（电工理论与新技术专业论文）介观电路量子效应的研究.pdf

a b s t r a c t e q u i v a l e n t h a m i l t o n o f t h e d e v i c e , t h e o p e n e l e c t r o n r e s o n a t o r s y s t e m i s q u a n t i z a t e d w i t h t h e m e t h o d s p r o p o s e d b y u s . w i t h a p r e s e n t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n , t h e s c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n b e c o m e s a s t a n d a r d ma t h i e u e q u a t i o n , a n d t h e n t h e b a s a l q u a n t u m c h a r a c t e r s u c h a s e n e r g y s p e c t r u m a n d w a v e f u n c t i o n s o f t h e s y s t e m a r e o b t a i n e d . u s i n g wk b j m e t h o d , t h e a v e r a g e o f c u r r e n t s a n d s q u a r e o f t h e c u r r e n t a r e c a l c u l a t e d . i n t h e c a s e o f t h e d i s c r e t e n e s s o f t h e c h a r g e i n me s o s c o p i c c i r c u i t s , t h e f i n i t e - d i ff e r e n c e d s c h r b d i n g e r e q u a t i o n i s a m a t h i e u f u n c t i o n i n户 - r e p r e s e n t a t i o n , m a t h i e u e q u a t i o n i s a ty p i c a l n o n l i n e a r e q u a t i o n , a n d i t s s t a b i l i ty c h a r a c t e r w o u l d b e a n e w s u b j e c t f o r t h e m e s o s c o p i c c i r c u it s . w e f i r s t l y s t u d i e d t h e s t a b i l i ty o f t h e o p e n e l e c t r o n r e s o n a t o r a n d r l c c i r c u i t s w i t h a s o u r c e , t h e s t a b i l i ty a n d i n s t a b i l i ty r e g i o n s a r e d i s c u s s e d i n a s e c o n d a p p r o x i m a t e . t h e a p p l i c a t i o n o f i m p r o v e d q u a n t u m t h e o ry t o m e s o s c o p i c c i r c u i t s c a n g i v e t h e e n e r g y s p e c t r u m a n d t h e w a v e f u n c t i o n s o f t h e s y s t e m . f u rt h e r m o r e t h e c u r r e n t fl u c t u a t i o n c o u l d b e c a l c u l a t e d , w h i c h i s a u b i q u i t o u s q u a n t u m n o i s e i n m e s o s c o p i c c i r c u i t s . t h e d e e p r e s e a r c h i n g w o r k s a b o u t t h e s e b a s a l q u a n t u m c h a r a c t e r s w o u l d b e b e n e f i t t o t h e c o n t r o l o f q u a n t u m n o i s e a n d d e s i g n o f m e s o s c o p i c c i r c u i t s . k e y wo r d s : me s o s c o p i c c i r c u i t , q u a n t u m e f f e c t s , c o u l o mb b l o c k e d e f f e c t , ma t h i e u f u n c t i o n , s t a b i l i t y 直 直 百 主要符号表 主要符号表 符号 l 符号的含义 电感 电容 电阻 电流 虚数符号 cr; 6 ( t ) 电压源 q 平移算符 q 平移算符的共扼 电量 广义动量 广义动量算符 ( 电流) 电量算符 户哈密顿算符 基本电荷电量 差分算符 差分算符的共扼 系统能量 马丢函数偶宇称解 vv.一v，. 马丢函数奇宇称解 普朗克常数 电流平均值 拉格朗日函数 ecel码h 鱼旨 o口 尸h 月 本人郑重声明: 此处所提交的博士学位论文 介观电路量子效应的研究 ，是本人 在华北电 力大学攻读博士学位期间， 在导师指导下， 独立进行研究工作所取得的 成果。 尽我所知， 除文中已 经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人享有 著作权的内 容。 对本论文所涉及的 研究工作做出 贡献的其他个人和集体， 均己 在文中以 明确方式标明。 签 名 : i a 体ib 日期 : ,z , . 7 . 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了 解华北电 力大学有关保留、 使用学位论文的规定， 即: 学校有权保管、 并向 有关部门送交学位论文的原件与复印 件: 学校可以 采用影印、 缩印 或其它复制手 段复制并保存学位论文; 学校可允许学位论文被查阅或借阅: 学校可以 学术交流为 目 的， 复制赠送和交换学位论文; 同意学校可以 用不同方式在不同媒体上发表、 传播学 位论文的全部或部分内容。 潜密的学位论文在解密后遵守此规定) 作 者 签 名 : 阉占 砂导 师 签 名 : 4 k t 日期 啥 书 曰 华北电力大学博士学位论文 第一章 引言 1 . 1 课题背景 在二十世纪八十年代以 前， 人们对物质系统的研究可分为宏观和微观两个层 次。宏观层次研究的对象在尺度上没有上限，但有一下限即人的裸眼能够看见的最 小物体;微观层次研究的对象在尺度上的上限是分子和原子，其下限为最小的基本 粒子即夸克。我们可以用牛顿力学和爱因斯坦的相对论来描述宏观体系，而用原子 ( 粒子) 物理、量子力学、量子场论来描述微观体系，对于宏观体系和微观体系的 研究， 人们都己 经非常熟悉。 然而，人们对介于宏观下限与微观上限这个过渡区间 细小体系的认识，却远不及对宏观体系和微观体系的认识。在这种细小体系中，出 现了许多既不同于宏观体系也不同于微观体系的特殊现象，从统计力学的角度，介 观体系与宏观体系的差别是它已小到失去了 宏观体系通常所具有的自 平均性， ( 物 理量相对涨落的大小随体系尺度的增大而趋于零) ，因而，宏观体系的物理量有确 定值;相反介观体系由于波函数的相干效应，其物理量显现出很强的、可重复的、 具有某种普适性的量子涨落的特征川 。 相位相干长度就是载流子的非弹性散射平均自由程，即载流子经过的路程小于 相位相干长度，则其相位仍然保持相干性: 若超过相位相干长度，则相位相干性己 被破坏。 定义一个有物理意义的尺度， 即粒子的相位相干尺度它是由外界温度所决定的 载流子的非弹性散射自 由 程。 介观系统通常是指相当于或小于粒子的相位相干尺度的小 尺寸系 统。 相 位相干 尺度起源于 对弱局域化的 研究图 ， 人们认识到弹性散 射和 非弹 性散 射这两类过程的重要差别， r . l a n d a u e r 提出 在电子输运问题上要区分弹性散射与非弹性 散射。 晶格缺陷、化学杂质、晶粒间界及原子无序分布对电子的散射是弹性的， 尽管散 射过程复杂，但散射前后电子能量不变，波函数的相位有确定的关系，即电子只获 得确定的相移，在这种意义下，电子保持了相位记忆， 或者说，弹性散射不破坏电 子波函数的相千性。相反，热声子及其他非弹性机制对电子的散射，使电子能量发 生改变，且能量是和波函数的频率相联系的，因此，非弹性散射带来了相位无规则 的变化，破坏了波函数的相千性。通常，称电 子波能保持相千性的最大距离( 或非 弹性散射自由 程) 为相位相干长度.一般来说相千的尺度在1 纳米到1 0 0 纳米之间， 介于微观尺度和宏观尺度之间，此即介观系统尺度。可见，介观尺度是微观尺度的 1 0 - 1 0 0 0 倍，介观系统包含多达1 0 ， 个微观粒子。由于相位相千长度由载流子非弹性 散射的平均自由程决定，因而随温度的下降而增加。对正常金属而言，在液体氮温 度下可达微米量级，标记介观体系大小的特征尺度如此之大是出乎人们意料的，一 方面这几乎是宏观尺度，可以在实验室里制作这样的尺度的样品，并进行常规的物 第一章引言 理量测量。另一方面，他又显示出量子力学的特征， 和宏观体系十分不同，这样从 基础的角度，介观物理成为理论物理和实验物理同时关注的领域。更为重要的是由 于目 前微加工技术已 经接近了它的 物理极限 ，进一步发展有赖于对介观物理这 一领域的深入研究，使介观物理具有重要的应用背景。 近年来在纳米量级中诸多研究领域的兴起， 引 起了 人们浓厚的兴趣。 早在1 9 5 9 年， a h a r o n o v和b o h m就预言了在微米和亚微米体系中，由一束分开而成的两束位 相不同 的电 子再次 相遇时 会产生相 干现象， 以 后人 们称 之为a - b效应 a 7 ; 到了 二 十 世纪八+ 年 代， t o n o m u r a 等人给出了a - b 效 应的 严格实 验论证 a 1 9 8 1 年v a n k a m p e n 首先建议将这一层次的物质世界称为介观体系 ( m e s o s c o p i c s y s t e m ) ，他的特征长 度相当于或小于电子波函数位相相干长度的尺度， 把研究介观体系物质运动及其相 互作用的学科称为介观物理 ( m e s o s c o p i c p h y s i c s ) 。介观概念和介观体系的提出， 填补了 宏观体系与微观体系之间的空白。介观体系中很多问题有待于深入研究，如 载流子之间相互作用的影响，载流子与光波、声波、自 旋波等的相互作用，介观尺 度系统的磁性、光学性质、热学性质等。因此，对介观体系的研究不仅己成为当今 凝聚态 物理学以 及材料科学等领域的前 沿课 题6 ,6 j ， 而 且 对它们的 基础性研究将对二 十一世纪新型材料的制备以及新一代微电子器件的研制具有重要的科学指导意义。 我们的时代是信息时代，信息科学在改善人类生活质量和推进社会文明发展中 发挥着无可比拟和令人惊叹的作用。 人类对信息需求的日 益增加， 促使人们不断地 致力于对诸如电子计算机、通讯网络、信号检测等信息技术的研究。半个多世纪以 来，由于半导体工业的崛起，电子计算机的研制和生产飞速发展，其计算速度平均 每两年翻一番，己达上千亿次/ 秒，而电路元件的尺寸平均每两年缩小一半;电 子 计算机在过去三十余年中每个芯片的晶体管数目 随着时间按指数增长，这个所谓的 m o o r e 定律预示着， 计算机进一步集成化与小型化将要求其基本元件进入介观领域， 多年之后计算机的存储单元也许将会是单个原子7 ， ，因 此在这种计算机的硬件设计 中必须考虑电路及器件的量子效应;于是就出现诸如量子效应究竟对计算机运算速 度会产生什么样的影响等问题。以介观元件为基础的计算机将是一种半经典计算 机，它基本上是宏观的，但考虑了介观元件中的量子效应。另外，如今人类己经从 控制与利用大量微观粒子系综的时代进入了控制与利用单个微观粒子的时代，并将 此作为“ 量子工程”的一个研究课题。这一课题的 研究将直接影响与促进一些新领 域的发展，如:介观电路与半经典计算机、非经典激光通信、量子通信与量子计算 机、单原子事件的碰撞和反应动力学以及单个量子过程的其它应用18 1 等。 总之，由于介观体系一方面可以 作为理解宏观物体性质的一个中介途径，另一 方面， 其本身表现出的一些特殊现象， 有助于对量子力学和统计物理学的一些基本 原理 进行理论上的 澄清和实 验上的 检验.由 于材料 科学 技术和微加工技术的 进步， 也由于人们对固体中载流子的运动的研究和认识的深入，出 现了介观物理这一新的 2 华北电力大学博士学位论文 学科领域，它有着重要的基础研究意义，也为进一步发展固体电子学提供了物理基 础，成为凝聚态物理中近年来发展地很快的研究热点。 1 . 2 介观电路it子效应的研究意义 近些年来， 随着纳米技术和纳米电 子学的飞速发展【0 , 10 1 ，在集成电路中电 路及 器件的 小型化和高集程度的趋势越来越显著，己 达到了原子尺寸的量级 w ;当电 路 的尺寸小到与电子的相干长度可以比 拟时，电路本身的量子相千效应就会出现，原 来在研究电路时所采用的一系列 经典基本原理和方法就不再成立瑞 ， ” . 近年来， 大量有关纳米尺寸电 路以 及单电 荷器件的实 验结果已 充分地证明了这一点15 , 10. 17 , 18 众所周知，带电粒子在电场的作用下做定向 运动，产生电流。在多体带电系统 中，由于库仑场作用，每个点电粒子同时处在两种电场作用下，一是可能存在的外 电 场，二是伴随系统所有带电粒子的电场。考虑系统被势垒分隔成分离的多带电系 统，电子靠隧道效应穿透势垒，从分离的一部分抵达另一部分，形成电流。理论预 言，电流在一定条件下会中断，这就是所谓库仑阻塞效应。作为最简单的例子，考 虑一个金属结 ( 例如电容器) ，这里正负电荷被极板金属表面的势垒分隔在两个极 板上，两个极板上分别有电荷q 和月。理论预言，电流若要存在，极板上的电荷应 大于一定的闷值 q t h ，相应的电压必须大于e 1 2 c。只要外界的电与会能够提供足够 的电荷，经过一段时间r ，极板上的电荷会增加而超过阐值，隧道得以畅通，畅通 后极板上的电荷马上减至阂值以下，阻塞发生，如此往复，就会产生所谓的支流但 电 子隧道振荡 ( s e t o s c i l l a t i o n ) ，这里的时间r ， 随外界的条件改变，可以获得一 种对单电子输运的控制。由此可见库仑阻塞效应的潜在应用价值。然而从量子力学 的角度来看， 对于有限高的势垒， 隧道电流总是存在， 如果考虑到测量上的分辨力， 只要两极板的间距足够小电流总应该测得到。 因此这里预言的阻塞存在，实际上 是 一 种 统 计 的 结 果 w 量子电路及其集成技术基础研究包蕴着丰富的研究内容， 例如: 可以 作为三维光子 晶 体天线、 光子晶体二极管、 无损耗波导、 光开 关、 无阴 值激光器、 光放大器等新一代 纳米光子器件;量子保密通讯用的关 键器件 纳米单光子发射和探测器; 在纳米量子结 构中 通过控制电 子自 旋可实现全新概念的量子器件: 把纳米体系中电 子态空间或自 旋波 函 数的 量子相千性作为电 子、 光子器 件的 物理基础， 将发明 和开发出 全新概念的 相干电 子、 光子器件:以 波函数作为信息载体， 可以 研制出固 态量子比 特器件; 特种材料的 纳 米光电 子器件; 可以 研制出新一代光互联、光开 关、 光逻辑光参量放大等器件。另外， 如今光刻技术己使刻线的分辨率达到了亚微米量级，超微细加工技术现已能制备出 大小仅有几个纳米的金属微粒或含有几十个电 子的半导体微粒，在这些涉及微观电 磁现象及在光频下工作的电路问题中，作为微电 子技术发展的原理性基础，必须考 第一章引言 虑电路及器件的量子力学效应。因此，在纳米电 子学中对电路及器件建立一个较为 完善的量子理论己经是十分迫切的任务了，这对于人们进一步设计微小电路、压低 量子噪声影响将会具有一定的现实指导意义。 1 . 3 介观电路量子效应的研究现状 关于电子器件及电路的量子力学效应，早在二十世纪五十年代就引起了 l a n d a u e r , l o u i s e l l 等物理学家的重视， 他们用量子力学方法研究了宏观电路问题 n 9 . 1 。最近，由于介观物理的兴起及其研究的不断深入，特别是有关纳米电子器件 作为 量子计算机中量子 位或量子逻辑门 和量子线路的讨论川 ， 使得这一宏观量子力 学效应越来越被人们所重视， 并使对这类问 题的 研究再次成为热点问 题p 0 , 2 2 1 ; 对它 们的系统研究必将从原理上为微小电路的设计奠定物理学基础。 当然，最为简单然而又十分重要的工作是如何将在电路学中最为基本的 l c电 路量子化，这一工作早在 1 9 7 3 年首先由l o u i s e l l 通过与经典简谐振子量子化的方 法做 类比 而得以 完成【划( 其中谐 振子的 坐标 相当 于电 路中的电 荷) ，同时并给出了 在真空态下这一电路的量子噪声。然而，在这之后的近二十年的时间里，人们对于 介观电路量子力学效应的研究几乎无多少进展，只是到了二十世纪九十年代，一方 面由于介观物理研究的不断深入，另一方面随着集成电路集成度的不断提高，基本 单元电路和器件的尺寸不断缩小，已逐渐推进到纳米尺度，因此作为微电子技术发 展的原理性基础，必须考虑电路及器件的量子力学效应;这才引起了人们对电路及 器件的量子力学效应研究的浓厚兴趣。 首先打开介观电路量子效应研究新局面的是我国物理学工作者李有泉教授、陈 斌博士及其合作者们，他们于二十世纪九十年代中期，在国内外率先分别研究了 有 源介观r l c电路处于真空态时的能量涨落及一些关联相干态中电路中电荷和电流的 量子涨落” 跳 川 、 介观电 容祸合电 路处于基态时各回路中电 荷和电 流的量子涨落【闭 。 他们的上述这些工作问世后，进一步激发了 人们对介观电路量子力学效应研究的热 忱， 之后， 在国内外掀起了研究介观电路量子力学效应的热潮:1 9 9 7 年， 王继锁等 较早地考察了介观电容祸合电路和介观电感祸合电路在压缩真空态【川 和平移压缩 f o c k 态下介观电路中电荷、电流的量子涨落!12 ,， 并指出真空态、 压缩真空态和相千 态等都可以视为平移压缩真空f o c k 态的某种特例， 研究介观电路处于平移压缩f o c k 态下的量子涨落更具有普遍性。于肇贤等人分别研究了在压缩真空态下介观含源电 容祸合电 路以 及非耗散介观含源电 路中电 荷、电 流的 量子涨落n 7 ; 1 9 9 8 年， 张 智 明 等人给出了 热库中 有源l c电 路的 量子 理论” u 和有源r l c电 路的 量子理论【 ， ， 范洪义等人给出了 在存在互感情况下双 l c藕合电路和多级祸合电路的量子化方案 及其压缩态1341 ， 王继锁等分别 考察了 在 压缩 真空 态下介观r l c 电 路中电 荷和电 流的 华北电力大学博士学位论文 童子效应 川 以及介观电容辐合电路在其任意的本征态下和在压缩真空态下各回路 中电 荷 和电 流的 量 子涨落阅 ， 于策贤 等人 研究了 在压缩真空 态下非 耗散介 观含源电 感祸合电 路的量子力学效应1 6 7 1 ， 崔元顺研究了 在真空态、压缩真空态下介观 l c电 路中电 压和电 流的 量子涨落侧 ， 等等。 在上述这 些研究工作的 基础 上， 最近十多 年 来，人们研究了从简单无耗散的介观电路到有耗散的介观电路、从无源的介观电 路 到有源的介观电路、从单一网孔的介观电路到双网孔乃至多网孔的介观电路、从零 温度下的介观电 路到有限温度下的介观电路等等，同时在不同的角度先后研究了介 观电路处于某些特定状态下的量子力学效应，得到了一些具有一定学术价值和意义 的 结 果 阶 . 在现有研究介观电路量子力学效应的文献中，大多数是将电 荷作为连续变量来 处理的，而未考虑电荷应是量子化的这一基本事实;事实上， 介观电路的量子涨落 不仅来源于电子的波动性，而且还与电荷的量子化性质密切相关，库仑阻塞就是一 个明显的例子d i。 因此， 在考虑电 荷量子化的前提下如何将有关的介观电 路量子化， 进而再去研究它们的量子力学效应。就成了十分重要的问题了，我们认为，在研究 有关的介观电路的量子力学效应时，必须注意到电荷的不连续性这一量子效应，只 有这样才是关于介观电路的更全面的量子理论，在此我们称这种关于介观电路的量 子理论为全量子理论。1 9 9 6 年，李有泉、陈斌在基于介观电路中电荷是量子化的这 一基本事实，建立了介观l c 电路的量子理论、进而讨论了在介观l c电路中电流的 量子涨落问 题cn - e s l 库仑阻塞效应等. 这一开创性的工作使得人们开始在介观电 路的 全量子理论框架下对介观电路的量子效应进行研究:王继锁等在全量子理论基础上 研究了 介观电 感祸合电 路的库仑阻 塞效应和电 流的量子涨落州 ; 卢廷等研究了 含源 介观r l c 电路中的持续电流问题a t) ; j c f l o r e s 等在全量子理论框架下研究了介观 电 路中量子电流的放大、和介观传输线中模型中的量子效应，以及介观电子谐振腔 的电流振荡等问题i“ 二 ” 们 ;稚英华等研究了磁场对介观祸合金属环中持续电 流的影 响ce l l 等等。 在建立介观电路的全量子理论的初期工作中，人们从在不同的电路中研究了不 同的量子性质，得到了有价值的结果。 1 . 4 本文的工作 综上所述，随着微电子学和纳米技术的飞速发展，集成电路的基本器件已 经到 了介观的尺度，电路的量子效应凸显。实验和生产中急需建立关于介观电路的量子 理论。于经典简谐振子的量子化方法对比，人们已经对基本介观电 路的压缩效应、 量子涨落等问题做了深入的研究，得到了大量有意义的结论。但是，在介观电 路量 子化过程中，把电 量作为连续变量来处理，与电 荷的不连续性原理不符。我们认为 第一章 引言 只有考虑了电路中电荷应取分立值的量子理论才是更全面的量子理论。 全量子理论的建立与应用的研究工作才刚刚开始。在各种典型介观电路量子化 过程中，关于电源、电阻、祸合以及介观器件等效电路的处理方面的方法，并没有 系统形成。由于考虑了电荷取值的分立性，介观电路的量子化结果总归结到马丢方 程.在调研中，至今还没有发现对介观电路稳定性性质的研究工作，说明介观电路 中的稳定性性质仍未被人们所认识。 基于上述这些考虑，本文选择了介观电路的量子效应作为研究课题，旨 在建立 关于介观电路的全量子理论，并应用到具体的介观器件中，来研究介观电路的量子 特性。具体内容组织如下: 第二章介绍最基本的介观l c 电路的全量子理论。首先简要介绍经典l c 电路与 线性谐振子的对应关系，这是早期介观电路量子化的基础。然后系统介绍了李有泉 等建立的考虑电荷量子化后关于 l c电路的全量子理论【6 4 3 ，以及相关的理论基础。 这是关于介观电路全量子理论的基础工作，构造了 全量子理论的框架。 第三章中，在 l c电路的基础上，考虑电阻和电源给介观电路的量子化带来的 影响，找出通过么正变换来处理电阻和电 源的方法。 用么正变换的方法可以 使薛定 愕方程变换成线性谐振子的方程的形式， 但是么正变换的选择没有正则的方法，只 有根据实际情况去猜想、试验。而要想处理方程中含电源的项， 对波函数变换就可 以实现。量子化后的 介观电 路的薛定i q 方程如果能 够变换成特殊函 数阅 ，就标志着 介观电路量子化方法解析求解的成功。么正变换方法可以用来研究介观r l c电路的 稳 态 量 子 效 应 81 第四章研究介观含源r l c电路的瞬态性质，电路的运动学方程是固定不变的， 但是理论上，只要通过正则方法可以由哈密顿推出电路的运动学方程，电路系统的 哈密顿可以取不同的形式。基于这点考虑，可以构造含时的介观r l c 电路的系统哈 密顿，使之能够量子化。这种方法不仅可以研究系统随时间的变化问题，还可以解 决电 路方程中 含电阻的项给量子化带来的困 难be.egj . 在第五章中研究电路中存在鹅合时的处理方法，祸合电路中存在的库仑阻塞现 象以及两个支路的量子态的压缩效应一直是人们所关注的课题。本章将研究祸合相 中含有电容和电感时的情况。双网孔电路中，薛定i q 方程含有棍合相，该项的存在 给电路的量子化带来很大的困难。可以找到一个变换，使得电容电感藕合电路的薛 定iq 方程变换成两个线性谐振子的方程，从而可以 研究库仑阻塞的产生机理和祸合 电路中电流的量子涨落7 0 1 第六章是介观电路的全量子理论的应用。选取一种介观电子器件电子谐振 腔，首先给出它的等效哈密顿，利用本文在全量子框架中研究介观电路量子效应的 方法，实 现电 子谐振腔的量子化，给出系统的能 级和状态波函数.为全面研究介观 电 子谐振腔系统提供理论基础【7 1 1 6 华北电力大学博士学位论文 第七章中，将首次对介观电路的稳定性性质进行研究。在全量子理论框架中， 介观电 路的量子化结果，总归结为马丢方程， 它是一个典型的微分方程tn 1 ， 其本征 态存在稳定区和非稳定区，介观电路稳定性的研究工作将对电路的控制提供理论依 据，介观电路的稳定性性质是一个全新的课题。 * 本章的课题背景部分主要参考王继锁的中国 科学院博士研究生论文ta sl ，以 及阎守 胜， 甘 子 钊著 介观物理q 第二章 介观电 路全t子理论简介 第二章 介观电路全量子理论简介 随着纳米电子技术的飞速发展，介观物理和纳米电子学的研究也进入了一个迅 速发展阶段t认 。 . 集成电 路中的电子器件微型化，已 经接近原子量级【 川 。当电路尺 寸小到与电子相干长度可以比拟时，人们必须考虑器件的量子效应和电荷的不连续 性。因此实际研究中急需一个适于介观电 路中电 子器件的量子理论。现有文献中介 观电路的量子化方法大多对照简谐振子的量子化方法实现，由 于经典 l c电路的运 动学方程与简谐振动的运动学方程相同，因此只需把电量定义为广义坐标就可以按 照简 谐振 动的 量子化方法实现 对介观 l c电 路的 量子化回 ， 但这种方法仅仅实现了 能量的量子化。事实上，在介观体系的很多种量子效应主要决定于电荷的量子化。 我们认为只有进一步考虑了电荷量子化的理论才是介观电路的全量子理论。1 9 9 6 年，李有泉教授等在考虑电荷离散性前提下，建立了关于介观 l c电路的全量子理 论闭 ， 并 应用于基本 介观电 路中 进行了 完善“ 从 ， ， 咖 . 下面对介观电 路的 全量子理 论作简要介绍。 2 . 1 不考虑电 荷取分立值时介观电路量子化 首先介绍将经典l c 电路与经典谐振子类比，再利用量子谐振子方式把介观l c 电 路进行了量子化的过程。介观l c 电路是介观电路中最简单、最基本、也是最重要的 电路单元。因此，研究介观电路首先是从介观l c 电路开始。 对于一个由纯电感、电容组成的理想经典l c 电路如图示 图1 - 1经典含源l c 电路 其经典运动方程为: 华北电力大学博士学位论文 : 佘 + c s (t) ， ( 2 . 1 . 1 ) 定义: ( 2 . 1 . 2 ) 显然， 方程为 这是通过电路的磁通。考虑一个受外界策动力作用的一维谐振子的经典运动 d z x m -, + k x = f ( t ) . at 一 ( 2 . 1 . 3 ) 注 意 到 谐 振 子 的 动 量 : 。 一 d xp . = m _ ， 本 征 频 率 : 。 二 k lm . 为 弹 性 系 数 由 ( 2 . 1 . 1 )式和 ( 2 . 1 . 3 )式对比可见，经典l c 电路等效为一个经典谐振子. 类比 关系为: g t ax ; p m:e ( t ) h f ( t ) 。 ( 2 . 1 . 4 ) 这 样 ， 经 典 二 电 路 的 振 荡 频 率 为 。 _ _ 1lc 一 m . 同样应用对比的方法，还可以得到经典l c 电路的哈密顿量.众所周知线性谐振 子的哈密顿为: p x 1二 二一 2 m + 三 lo r e 一 x f ( t ) ，( 2 . 1 . 5 ) 由 ( 2 . 1 . 4 )式，经过类比，就可以写出经典l c 电路的哈密顿量 二 = p 2 + g 22l 2c 一 4e(t) ( 2 . 1 . 6 ) 其 中q 为广 义坐标，p 为 广义动量. 在介观尺度下用量子力学的方法来处理介观l c 电路时，其运动学行为则完全等 效于一个量子谐振子。这样，我们很快就可以 借助熟知的量子谐振子的结论， 得到 介观l c 电路的量子化结论: 第二章介观电 路全t子理论简介 哈密顿算符:h= p 2 9 2 州 r 一 2 l 2 c一 y e ( t ) : 对易关系: a , p l = .1 h ; 一一、 ， 一_ ，_ . ，_h 2 小娴x天系: 之几 一 : 峪 能 量 本 征 值 : ; 一 (n + 扣 w . 事实 上， 早 在1 9 7 3 年， l o u i s e l l 等人就 选用电 荷q 和与 之共扼的 广义电 流p 作 为正则变量，并把它们看成一对满足正则对易关系的线性厄米算符，将无源介观l c 电路进行了量子化22 0 1 ，得到哈密顿算符为. ( 2 . 1 . 7 ) 护 少- -一 月h 2 l 2 c 这与2 . 1 . 6 式完全一致。 另外，可以看到: 介观电路中，电荷和磁通是不对易的，它们之间存在着量子 力学的不确定关系。这就体现出来了介观电路与宏观的经典电路的区别: 宏观情形 下，电路中电荷和磁通完全可以同时确定;而介观情形下，电路中电荷和磁通是不 可能同时确定的。 2 . 2 考虑电荷取分立值时介观电路量子化 我们知道，对于一个电源为s ( t ) 的典型无耗散l c 电路，依据基尔霍夫定律有: d 2 q.1_ 1 一 ， 八 一 。 . 二飞 ， 宁二 爪 二q一下 。 、 ， u， d了 一儿七儿 ( 2 . 2 . 1 ) 其中q ( t ) 是电 荷， l 是电 感， c 是电 容，e ( t ) 是电压源，这一运动学方程可以由 哈密 顿 方 程 h (t) = 其 十 尖 ; ， 一 ， e (r) . 得 到 ， 其 中 的 广 义 坐 标 和 广 义 动 量 为 : lll 日 万.a 付 q=-， p=- -， o p o q ( 2 . 2 . 2 ) 华北电力大学博士学位论文 二川*二 。l r i f z h l h h“ 。、” 二，二 _ 。 、 _， 肉 ，。，“， “ 二” 式中以 变量g 替 代 传统 上的“ 坐标” ， 而 共 辘 变 量p ( t ) = l 竿替 代 传统 上的“ 动 量” ， 一 - - 一 j一- 一 、d i- - -一一 实际上反映了电流的大小 ( 除电感 l以外) 。很多文献中都应用类比于谐振子把电 荷作为 连续变量而将电 路量子化的 方 法(79 -63 ) . 但事实 上，电 荷是 分立值， 并且 这一 点在介观电 路理论中非常重要。因此，由于电 荷的离散性，我们必须重新考虑介观 电 路的量子化。 在标准量子化方法中， 可测值4 和p 分别对应厄米算符9 , 户 . 哈密顿 量也是一个可测值，对应于一个是 个共辘量必须要满足对易关系: 4 , p的 函 数 的 厄 米 算 符 ， h l = 弃 h l + y (4 ) . 这 两 艺儿 4 , 勿= 声. ( 2 . 2 . 3 ) 到现在为止，电荷的离散性还没有考虑在内。由于电荷是量子化的，因此算符 4 的本征值应该是分立的，即满足 4 1 g r - n q . 1 4 ， ( 2 . 2 . 4 ) 其中n 是 整数， 4 。 是基本电 荷即1 .6 0 x 1 0 - 库仑. 显 然任何一个母 的 本征 态都 可以 用 一 个 整 数 来 标 记 ， 因 而 ， 可以 引 入 一 个 最 小 平 移 算 符q = e l v .d i n ， 其 满 足 下 面 的 对 易 关系式 4 , q 1 = 一。 q , 4 , q = 9 , q , q q= q q + 二 1 。( 2 . 2 . 5 ) 这些关系决定了 整个f o c k空间的 结构，由4 1 n =- n g e i - 及( 2 . 2 . 5 )的对易 关系可以得出 q * ! ” r - e j . -卜+ 1 ， 囱， = e ja . ! ， 一 1 ，( 2 . 2 . 6 ) 其 中 a是 不 确 定 相因 子 ， 显 然q ， 和q 在 电 荷 的 自 身 表 象中 是 电 荷 产 生 算 符 或 湮 灭 算符。 这里的f o c k 空间不同于h e i s e n b e r g - w e l y代数的f o c k 空间， 因为这里的取 值 范 围 是 整 数 集 由 于 i n ) n e z ) 构 成 一 个 希 尔 伯 特 空 间 ， 同 样 有 完 全 性 艺 n ) ( n l = 1 0 正 交 性 ( n i m 卜气， 电 荷 表 示 内 积 可 以 写 成 第二章介观电 路全t子理论简介 ( .p 1 0 ) = 艺 枷 i n x n 1 0 ) = 艺 v ( n )o (n ) ( 2 . 2 . 7 ) 现在研究算符 户的本征态和本征值，如p i p = p i p f ( p ) i p _ .f ( p ) i p 其中f 是 任 意 函 数 ， 假 定i p = 艺c n ( p ) i n , 少i n - e 0 i 。 十 1 ， 发 现 纯= e x p (.lq .p l h + 1 a ., ) ， 并 得 到 下 解 : 那 么 由关系式 i p = 艺 k . e h w .v i+g i 。 ， ( 2 . 2 . 8 ) 其 中 气 一 。 公- ,k _a = 。 一 . 显 然 i p + h (2 s l q , ) =d q ， 算 符 9 的 本 征 值 是 一 个 周期函数。 因为电荷的能谱是分立的，并且在电荷表示中的内积由求和代替了积分，由此 可 以 定 义 右 和 左 的 有 限 差 分 算 符 v 。 和 v . , v q f ( n ) - f (n + 1) - f (n ) q . 布 ， 1 _ 、 _f ( n ) 一 f ( n 一 1 ) v f t - ) 林， q ， ( 2 . 2 . 9 ) 这可以理解成为非连续积分的逆运算，按照 ( 2 . 2 . 7 )内积可定义为 听亡二叫 一一 f(x)d, g j( n q , ) q f ( x f ) 一 f ( x , ) ( 2 . 2 . 1 0 ) f ( x f ) 一 q f ( x , ) v q f = f v q , f=.f 了.厅.1 - 显 然， 如 果9 , - + 0 ， 那么以 上定 义 的 微分 、 积 分形 式 就是 通常的 微分、 积分 形 式. 由 ( 2 . 1 . 1 0 )定义的有限差分算符可以用最小平移算符表示为 v q , = ( q - 1 ) l q , , v q . = ( 1 一 q ) l q , ( 2 . 2 . 1 1 ) 容 易 证 明 v 4 , = - v q, ， 这 样 就 可 以 写 出 两 个 重 要 的 自 扼 算 符 : 动量算符: 华北电力大学博士学位论文 p = 会 (v 9, + v 4, ) = h ， 二止 育 二 一( l一 il, ) 少 叼 e ( 2 . 2 . 1 2 ) 和自由哈密顿算符: 二h _ 二 d o 一 2 l v q . 、 九 2 2 q , l ( o 一 v ，.)= - 子厂( q + q 一 2 ) 姆 .- t , ( 2 . 2 . 1 3 ) 之 所以 这样定 义他们， 是因为当9 , - i 0 时， 他 们就是 通常的 动量 算符 和自 由 哈密顿 算符。 现在，已经完成了 对介观 l c电路的量子化，并获得了下面的有限微分薛定 愕方程 卜 z 2ql (0 9, - v 9,) + v (4)l i w 一 iw 。 对于纯介观l c电路系统的薛定谬方程可以写为: ( 2 . 2 . 1 4 ) 九 2 _ . 一( v_ 一2 q , l一 . 一 v . ) + 1 4 2) iw = e iw ( 2 . 2 . 1 5 ) 2 . 3 不确定关系 为了清楚地理解本节的主要结论，以标准量子力学中不确定关系的方法开始。 如果哈 密顿 算符a 和云 不对易，则物理量 a和 b就不能同时精确的定义。a和 b的 变 化 量 定 义 为 ( a a ) 2 = 和 ( a 8 ) 2 = 。 它 们 的 平 方 根a a 和 a b 称为a 和b的不确定度。 根据自共扼算符的特性及s c h w a r z 不等式的知识， 可以 证明: (a 2(a b)2 ， 圣 (.9,8 )- m 2 、 告 区 习 z a (2.3.， 在 这 里 ， 表 示 反 对 易 ， 等 号 当 且 仅 当 户 i w -a l w 时 成 立 . 在( 2 . 3 . 1 ) 的导出过程中用到了，厄米 ( 或反厄米)算符的本征值是一个实数 ( 或纯虚数) 。 作为 ( 2 . 3 . 1 )的直接结果，不确定关系习惯记为: ( a )2 ( ./2 1 l ( 2 . 3 . 2 ) 第二章介观电 路全t子理论简介 显然， ( 2 . 3 . 2 )中等号当且仅当 ( 2 . 3 . 1 )中的等号成立时才成立，即 ( 2 . 3 . 1 )式 右边第一项为零。这时意味着: ( b - ) i q i - a ( a - ) i v w ， ， _ 八 = 一 一 一 了 ， -犷; 一. 2 ( 八 ) ( 2 . 3 . 3 ) 在我们关注的问 题中， 通过计算， 可以 得到电 荷4 1 对易关系: 电 流户 和自 由 哈 密 顿h o 的 如 下 i f . , p l = o .式，4= 对， 4 1 p = a 1 ( 2 . 3 . 4 ) 这 里 算 符 户 和几分 别 在( 2 . 2 . 1 2 ) 和( 2 . 2 . 1 3 ) 中 定 义 过 。 ( 2 . 3 . 4 ) 中 第 三 个 方 程 中 项 q h i 的 产 生 是 由 于 电 荷 的 不 连 续 r 。现在