（水力学及河流动力学专业论文）潮汐水流宽度平均的垂向二维数值模拟研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 潮汐水流宽度平均的垂向二维数值模拟研究 摘要 滨海水域受工业废水和生活废水的注入而引起的水环境 问题已不可忽视。同时，由于河口淡水流量的减少，促使海水 盐度增加，同样也引起了水域水环境的恶化。这不仅影响着河 口地区居民的生活质量，同时也影响到河口地区水质和水资源 的综合利用，从而制约着整个河口地区经济的发展。因此河口 地区水环境治理问题已迫在眉睫，并弓l 起了人们越来越多的关 注。 滨海水域水环境中污染物质的迁移变化与潮汐水流运动 密切相关，因此，对这些问题的研究都需要首先对潮汐水流流 动进行定量的描述。 潮汐水流运动的研究是研究污染物在滨海水域水环境中 输运规律的基础，也是滨海水域水环境评价的基础。数值模拟 是研究此类问题的重要手段之一。 本文的主要任务是采用沿宽度平均的垂向二维数学模型 j 太原理上大学硕十研究生学位论文 对潮汐水流进行数值模拟，并进行软件的开发工作。具体研究 工作包括： l 、对潮汐水流运动方面的国内外研究现状进行了综合评 述。 2 、对非恒定流动自由面处理方法进行了分析和比较。 3 、在此基础上，将描述水流运动的控制方程沿宽度方向 积分，再沿宽度取平均，构成沿宽度平均的垂向二维潮汐水流 运动控制方程组。 4 、选用v o f 方法处理自由面，建立了描述潮汐水流流动 特性的垂向二维数学模型，即以沿宽度平均的垂向二维连续性 方程、垂向二维动量方程( n s 方程) 作为主场的控制方程， 用沿宽度平均的垂向二维流体体积函数输运方程作为辅助方 程，来描述整个流场的运动情况。 5 、进行数值离散时，连续性方程采用有限差分法中的隐 格式；动量方程的离散格式为混合格式；流体体积函数f 盼离 散采用施主一受主单元模型。 6 、在每一计算时间步，根据自由面单元及其邻近单元的 流体体积函数值来判别自由面单元内自由面的方向和位置，对 ji 太原理丁大学硕士研究生学位论文 自由表面的几何形状进行重新界定和构造。 7 、依据本文所建立的沿宽度平均的垂向二维潮汐水流数 学模型及其计算程序对垂向二维涌浪的波面运动以及湛江发 电厂附近实际海域的潮流场进行了数值模拟，计算结果分别与 理论解及原体观测资料进行了分析比较，吻合较好，具有较高 的精度，获得了较满意的结果。 关键词：潮汐水流，数值模拟，v o f 方法，自由面 奎堕堡王丕堂堡塑塞生堂鱼兰壅 s t u d yo nw i d t h a v e r a g e d2 一d n u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rt i d a lf l o w a b s t r a c t t h ew a t e r e n v i r o n m e n t p r o b l e m r e s u l t i n g f r o mt h e i m p r e g n a t i o no ft r a d ew a s t ea n ds e w a g ec a n th a v ea l r e a d yb e e n n e g l e c t e di ne s t u a r i e sa n dc o a s t a la r e a a tt h es a m et i m e ，b e c a u s e o f r e d u c t i o no ff r e s hw a t e ri nt h ee s t u a r y , t h es e a w a t e rs a l i n i t yh a s i n c r e a s e da n dt h i sa l s oc a u s e st h ed e t e r i o r a t i o no f t h ew a t e ra r e a t h ed w e l l e r s l i f e q u a l i t y i sa f f e c t e d a r o u n dt h e e s t u a r y ，m e a n w h i l et h ec o m p r e h e n s i v eu t i l i z a t i o no fw a t e r q u a l i t y a n dw a t e rr e s o u r c e si nt h ee s t u a r ya r ea l s oa f f e c t e d ，a c c o r d i n g l y t h ee c o n o m i c a l d e v e l o p m e n to ft h ew h o l ee s t u a r yr e g i o ni s r e s t r i c t e d s od i s p o s a l p r o b l e mo ft h ew a t e re n v i r o n m e n th a v e a l r e a d ys t a r e du si nt h ef a c ea n db e e np a i dm o r ea t t e n t i o n t h et r a n s p o r t a t i o no ft h ep o l l u t a n ti nt h ee s t u a r i e sa n dc o a s t a l a r e a c l o s e l yr e l a t e st ot i d a lf l o w , s ot h et i d a lf l o wi s f i r s t l y d e s c r i b e dq u a n t i t a t i v e l yi no r d e rt or e s e a r c ht h ep r o b l e ma b o v e v 查堕堡查堂堕主堑壅圭兰垡笙墨 t h er e s e a r c h e so nt i d a lf l o wa r et h ef o u n d a t i o no fs t u d y i n g t r a n s p o r t a t i o n l a wo f p o l l u t a n t s a n do f e v a l u a t i n g w a t e r e n v i r o n m e n ti nt h ee s t u a r i e sa n dc o a s t a la r e a n u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sa ni m p o r t a n ta p p r o a c ho fr e s e a r c h i n gs u c ha st h e p r o b l e m t h em a i nt a s ko ft h i sp a p e ri st oa d o p tw i d t h - a v e r a g e d2 - d n u m e r i c a lm o d e lt os i m u l a t et i d a lf l o wa n dd e v e l o pt h es o f t w a r e ， s p e c i f i e da sf o l l o w s ： 1 、d o m e s t i ca n do v e r s e a sr e s e a r c hs i t u a t i o no nt i d a lf l o wi s c o m p r e h e n s i v e l yr e v i e w e d 2 、u n s t e a d yf l o wf r e e - s u r f a c en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d s a r ea n a l y z e da n dc o m p a r e d 3 、o nt h eb a s i so ft h e s e ，t h ec o n t r o le q u a t i o n so fw a t e rf l o w a r ei n t e g r a t e da n dt h ev a r i a b l e sa l o n gt h ew i d t ha r ea v e r a g e da n d t h ec o n t r o le q u a t i o n so ft i d a lf l o wb a s e do nw i d t h - a v e r a g e d2 - d n u m e r i c a lm o d e la r eo b t a i n e d ，c o n s e q u e n t l yt h et w o d i m e n s i o n a l v e r t i c a in u m e r i c a lm o d e lt od e s c r i b em o v e m e n tc h a r a c t e r i s t i co f t i d a lf l o wi se s t a b l i s h e d 4 、t h ev o fm e t h o di s c h o s e nt ot r a c kf r e e s u r f a c ef l o w o ft i d e ，c o n s e q u e n t l yt h et w o - d i m e n s i o n a lv e r t i c a ln u m e r i c a l m o d e lt od e s c r i b em o v e m e n tc h a r a c t e r i s t i co ft i d a lf l o wi s e s t a b l i s h e d t i d a lf l o wi sd e s c r i b e db yt h em o d e lb u i l ti nt h e p a p e ri n c l u d i n gw i d t h a v e r a g e dc o n t i n u i t y ，e q u a t i o n a n d v 太原理工大学硕士研究生学位论文 m o m e n t u me q u a t i o n ( n se q u a t i o n ) a sc o n t r o le q u a t i o n so fk e y f l o wf i e l da n du s i n gt h ew i d t h a v e r a g e dv o l u m eo ff l u i df u n c t i o n a sa s s i s t a n te q u a t i o n 5 、f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o di su s e dt oa p p r o x i m a t et h e p r e d i c t i n ge q u a t i o n s ，t h ef i n i t e d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o nu s e df o r t h e c o n t i n u i t ye q u a t i o n i sa ni m p l i c i tr e l a t i o n ，m o m e n t u m e q u a t i o na p p r o x i m a t i o ni sr e c e i v e db yac o m b i n e dr e l a t i o na n d t h eg o v e r n i n ge q u a t i o nf o rt h ev o l u m eo ff l u i di ss o l v e db y d o n o r - a c c e p t o rm e t h o d 6 、t h el o c a t i o na n do r i e n t a t i o no ff r e e s u r f a c ew i t h i ns u r f a c e c e l l sa r er e l a t e dt ot h efv a l u e so ft h e s es u r f a c ec e l l sa n dt h ef v a l u e si nt h en e i g h b o rc e l l sa n dt h eu p d a t e df l u i dc o n f i g u r a t i o no f f r e es u r f a c em u s tb e g i v e na te a c hs t e p 7 、t h et r a n s m i t t a lo f t h e2 - db r e a k i n gb o r ei ne l e v a t i o na n d t h et i d a lm o v e m e n ti nf a c t u a ls e a sa r es i m u l a t e db yt h em o d e l e s t a b l i s h e di nt h ep a p e r a n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t h t h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lv a l u e sr e s p e c t i v e l y li ts h o w st h a tt h e c a l c u l a t i o nr e s u l t s a g r e er e a s o n a b l yw i t ht h et h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a lv a l u e s t h ec o m p u t e dr e s u l t sh a v eh i g h e rp r e c i s i o n a n da r es a t i s f a c t o r y v l l 太原理t 大学硕士研究生学位论文 k e yw o r d s ：t i d a lf l o w , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h ev o f m e t h o d ，f r e es u r f a c e 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 1 1 1 选题背景及研究意义 我国沿海有众多的入海河口，都是有潮河口，如长江口、珠江口等。 其自然条件十分优越，在航运、供水、水产和滩涂方面都具有明显的资源 优势。我国的河口城市多是人口密集、经济发达的地区，随着经济的迅猛 发展，河口海岸水环境质量日趋恶化，生态遭到严重破坏，这不仅影响着 居民的生活质量，同时也影响到河口地区的水质和水资源的综合利用，从 而制约着整个河口地区经济的发展。水污染加剧、水质下降和水生态恶化 已成为制约河1 3 地区经济持续发展的重要因素之一，河口地区水环境治理 问题己迫在眉睫，并引起了人们越来越多的关注。为了准确预报河口地区 的水环境质量，合理的进行水环境容量及污染物排放量的计算，科学制定 污染物总量控制规划，这就需要对河口地区水动力状况进行深入的研究， 进而为研究污染物在河口水环境中的输运规律奠定基础。 河口地区动力环境复杂，如天然水域中的潮汐水流，径流等。潮汐水 流流动是影响该地区水文环境条件较为突出的因素。水环境中物质的迁移 变化与潮汐水流流动情况密切相关，因此，深入研究潮汐水流的流体力学 机理和流场分布规律是环境流体力学研究的重要课题，同时该课题历来也 是工程界十分感兴趣的课题。潮汐水流流动的研究是确保预报河口地区污 染物质的稀释扩散，盐度扩散输移、含沙量分布等特殊规律计算可靠性的 重要环节，是水环境评价的基础，具有重要的学术价值和实用价值。 数值模拟方法是研究该课题的重要手段之一，在短短几十年的历史当 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 中，已经得到高速的发展和广泛的应用。所谓的数值模拟潮汐水流的方法 就是运用适当的初始条件和边界条件，采用恰当的数值离散方法和求解方 法，求解描述潮汐水流运动的控制方程组，得到一定程度上满足工程实际 要求的数值解。 潮汐水流运动具有三维流动特性，理论上应采用三维数学模型进行求 解，但是考虑到三维数值模拟计算比较复杂，并受到计算机速度及计算方 法的限制，尚不很成熟，目前在工程应用领域内采用较多、效果较好、比 较成熟的是通过适当简化处理的一维和二维数学模型。在应用二维模型 时，由于自由面变动给水流的数值模拟带来了很大的困难，自由面流动是 水动力学研究领域中的一个难点问题，故平面二维数学模型是目前在实际 工作中运用最多、最广泛的数学模型。但是对于窄深的河口，流动沿断面 方向的变化往往显得不太重要，而流场沿垂直方向则显得更为重要。这种 情况下若采用水深平均的平面二维数学模型进行模拟就不可能真实反映 实际流动状况，无法满足工程应用的要求，此时就应考虑采用垂向二维数 学模型。同样，对于某些特殊的研究课题，如盐水入侵等，为了描述河口 地区盐度分层现象，亦应考虑垂向二维数学模型“1 。 总之，随着科学进步和工程实践对数值模拟精度要求的提高，对潮汐 水流运动的垂向模拟势在必行。 i 1 2 研究方法 目前，研究河口潮汐水流问题的主要方法有现场观测、理论分析、 物理模型试验及数值模拟等。现场观测可以获得宝贵的第一手资料，了 解水流运动的总趋势，但费用很高、受地形、水文、气象条件影响较大， 也不便于独立分析各种影响因素的作用。现场观测数据通常作为其它方 法的验证和率定资料。随着研究不断地深化和问题本身的复杂化，纯粹 2 太原理上大学硕士研究生学位论文 理论分析受到了很大的限制，同时试验研究在实施中也遇到了很多的困 难。物理模型试验针对性强，对具体的研究问题建立相应的模型，但改 变控制条件的灵活性较差i 试验周期长，且运行费用也比较高，由于试 验场地的限制和观测精度的要求，河口区的物理模型通常都是变态的， 研究潮汐流动问题时变态的物理模型往往很难正确反映诸如垂向涡粘性 扩散等因素的影响。相比之下，建立数学模型利用计算机进行数值模拟 运行速度快、费用低，灵活自由，周期短，便于优化设计，并且能对试 验难以测量的量做出预报，同时它具有很好的重复性、条件易于控制的 特点，这对许多物理过程的研究十分重要。随着计算机的发展和计算方 法的改进，数值模拟已成为认识水流运动规律的重要研究手段之一，运 用得愈来愈广泛。但由于数值模拟目前仍存在着一些难以克服的困难， 故它还不能取代物理模型试验，二者是相互促进、相互补充的关系。1 。 目前，在研究海洋环境问题时往往采用潮汐水流数值模拟与物理模型 试验相结合的方法取长补短。随着人们对流动过程物理机理的不断认识 以及计算方法的不断改进，潮汐水流数值模拟的精度会逐渐提高，用数 值模拟研究水流问题将愈来愈受到人们的重视。 1 1 3 潮汐水流的研究回顾及发展趋势 1 、现场观测和试验研究 实际观测是获取潮流信息最可靠的方法，验潮站的长期观测、各海区 的海上调查工作都为我们提供了大量的实测潮位和潮流的资料，通过对这 些潮资料作统计计算或调和分析得到统计值和调和函数，从而获得河口区 域内的主要潮流特征和分布规律。 自从1 8 8 5 年雷诺( r e y n o l d s ) 首次运用潮汐河口物理模型试验研究 英国默尔塞河口的( m e r s e ye s t u a r y ) 的潮汐水流以来已有一百多年的历 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 史，现今潮汐河口物理模型试验逐渐趋于完善。且前模型有向大的方向发 展的趋势，模型中潮汐的产生、水位流速等数据的量侧已可全部自动，模 型中能够研究的问题亦逐渐拓宽。河口的动力因素比较复杂，有径流、潮 流、风浪等。在一模型早不可能将各种动力因素同时复演，模型的设计只 能抓主要矛盾，而舍去次要矛盾，根据河口的实际情况，经常起作用而且 起主导作用的是涨落潮流。研究河口治理问题的模型一般都采用以涨落潮 流为主，使模型能较好地复演天然情况。由于河口物理模型难以克服潮波 反射的影响，何况柯氏力和风暴潮的作用是难以复演的，因此对大河河口 的模拟是有一定的困难。 通过大量的潮汐水流现场观测和物理模型试验研究，人们对于河口的 潮汐水流运动有了相当的认识。主要通过试验和原体观测方法对河口潮汐 水流的物理量( 如潮位、流速) 分布规律进行描述。目前，由于我国水利 事业的迅速发展，很多工程中涉及潮汐水流运动的问题，例如南水北调。” 等，针对这些工程实际问题，对潮汐流动进行了相当多的研究工作，对该 项研究有较大的推动作用。 2 、数值模拟研究 潮汐水流数学模型就是通过引入紊流模型等方法使描述潮汐水流 运动的控制方程组封闭，结合边界条件数值求解偏微分方程，从而获得 整个求解区域的流速分布。 ( 1 ) 一维潮汐水流数学模型 潮汐水流随时间而变化，属非恒定流。一维非恒定流方程组早在 1 8 7 1 年由圣维南首次提出。故一维潮汐水流运动的数值模拟实际上是求 解圣维南方程组。一维潮汐水流数学模型较适合于那些河床形态较为规 则，河宽不大的潮汐河口。该数学模型简单，程序编制容易，省时省力， 对那些只要求了解速度等物理量沿程变化的情况来说，其计算结果足以 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 满足实际需要。但对于大多数河口来说，由于断面形态不规则以及对于 某些问题，必须了解流场在平面上和空间上的分饰，使得一维模型的应 用受到很大的限制。 ( 2 ) 二维潮汐水流数学模型 我们定义x 轴为水流流动的主方向，y 轴为横断面方向，z 轴为垂直 方向，则在一般的二维潮汐水流数值讨算中，存在着两种情况，即平面二 维( x y 平面) 和垂直二维( x z 平面) 流动。故潮汐河口二维潮汐水 流数学模型可分为两大类型：平面二维数学模型和垂向二维数学模型。 a 平面二维数学模型：将三维流动控制方程沿水深方向积分平均， 建立了平面二维数学模型。对于只需了解和计算各物理量沿平面而变化的 实际问题时我们就可以采用平面二维数学模型来模拟实际流场。该模型比 较适用于具有广阔水域的河口和港湾地区。由于三维数学模型尚不很成 熟，平面二维数学模型是目前在实际工作中运用最多、最广泛的数学模型。 其计算方法也得到了充分的发展，就其基本思想，大致可分为三大类：有 限差分法、有限单元法和有限体积法。 b 垂向二维数学模型：垂向二维潮流数学模型是将三维流动沿河宽方 向积分平均得到。对一些沿横向变化不大或只需了解各物理量沿垂直方向 变化的问题，就可采用垂向二维数学模型来模拟之。这在河床形态比较对 称的河口地区和窄深河道应用较多，或在计算盐水楔等特殊问题时常常被 应用。由于垂向二维水流运动以及边界条件( 尤其是自由表面的复杂性) ， 对于垂向二维数学模型的研究比平面二维数学模型要少。 应用垂向二维潮汐水流数学模型来研究纵向环流、泥沙回淤和盐水入 侵等都有工程算例。如m t e i s a b h ”3 在圣洛伦斯河口上成果地应用垂向 二维数学模型来研究纵向环流并与荷兰德尔夫水力实验室的水槽试验结 果相印证。我国李晓“1 通过坐标变换应用该模型模拟了长江口南槽的潮汐 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 水流。 ( 3 ) 三维潮汐水流数学模型 潮汐水流运动实质上是一个三维、非恒定的过程。应该通过求解完 全的三维方程来得到解答，但由于在具体实施时存在许多困难而使三维 模型的应用受到了限制。首先是理论上的问题，对一些复杂的物理现象， 尚不能用精确的数学模型来表达；其次是现在的观测手段难于提供三维 模型需要的边界条件，而边界条件则对计算结果具有决定性的影响，这 样就限制了三维模型的发展。 3 、潮汐水流研究发展趋势 潮汐水流的研究，在现场观测、理论分析、物理模型试验及数值模拟 四条途径的相互配合之下，已取得了长足的进展。但由于问题本身固有的 复杂性，研究工作难度大，还存在着很多有待解决的问题，远不能满足生 产实践的需要。今后应加强以下两方面的研究： ( 1 ) 对潮汐水流运动过程、物理现象作深入了解，完善其基本理论。 ( 2 ) 提高河口潮汐水流的数值模拟精度，使模拟结果更能反映真实， 接近实际情况。 1 2 数值模拟中关键性技术问题处理方法 1 2 1 紊流模拟方法 紊流是一种高度复杂的非恒定三维流动，无论紊流多么复杂，非恒定 的n a v i e r - s t o k e s 方程对于紊流的瞬时运动仍然是适用的。从理论上讲， 用数学模型模拟紊流的瞬时效应是可行的，但由于描述紊流瞬时流动的 方程组具有非线性性，同时由于紊流运动的最小空间尺度远小于流动区 域的尺度，只有很高的空间分辨率才能反映紊流的状态，而且，数值稳 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 定性条件要求很短的时间步长与空间步长相匹配，由此造成的巨大计算 量在目前是很难满足的，再者提供能反映紊动的边界条件也是非常困难 的。因此，目前还无法通过数学模型直接模拟紊流的瞬时效应”o 。不过 对于工程应用而言，没有必要分析流动的细节，工程设计一般不需要知 道速度、压力等瞬时量随时间和地点的变化过程，而仅需要知道一些统 计平均值，诸如时均速度、时均压力、时均浓度等参数已经可以达到实 际的精度要求。在涉及大型水体的紊流计算时，如潮汐水流，广泛被应 用的方法是r e y n o l d s 时均法。 r e y n o l d 时均法就是将非恒定的n a v i e r s t o k e s 方程对时间平均得 到一组以时均物理量和脉动量乘积的时均值等为未知量的不封闭方程， 然后通过添加另外的附加关系式( i g 些关系式中不能再引入新的物理量， 否则又需要补充新的方程) 来描述紊i e f 【运动。 所谓紊流模型实际上就是使方程组封闭的模型，是把紊流的脉动值 附加项与时均值联系起来的一些特定关系式。自从r e y n o l d 在t 8 9 5 年提 出时间平均的n s 方程以来，研究人员和科学家花了一个世纪的时间来 尝试建立r e y n o l d 应力的紊流模型。现在紊流模型已取得了某些预报能 力，但至今没有一种普遍接受的统有效的紊流模型。对各种紊流模型 进行分类，主要有零方程模型、单方程模型( 如：k 模型) 、双方程模型 ( 如：k - 模型) 等。 1 、零方程模型 所谓零方程模型是指不需要微分方程而是用代数关系式把紊动粘性 系数于紊流时均值联系起来的模型。1 。 零方程模型是在紊流粘性模型的基础上，由两个类比的简单物理设 想出发，( 第一个是层流粘性与湍流粘性的类比，第二个是时间运动与脉 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 动量纲类比) ，用时均量梯度模拟r e y n o l d s 时均方程组中的未知关联项， 即v 。用一个代数式表示，使r e y n o l d s 时均方程组封闭。近一个世纪以 来，人们提出了许多涡粘性系数的代数表达式，其中最简单的零方程模 型是常系数模型，及在大水体问题计算中对于整个紊动流场都使用一个 不变的紊动粘性系数。虽然这种模型粗糙，但由于该模型形式简单且直 观，对于大面积水体流动问题v 。为经验常数往往是可以容忍的，故在 实际的工程应用中仍被广泛应用。 最著名、应用最为广泛的零方程模型当推p r a n d t l 在1 9 2 5 年提出的 混合长度模型。“。对于一些比较简单的剪切流动，如射流，管流等， 混合长度模型是一种实用的近似解法。虽然混合长度模型存在以下缺点： ( 1 ) 对于流速梯度为零的点，零方程模型认为该点紊流切应力为零。这 显然是错误的( 2 ) 未考虑紊流动量的对流和扩散输运( 3 ) 通用性差， 它只适用于简单流动，对于复杂流动很难给出混合长度的表达式。但由 于它直观简单，无须附加反映紊流特征的微分方程，至今仍被广泛地应 用于各种水力计算。 2 、单方程模型 为了克服零方程模型的缺陷，人们在连续方程和r e y n o l d s 时均方程 之外又建立了一个紊流特征量即紊流动能k 的输运方程，构成单方程模 型，单方程模型考虑了湍流历经效应及混合效应，因而更加合理，但是 要用单方程模型封闭，仍必须预先给定混合长度的表达式，对于简单流 动，单方程模型显示不出它的优越性，对于复杂流动，混合长度又很难 给出。因此，单方程模型可以看成是湍流模型演化发展过程中的中间产 物，其最终结果是导致双方程模型和更高级模型的诞生和应用。 3 、双方程模型 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 为了对单方程模型进行改进，考虑到紊动脉动尺度也具有输运特性 对紊动耗散率e 写出输运方程，v 。由k 、s 给出，表达式为： c 。pk 2 y 2 占 式中vt 为紊流粘性系数；c 。是经验常数。 该模型增加了两个偏微分方程，称为双方程模型，也称k e 模型。 其控制方程由连续性方程、动量方程、紊动能方程、紊流耗散方程及式 ( 卜5 ) 组成。 k - - e 模型不仅考虑到紊动能速度比尺的输运，而且考虑到紊动能长 度比尺的输运，因而能较准确的反映复杂水流的流态。同时，k e 模型 克服了单方程模型的缺点，被广泛地应用于各个领域流体运动的数值模 拟中。 1 2 ，2 数值模拟离散方法 在计算流体力学中，研究流体运动规律，是将计算域的空间、时间 变量离散后，求解描述流体运动规律的离散型数学方程组，以数值模拟 的结果为依据，研究流体运动的物理特征。数值离散方法主要有：有限 差分法、有限元法、边界元法、有限体积法和有限分析法等。其中，最 为常见的是有限差分法和有限体积法。 1 、有限差分法1 有限差分法是数值解法中最经典最常用的数值模拟方法，简单的说 是将求解域划分为差分网格( 最简单的为矩形网格) ，用有限个网格节点 ( 即离散点) 代替连续的求解域，然后将偏微分方程的导数用差商代替， 推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组( 即代数方程组) 。求差 9 太原理工人学硕士研究生学位论文 分方程组的解，就作为微分方程定解问题的数值近似解。为了计算边界 网格节点的导数，有限差分法需要在计算域之外布置一些虚拟节点，除 微分方程所要求的边界条件外，往往要求附加边界条件，这就给处理复 杂边界带来了困难，也限制了高阶有限差分法的广泛应用。尽管如此， 由于有限差分法概念简单、清晰，可以方便的导出差分方程，易于编程， 计算工作量小，有多种格式可供选择，可用于各钟类型的微分方程，计 算精度随差分格式的不同而不同，误差分析、收敛性和稳定性分析的理 论也较成熟和完善，故该法依然是计算流体力学中常用的重要方法之一。 2 、有限体积法 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) 又称为控制体积法。它是以 连续数学为依据，物理意义为背景， 一系列连续但互不重叠的控制体积， 其基本思想是：将计算区域划分为 并使每个节点都由一个控制体积包 围，将待解的偏微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组以节点上 的因变量为未知数的离散方程。为了求出控制体的积分，必须假定因变 量在网格点之间的变化规律，构造因变量在网格点之间的插值函数。有 限体积法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理解释。该方法得出 的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足， 对整个计算区域，自然也得到满足。即使在粗网格情况下，也显式出很 好的积分守恒。所以有限体积法数值的稳定性好，收敛快，被广泛的应 用于紊流数值模拟中。 1 2 3 自由表面追踪方法 在水利、环境、海洋工程问题的研究中，常常应用数学模型的手段来 模拟水流运动规律。在这些工程问题中所涉及的水体几乎都有自由表面 存在，带有自由表面的流动是极为普遍的一种流动。由于自由面形状事 1 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 先未知，自由表面问题为强非线性不定边界问题，同时流动过程中存在 着强烈的紊动，所以这种流场比较复杂。因此在水流数学模型计算中如 何追踪自由表面将直接影响到整个模型计算结果的可靠性、精度和计算 时间，是数值模拟的一大难点。 早期的自由面流动数值求解主要体现在数值计算多项展开法中的各 级系数上( c h p p e l e a r l 9 6 1 “，d e a n l1 9 6 5 “”) ，这更象是理论分析中的数 值计算运用。真正意义上的自由面流动数值模拟，即直接利用数值方法 求解流场的控制方程，是从二十世纪七十年代开始的，并在七八十年代 得到蓬勃发展，比较典型的有：( 1 ) 、速度势和流函数作为自变量的反问 题法( s c h w a r t z & v a n d e n1 9 7 9 1 、v a n d e n s c h w a r t z1 9 7 9 1 ) ：( 2 ) 、边界 元法f l o n g u n e t - h i g g i n s & c o k e l e t 19 7 6 3 ，b u r t o n & m i l l e r19 71 1 ， v i n j e & b r e v i n g1 9 8 1 n 8 ”；( 3 ) 、贴体网格 法( t h o m p s o ne t a l1 9 7 4 ， s h a n k s & t h o m p s o n l 9 二7 。“) ：( 4 ) 、拉格朗日、任意拉格朗日欧拉法( a m s d e n & h i r t1 9 7 3 j ，p r a c h t1 9 7 5 3 ) ：( 5 ) 、m a r k e r a n d - c e l l ( m a c ) 法( h a r l o w & w e l c h1 9 6 4 1 ) ；v o l u m eo ff l u i d ( v o f ) 方法( d e b a r1 9 7 4 ”3 ，h i r ta n d n i c h o l s1 9 8 1 。”；( 6 ) 、高阶谱方法( d o m m e r m u t h & y u e1 9 8 7 。“，w e s te ta l 1 9 5 7 。1 ) 。最近也出现了一些新的方法，如l e v e l s e t 方法( s u s s m a ne t a l 1 9 9 4 ，s e t h i a n1 9 9 6 ，s u s s m a n & s m e r k a1 9 9 7 洲) 。 有关模拟自由面流动数值方法的综述性文章有：m e i ( 1 9 7 8 。”) 关于用 边界积分和有限元法处理理想、线性自由面的概括；s c h w a r t z f e n t o n ( 1 9 8 2 1 ) 关于处理理想流体、非线性自由面流动方法的评述；y e u n g ( 19 8 2 睁”) 有关处理理想流体的线性、非线性自由面的有限差分法、边界元法、有 限元法等数值方法的总结；f l o r y a n & r a s m u s s e n ( 1 9 8 9 。5 1 ) 关于粘性自由 面的数值方法的评述；t s a i & y u e ( 1 9 9 6 。”) 对处理非线性自由面数值方法的 l 】 太原理工大学硕士研究生学位论文 评述；s c a r d o v e l l i & z a l e s k i ( 1 9 9 9 ”7 1 ) 重点评述了v o f 方法的发展。这方面 的内容还可以参见s h y ye ta l ( 1 9 9 6 m 3 ) ，r o t h m a n & z a l e s k i ( 1 9 9 7 。“) ， m c h y a n ( 1 9 8 4 ”) ，b o r i s ( 1 9 8 9 “) 等文章。 目前，在水利、海洋和环境工程中追踪自由表面的主要方法如下： l 、静压假定 静压假定就是假定在流场中的各点压力分布沿水深呈线性变化，其 规律与在静水中相同。采用此假设的条件是垂向加速度远远小于重力加 速度，以致于可以忽略不计。这一假定被广泛地应用于实际计算中。 2 、刚盖假定 刚盖假定就是假定水体流动时，自由表面始终不变，类似于一道可 移动的固体固壁，其上的边界条件和固壁边界条件一样。但壁面上的切 向速度可不为零，即流体可沿固壁滑移。从而使沿垂向的网格划分及计 算易于迸行。 、 对于具有恒定自由表面或在计算时段内自由表面变幅不大的流动， 刚盖假定既能巧妙回避自由面的处理问题，使问题得以简化；同时又能 满足计算要求的精度，反映流动的主要特征。因此，它常被应用于这种 类型流动的数值计算当中。 采用刚盖假定在很大程度上改变了流体的运动条件，很难对流动作 准确描述。由于自由水面不精确，无法正确计算流动区域内各点的压力 数值。事实上，若采用剐盖假定，在水面无变化的情况下，可求得刚盖 下的压力场。此时，求解的问题类似于一个封闭管道中的流动问题。对 于那些最终水面和初始水面偏差较大的问题，刚盖上的压力较大，使计 算结果失真。如果按照由压力结果换算得到的新水面重新决定计算区域， 那么在刚盖假定下得到的流场将不会满足连续方程，须重新计算。所以， 12 太原理1 ：大学硕士研究生学位论文 对于自由面变化较大的流动，不宜采用此法。 一般的潮汐河口及近海区，由于潮差较大，采用刚盖假定不能真实 地反映较大的水位涨落过程，往往使计算结果不够理想。目前，对刚盖 假定进行改进是一个重要的研究方向，常用的方法是隔一定时间跟踪一 次自由表面，根据新的自由水面位置重新调整网格，而在该时间间隔内 认为刚盖假定是适用的。时间间隔的取值需要权衡精度要求与计算效率 的关系。 3 、标高函数法 所谓标高法，简而言之就是用自由面的高度来标记自由面。讲得精确一 点就是把自由面上各点到平行于水平面的某一参考平面的距离作为标记 自由面的量，它是参考平面内二维空间位置矢量的函数。例如一个底部 为平面的容器中盛有水，当容器底面平行于水平面时，可以定义水面上 各点到底面的距离来标记水面。对于二维情况只要把相应的面退化为线， 就可以定义相应的高度函数，而且只须一个一维数组就可以储存自由面 信息，演化方程也十分简单。所以如果在能使用这种方法的地方，它将 是一种很好的自由面跟踪法。标高函数法适用于有自由面的非恒定问题， 但不适用于自由面是坐标的多值函数的问题。 4 、m a c ( m a r k e ra n dc e l l ) 方法 m a c 方法是由h a r l o w 和w e l c h “。等人于1 9 6 5 年提出的一种处理自 由表面的方法。它是把不随流体运动的欧拉网格和随流体运动的拉格朗 日标记点( 整个流场中均匀分布着没有体积、没有质量的小颗粒) 相结 合的产物。 标记点在计算中的作用是表明那些单元包含流体，那些单元不包含 流体。显然，确定了标记点在不同时刻的空间位置，就可确定流体自由 3 太原理t 大学硕士研究生学位论文 边界的运动情况，因为有标记点和无标记点之间的交界面就是自由表面。 m a c 法仍在欧拉网格上求解速度场和压力场，标记点不直接参加流场的 计算，不影响流场中其它各物理量的计算。 m a c 法能处理自由面是坐标的多值函数问题( 如溃坝水流、水跃等) ， 并能生动的描绘自由面的变化“。它不但可准确描述自由边界的形状， 而且可避免因流体界面急剧变形带来的困难。该方法的主要缺点在于要 储存所有标记点随时间变化的坐标数值，使得计算存储量大大增加，特 别对于三维情形尤为突出。另外还要额外的计算时间来计算流体内部标 记点的新坐标，大大降低计算效率。 5 、v o f 法“1 2 0 世纪7 0 年代末，h i r t 和n i c h o l s 等在m a c 法的基础上提出v o f ( v o l u m eo ff l u i d ) 法。它改变m a c 中对全部流场用标记点进行标记 的做法，只对自由表面进行跟踪。它是以流体占据网格单元体积份额的 途径来跟踪自由面的演化。在整个流场中定义一个流体体积函数f = f ( x yz ，t ) ，在每个计算单元网格中，这个函数表示为计算单元网格内 流体( 我们称之为目标流体) 体积与计算单元网格体积的比值。不包含 这种流体的网格称为“空”网格，f 值为0 ；充满这种流体的网格成为满 网格，f 值为1 ；f 值在0 与1 之间的为包含自由界面的网格，称为“半” 网格。f 函数满足连续性方程： 箸+ o j f ) = 0a fa x 、 7 它确定了函数f 的输运过程。由于f 函数的特殊性，在计算表面单 元的通量时采用施主一受主单元模型。v o f 方法就是通过求解f 函数， 实现对运动界面的追踪。在任意时刻，知道了这个函数在每个网格上的 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 值，也就可以通过某种途径构造运动界面，这是v o f 法的独创和特色。 这种方法可以跟踪发生复杂变形的自由面，如在自由面上发生了翻转、 吞并、飞溅等复杂自由面现象，它成为m a c 方法以外的第二种能模拟复 杂自由面的方法。v o f 方法吸取m a c 法的优点，同时避开了它的缺点， 有比m a c 方法占用内存少、节省计算时间、容易实施、易扩展到三维等 优点。 目前，该方法被认为是处理复杂自由面的较理想的方法。在国内， 文献”。用此法分别计算了水跃、容器内自由面波动、溢流坝泄流和波 浪等问题。 6 、s p l a s h 方法 英国学者m a x w e l l 和s p a l d i n 9 1 9 8 7 年发表的s p l a s h 方法采用了气 体模拟概念。气体模拟的核心是用体积连续性方程来代替习惯上常用的 质量连续性方程。采用气体模拟，就可以认为压力场和速度场通过自由 表面时是连续的。从而能够在包括气体和液体的整个流动区域内计算水 动力学各个变量。确定流场中流体性质的具体方法是上述m a c 方法。 s p l a s h 方法为求解自由水面问题从理论上开辟了一条新的途径。其 主要优点是能够考虑气液两相流动的相互影响，例如可用于计算上浮气 泡、对水体的干扰及气体本身形状的变化等两相流问题。 7 、f r o n tt r a c k i n