（应用数学专业论文）关于求解无穷维线性方程组的基本abs算法.pdf

摘要 a b s 算法是一类求解线性与非线性方程组的投影算法，由j a b a f f y 、cgb r o y d e n 和e s p e d i c a t o ( 1 9 8 2 1 9 8 4 ) 提出传统的a b s 算法是针对于有限维线性方程组而提 出的，并得到许多相关的结果本文将求解有限维线性方程组的a b s 算法推广到求解如 空间中的无限维线性方程组，而这样的方程组是由有界线性算子意义下的系数矩阵构 成的我们将a b s 算法推广到如空间并说明其有效性本文首先介绍了基本a b s 算 法的产生背景及其发展状况，基本算法和基本性质然后将基本a b s 算法扩展到求解 无限维空间中的有限线性方程组一一”半无穷”型，得到如中基本非尺度化a b s 算法i ，并给出其相关性质及证明在此基础上，考虑求解无限维空间中的完全无限的线性 方程组并且构造出一种概念算法，给出2 完全无限型的基本a b s 算法i i 对其收敛性 进行讨论验证，得到相关的收敛性定理并且从算法实施的角度，提出种用以求解 无限维空间中的完全无限的线性方程组的可执行的一截断技巧使用该方法，可以达 到简便运算的目的本文最后对2 空间中的隐式l u 算法和h u a n g 算法进行了讨论 通过理论验证，我们可以看出本文成功地将求解有限维线性方程组的a b s 算法直接推 广到了如空间中的无限维线性方程组 关键词：a b s 算法：a b a f f i a n 矩阵；l u 算法；h u a n g 算法；2 空间；线性方程组： 线性算子 a b s t r a c t t h ea b sc l a s so fa l g o r i t h m si n i t i a t e db yj a b a f f y , c g b r o y d e na n de s p e d i c a t o ( 1 9 s 2 1 9 8 4 ) w a so r i g i n a l l yg i v e nf o rs o l v i n gt h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s t h e b a s i ca b sa l g o r i t h m so n l yc a nb eu s e dt os o l v es o m ef i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m s ， b u tc a n tb eu s e dt os o l v ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a cs y s t e m s t h i sp a p e re x t e n d st h ea b s m e t h o df o rs o l v i n gf i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m sd i r e c t l yt oi n f i n i t el i n e a rs y s t e m si n 2 s p a c ew i t hb o u n d e dc o e f f i c i e n tm a t r i xi nt h es e n s eo fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so u rg e n - e r a l i z e da b sm e t h o d sa l et h u sa v a i l a b l ef o r 如s p a c e f i s t ，t h eb a s i ca b sa l g o r i t h m sa r e e x t e n d e dt os o l v i n gf i n i t es y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n si ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e ，c a l l e d s e m i - i n f i n i t e c a s e a n dt h e na l g o r i t h mia n ds o m ep r o p e r t i e sw eg i v e nb a s e do ni t t h ec s b ei nw h i c hac o m p l e t ei n f i n i t es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n si na ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l s p a c ei st ob es o l v e di sc o n s i d e r e da n dac o n c e p t u a la l g o r i t h m - a l g o r i t h mi ii sc o n s t r u c t e d t h e r e f o r ew ei n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo fa l g o r i t h mi if o rt h ec o r l q l p l e t ei n f i n i t es y s t e m w h a ti sp r e s e n t e di st h a tf o rc o m p u t a t i o np u r p o s ea ni m p l e m e n t a b l es c h e m e ，t h e z - t r u n c a t e dt e c h n i q u e ，f o rs o l v i n gc o m p l e t ei n f i n i t es y s t e m so fl i n e a re q u a t i o n si ni n f i 。 n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s f i n a l l y , s p e c i a la l g o r i t h m s ，t h eg e n e r a li m p l i c i tl ua l g o r i t h m a n dt h eh u a n ga l g o r i t h ma c ec o n s i d e r e dt h e i rp r o p e r t i e sa r eg i v e n ，t o o t h r o u g ht h e - o r yp r o v e ，w ec a l ls e et h i sp a p e rs u c c e 8 s f u n ye x t e n d st h ea b sm e t h o df o rs o l v i n gf i n i t e d i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m sd k e c t l yt oi n f i n i t el i n e a rs y s t e m si n 如s p a c e k e yw o r d s ：a b sa l g o r i t h m ；a b a f f i a nm a t r i x ；l ua l g o r i t h m ；h u a n ga l g o r i t h m ；如s p a c e ； l i n e a re q u a t i o n ；l i n e a ro p e r a t o r 1 绪论 关于求解无穷维线性方程组的基本a b s 算法 本章介绍基本a b s 算法产生的背景及其发展状况，基本a b s 算法的迭代步骤 概述本文的研究内容以及取得的主要结果 1 1基本a b s 算法产生的背景及其发展状况 a b s 算法是一类求解线性与非线性方程组的投影算法，是由ja b a f f y ，cg b r o y d e n 和e s d e d i c a t o ( 1 9 8 2 1 9 8 4 ) 提出的在a b s 算法问世之前，从上世纪_ 二十 年代开始就已有很多学者做了大量与a b s 算法密切相关的工作，如、：v e d e r b u m ( 1 9 3 4 ) 系统地论述了矩阵校正方法与计算问题e g e r v a r y ( 1 9 5 3 1 9 6 0 ) 继承了w e d e r b u m 的 工作，研究了校正( a b a 任y ) 阵的紧缩形式并将其应用于求解方程组( 遗著，1 9 6 0 ) a d a c h i ( 1 9 7 1 ) 【3 】最先采用矩阵校正方法给出了拟牛顿法方程的。般解h u a n g ( 1 9 7 5 ) 1 4 l 对于求解二次规划问题提出了一种求解线性方程组的直接法a b a f f y ( 1 9 7 9 ) 1 5 i 对于 h u a n g 算法进行了推广，提出了更多的参数选取方法赵金熙( 1 9 8 1 ) 1 6 1 提出了求解相 容方程组的h u a n g 算法并做了推广所有这些理论的进展都孕育着a b s 算法的诞生 上世纪六十年代末到七十年代初，拟牛顿法的研究获得了迅速的发展取得了人量重 要的实践性很强的进展七十年代中后期，匈牙利数学家a b a t f y 教授通过设置个参 数推广了求解一次规划中线性方程组的h u a n g 算法1 9 8 2 年a b a l f y 教授与英国著名 的优化与计算数学专家b r o y d e n 教授以及意大利著名的优化与计算数学专家s p e d i c a t o 教授在共同合作研究中发展了类具有三个参数用于求解线性方程组的有限步终止的 迭代投影算法，后来正式命名为a b s 算法2 i a b s 算法最初用于求解线性方程组，是类有限次迭代的直接法经过十年的 发展a b s 算法不仪可用于构造求解线性和非线性方程组的其体算法等有关的数值代 数问题，而且还可以用于求解线性规划和具有线性约束的非线性规划等到题1 二世纪 末本世纪初，a b s 算法又有了新的发展，已经在求解d i o p h a n t i n e 方程算法的并 j 实 现，求解线性小等式以及带有小等式组约束的线性方程等方面得到了很好的结粜 关于求解无限维线性方程组的基本a b s 算法 1 9 8 9 年，a b a f f y 教授和s p e 出e a t o 教授合作写了本关于a b s 算法的专著“a b s 投影算法一一求解线性和非线性方程组的数学方法) ，对于a b s 算法诞生以来的 各种算法系统地进行了总结，研究了大量的经典算法如s l o b o d a 方法，b r e n t1 方法 及p y l y 方法等同a b s 算法类之间的关系并归纳了构造a b s 算法五种币同形式的 计算公式，介绍了些典型的a b s 算法，如h u a n g 算法，隐式l u 算法，尺度化的 a b s 算法，q r 算法等b o d o n s p e d i c a t o ( 1 9 9 1 ) 8 1 给出了基于矩阵分解形式的迭 代格式及校正方法s p e d i c a t o & z h u ( 1 9 9 4 ) 9 1 提出了基于校正n u l i ( a ；7 ) 基的校正公 式z h a n g ( 1 9 9 7 ) p o l 推广了原始的a b s 算法，得到了甄为奇异的推广形式的a b s 算 法s p e d i e a t o g a o y uf 1 9 9 0 ) 1 1 l 研究了g m r e s 算法，系统地阐述了共轭方向法的 a b s 形式y a n g z h u ( 1 9 9 4 ) 1 2 1 研究了隐式c h o l e s k i 算法，s p e d i c a t o ，x i a z h a n g ( 1 9 9 7 ) 1 提出了隐式l u 算法s p e d i c a t o ，c h e n b o d o n ( 1 9 9 6 ) 1 1 4 1 给出了求解k k t 方程组的若干a b s 算法 1 2 基本a b s 算法 这里介绍的基本a b s 算法是j a b a f f y ，c g b r o y d e n 和e s p e d i c a t o ( 1 9 8 2 1 9 8 4 ) 给出的 考虑线性方程组 a x = 6 ( 1 1 ) 其中a = ( o l ，一，8 。) 7 曰n 一，b 碍”且。印a b s 算法是一类求解线性方程 组的直接法，它产生一个近似解序列 葛1 ，这个序列具有这样的性质，即在第i 项迭代得到的o 。是前 个方程的解从集合赢观来解释，得到的研是前i 1 个 超平面的交集q 。= 伽i z = b ，j = 1 ，2 ，i 一1 ) 上的一点，沿位于线性子空间 尬一，= 口i 西y = o ，j = 1 ，i 一1 且不与线性子空间 。 n ? 。= o ) 平行的。个向量 p i 0 进行搜索，得到下一个位于n i 中的迭代点z ，这样在第m 次迭代结柬时， 得到z 。+ 1 ，即为a z = b 的+ 个特解 如何构造m 是a b s 算法的核心，一般采用下面的公式 乳= h ? z 。 其- h r a n g e ( h i ) n u l i ( a h 7 ) a k = = ( a 1 ，a 2 ，n k ) ，h ；的校正类似于拟2 p 。眭浊 2 关于求解无限雏线性方程组的基本a b s 算法 中的迭代矩阵的校正结构，但这里是降秩的下面是 # 尺度化基本a b s 算法的迭代步 骤 算法1 1 ( 非尺度化基本a b s 算法) 第1 步初始 任取x 1 舻，h l 酽，叫 奇异，置i = 1 ，i f l a g = 0 第2 步计算两个量 计算邑= 皿啦 r = r t 矗= a t z , 一6 ，岛 第3 步检验线性算子系统的相容性 如果吼0 ，转到第4 步 如果吼= 0 ，t = 0 令墨+ 1 = z 。，皿+ l 一皿，转到第7 步，第i 个方程是前i 一1 个方程的线性组合否则停止方程组无 解 第4 步计算搜索方向p 卯 计算 a = 田毛( 1 2 ) 其中荔舻是满足下述条件的任一向量 霉峨a 。0( 1 3 ) 第5 步计算新的近似解 计算 x i + l = x i 一啦a( 1 4 ) 其中o 。是步长，满足 o ；= t 肛跏( 1 5 ) 如果i = m ，停止计算，x 。+ l 是a x = b 的个解 第6 步校正矩阵皿 计算 峨+ l = 凰一风o 。一趣印h i a ， ( 16 ) 其中岫舻是满足下述条件的任意向最 耳且m = 1 或0( 17 ) 第7 步若2 m 则停止，否则置2 = i 十l ，转到第2 步 关于求解无限雏线性方程组的基本a b s 算法 a b s 算法最重要的性质是a x = b 的通解有如下形式 其中q 寸任意给定 z = 。+ l + 碟+ l q( 1 8 ) 1 3 本文的主要工作 本文尝试将求解有限线性方程组的a b s 算法直接推广到如空间中的无限维线性方 程组而这样的方程组是由有界线性算子意义下的系数矩阵构成的因此，我们将a b s 算法推广到2 空间并说明其有效性 本文主要工作是将基本a b s 算法类由r r 。空间扩展到h i l b e r t 空间2 中 在第二章中，将基本a b s 算法扩展到求解无穷维空间中的有限线性方程组，叫 做”半无限”型将基本a b s 算法进行修释，在此基础上得到如中基本非尺度化a b s 算法i ，并给出其相关性质及证明 在第三章中，在上一章工作的基础上，考虑求解无限维空间中的完全无限的线性 方程组并且构造出一一种概念算法，给出。完全无限型的基本a b s 算法i i 对其收敛性 进行讨论验证，得到收敛性定理 在第四章中，为了计算目的，提出一种用以求解无限维空间巾的完全无限的线性 方程组的可执行的争截断技巧使用该方法，可以达到简便运算的目的 在最后一章中，对如空间中的隐式l u 算法和h u a n g 算法进行了讨论 2求解2 中半无限型线性方程组的基本a b s 算法 本章首先给出无限维线性方程组以及无限维空间中的有限线性方程组的形式，将 基本a b s 算法扩展到求解无限维空间中的有限线性方程组的”半无限”型线性方程 组给出算法i 及其算法的相关性质 2 1求解无限维线性方程组的基本a b s 算法的研究 考虑一1 个定义在。个无限维空间t l 的有界线性算子( 无穷矩阵) ，t ：p 2 一2 ( 或 胛) 定义 。 ( 职) 。= 岛 ，= 1 其中 i 1 ，m ，比= 6 墨1 2 t = ( 幻) 嚣当 = ( 1 ，t 2 ，。t ) m o o t i 如，i = 1 ，m 且2 是由所有满足呈。鲁 o o 的实序列= 6 罄1 构成的 h i j b e r t 空间，见f 2 3 】，即如定义为 p 2 = = ( 6 ，一，6 ，) 7 k r 1 ，i = 1 ，2 的范数为 删= ( 脯i ) 1 2 i = l 对麻于算子( 矩阵) t ：2 一f 2 ( 或胛) ，定义下列( 有界) 线性算子方程 t x = b ( 2 1 ) 鲁 关于求解无限雏线性方程组的基本a b s 算法 t 憾t i l # 1 2 囊 t i n ! 仁z ， 则( 2 1 ) 可以等价地表示为有限维( 欧几里德) 空间中的下列形式 ( t ，z ) = 饥，i = 1 ，2 ，m 注：如果没有特别的说明，本文中的“h i l b e r t 空间”为“实h i l b e r t 空间” 关于无限维线性方程组t x = 1 1 , ，l i 提出一种截断式a b s 法 z 7 1 ，其中z 和是 ( b a n a c h ) 空间中的向量，这里，。是由所有满足下列形式的有界实数列构成的 n | | 。= s u p 啦i o o ? 是无穷的、一致严格对角占优阵，即2 。上的有界线性算子，满足 i i t i i 一= 。s u 置p ；p 一一 这种方法的基本思想是把无限维的方程组截断为有限维方程组因此，a b s 算法是赢 接求解被截的方程组且通过增加维数而得到解的序列 2 2 求解半无限线性方程组的基本a b s 算法 用算子( 矩阵) t ：如一胛定义下面的( 有界) 线性算子方程 其中z f 2 ，b r m ，m m 则停止，否则置i = i + 1 ，转到第2 步 2 2 2 算法i 的性质 记半无穷矩阵正，w ：，只为 正= ( t 1 ，一，t i ) 7 ，瞰= ( u 1 ，岫) ，只= ( p l ，- ，p 。) 其中t ，岫，p 。如，i m c y o 定理2 2 1 如果f 2 3 ) 前i 个方程是相容的 解，即 岛7 z 1 ；6 j ，1 j 茎z 其中i s m 证i ! i j ：用i 闩纳法 ( 22 1 ) ( 2 2 2 ) ( 223 ) ( 2 2 4 ) ( 22 5 ) ( 2 2 6 ) 则z e 22 4 23 ) 的前i 个方程的 ( 2 2 7 ) 关于求解无限雏线性方程组的基奉a b s 算法 令i = l ，因为 h 1 t l 0 r 2 = x l 0 1 p 1 t i t 7 3 22t l t x l 一。l t l t p l t l t x l 一( t l t z l 6 1 ) t l t p l i t l t p l = b l 所以当i = 1 时定理成立 假设( 2 2 ，7 ) 对 m 成立，现证对i + 1 也成立 由算法i 及定理假设条件有 2 i - b l = z t o q p l 因此，当j = t 时 t i t 置+ i = r i t z 。一【( t i r z ，一b d t ；飞豫 = b i 当j i 时， 鼠t j = 0 t j t x i + 1 = ，7 z t o 山7 a = b j 一 ( 。t t ，一b d t 。勺。 t j 7 风7 盈 = 屯 由此当i = i + 1 时( 2 2 7 ) 成立 一 定理2 2 2 设t l ，t 2 ，t 。是如中的向量， 皿 篙1 l ( e 2 ) 是对应于t = ( t t ，t 2 ，t 。) 7 由算法i 产生的，则h i t j = 0 ，1 j i m 证明：由归纳法，结论立可得到 定理2 2 3 如果皿l ( 如) 足可逆的，且m ，t 2 ，t ) l ( 9 2 ) 是l ( e 2 ) 巾的 个线性无关向量集，则对于满足条件u j 凰，= 1 的由算法i 生成的h 。具冉f 列陌条性 质( 其中峨足如中的任意向量) ： ( i ) h , t j 0 ，坶f 。i j m q 关于求解无限维线性方程组的基本a b s 算法 ( i i ) 皿。，皿t ；十l ，h , t 。2 是线性无关的，v i m 证明：由归纳法 因为日l 可逆，所以z = 1 时结论成立 假设对i m 成立，现证对i + 1 也成立 对任意j i + 1 ，我们有 皿+ - 岛= 皿0 一皿缸( 胡风0 ) 则有 注意到l t , t j 0 ，皿屯0 ，如果一h , t j = 0 ，则有h , t ；( h , t j ) = 0 另外，由归纳假设，j 0 则一定存在n ，使( 3 1 1 ) 的前n 个方程不相容否则，v n ，( 3 11 ) 的前n 个方程相 容且有z 。如满足 t i 。= 轨，z = 1 ，一，n 一1 ， v n 设算子& ：如一如，定义为 最z = ( 1 ，矗，0 ，) 7= 1 ，2 其中z = ( 6 ，已，) 7 如，因为 | 最z i i 俐l ，v x ，2 则鼠是一致有界的 所以 l i m 兔一i t x 。= l i m & 一l b = b n 一 s l 丁z ，。一be 冗( 丁) 与前面的假设矛盾所以，算法在钉限步终f 卜 1 7 关于求解无限维线性方程纽的基本a b s 算法 定理3 4 3 设t 足如上有界线性算子，i 是由算法1 i 生成的 个解，f ：i l 且。) 至， 是对应的a b a f l i a n s 序列在l ( e 2 ) 定义算子集，记为m ， “= + li 如+ 1 = l i m m 1 若如+ l 存在( 3 4 1 ) 我们用l ( h ) 表示工慨) 中由h 生成的。一个子空间 如果7 - 0 ，则每个满足下列形式的向量z 是( 311 ) 的解 z = f + 日r 口，q 如，h el ( 7 - ) 证明：由( 3 4 3 ) ，v 矾。十1 州，存在子列 + l 日。) 使在算子范数意义下j k + 1 = l i m 皿。+ 1 v q 2 有 日三+ 1 q = ! i m 聪t t + 1 q 则由t 的连续性 t 磙+ l q = 鲍t h t + , q 由t 的线性及有界性 由此 t h 7 q = 0v h ) ，q 如 t = 仡= b ( 342 ) 推论3 4 1 设t 是p 2 上有界线性算子，z 是由算法i i 生成的无限维方程组的个 解，则3 2 是( 31 1 ) 的个解当且仪当x 可毗表示为 x = z + q 其中q x ( t ) = n ( 正) ，正= ( t l ，一，) 7 推论3 4 2 如果t l ( 9 2 ) 由t 的所宙行向量构成2 的氆【基，且茸是算法i i 生 成的完全无限维方程组的个解则z 足( 311 ) 的解、当且仪当z 可以表示x i ( 342 ) 证明：由推论的假设条件，彳丁 ( z 。) = 冗( 日五+ 1 ) m = l ，2 、+ 1 8 关于求解无限维线性方程组的基本a b s 算法 则由 立即得到结论 a f ( t ) = n ( ) 4 一截断法 关于无限维线性方程组t x = u ，l i 提出一一种截断式a b s 法m ，其t l t 和“是 定义在。( b a n a c h ) 空间中的无穷向量。是由所有满足下列形式的有界实数列构成 的 l 。= s u p1 a i l 0 ，存在自然数n ，使得 t ； 0 ，估计一个满足条件( 5 1 2 ) 和( 5l3 ) 的n 第三步构造并用求解有限维方程组的基本a b s 算法求解下列方程组 墨。) z = 6 ( 。) 算法结束 定理4 2 1 如果v n 。( 4 1 1 ) 的前n 个截断算子方程( 截为线性方程组) ( 4 1 4 ) 是相 容的，i ( 。) 是对应解，且在( 512 ) ( 5 1 3 ) 条件下由e a b s 截断法生成的 i 墨。是 有界的，则当n 趋于无穷人时，j ( 。) 足在像收敛意义下( 4 1 1 ) 的近似解 证明：由 鱼。) 器l 的假设，存在一个正数m ，使得 愉。) | | 兰m ，v n 2 l 关于求解无限维线| 生方程蛆的基奉a b s 算法 由定理3 4 2 的性质，知b j i 丽，阂此 i i t 2 。) 一卅( 1 + m ) e 一 k 芦 。斛 。一 5 粤2 中的隐式l u 算法和h u a n g 算法 在这一部分中，我们讨论f 2 空闯r | i 的a b s 算法类t f 】对应两个特殊参数的特殊 a b s 算法及其相关性质 5 12 中的隐式l u 算法 e 2 e e 的隐式l u 算法可以通过在算法i 中选取以下参数而得到 h i = k ，咄= 白e ：皿厶，蕾= 咄( 5 1 1 ) 即 z 噩也= 1 ，i = 1 ，2 ， 令 t = ( h i t l ，吼t 2 ，) ，p = l ，p 2 ，)( 5 12 ) 2 中的隐式l u 算法有以下性质 定理5 1 1 如果t l ( e 2 ) 是可逆的，取五= 咄同( 5 1 1 ) ，则p = ( p l ，p 2 ，) 是下 三角阵 证明：由可逆性及z i 的选取，有 p i = 暖u 。= 迸i h ；t 。 由第三部分中性质( e ) 和( f ) 有 守p ：p t t ；i 。 令w = 1 ，忱，) ，可知w 是由岫构成的对角矩阵 因此 吁= 厶 l n 为下三角可逆阵 所以 p = t = ( l 0 1 ) w 7 二= 是f 三角无穷矩阵 2 ：j 一 关于求解无限维线性方程组的基表a b s 算法 定理5 1 2 设t l ( 9 2 ) 是可逆的，取= 岫同( 5 1 ，1 ) ，则下列性质成立 ( i ) 跣+ l 的前i 行恒为零； ( i ) 皿+ 1 的列等价于h 1 = k 的列，包括前i 列 证明：由咄的选取，及第三部分中性质( e ) ，有 礤1 e j = 0 所以( i ) 成立 因为咄= e 一皿t 。，所以西凰t 。= 1 ， 则有 趣+ l = 甄一风e t h , e 丁皿t 。( 5 ，1 3 ) 由性质( i ) ，甄的前i 一1 行为零则( 6 1 3 ) 的校正变化只取决于凰中前i 列与第 i 行到无穷行的交中的元素 所以( i i ) 得证 一 定理5 1 3 如果选取的t ，毛= 同定理5 1 2 ，则由如中的隐式l u 算法生成的 a b a f f i a n 阵皿+ 1 可记为 = ( 0 童, i 芝) 其t & = ( s 。) 誉。 定理5 1 4 对搜索向量p i 及a b a f f i a n 阵皿+ l 的校正，有下列公式 p i = 月? e 。e i 皿t ，= ( f t 了，1 ，0 ，) 7 t h m = h i h , t v t v t t 。一i 。一s i 最f p s t ， j = l 5 2 1 2 中的一般h u a n g 算法及其性质 对于求解完全无限型情况下的+ 般h u a n g 算法可以通过在算法i i t 选取特殊参数 而得到 令 h 1 = i 。o ：= t 。，u 。= 。 关于求解无限维线性方程组的基奉a b s 算法 其中k 是e 。中的无限维单位矩眸，则 p i = 孵t 。 由定理22 3 可知这种算法是适定的 定理5 2 1 如中由h u a n g 算法生成的a b a t f i a n 矩阵风是对称的 证明：由归纳法，结论显然成立 注如中的h u m a g 算法生成的 趣 墨。可表示为 皿+ l = 皿一h 4 , t t h d t t h # 。 = 皿一p l p t t 融 l = i 。一p 瘕心班 j = l 其中k 是无穷维单位矩阵 定理5 2 2 由如中h u a n g 算法生成的搜索向量a 是两两正交的，且 矿p = l 。 其t | p = ( p 1 ，p 2 ，) 证明：由第三部分中性质( b ) 和( f ) ，有 爿七= o ，j z h 。蛾h ，= h 。h j 、 由e 2 中的h u a n g 算法中的且= 厶。的选取，有 覆p 产t t h i h j t l = t i 且一t j 一鼋瞰t ，i = 3 1 0 ， 。， 结论得证 2 5 关于求解无限维线性方程蛆的基本a b s 算法 6结论 6 1 创新点提要 本文尝试将求解有限线性方程组的a b s 算法直接推广到f ：空间中的无限维线性方 程组而这样的方程组是由有界线性算子意义下的系数矩阵构成的因此，我们将a b s 算法推广到如空间并说明其有效性 本文主要工作是将基本a b s 算法类由彤。空间扩展到h i l b e r t 空间如中 在第二章中，将基本a b s 算法扩展到求解无穷维空间中的有限线性方程组，叫 做”半无限”型将基本a b s 算法进行修释，在此基础上得到如中基本非尺度化a b s 算法i ，并给出其相关性质及证明 r 在第三章中，在上一章工作的基础上，考虑求解无限维空问中的完全无限的线性 方程组并且构造出一种概念算法，给出z 完全无限型的基本a b s 算法i i 对其收敛性 进行讨论验证，得到收敛性定理 - 在第四章中，为了计算目的，提出种用以求解无限维空间中的完全无限的线性 方程组的可执行的 截断技巧使用该方法，可以达到简便运算的目的 在最后一章中，对f 2 空间中的隐式l u 算法和h u a n g 算法进行了讨论 6 2 在本文基础上提出的问题 在本文结论的基础上还有一些有趣的论题有待研究，例如 一一般解公式，类似于经典a b s 算法，对b 冗( ，其解的般公式如何 b 冗( t ) 时，一般意义t ( 3 1 ) 的近似解 z 。 甚。的收敛性，即如中范数意义下 的收敛问题 a b s 算法扩展到求解t x = b ，其中t 是如中或搬h i l b e r t 空间r t 非线性或无 界算子 参考文献 1 】ja b l y , a g a l d n t a i c o n j u g a t ed i r e c t i o nm e t h o d s 如rl i n e a ra n dn o n l i n e a r 曲5 一 t e r n s0 ，a l g e b r a i ce q u a t i o n c o l l o q u i am a t h e m a t i c as o c i e t a t i sj 6 n o sb o l y a i ，n u m e r i c a l m e t h o d s ，m i s k o l e ，n o r t h - h o l l a n d ( s t o y a ng e d i t o r ) ，1 9 8 7 ，5 0 ：4 8 1 5 0 2 2 1n d e n g ，e s p e d i c a t o m z h u al o c a lc o n v e r g e n c et h e o r e mf o rn o n l i n e a ra b sa l g e b r a i c c o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 9 9 4 ，1 3 ：4 9 - 5 9 3 1j a b a f f y , e s p e d i c a t o a b sp r o j e c t i o na l g e b r a i c ：m a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e s o el i n e a ra n d n o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n e l l i sh o r w o o d ，c h i c h e s t e r ，1 9 8 9 【4 】j a b a f f y , e s o e d i c a t o o nt h eu s ed ，a b sa l g e b r a i ci o rs o m el i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s u n i v e r s i t y o fb e r g a m o ，1 9 8 9 【5 】a g a l d n t a i g e n e r a l i z e di m p l i c i t , l ua b sm e t h o d s ，0 rl i n e a ra n dn o n l i n e a rs y s t e m so f a l g e b r a i ce q u a t i o n s q d m s i a ，1 9 9 3 ，5 6 】a g a l 6 n t a i a b sm e t h o d so nl a r g en o n l i n e a rs y s t e m sw i t hb a n d e dj a c o b i a ns t r u c t u r e q d m s i a ，1 9 9 3 ，1 4 【7 la g a l d n t a i t e s t i n g 巧i m p l i c i tl ua b sm e t h o d so nl a r g en o n l i n e a rs y s t e m sw i t hb a n d e d j a c o b i a n q d m s i a 1 9 9 3 ，1 9 8 le s p e d i c a t o ，z h u a n g o p t i m a l l ys t a b l ea b sm e t h o d s 向n o n l i n e a ru n d e r d e e r m i n e d 却3 - t e r n s 0 m s ，1 9 9 5 ，5 9 1z h u a n g c o n v e r g e n c e a n a l y s i s 0 ，t h e n o n l i n e a rb l o c ks c a l e da b s m e t h o d sj o t a 1 9 9 27 5 ：3 3 1 - 3 4 4 关于求解无限维线性方程组的基本a b s 算法 1o 】z h u a n g af a m i 如o y d i s c r e t e a b s 聊e a l g o r i t h m s f o r s o l v i n g s y s t e m s 吖n o n l i n e a r e q u a t i o n sn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ，1 9 9 2 ，1 4 ：1 3 0 - 1 4 3 1 1 1 z