i rs y s t e mi se s t a b l i s h e da n dt h er e s p o n s e sa r er e s e a r c h e d f u r t h e r m o r e ，t h e m e t h o d sf o rd e t e r m i n i n gm o d i f i c a t i o np a r a m e t e r so fi n v o l u t es p u r g e a ra r ed e v e l o p e d ， r e s e a r c hw o r k sa n ds o l u t i o n sp r e s e n t e di nt h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1an o n l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fas p u rg e a rp a i rs y s t e mi sp u tf o r e w o r d b o t ht i m e v a r y i n g s t i f f n e s s ，t r a n s m i s s i o ne r r o ra n dt o o t hb a c k l a s hc l e a r a n c eo ft l l es y s t e ma r et a k e ni n t oa c c o u n t i nt h em o d e l t h em e s hs t i f f n e s sf l u c t u a t i o ni sd e v e l o p e da sh i g ho r d e rf o u r i e rs e r i e sa n d t o o t hb a c k l a s hc l e a r a n c ei sf i t t e db yh i g ho r d e rp o l y n o m i a lf u n c t i o n 2t h ep r i m a r yr e s o n a n c e s ，s u p e r - h a r m o n i cr e s o n a n c e s ，s u b - h a r m o n i cr e s o n a n c e s ，a n d c o m b i n a t i o nr e s o n a n c e so ft h eg e a rp a i ra r es t u d i e du s i n gm u l t i - s c a l e sa p p r o a c hw h i l et h e s t i f f n e s sn o n l i n e a r i t yi sf i r e db y3 - o r d e rp o l y n o m i a l t h ef r e q u e n c y - r e s p o n s ee q u a t i o n sa n d c h i v e sa tt h ec a s eo fi n t e r n a le x c i t a t i o n ，p a r a m e t r i ce x c i t a t i o na n dc o m b i n e de x c i t a t i o na r e o b t a i n e dr e s p e c t i v e l y 37 - o r d e rp o l y n o m i a lf u n c t i o ni sa p p l i e dt of i tt h et o o t hb a c k l a s hc l e a r a n c e t h ef r e q u e n c y f a c t o r so ft h es y s t e ma r ei n v e s t i g a t e da n dt h ef r e q u e n c y - r e s p o n s ee q u a t i o na tt h ec a s eo f i n t e m a ie x c i t a t i o ni so b t a i n e d 4an u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o df o rt h ep r e s e n t e dg e a r e dp a i rs y s t e mi sp r e s e n t e d t h e r e l a t i o n s h i pc u r v e sb e t w e e nr e s p o n s ea m p l i t u d ea n de x c i t a t i o nf r e q u e n c ya r eo b t a i n e d 5t h et o o t hm o d i f i c a t i o nm o d e lo fi n v o l u t es p u rg e a rp a i ri se s t a b l i s h e da sw e l la st h e n o n l i n e a rd y n a m i ca n a l y s i se q u a t i o no ft h eg e a rp a i rc o n s i d e r e dp r o f i l em o d i f i c a t i o ni sp u t f o r e w o r d t h er e s p o n s ea m p l i t u d e su n d e rv a r i o u se x c i t a t i o nf r e q u e n c i e sa r eo b t m n e d t h e a m o u n to f p r o f i l em o d i f i c a t i o n ，t h el e n g t ho f p r o f i l em o d i f i c a t i o na n dt h ep r o f i l em o d i f i c a t i o n c u r v e sa r ed i s c u s s e d 6f i v ed e g r e eo ff r e e d o mn o n - l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fh e l i c a lg e a rp a i rs y s t e mi sp u t l b r e w o r d t h et o r s i o no s c i l l a t i o no ft h eg e a rp a i r , t h ea x i a lv i b r a t i o na r o u s e db yt o o t h e n g a g i n gp o w e ra n dt h el a t e r a lo s c i l l a t i o n sr e s u l ti nb e n d i n gd e f o r m a t i o n o ft h eg e a rs h a f ta r e t a k ei n t oa c c o u n ti nt h em o d e l t h ef r e q u e n c yf a c t o r so ft h es y s t e ma r ei n v e s t i g a t e db ym e a n s o fm u l t i s c a l e sa p p r o a c h k e yw o r d s ：t i m e v a r y i n gs t i f f n e s s ，t o o t hb a c k l a s hc l e a r a n c e ，m u l t i 。s c a l e sa p p r o a c h ，t o o t hm o d i f i c a t i o n ， f r e q u e n c yf a c t o r n p 小n m 0 p 9 ， r 。 r 。 七 p 2 6 k 甜p 爿 妒， z ，z ， 珂j 仃2 k ， 七肥 o p l k m o 嚣 口 y ，。zp ，0p y r ，。”，0 x 符号表 主动轮转动惯量 被动轮转动惯量 主动轮质量 被动轮质量 主动轮扭转振动位移 被动轮扭转振动位移 主动轮基圆半径 被动轮基圆半径 作用在主动轮上的外力矩 作用在被动轮上的外力矩 齿轮副啮合综合刚度 齿轮副啮合阻尼 轮齿静传递误差 齿侧间隙 平均刚度 刚度波动频率 刚度波动幅值 相位角 主、被动齿轮齿数 主、被动齿轮转速 主动轮横向刚度 主动轮轴向刚度 主动轮横向阻尼 主动轮轴向阻尼 被动轮横向刚度 被动轮轴向刚度 被动轮横向阻尼 被动轮轴向阻尼 螺旋角 分别为主动轮中心点在y 向、 转角振动位移 分别为被动轮中，心点在y 向、 转角振动位移 z 向的平动振动位移和 ：向的平动振动位移和 绪论 1 绪论 1 1 引言 齿轮传动作为机械传动的重要组成部分，由于其传动功率大、效率高、结构紧凑、 传动比精确、传动平稳等优点被广泛应用在化工、汽车、船舶、航空、发电等国民经济 的重要领域中，其动力学行为和工作性能对整个机械有着重要的影响【i j 。随着生产的发 展、现代制造技术的提高、材料科学的突破、热处理工艺的改进以及科学技术的不断进 步，齿轮传动逐渐向高速、重载、高精度、轻量化、长寿命方向发展，使得齿轮振动与 噪声问题变得越来越突出【2 l 。齿轮系统的振动不但会产生噪声和导致传动系统的不稳定， 而且由于振动加剧，导致磨损、疲劳破坏、实际运动规律偏离理论运动规律，从而发生 误差，降低了机器工作的安全性、可靠性和工作质量，严重时甚至可以导致齿轮或其它 机件的破坏，使传动系统失效而发生严重的后果，因此对齿轮装置动态性能的研究倍受 关注。在某些应用领域，如汽车、航空、电梯等行业，齿轮传动装置的振动与噪声尤为 重要，已成为影响产品竞争力的首要因素。因此振动小、噪声低已经成为齿轮设计、制 造仅次于齿轮传动强度之后最重要的两个指标d 】。 从理论上讲，渐开线齿轮传动具有平稳性，但是在实际齿轮传动系统中，往往会产 生较为强烈的振动与噪声问题。齿轮传动系统振动与噪声产生的原因，主要是由于齿轮 啮合误差、齿侧间隙和齿轮啮合剐度变化激起齿轮的振动，从而产生噪声c l 。同时，由 于冲击而产生的强迫振动也使齿轮装置的各部分被激励，产生二次共振、共鸣噪声。作 为减小齿轮振动与噪声的主要措施之一齿轮修形，一直受到工程界和学术界的重 视。大量的实验与生产实践表明，合理的修形参数能使齿轮啮合噪声下降2 5 d b ，直 齿轮传动的动载荷减少4 5 * 0 5 0 4 1 - 6 1 。然而，实验与实践也表明，齿轮振动与噪声对 修形参数。特别是沿齿高方向齿廓修缘参数的选择很敏感，修缘不足或修缘过量达不到 预期的效果，反而会适得其反【7 】。因而确定合理的齿轮修形参数，对减少齿轮的啮合振 动与齿轮传动系统的噪声至关重要。但由于齿轮修形理论研究的局限性和齿轮传动振动 与噪声受多种因素影响的复杂性，齿轮修形技术至今仍面临着理论研究成果与工程实践 效果不能现实完全的统一。在我国齿轮修形理论研究尚未取得实际的应用成果，各齿轮 生产厂采用的修缘参数均为经验数据，缺乏理论依据。当同一参数、用途相同的啮合齿 轮采用不同的修缘参数后，其减振降噪的效果差异很大，有的甚至达不到减振的目的1 7 1 。 目前，与齿轮传动振动相关的齿轮动力学问题已受到国内外学术界和工程界的高度 重视。对于齿轮动力学特性及修缘理论的研究，不仅能够对齿轮系统的振动机理有全面 的了解，从而设计出平稳性好和噪声低的齿轮系统，而且动应力水平的降低将提高齿轮 系统的可靠性和使用寿命。因此研究齿轮传动系统振动产生的机理，掌握其动力学特性， 同济大学博士后研究工作报告 通过齿廓修缘寻求降低齿轮振动和噪声的有效措施，从而提高齿轮传动的动态性能，已 成为当前机械科学领域一个迫切需要解决的理论和实践问题。 1 2 齿轮系统动力学研究综述 有关齿轮动力学的研究可追溯到上个世纪2 0 年代，早期的研究以冲击理论作为解 释齿轮动态激励和动态响应的基础，用冲击作用下的单自由度系统动态响应来近似齿轮 系统的动力学行为博h j 。后来发展为以振动理论为基础，将齿轮系统作为弹性机械振动 系统分析其动力学特性j ，并开始考虑齿型误差、时变冈度等参数激励对动特性的影响 【1 2 1 - “j 。在齿轮传动系统中非线性因素始终存在，由于没有满意的数学方法，因此在相 当长的一段时间内，人们总是想尽各种办法对非线性因素进行线性化i 副叫”l ，以解决工 程中的实际问题。9 0 年代以来，随着非线性动力学理论的发展，以及计算机运算速度及 容量的提高，使得用非线性动力学理论研究齿轮系统的振动特性成为可能。近年来，该 领域内非线性动力学研究非常活跃，齿轮系统的动力学问题受到学术界和工程界的格外 重视，主要研究领域包括：分析传动系统固有特性和计算系统对激励的动态响应；分析 齿轮、传动轴、轴承、箱体的设计参数及结构对传动系统动态特性的影响；设计齿型修 整和轮齿修缘的参数，并分析减振降噪效果；探索低噪声、低振动、高强度齿轮传动系 统的最佳参数和结构等。 1 2 1 动力学分析模型 齿轮传动系统中的菲线性因素主要包括两个方面，即由轮齿啮合刚度的时变性引起 的参数振动和由齿侧间隙引起的间隙非线性振动【l 】。另外，齿轮啮合时还存在着各种制 造误差、安装误差、磨损、热变形、油膜、齿轮磨擦等，它们均将影响系统的动力学特 性。在理论计算和试验过程中都发现，齿轮副在工作时会表现出典型的非线性特性 1 3 l f ：6 、，如：次谐和超谐响应、极限环共存及混沌振动等，而且还可能出现拍击( r a n l j n g ) 和锤击( h a m m e r i n g ) 等现象，使噪声和动载增大。因此本质上说齿轮系统是一个包含 多种非线性因素的复杂强非线性振动系统。 对齿轮系统动力学的早期研究是基于线性振动理论的，在分析模型中不考虑系统中 存在的诸如动态啮合刚度、齿侧间隙等非线性因素，因此模型较为简单，理论分析相对 容易。所建立的模型自由度数可以取得很高，既可以针对单个齿轮对进行研究、也可以 针对一个齿轮组包含传动轴、轴承等组成的大型齿轮一转子一轴承系统进行研究。由于 线性振动理论已经比较成熟，能够方便地求解系统的固有频率和振动模态，因此现在这 种线性化的分析模型依然被经常用来分析复杂齿轮系统的固有频率和振动模态 2 9 1 叫3 0 1 。 关于线性化模型方面的研究成果，文献【1 1 】已经做了较为详实的综述和评价。 一般来说，齿轮轮齿啮合的重合度不是整数，啮合过程中同时参与啮合的齿对数随 绪论 时间而周期变化，因而轮齿的啮合综合刚度是随时间周期变化的。这种由于啮合综合刚 度的时变性而产生的刚度激励使齿轮系统的动力学方程中含有时变系数，因而齿轮系统 动力学问题属于参数激励的范畴。一些研究者建立的动力学分析模型中考虑了这种刚度 时变性对系统的影响，他们建立的分析模型实质上是m a t h i e u 或h i l l 类型的方程【3 i l 叫”】。 根据这类方程可以对系统的稳定性进行分析。另一方面由于润滑的需要，以及制造、加 工、安装等的误差和使用过程中的磨损，在啮合轮齿问存在齿侧间隙。如果齿轮传递较 大的载荷，轮齿的啮合表面始终处在接触状态，轮齿间的齿侧间隙不对齿轮系统的动态 特性产生影响。但是如果齿轮在轻载下高速运转，或者齿轮系统处于频繁的启动、制动 工作条件下，由于齿侧间隙的存在，轮齿间的接触状态会发生变化，导致轮齿间的接触、 脱离、再接触的重复冲击，对轮齿动载荷和齿轮系统的动态特性产生不良影响。因此， 人们开始研究考虑间隙的齿轮系统非线性动力学特性【34 j 1 ”j 。还有一些文献 3 8 b t 4 z 则建立 了同时考虑参数激励和齿侧间隙的非线性动力学分析模型。 从本质上讲，齿轮系统是连续的弹性系统，各种建模方法均是将这种连续的弹性系 统简化为离散的弹性系统，因此所建立的分析模型均是常微分方程。对于齿轮啮合的传 动系统一般采用传递矩阵法、集中参数法或有限元法建模；对于结构系统多采用有限元 法建模”。 另外，从所建立的分析模型的自由度数和研究对象上来看，齿轮系统动力学分析模 型可以分为：( 1 ) 单对齿轮啮合系统的单自由度模型l l “；( 2 ) 单对齿轮啮合系统的多自由 度模型【4 3 】，( 4 4 1 ；( 3 ) 不考虑支承轴和箱体变形的多对齿轮啮合的多自由度模型【”1 ；( 4 ) 考虑多种因素( 如支承轴弹性、轴承间隙、齿面磨擦、油膜等) 的单对或多对齿轮啮合 的多自由度模型；( 5 ) 针对其它齿轮传动( 如行星齿轮传动1 5 0 | 【5 2 1 、斜齿轮传动f 5 3 】、 蜗轮蜗杆传动) 而建立的多自由度分析模型。 1 2 2 求解方法 考虑多种非线性因素的齿轮系统动力学分析模型建立之后，必须对其寻求行之有效 的分析方法。目前对这一系统的理论研究主要分为解析方法和数值方法两类，解析方法 主要包括：( 1 ) 分段线性化方法【5 7 】；( 2 ) 谐波平衡法【1 4 1 ；( 3 ) 打靶法【5 8 】；( 4 ) 摄动法【5 6 | 。 其中使用较多的是谐波平衡法，如b 1 a n k e n s h l p 等用谐波平衡法求解了齿轮副单自由度 的参数激励和间隙非线性动力学问题，发现了超谐响应和极限环共存现象，并进行了实 验验证【1 4 。c o m p a r i n 和s i n g h 提出了一个单自由度常刚度( 等效刚度) 具有间隙振动的数 学模型，并用谐波平衡法求解。r a g h o t h a m a 建立了齿轮传动系统的3 自由度非线性动 力学模型，用增量谐波平衡法求得了系统的周期解1 5 “。a i s h y y a b 应用谐波平衡法分析 了多对齿轮啮合系统的动力学行为，并探讨了系统的浑沌响应1 5 “。谐波平衡法的优点是 不需要对非线性的强度进行事先的假定，并可用于求解非解析函数描述的非线性，不足 之处在于仅能考虑一次谐波的稳态响应，略去了超谐和次谐响应。p a d m a n a b h a n 和s i n g h 绪论 时间而周期变化，因而轮齿的啮合综合刚度是随时间周期变化的。这种由于啮合综合刚 度的时变性而产生的刚度激励使齿轮系统的动力学方程中含有时变系数，因而齿轮系统 动力学问题属于参数激励的范畴。一些研究者建立的动力学分析模型中考虑了这种刚度 时变性对系统的影响，他们建立的分析模型实质上是m a t h i e u 或h i u 类型的方程 3 1 1 - 3 3 1 。 根据这类方程可以对系统的稳定性进行分析。另一方面由于润滑的需要，以及制造、加 工、安装等的误差和使用过程中的磨损，在啮合轮齿间存在齿侧间隙。如果齿轮传递较 大的载荷，轮齿的啮合表面始终处在接触状态，轮齿问的齿侧间隙不对齿轮系统的动态 特性产生影响。但是如果齿轮在轻载下高速运转，或者齿轮系统处于频繁的启动、制动 工作条件下，由于齿侧间隙的存在，轮齿间的接触状态会发生变化，导致轮齿间的接触、 脱离、再接触的重复冲击，对轮齿动载荷和齿轮系统的动态特性产生不良影响。因此， 人们开始研究考虑间隙的齿轮系统非线性动力学特性【”1 【”1 。还有一些文献啡1 则建立 了同时考虑参数激励和齿侧间隙的非线性动力学分析模型。 从本质上讲，齿轮系统是连续的弹性系统，各种建模方法均是将这种连续的弹性系 统简化为离散的弹性系统，因此所建立的分析模型均是常微分方程。对于齿轮啮合的传 动系统一般采用传递矩阵法、集中参数法或有限元法建模；对于结构系统多采用有限元 法建模“。 另外，从所建立的分析模型的自由度数和研究对象上来看，齿轮系统动力学分析模 型可以分为：( 1 单对齿轮啮合系统的单自由度模型i l w ：2 ) 单对齿轮啮台系统的多自由 度模型【”】，1 4 4 1 ；( 3 ) 不考虑支承轴和箱体变彤的多对齿轮啮合的多自由度模型1 4 5 】1 删：( 4 ) 考虑多种因素( 如支承轴弹性、轴承间隙、齿面磨擦、油膜等) 的单对或多对齿轮啮合 的多自由度模型【州；( 5 ) 针对其它齿轮传动( 如行星齿轮传动【5 ”i 旧、斜齿轮传动酬、 蜗轮蜗杆传动) 而建立的多自由度分析模型。 1 2 2 求解方法 考虑多种非线性因素的齿轮系统动力学分析模型建立之后，必须对其寻求行之有效 的分析方法。目前对这一系统的理论研究主要分为解析方法和数值方法两类，解析方法 主要包括：( 1 ) 分段线性化方法【5 7 1 ：( 2 ) 谐波平衡法“】；( 3 ) 打靶法0 8 】；( 4 1 摄动法。 其中使用较多的是谐波平衡法，如b l a n k e n s h l p 等用谐波平衡法求解了齿轮副单自由度 的参数激励和间隙非线性动力学问题，发现了超谐响应和极限环共存现象，并进行了实 验验证【1 4 。c o m p a r i n 和s i n 啦提出了一个单自由度常刚度( 等效刚度) 具有间隙振动的数 学模型，并用谐波平衡法求解。r a g h o t h a m a 建立了齿轮传动系统的3 自由度非线性动 力学模型，用增量谐波平衡法求得了系统的周期解p 4 】。a i ，s h y y a b 应用谐波平衡法分析 了多对齿轮啮合系统的动力学行为，并探讨了系统的浑沌响应口“。谐波平衡法的优点是 不需要对非线性的强度进行事先的假定，并可用于求解非解析函数描述的非线性，不足 之处在于仅能考虑一次谐波的稳态响应，略去了超谐和次谐响应。p a d m a n a b h a n 和s i n g h 之处在于仅能考虑一次谐波的稳态响应，略去了超谐和次谐响应。p a d m a n a b h a n 和s i n g h 同济犬学博士后研究工作报告 基于打靶法提出了一个求解非线性微分方程的参数连续法，该方法将微分方程周期问题 的求解用打靶法变为非线性特征值问题的求解，然后用连续法求解这组参数的非线性方 程1 6 “。也有研究者利用摄动方法分析齿轮系统的振动响应特性，如t h e o d o s s i a d e s 应用 多尺度方法对直齿轮系统的稳态响应进行了分析并和数值分析结果进行了对比研究，获 得了系统响应的幅频曲线。但所用分析模型将啮合刚度看成是分段线性的口。相对于理 论分析方法，数值方法在齿轮系统的动力学分析中应用也非常广泛，主要的数值方法有 直接积分法、g i l l 积分法、r a n g e k u n a 法等。例如k a h r a m a n 等建立了直齿轮副的单自 由度间隙非线性动力学模型，计及了周期时变刚度的影响，用数值法获得了系统的周期 响应和混吨响应1 3 。文献 2 8 1 采用5 - 6 阶变步长r u n g e k u n a 法对计及摩擦、间隙及时变 刚度时直齿齿轮副的周期振动、混沌振动和分岔特性进行了数值计算，定量地研究了摩 擦对系统的周期响应、混沌响应及分岔等非线性特性的影响。有的研究者则同时运用多 种分析方法对同一问题进行求解，如k a h r a r n a n 等建立了直齿轮副的单自由度间隙非线 性动力学模型，计及了周期时变刚度的影响，首先用数值法获得了系统的周期响应和混 吨响应。此后又建立了一个同时考虑齿轮间隙和轴承间隙的三自由度方程，并用多尺度 法求解。1 9 9 5 1 9 9 7 年，又将时变刚度、间隙函数、传动误差和外激振力展成为多项谐 波，用谐波平衡法求解【1 2 川3 1 。另外一些研究者针对轮齿齿面磨擦、油膜、动载荷等展 开了相关的理论和实验研究，如k a h r a m a n 和b l a n k e n s h i p1 9 9 7 年给出了一个具有间隙、 周期时变参数和外部激励联合作用的非线性系统振动的实验结果，证实了跃迁现象和亚 谐波共振和混沌现象的存在，并给出了一个形成奇怪吸引因子的p o i n c a r e 图。c c w a n g 的研究则表明由于齿轮侧隙可以引起很大的动载荷，因此在重载下安全的齿轮，在轻载 下不定安全。 以上对齿轮系统非线性动力学的研究多以直齿圆柱齿轮为对象，对于斜齿轮、锥齿 轮、行星齿轮等其它形式的齿轮传动系统的研究相对较少。有关斜齿轮多自由度振动模 型，最具代表性的是b l a n k e n s h i p 删和v e l e x 建立的1 4 个自由度的非线性模型。在 b l a n k e n s h i p 的模型中，用了3 个位移坐标和3 个转动坐标来控制齿轮位置，并用同样6 个微振动坐标来控制相应方向的振动，总的振动方程较为复杂。在v e l e x 的模型中，仅 考虑了齿形偏差，安装误差和轮齿变形对振动的影响。对于行星齿轮传动的动态特性， 文献 引h 叫建立了行星轮系的非线性模型并进行了实验研究，并用数值方法对系统的非 线性响应特性进行了分析。有关近二十年来考虑时变刚度和齿侧间隙的齿轮系统非线性 动力学建模理论和研究成果文献【5 9 】做了详细的评述。 1 3 齿轮修缘理论研究综述 齿轮修缘，也称齿轮修形是降低齿轮系统振动的一个重要手段，齿轮修形技术已成 为高精度齿轮传动设计和制造的关键技术。自1 9 4 0 年w a l k e r 7 5 1 提出轮齿修缘以来，许 多学者和工程技术人员对这一问题进行了理论研究和实验分析，并根据各自的理解和实 绪论 践提出了多种修形理论和方法。 齿轮修形包括齿高方向的齿廓修形和齿宽方向的齿向修形两方面【_ 7 6 】。从理论上讲， 精确的渐开线刚性齿轮完全能够保证主、被动齿轮基节处处相等，从而保持平稳的齿轮 啮合传动过程。但实际上齿轮副为弹性体，在一定的啮合力作用下会产生相应的弹性变 形，导致在啮合过程中主、被动轮基节出现变化，不再相等。另外，齿轮啮合刚度的动 态变化、齿轮制造与安装形成的综合误差、温差形成的零件变形等也会引起轮齿偏离理 想的共轭啮合位置，不仅会产生啮入、啮出冲击，还会引起轮齿啮合的中间冲击和边缘 冲击，致使齿轮的连续啮合过程中断，啮合齿对反复分离、冲击。为了减小由于基节误 差和受载变形所引起的啮入和啮出冲击；或为了改善齿面润滑状态防止胶合发生，而把 原来的渐开线齿廓在齿顶或接近齿根圆角的部位修去一部分，使该处的齿廓不再是渐开 线形状，这种措施或方法就称为齿廓修形( 或齿廓修缘) 。齿轮传动过程中，传动轴、 轴承、箱体受载后会发生弯曲及扭转弹性变形，此外制造中的齿向误差、箱体轴承座孔 的误差和受载后的变形所引起轴线不平行，以及高速齿轮因为离i i , 力引起的变形和温差 引起的热变形等，都会使齿面负荷沿齿宽方向产生边缘接触，造成载荷局部集中，引起 高负荷区的齿面破坏或折断，因此必须沿齿向进行修形。齿向修形也包括鼓形修形和齿 端修形，修形的部位和大小则要根据齿轮的位置和传动轴的弯曲变形情况来决定【7 7 】。 精确计算轮齿变形是齿轮修缘的基础，在此基础上确定合理的修缘参数才可能达到 理论设计的减振降噪目的。因此，轮齿剐度的研究一直受到充分重视1 7 剐叫”l 。对于直齿 轮，一般是将其处理为二维平面问题来进行轮齿刚度的研究。计算方法主要有材料力学 的方法、数学弹性力学方法和有限元法1 7 “。材料力学方法是直齿轮轮齿变形分析最早使 用且至今仍广泛应用的一种方法。c o m e l l 8 2 1 分析了轮齿的弯曲、剪切、接触变形以及齿 根曲线形状和轮齿基础弹性等对轮齿变形的影响，n a g a y a l 8 3 研究了作用在齿面上的载荷 的移动速度对变形的影响。他们的研究是迄今为止，最为完善的材料力学分析方法。数 学弹性力学方法 8 4 1 1 拍l 应用保角影射变换将齿轮的曲线边界影射为直线边界，由作用于 半平面上集中力的复变函数，求解出半平面的位移场，从而得到轮齿受载点的变形。一 般认为数学弹性力学方法在直齿轮两6 度计算方面的精度最高。7 0 年代以来，有限元法开 始大量应用于轮齿的弹性变形计算。用有限元法计算轮齿变形的精确性，主要取决于轮 齿啮合接触力的处理形式和计算边界确定问题”，j “l 。 齿廓修缘有三种方式 8 9 】：在大多数情况下，是把靠近齿顶的一部分切削掉或磨削掉， 称之为齿顶修缘；另外一种情况是将齿根的一部分切削掉或磨削掉，称之为齿根修缘； 齿顶和齿根同时进行修缘为全齿廓修缘。齿廓修缘的主要任务是确定齿廓修缘的三要素 7 9 1 ：修缘量、修缘长度和修缘曲线。对设计载荷条件下、啮合重合度小于2 的渐开线直 齿轮副的齿廓修缘，已有较多的研究成果。在齿廓最大修缘量和修缘范围的研究方面已 取得较为一致的看法。在只进行齿顶修缘时，齿顶最大修缘量应等于修缘齿顶进入啮合 时，另一齿对啮合点位置所对应的两轮齿变形量的和。采用长修形方法确定轮齿的修缘 范围，即认为修缘起始点为接近齿顶的轮齿最大变形啮合点；若在啮合线上表示，齿顶 至修缘起始点的修缘长度 = g ( e 1 ) ，其中只为齿轮基节，为重合度。齿廓修缘陆线 线形的确定方法有许多种，各种方法之间存在较大的差异。推荐的修缘曲线有直线型， 也有曲线型，一般认为采用曲线型修缘曲线更为合理1 9 0 1 。 合理选择齿廓修参数可以减缓或避免轮齿间的冲击、振动和噪声。目前的齿轮修缘 研究，大多均假定轮齿传递理想的啮合力，即以静力学状态下的齿轮传动为假设前提。 少数研究虽然考虑了动态条件，但也仅仅考虑了轴的扭转振动。显然这样的修缘方法在 准静态载荷下可以获得较好的减振效果，而在中、高速齿轮传动中效果则不会十分明显。 齿轮啮合振动与噪声产生于动态状态下的齿轮传动系统中，因此只有将齿轮修缘与齿轮 传动的动力学分析相结合，才能更准确地评判轮齿修缘的减振效果，并为轮齿最佳修缘 参数的选择提供可靠依据。 1 4 本文工作简介 本文针对齿轮传动系统非线性动力学和轮齿修缘理论研究中的不足，考虑齿侧间 隙、时变啮合刚度、传递误差等多种非线性因素，分别建立了直齿轮和斜齿轮传动系统 的非线性动力学分析模型，采用理论分析和数值仿真相结合的方法，对所建立的齿轮传 动系统中的非线性行为进行分析。研究不同参数和不同载荷激励下，系统中存在的非线 性动力特性。寻求行之有效的复杂非线性振动系统的摄动解和数值解，确定低振动、低 噪声齿廓曲线方程的数学表达式，从而从根本上解决齿轮齿廓修缘参数的确定问题。本 文内容具体安排如下： 第l 章对齿轮系统动力学研究现状和渐开线齿轮修缘减振理论进行了综述，回顾 了齿轮系统动力学分析建模方法的演变和发展过程、评述了针对非线性齿轮系统提出的 各种理论分析和数值求解方法的特点和不足之处；对轮齿修缘的基本原理、轮齿刚度研 究成果、理论渐开线直齿轮齿廓修缘作了介绍，为确定本文研究方向和方法奠定了基础。 第2 章考虑齿侧间隙、时变啮合刚度、传递误差等多种非线性因素，建立了单对 直齿轮传动系统的非线性动力学分析模型。模型中将周期性的时变啮合综合刚度按5 次 谐波展开；齿侧间隙非线性描述函数用高次多项式拟合得到，通过归化处理最后获得 了系统的运动微分方程。 第3 章在单对直齿轮传动系统的动力学分析模型中，首先按3 次多项式拟合系统 的齿侧间隙非线性描述函数，应用摄动方法推导了系统在内部激励，外部激励，参数激 励作用下的主共振、谐波共振和组合共振时稳态响应的频率响应方程，绘制了相应的频 率响应曲线，分析了系统中的不同参数对系统稳态响应的不同影响作用。 第4 章按7 次多项式拟合系统的齿侧间隙非线性描述函数，应用多尺度方法对系 统动力学模型进行了分析，获得了系统中可能存在的各种频率因子，推导了主共振时的 频率响应方程。 第5 章针对所建立的齿轮传动系统动力学模型的结构特点，提出了有效的数值计 算方法，并对一具体的卤轮系统在各种不同激励下的响应进行了计算，获得了激励频率 绪论 与响应幅值之间的关系曲线。 第6 章建立了渐开线直齿轮齿廓动态修缘模型，给出了考虑齿廓修缘的齿轮系统 动力学分析方程：讨论了齿廓修缘三要素：修缘量、修缘长度和修缘曲线确定方法；推 导了不同激励频率下系统响应共振幅值表达式，针对不同的修缘曲线( 指数曲线，三角 曲线，二次曲线，高次曲线) 给出了相应的修缘公式，并结合具体实例进行了分析。 第7 章将齿侧间隙按对称形式考虑、时变啮合刚度按5 次谐波展开，建立了单对 斜齿轮传动系统的5 自由度非线性动力学分析模型。模型中不但计及了系统的扭转振动， 而且还考虑了由于轮齿啮合产生的轴向动态啮合力而引起的轴向振动及齿轮轴弯曲变 形产生的横向振动，因此所建立的模型是一个弯扭轴耦合的复杂动力学系统。 第8 章按5 次多项式拟合斜齿轮传动系统的齿侧间隙非线性描述函数，应用多尺 度方法对系统动力学模型进行了分析，获得了系统中存在的各种频率因子。给出了在斜 齿轮转动系统中存在着的多种可能的谐波共振形式，如主共振、超谐波共振、次谐波共 振、组合共振、内共振等。 旦丛堂堡圭亘翌塞三堡塑宣 2 含动刚度、传递误差及齿侧间隙齿轮系统动 力学分析模型 2 1 动力学分析模型 如图2 1 所示的单对直齿轮传动系统，设齿轮系统的传动轴和支承轴均是刚性的， 则齿轮副的扭转振动分析模型可以表示为： 图2 1 单对直齿轮副的动力学模型 争坶。卜鲁以鲁一卦彻坼嗽- - ( 归撕t ， 警电。( b 鲁以等一朝趣t 玳”鹕厕) 娟z 固 式中厂( 了( 州描述了具有齿懊4 间隙时轮齿啮合力的非解析函数，如果将间隙处理成如图 2 2 所示的对称形式，则齿侧间隙非线性的描述函数为： 7 f 虱i ) ) = r ( f ) 一b 0 ，_ _ x ( ，) + 6 系统的动态传递误差为： x d ( r ) = r p o p ( f ) 一r 。口x ( f ) ( 2 4 ) 图2 2 齿侧间隙非线性函数 拐 。曲击：叁：裟 2 含动刚度、传递误差及齿侧间隙齿轮系统动力学分析模型 动态传递误差与静态传递误差之间的差值为； x ( f ) = r ，0 ，( f ) 一r 。敛( f ) 一e ( t ) ( 2 5 ) 于是( 2 1 ) ，( 2 2 ) 两式表示的齿轮副分析模型可以简化为一个单自由度的分析模型： 挚托百d x ( t ) 嘶( 确) 磊属m k - ) ( 2 6 ) 式中： ，= # 2 了( 2 7 ) 。，。r ，2 + i p r # 。 n 罢每珀私等半m 一亿等 亿s ， 其中i ，为齿轮副传递载荷的平均值，f “( i ) 表示系统所受的外部激励，f m ( i ) 为 系统的内部激励，将外部激励和内部激励表示成简谐函数则有 f 盯( f ) = f 前c o s ( ( o 盯r + 办)f 却( r ) = m 。o j 曲2 e c o s ( c oc h t + 西，) ( 2 9 ) 于是系统的动力学分析模型可表示为： 挚蝇百d x ( t ) 嘶( 莉) 沆赢c o s ( 新增m - - 2 = c o s ( 磊圳( 2 1 0 1 2 2 轮齿刚度与无量刚化 在齿轮啮合过程中，单齿啮合和双齿啮合交替变化，齿轮的啮合刚度在单齿和双齿 啮合交替时会发生突变，且在不同的啮合位置，啮合刚度也是不同的。因此在传动过程 中啮合的刚度是时变的，具有明显的周期性。将齿轮啮合刚度展开成5 次谐波可得 5 屯( ，) = k + a ，c o s ( j c o 卅，) ( 2 1 1 ) ，= l 其中 石。= 2 f f z i 1 6 0 = 2 r ：z , _ n 2 6 0 ( 2 1 2 ) 将( 2 1 1 ) 代入( 2 1 0 ) 式，并令： x = x l b 鸺2 历， 2 赤一峨； l = 鲁心2 舒，民2 ；一，2 去 纹0 9 一2 百。2 瓦r n 同济大学博士后研究工作报告 则得到归一化后的无量刚方程为 孤m 锄，+ ( 1 十骞驷s c 媳，卜， = + f o tc o s ( c o x tr + 办) + f o 山曲2c o s ( ( o 曲f + 纯) 式中 f x ( f ) 一1 z ( ，) 1 ，( x ( f ) ) = 0 一i x ( t ) 1 i x ( f ) + 1x ( r ) ( 一1 2 3 间隙非线性描述函数 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 对于( 2 1 4 ) 所示的间隙非线性描述函数，在其上均匀地取1 2 0 个点，如图2 3 所示 并对其用高次多项式进行拟合，拟合结果如图2 , 4 、图2 5 和表2 1 所示： 2 1 ， ，。 一3 2 1 12 3 - ， 一1 ， - 2 图z ，3 间隙非线性描述函数曲线拟合点 袭2 1 齿侧间隙非线性描述函数高次多项式拟合结果 多项式 x夕x5x 7p x i i x x 。 芏 壅塑 一 1 05 1 9 1 3 0 1 6 6 5 5 60 0 6 3 5 6 5 6 5 o 0 6 3 3 7 9 30 1 8 2 3 0 1 - 0 0 1 15 7 4 9 70 1 7 13 4 90 2 9 0 6 3 40 0 3 7 5 8 7 6 0 0 0 1 7 4 4 1 7 9 0 1 7 4 2 2 302 9 5 1 9 7 o 0 3 9 5 1 2 30 0 0 2 0 4 15 5o 0 0 0 0 1 5 1 8 4 1 10 1 0 0 3 5 8 o 1 2 6 7 2 2o 0 6 9 8 2 7 1 - o 0 2 6 8 3 7 30 0 0 3 3 0 3 3 1o ，0 0 0 1 3 7 9 1 0 - 2 含动刚度、传递误差及齿侧间隙齿轮系统动力学分析模型 2 ，( r ) l 一， 75 i 。i 一 一 1 23 - 2 图2 4 齿侧间隙非线性描述曲线多项式拟合结果( 一) 2 ；八砷， i ， 2 0 l 2 123 图2 5 齿侧间隙非线性描述曲线多项式拟合结果( 二) 图2 4 、图2 5 为多项式拟合曲线与理论间隙曲线的对比，可以看出多项式次数取 的越高，拟合精度也就越高，但理论分析也就越困难。当多项式次数大于等于7 次后， 提高多项式次数对提高拟合精的影响不明显，实际上三次多项式已经基本能够反映间隙 非线性描述函数的总体趋势，因此为了便于分析，本文第3 章首先以三次多项式拟合为 例进行分析，推导系统谐振响应时的频率响应方程，此时系统的动力学分析方程为 同济丈学博士后研览工作报告 r， 、 即) + 2 鲥卅l i + 蔷和胞h 疵a l x + 口3 x 3 ) = c + c ，c o s ( 吱? f + 磊) + ，_ 血k 2c o s ( ，+ 珐) 在第4 章中，贝4 取7 次多项式进行拟合，以便获得更高的拟合精度 性描述函数取为 ( 2 1 5 ) 于是间隙非线 f i x ( t )