（计算数学专业论文）几种非线性波方程的数值方法及数值模拟研究.pdf

摘要 本文着眼于怎样利用不同的差分方法和时间离散方法来解非线性方程在第一章中介 绍了有限差分方法的基本概念和著名的y o nn e u m a n n 条件在第二章中介绍了经典的r u n g e - k u t t a 方法和l a x w e n d r o f f l f 间离散方法在第三章中我们首先列出了几种非常实用的差分格 式，比j t l i c r a n k n i c o l s o n 格式和蛙跳格式，然后介绍了几种经典的和重要的解非线件波方程的 方法，包括有限元方法和有限体积格式，谱方法一些有趣的技巧如算子分裂被使用，来分 裂特定复杂方程( e g 高阶非线性s c h r o d i n g e r 方程，e t c ) 中的线性项和非线性项，并分别加以解 决这里给出了大量的例子第四章中我们介绍了一些例子来诠释p a d 6 格式，y o nn e u m a n n 条 件和l a x w e n d r o f f 方法，并提出了一种解奇阶非线性方程的隐式p a 出方法 另外，本介绍t c o m p a c t o n s ( - - 种有限波长的孤粒子) 之间的弹性碰撞及一般s o l i t o n s ( 孤粒 子) 之间可能发生弹性碰撞也可能发生非弹性碰撞的性质，并用数值实验证明了这些性质 a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u $ o nh o wt on l a k e1 1 8 eo fd i f f e r e n tn u m e r i c a ls c h e m e sa n db a s i ct e m p o r a l d i s c r e t i z a t i o nm e t h o d st os o l v en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i nc h a p t e rlb a s i cc o n c e p t i o no ff i n i t e d i f i e f e n c em e t h o d sa n df a m o u sy o nn e u m a n nc o n d i t i o ni si n t r o d u c e d i nc h a p t e r2r u n g ek u t t a m e t h o d sa n dl a x - w e n d r o f ft i m ed i s c r e t i z a t i o nm e t h o d sa r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3w ef i r s tl i s ts o m e p r a c t i c a ld i f f e r e n c es c h e m e 8 ，s u c ha sc r a n k - n i c o i s o ns c h e m ea n dl e a p f r o gs c h e m e ，a n dt h e ni n t r o d u c e s e v e r a lc l a s s i c a la n di m p o r t a n tm e t h o d st os o l v en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，i n c l u d i n gf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，f i n i t ev o l u m em e t h o da n ds p e c t r a lm e t h o d s s o m ei n t e r e s t i n gt e c h n i q u e ss u c ha so p e r a t i o n s p l i t t i n g w h i c hi sd e s i g n e dt os e p a r a t el i n e a ra n dn o n l i n e a rt e r m so fap a r t i c u l a re q u a t i o n ( e g h i g h - o r d e rn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，e t c ) a n ds o l v ei tr e s p e c t i v e l y , a r ei n t r o d u c e d av a r i e t yo f n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n i nc h a p t e r4w ep r o v i d es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t ep a d 6s c h e m e ，y o n n e u m a n nc o n d i t i o na n dl a x - w e n d r o f fm e t h o da n dp r o p 0 6 ea ni m p l i c i tp a d ds c h e m ef o ro d do r d e r n o n l i n e a re q u a t i o n s b e s i d e s ，w ei n t r o d u c et h ee l a s t i cc o l l i s i o n sb e t w e e nt h ec o m p a c t o n s ，s o l i t o a sw i t hf i n i t ew a v e - l e n g t h s ，a n dc o l l i s i o n sb e t w e e ns o l i t o n s ，w h i c hm a yb ee i t h e re l a s t i co ri n e l a s t i c 独立完成与诚信声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究工作所取得的研究成果。尽我所知。文中除特别标注和致谢的地 方外，学位论文中不包含其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中国科学技术大学或其它教育机构的学位或证书所使用过的材 料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 签名：垄趔日期：2 1 1 ：! 垒：堇 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解中国科学技术大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件： 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允 许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后应遵守此规定) l 签名：堑避日期：呈! ! i ：! 致谢 在这篇硕七论文完成之际，我衷心的感谢我的导师刘儒勋教授，在完成论文期间，刘 老师不仅在学业上对我严格要求，悉心指导。勤加督促，而且在生活上给予了我热情的关怀 和无私的帮助。我愿意向他致以我最诚恳的谢意 同时，我要感谢与我同一个研究小组的汪继文老师，段雅丽老师，夏银华徐振礼师 兄，以及周浩师兄在与他们的讨论与交流中，我得到了许多有益的启发我也要感谢科大数 学系计算数学专业的冯玉瑜老师，陈发来老师，邓建松老师以及其他任课老师，从他们的研 究生课程中，我受益非浅舭外，我在研究生阶段的学习和工作中得到了科学计算与计算机 图形学实验室的众多成员的支持和帮助，这里一并表示谢意 最后，我衷心感谢我的父母以及所有关心我的亲人和朋友 第一章引论 1 1 差分方法的基本概念 在各种数值计算方法中，有限差分方法是发展最早，理论最完善，应用也最广泛的一种 方法，1 9 2 8 年，c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 和l e w y 第一次提出了差分方法的收敛性问题，并证明 了针对双曲型方程收敛的c f l 条件，这标志着对差分方法的系统性的理论研究的开端此 后，对于差分格式的理论研究与实际应用得到了迅速的发展自5 0 年代起，形成了套较为 完整的f o u r i e r 模式分析方法，建立起了将差分格式的稳定性与收敛性联系在一起的著名的 l a x 等价定理，并提出了严格y o nn e u m a r m 稳定性条件f 2 ，3 1 6 0 年代初，l a x 等人又提出了 弱解理论和能量分析方法【4 】1 9 9 2 年，l e l e 【3 4 1 将p a d 6 格式总结推广成一类多参数具有类谱精 度不超过七点的对称紧致格式( c d ) ，阶数最高可达加阶由于该类格式具有分辨率商无耗 散，低色散等优点，它已被较多用于湍流及气动声场的直接数值模拟中 下面，我们将讨论有限差分方法的基本概念与基本性质考察关于未知函数u ( x t ) 的一 个偏微分定解问题 象= 砒( 圳u 【0 i t l ( 1 1 ) ( $ ，0 ) = ，( 。) ，z u ( 1 2 ) l l ul a 圹= o ，t i o ，刀( 1 3 ) 其中l , l 。均为空间微分算子上式中( 1 1 ) 称为控制方程( 或源方程) ，( 1 2 ) 称为数值条件，( 1 3 ) 称为边界条件 不失一般性，假定问题是一维的，u = i a ，6 j ，也即解域为o b , 0 t ( 更多的时候，我 们往往只考虑m ( 1 i ) 与( 1 2 ) 所组成的初值定解问题，这时一般取空间解域为全实轴，即 u = ( 一o o ，+ 。) ) 设定网格 8 = z 0 x l 霉j 一1 j = 鑫( 1 , 4 ) 1 驭a x j = 勺一一1 ，j = l ，2 ，j ，a x m a x l _ i 1 时才有( 1 ”成立，则 称( 1 6 ) 为条件相容格式由以上定义可知，相容的差分格式在差分网格无限加密时，它完全 收敛于控制方程；而不相容的差分格式在网格无限加密时，或者是不收敛，或者是收敛于另 一个控制方程，因此不相窖的格式是不可用的 二稳定性 我们说个差分格式是稳定的，是指用它来进行实际计算时，它对任何原冈引入某时间 层的误差都有抑制能力，即是说，它能确保引入的各种误差扰动不产生实质性的增长以淹没 真相，稳定性是差分最重要的性质 定义1 2 设在某时间层t = t 。引入的误差为e ? ，记q = “( q ，t 。) + ? ，若通过格式( 1 6 ) 的 计算得到u y l ，其误差r 1 = 哼“一u ( ，t 。+ 1 ) 也不差生总体上的增长。即 0 碍“l l s k i i 曰8 ( 1 8 ) 则称格式( 1 6 ) 是稳定的差分格式其中”0 表示某种范数，k 为不依赖于n j 的正常数在 实际问题的分析中，我们更常用的是以下的稳定性定义 定义1 3 设通过格式( 1 6 ) 计算所得到的第n 层的函数值记为铲，如果对于某种范数l ， 存在不依赖于n 0 的正常数k ， k x 0 ) a t o ，使得 i i 矿0 k0 扩9( 1 9 ) 对0 z s a x o ，0 t a t o 一致成立，则称格式( 1 6 ) 是稳定的 格式的稳定性常常是有条件的，这种条件正式表现为空间步长a x 与时间步长的约 束关系因此在进行数值计算之前我们必须进行稳定性分析只有满足了稳定性条件我们 才能够应用差分格式进行计算 2 0 0 6 盘 第一章引论 中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 l2v o r ln e u m a n n 稳定性判别务件 i 收敛性 定义1 4 记控制方程( 1 1 ) 的真解为u ( x ，t ) ，其相容的差分格式( 1 6 ) 的近似解为罅，当 a x ，a t 一0 时，或网格无限加密时，有q 一矿，t t i t + ，而( 矿，t + ) 为解域u 内的任意固定点 如果以下极限成立 l i m a t ，z o 嵋= ( z + ，t + ) ，( z ，t + ) u( 1 1 0 ) 就称格式( 1 6 ) 具有收敛性收敛性也是差分格式的一条重要的内在性质但是，从以上定义 可见，直接讨论差分格式的收敛性往往比较困难所幸的是，我们有如下两个著名的l a x 等价 定理 定理1 5 设( 1 1 ) ( 1 2 ) 是一个适定的线性微分方程的初值问题，而( 1 6 ) 是它的相容的差 分格式那么其稳定性是收敛性的充要条件 定理1 6 设( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 j 3 ) 是一个适定的线性微分方程的初边值问题，而( 1 6 ) 是它的相 容的差分格式，那么其稳定性保证了收敛性 因此，今后我们对于线性问题的差分格式的讨论，将只着眼于稳定性分析 四耗散性与色散性 差分格式的解尽管在稳定性的保证下，是收敛于控制方程的准确解的，但常常在准确解 变化剧烈的地方呈现出光滑化现象或虚假震荡现象，这正是我们所说的耗散效应与色散效 应 定义l7 如果差分格式( 1 6 ) 的解哼的振幅相对于真解u ( x ，t ) 的振幅有衰减或增长现 象，则称格式( 1 6 ) 具有耗散性 定义1 8 设差分格式( 1 6 ) 的解为哼，控制方程的真解为u ( x ，t ) ，如果至少存在某一个波 长( 或波数) 的波，使得q 与u ( x ，t ) 以不同的速度传播，则称格式( 1 6 ) 具有色散性 耗散性与色散性是差分格式的数值特性的重要体现通过理论分析，有效的调节和控制 差分格式的耗散性与色散性，对于实际问题的数值计算具有重要意义 1 2 v o l ln e u m a n n 稳定性判别条件 稳定性是差分格式最基本，最重要的性质一个差分格式如果是不稳定的，即使其他方 面的性质再好，也是没有实用价值的因此稳定性分析是差分格式的理论分析的关键部分 讫今为止，已经形成了许多种关于稳定性分析的理论，其中y o nn e u m a n n 稳定性判别条件是 应用最广的一种方法从实质上讲，y o nn e u m a n n 方法讨论的着眼点在于差分格式的“放大 因子”，从中推导出稳定性条件这里，我们对这种方法及其主要结论作一简述我们考虑 一殷的线性控制微分方程 雨0 u i u 0 ( 1 1 1 ) 瓦一 1 “ 2 0 0 f i 年 第一章引论 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 l ，2 v o nn e u m 抓n 穗定性礼剐备件 其中l = l ( 鑫) 是空间微分算子是的一个常系数多项式不妨设我们所做的是等步长的矩形网 格分割，空间步长z = h ，时间步长a t = k ， + 个逼近方程( 1 ，1 1 ) 的两层差分格式的一般形式为 a ，l 喘= 鼠略l ( 1 1 2 ) mf 其中a 。，目为差分格式的系数，m ，l 为某些整数指标 仍考虑控制方程( 1 ，1 1 ) 及差分格式( 1 1 2 ) ，我们将差分格式的离散解改写为如下形式 嵋兰“( 巧，k ) = e a n k e l 0 , z = g n e i 0 $ 2 ( 1 1 3 ) 将c 1 1 3 ) 代a ( 1 1 2 ) 可得到 a 。俨+ 1 e 嘲州缸= 肠酽e 鳓“灿 ( 1 1 4 ) m 1 由此可解出 g = g ( ，a x ，t ) = ( e 咖缸) - 1 ( 局e 倒血) ( 1 1 5 ) m2 我们把上式中的g 称为差分格式的”放大因子“以上从( 1 1 3 ) 到( 1 1 5 ) 的过程正是我们最常 用的求解放大因子的作法，g 一般取复数值，它的模f g i 的大小表征了差分格式的解的振幅以 上仅仅是对c 1 1 1 ) 为标量方程时来讨论的一般情况下，我们也可以用同样的作法来考察矩邑 控制方程( 1 1 1 ) 此时差分格式( 1 1 2 ) 中的系数a 。，置皆为矩阵，由( 1 - 1 5 ) 解出的放大因予g 也是 矩阵这时候我们需要考察放大因子g 的所有特征值a 1 ，沁，九我们有如下的著名的y o nn e u m a n n 必要条件 定理1 9 差分格式( 1 1 1 ) 稳定的必要条件是1 g l 的特征值满足 凡isl + o ( z x t ) ，i = 1 ，2 ，s( 1 1 6 ) 对于0 a t r ，o n a t r 和任意波数p 成立，其中f ，t 为常数在实际应用中，我们有如下几 个判别稳定性的充分条件： 定理1 1 0 当矩阵g 是正规矩阵时( a p c o 日= g h g ) ，v o nn e u m a n n 必要条件也是差分格 式稳定的充分条件 定理1 1 1 当s = 1 时，即差分程是标量形式时，g g h = g h g 恒成立，所以v o r in e u m a n n 必要 条件也是差分格式稳定的充分条件 定理1 1 2 如果矩阵g h g 的谱半径p ( g ) 满足 p ( c “g ) 1 + o c a t ) ( 1 1 7 ) 对0 a t r , o 0 ，( 3 2 7 ) 其中 三= 争昙+ e 昙 z s ， l 2 互。j 萨+ j i ( 3 _ 2 8 】 席= 2 + e m j 2 兰+ 3 c l u l 2 ) 。】 ( 3 2 9 ) 算子分裂的基本思想是在每个时间步把待解决的问题分成线性子问题和非线性子问题然后 我们对每一个子问题采取不同的策略处理有时我们会对线性子问题采取相同的空闯离散方 法但是不同的时间离散方法众所周知，伪谱方法对初边值问题能获得高精度解然而，特别是 在处理二阶或者更高阶的空间导数时，相应的微分矩阵容易出现很大的假特征值，这将导致 严格的时间步长限制( 特别对于显式的时间步方法) 这里，我们将应用时间分裂的谱方法，对 非线性一阶导数部分采用四阶显式r u n g e - k u t t a 方法和谱方法( f f t ) ，对线性部分采用上文中 提到的c r a n k n i c o l s o n t y p e 谱方法( c n f f t ) 或者f f t 【4 0 j 这样，我们不只保证了谱精度，也 放宽了时间步长限制这种方法解一般的孤粒子方程也是高效和易于实现的( 隐谱法也是一 种没有严格时间步长限制的高效谱方法【6 l 】) 我们也通过计算守恒量 q ( t ) = l u ( 。，t ) 1 2 如，( 3 3 0 ) j 一 来验证数值格式的精度 e x a m p l e1 单孤粒子实验( 3 2 7 ) 有单孤粒子解 u ( x 。t ) = 2 口s e c 【2 卢z + 8 纠e 印( 2 卢2 t ) ( 3 3 1 ) 我们取e = l 并取初值 t 0 ( ) = 、2 s e c h ( 2 x ) ( 3 3 2 ) 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 量三兰兰垒兰兰耋兰竺三兰兰竺兰兰! ! ；! 兰兰竺兰兰童 通过( 3 3 1 ) 知，( 3 2 7 ) 幂1 1 ( 3 3 2 ) 在时f 3 t _ l = 有精确解 t ( z ，t ) = v 互s e e h ( 2 x + 8 t ) e x p ( 2 i t ) ( 3 3 3 ) 从表3 1 3 6 和图3 1 我们可以看出对非线性子问题采用显式p a d d 格式代替直接使用分裂步谱 方法( c n f f t 或f f t - f f t ) 可以改进稳定性条件，提高计算效率。线性部分如果直接使f f t 方 法对于较大的时间步长将会出现非常不稳定的现象，因此通常使用c n f f t 的方法代替 t a b l e3 1a c c u r a c yt e s tf o rp a d e d i f fs c h e m ew i t hnc e l l si n - 2 5 ，1 5 】a tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n h n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2 n ( h k ) c p u t i m e l 1e r r o r o r d e r l e r r o r o r d e r p a d e - d i l f1 2 8 ( 5 1 f i ，1 8 0 ) 1 0 4 2 1 94 1 3 8 0 26 2 9 8 d 0 l 2 5 6 ( 5 3 2 ，1 1 2 5 ) 1 2 0 6 0 9 45 8 0 8 0 32 8 39 7 0 8 0 22 ，7 0 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 5 0 0 ) 1 6 6 7 7 e + 0 0 34 0 9 4 8 e - 0 43 8 2 6 6 0 l 0 33 8 8 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，l m 0 0 ) 2 4 3 8 6 e + 0 0 42 5 5 5 7 e - 0 54 0 04 1 9 2 e - 0 43 9 8 t a b l e3 2a c c u r a c yt e s tf o rc n d i f fs c h e m ew i t hnc e l l si n i - 2 5 ，15 】a tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n h n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2n ( h ，k ) c p u t i m e l le r r o r o r d e r l o o e r r o r o r d e r c n d i l f1 2 8 ( 5 1 6 ，1 3 0 ) 1 4 2 1 94 1 9 8 0 2 0 4 0 6 8 0 l 2 5 6 ( 5 3 2 ，1 1 2 5 ) 8 7 8 1 36 1 8 0 3 2 7 81 0 2 8 8 0 1 2 ，6 4 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 5 0 0 ) 6 04 8 4 442 7 3 8 8 0 43 8 470 8 0 33 8 8 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，1 2 0 0 0 ) 4 4 6 ，9 2 1 92 6 6 9 5 b 0 54 o o4 3 8 8 2 8 0 44 0 0 t a b l e3 3a c c u r a c yt e s tf o rf f t - d i f fs c h e m ew i t hnc e l l si n - 2 5 ，1 5 】a tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n h n l se q u a t i o n ( 3 ，2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2n ( h , k ) c p u t i m e l xe r r o r o r d e r l o o e r r o r o r d e r c n d i f r1 2 8 ( 5 1 1 6 ，1 3 0 ) 1 3 2 8 11 3 0 1 8 0 l1 1 9 4 1 2 5 6 ( 5 3 2 1 1 2 5 ) 8 3 9 4 4 5 8 0 21 5 5 4 ，6 2 9 b o l 1 3 7 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 5 0 0 ) 5 5 6 8 7 51 1 8 0 35 3 4 1 4 4 b 0 2 5 0 1 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，1 2 0 0 0 ) 3 7 4 ，1 7 1 95 0 9 0 7 8 0 54 4 38 ，9 2 7 7 8 0 44 0 1 t a b l e3 4a c c u r a c yt e s tf o rp a d e - f f ts c h e m ew i t hnc e l l si n - 2 5 ，1 5 la tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n h n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2n ( h ，k ) c p u t i m e l le r r o r o r d e r l e r m r o r d e r p a d e f f t1 2 8 ( 5 1 6 ，1 5 0 ) l & 2 0 3 12 8 l l - 0 23 7 5 2 8 0 l 2 5 6 ( 5 3 2 ，1 2 5 0 ) 2 6 6 9 2 1 92 5 0 8 0 33 4 94 2 8 8 0 23 1 3 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 1 2 5 0 ) 4 7 8 2 3 e + 0 0 3 9 2 4 3 4 e - 0 5 4 7 6l6 0 8 0 34 7 4 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，1 6 2 5 0 ) 8 ，5 4 7 3 e + 0 0 43 2 9 2 3 8 0 6 4 8 l 56 5 3 9 d 0 5 4 8 2 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 ! 量兰兰兰丝兰童矍竺三兰竺竺兰竺! 兰! 墨兰垒兰童童 t a b l e3 5a c c u r a c yt e s tf o rc n f f ts c h e m ew i t hnc e l l si n - 2 s ，1 5 la tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o nh n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2n ( h ，k ) c p u t i m e l le r r o r o r d e r l o o e r r o ro r d e r c n - f f t1 2 8 ( 5 1 6 ，1 5 0 ) 3 7 9 6 92 6 4 8 0 23 5 3 1 8 0 1 2 5 6 ( 5 3 2 ，1 2 5 0 ) 3 3 4 2 1 92 8 0 l - 0 33 2 448 6 8 0 22 8 6 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 1 2 5 0 ) 3 3 74 8 4 41 1 1 0 5 l 0 44 6 61 9 0 8 0 34 6 8 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，1 6 2 5 0 ) 3 8 8 7 6 e + 0 0 34 4 3 9 2 8 0 64 6 47 6 4 4 2 8 0 54 6 4 t a b l e3 6a c c u r a c yt e s tf o rf f t 二f f ts c h e m ew i t hnc e l l si n - 2 5 i s a tt = 2 p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n ，h n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) w i t he x a c ts o l u t i o n ( 3 3 3 ) t = 2n ( h ，k ) c p u t i m e l le r r o r o r d e r l c c e r r o r o r d e r c n - f f t1 2 8 ( 5 1 6 1 1 5 0 ) 3 8 2 8 1 1 8 9 1 6 e + 0 4 6 2 9 4 5 e + 0 5 2 5 6 ( 5 3 2 ，1 2 5 0 ) 3 2 8 7 5 03 2 0 8 0 32 2 54 o b 0 22 3 9 5 1 2 ( 5 6 4 ，1 1 2 5 0 ) 3 1 9 9 6 8 88 6 7 l 1 0 5 5 2 11 5 8 0 34 7 4 1 0 2 4 ( 5 1 2 8 ，i 0 2 5 0 ) 3 7 7 1 0 e + 0 0 33 “6 7 8 0 64 6 55 9 0 0 5 8 0 54 6 7 图3 1 ：o n e - s o l i t o ns o l u t i o ne r r o r so ft h ec o n s e r v e dq u a n t i t yqa tt = 2 1 0 9 1 0 ( i q 一2 1 ) v sl o g ( c p u t i m e ) e x a m p l e2 双孤粒子弹性碰撞试验t h eh n l se q u a t i o n ( 3 2 7 ) 的两个孤粒子解有如下形式 一一gi)op穹一 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 第三幸非线性渡方程的一般数值方法 第1 5 页 3 1 算子分裂方法 1 8 】 m = 雩怒等芸筹等筹畿嚣铲c s 从图3 2 3 4 ，我们可以看w , c n d i 臃通过网格加细之后，虽然采取较大的时间步，仍能得出 图3 2 ：e l a s t i cc o l l i s i o no ft w os o l i t o n sb yc n - d h 行m e t h o dw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s h = 嘉 a t = t 岛m o d u l u s o fs o l u t i o na t ( a ) t = 0 ；( b ) t = 1 5 ；( c ) t = 3 比p a d d - f f t 更为精确的结果c n d i 叻法比一般的分裂步谱方法( c n f f t 或者f f t f f t ) 更 稳定 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 兰三兰竺丝兰兰兰兰竺三竺兰竺童兰 墼；! 兰兰坌兰童童 图3 3 ：e l a s t i cc o l l i s i o no ft w os o l i t o n sb yp a d e - f f tm e t h o dw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s h = 南 t i 嘉m o d u l u so f s o l u t i o na t ( a ) t = 1 5 ( b ) t _ 3 图3 4 ：e x a c ts o l u t i o no ft w os o l i t o n s se l a s t i cc o l l i s i o n h = 嘉m o d u l u so fs o l u t i o na t ( a ) t = 1 5 ；( b ) t = 3 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文 第1 7 页 量三兰兰垒兰竺童矍竺三丝竺竺童童 墼；! 兰三垒兰! 兰 3 1 2k ( m ，n ) 方程的隐方法 。 1 时，k ( m ，n ) 方程( 3 2 ) 是完全非线性的他们的孤粒子解具有有限波长的紧支集并 且称之为”m p a c t o m ”这类方程的孤粒子解具有特别的性质：他们发生的碰撞不同于。般可 积系统的孤立子碰撞，两个c o m p a c t o n s 碰撞的位置将会出现一个低振幅的c o m p a c t o n 反c o m p a c t o n 对：他们发生的碰撞为弹性碰撞，碰撞后以相同的形状出现当n = m 时，他们具有一种非常稳 定的形式，即1 2 7 1 u = 等c o s 【n 。- 。l ( z x t ) l 2 似以) 川z - a t l 而2 “t t r ， 并且u 会在其它区域消失，其中a 是常数代表行波的速度 k ( n ，n ) 方程的l e a p f r o g 格式： 掣+ 丽1 n + ，一礴一，) 一弼1 l n + ：一2 蟊+ 。+ 2 l n 一稚- 2 ) = o k ( n ，n ) ) c r a n k n i c o l s o n 格式： ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) n + l 一螺+ p 1 ( n + + l l 一稿) + ( 如l 一靠一1 ) l + p , tr n + 1 2 2 n + + l l 十2 龆一n + 一1 2 1 + i 镌+ 2 2 磊+ l + 2 翰一1 一蟊一2 】，= 0 ( 3 3 7 ) 其中p l = k 4 h ，p 2 = k 4 h 3 咖，= 墨缅f o r t h e 峭k ( 2 , 2 ，) 删e q u a t 。i o n ， 对k d ，型方程我们通常采用隐方法求解，包括隐谱法【6 1 l 和隐式p a d 6 的方法，迭代片j 预估校 正或n e w t o n 迭代完成隐式c r a n k n i c o l s o n