（基础数学专业论文）一类非线性波动方程的初边值问题(1).pdf

摘要 本文研究如下一类具有非线性耗散项的非线性波动方程初边值问题 u “+ 2 时m t ) _ 矗地) ，k 拈胁( 0 ) 佃) ， ( 1 ) “i 彻= o ， 翥k = o ， t 【o ，+ o 。) ，( 2 ) t z ( z ，o ) = “o ( z ) ，t “( z ，o ) = n l ( z ) ， 正n ( 3 ) 整体弱解的存在性和惟一性、渐近性质及解的爆破，其中ncr ”是有界域，且具有光滑 边界勰，是l a p l a c e 算子。是锄上的单位外法向，口；( s ) ( = 1 ，) ，( s ) 是给 定的非线性函数本文在小初值情况下，证明初边值问题( 1 ) 一( 3 ) 存在惟一整体弱解，并 且讨论解的渐近性质，同时给出初边值问题( 1 ) 一( 3 ) 解爆破的充分条件 在本文的第二章中，利用g 甜”k i n 和位势井相结合的方法，证明问题( 1 ) 一( 3 ) 赣体弱 解的存在性和惟一性利用v k o m o m i k 不等式证明整体弱解的渐近性质在第三章中， 我们利用补偿能量法证明问题( 1 ) 一( 3 ) 的解在有限时刻爆破主要结论为： 定理l 假定 ( i ) 吼g 1 ( j r ) ，| 吼( s ) l 圳s i m ，且l 一( 一) l ( 七， s r ，i = 1 ，t 并有 m + 1 鹩( 2 ) ； ( i i ) o 佴7 n 日4 ，l h 2 n 明n l 2 。使得 。 o ) u o ) ；( 5 ) ( i i i ) ，局部l i p 8 c h i t z 连续，厂( s ) 为非减连续函数，且，( o ) = o ，l ，( s ) i 1 h 9 ，h 1 ，q r ，1 g 4 ) 则对于1 o ，问题( 1 ) 一( 3 ) 存在惟一整体弱解 “w 7 1 。( o ，r ；h 2 n 嘲) np 矿2 ，0 0 ( o ，丁：l 2 ) ( i ) 定理1 的假设条件成立，且存在p 1 和正常数e l ，岛，岛，r 使得 q | s r l ，( s ) l 岛；，i s i 1 ， 岛h | ，( s ) | l s | 1 ( i i )吼( s ) s k jj 苫吼( 下) d r o ，k j 2 ， 则在( i ) ，( i i ) 成立的条件下，问题( 1 ) 一( 3 ) 的解“( z ，t ) 满足： 即) 叫哟( 1 邶( o ) 赫p 名， p “， 【e ( o ) e z p ( 1 一) ， p = 1 ， 其中 r = a ( n ) ( 1 + 仃( o ) 2 铲) 定理3 假定 ( i ) 啊g ( r ) - | 吼( s ) l 纠8 i m ，吼( s ) s 石吼( t ) d r 一k 7 s l m + 1 ，s r ， z = 1 ，一，其中2 ，y o 为常数； ( i i ) ，( s ) s o ，l ，( s ) 髓j s hs r ，g j r 且1 口 1 ，w h e r 。qi sar e a ln m b e r ，1 g 4 ) t h e nf o ra n yt o ，t h ep r o b l e m ( 1 ) 一( 3 ) a d m i t 8au n i q u ew e a k8 0 l u t i o n u w 1 ，。( o ，? ；h 2 n 础) n 2 ，。( o ，t ；l 2 ) 。上。h e o r e m2a s 8 u l et h a t ( i ) a s 8 u m p t i o n so ft h e o r e m1h o l d ，a n dt h e r ee x i 8 tan u m b e rp 1a n dp o s i t i v e c o n s t a n t 8q ，仍，岛，r8 u c ht h a t q 9 i ，( s ) l q h ；， i s i 1 ， 岛i s i l ，( s ) | ，i s i 1 ； ( 6 ) ( i i ) 吼( s ) s 片吼( r ) 打o ，2 t h e n ，i f ( i ) ，( i i ) a t ev a l i d ，t h es o l u t i o n “( z ，) o f ( 1 ) 一( 3 ) s a t i s 矗e 8 即) ) ( 1 + 硼) 躺矿寺， p 1 ， 【f ( o ) e z p ( 1 一；) p = 1 ， w h e r o r = e ( n ) ( 1 + f ( o ) 鼍) 。上h e o r e m3a s s u m et h a t ( 5 ) 吼g ( 兄) ，l 吼( s ) i 6 i s i m ，以( 5 ) s k 片以( f ) d f 一7 j sj m + l ，s r ，t = 1 ，w h e r e 2 a n d 吖 0a r ec o n 8 t a n t s ： ( i i ) ，( s ) s o ， ，( 5 ) i 1 ls 1 9 ，s 兄，g r 舭l d1 口 0 ，( 12 ) ( 0 ，) = “( 1 ，t ) = “。( 0 ，) = u 。f l ，) = o ， t 0 、 ( 13 ) ( “o ) = 妒( z ) ，嘞( o ) = 妒( z ) ，z f o ，1 l( 1 4 ) 在对非线性项一( s ) ，5 r 作适当假设( 一( s ) c 2 ( r ) ，a 协) 下有界，一”( s ) 满足局部 l j p 8 c h i t z 条件) 的情况下证明了整体广义解的存在惟一一性，在相反的条件( 一( s ) 无界) 证 明了解的爆破， 带有阻尼项的非线性波动方程是近年来非线性发展方程研究领域内的热点问题，其 中很多作者对带有线性阻尼的非线性波动方程进行了研究，得到了很多好的结论，见文献 【1 ，6 ，1 0 一1 2 ，l6 】 2 0 0 3 年杨志坚教授在文献【1 】中研究了如下一类非线性波动方程 ”+ “一。+ a f = 口( ) ：，。( o ，1 ) ，( o ，o 。) ( 15 ) “( o ) = u ( 1 ，) = u 。( o ，) = u 。( 1 ，) = o ，t o ，( 16 ) 】 钍( z ，o ) = “。( z ) ，u t ( z ，o ) = 牡1 ( z ) ，z o ，1 】 ( 1 7 ) 在对非线性项口( s ) ，s 兄作适当假设( 口( 5 ) g 3 ( r ) ，口”( s ) 局部l i p 8 c h i t z 连续，( o ) = ( o ) = o ，i 口( s ) i 6 h s r ) 条件下，获得惟一广义整体解，并在a o 的假设条件下 得到解的指数衰减还研究了上述方程多维形式的初边值问题 n t e + 2 蚪地t 。善矗如 ) ，( 州) 印( 0 m ) ， ( 1 8 ) 训一o ， 筹k ：_ 0 1 u ( z ，o ) = u o ( z ) ，u ( 。，o ) f 1 9 ) ( 1 1 0 ) 在对非线性项吼( s ) ，s r 作适当假设( 吼( s ) g 1 ( r ) ，i 吼( s ) l 6 h “，s r ，i = 1 ，且 2 ，m + 1 青岛) 的条件下，得到了整体弱解得存在性，并在a o 的假设条件下得到解的一致衰减 虽然对于带线性阻尼的非线性波动方程的研究成果诸多，但对于带有非线性阻尼项的 非线性波动方程的研究，却很少见诸文献，而本文则是在文献 1 】的基础上将线性阻尼推 广为非线性阻尼来研究 本文研究如下一类带有非线性耗散项的非线性波动方程初边值问题 o “+ 2 u + m t ) = 羔以( u 。，) ， ( z ，) n ( o ，佃) ，( 1 - 1 1 ) o 挲l 勰：o ， u o ( z ) ：饥( z ，0 ) ( 1 1 2 ) f 1 1 3 1 整体弱解的存在性和惟一性，渐近性质及其解的爆破，其中f 2cr ”是有界域，且具有光 滑边界a n ，是l a p l a c e 算子，是扫n 上的单位外法向，吼( s ) “= 1 ，) ，( s ) 是给定的非线性函数 非线性阻尼项，( ”c ) 的出现给本文的先验估计带来了很大的难度，但是本文不仅运用 g a l e r k i n 方法结合本文所定义的位势井( 同文献 1 】的方法) 证明整体弱解的存在性和惟 一性，而且还运用v k o m o r n i k 不等式( 不同于文献【1 1 的方法) 得到解的渐近估计式， 运用补偿能量法给出问题( 1 ) 一( 3 ) 解爆破的充分条件( 不同于文献【1 】的方法) ，此方法克服 2 了文献【1 中关于1 1 成立定义位势井： n 7 = u h 2 n 硪，l ，( 钍) = l i 札1 1 2 6 | | v “i i ：丰i o ) u o )( 2 1 ) 这里及后文中出现的m 和6 均满足m 1 和b o 引理21 对于讹h 2 n 明，j i “与陋i i h ：。础等价 引理2 2 ( 1 n g f l 】) 若m + 1 寺鸟( 2 ) ，则是。在h 。n 础中的一个邻域 证明由s o b o l e v 嵌入定理推出 日2 n 础一瞬”“，地日2 n 弼( 22 ) 若| | “i i = o ，显然u w 若i i u 0 o ，运用( 2 2 ) 和p m n c n 拍不等式，当i i “ij o ，问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 存在惟一弱解 u 1 ，。( o ，r ；日2 n 嘲) n w 2 ，o o ( o ，丁；l 2 ) 证明构造问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的近似解如下： 矿( ) = 乃。屿， j = 1 其中 q ) 凳，是明nh 4 中的正交基，同时也是l 2 中的正交基系数 乃n ) 譬t 满足 乃。( t ) = ( 矿( ) ，屿) ， 且有 ( 吆( ) ，屿) + ( 2 “( ) ，钍。) + ( ，( u ? ( ) ，屿) = ( 杀以( u ：，( ) ，u 。) ， o ，j = 1 ，n “ ( 2 7 ) “( o ) = 扎；，“ ( o ) = u 7 ( 2 8 ) 因四。在础n h 4 和日2 n 硪n l 2 。中均稠密，选取“3 ，u 7 g 铲使得当n + 。时有 t 培_ + “o 于础n h 4 ，t z ? _ “1 于h 2 n 嘲n l 知 ( 29 ) 由常微分万崔解的存在惟一住足理，毕卡定理和以g 1 ( 劢，局部l i p 8 c 1 1 i t z 连续知上 面构造的近似解存在在( 2 7 ) 中用“( t ) 替换屿得 ( f ) w 2 州味删+ ( ，州啪2 若( 去嘶撕删， 即 差r ( t ) 十上，( u 孢) ) u 孙) 如= 。 ( 2 1 。) 两边在( 0 ，) 上积分得 玩( t ) + z 上，( n ? ( r ) ) u ? ( r ) 如打= 晶( o ) 。， ( 2 - 1 1 ) 其中 础两咧驯队扣邳川2 十娄上z 皑删池 显然 风( 惨扣孙) | | 2 + 以f ) ) = 扣即) 1 1 2 + 扣以) | | 2 一鬲鲁慨懈 i ( 21 2 ) 即两吲n 拉圳2 + 喜上z 喵删池 ( 2 1 3 ) 由积分中值定理，假设( i ) 和( 2 2 ) ，( 2 9 ) 得 雠删s 如一肼。叫郴疵e 删疵f l 吼( 毛) ( “，一“o 。) ld z j n l | 吼( 6 ) l i ( m + 1 】，仳箍。一“嘧。i l m + ， 6 矗j ：+ 1 i f “箍。一“o 她| | m + l _ + o ，n 叶。 f 2 1 4 ) 其中矗= “o + 吼札孙。，o 巩 o 成立，其中e ( o ) 如( 2 6 ) 所示不失一般性，假定点；( o ) 2 e ( o ) ， 对于任意的n 成立由( 2 1 1 ) 式知对所有的n 有 日( t ) o 成立 不失一般性可设( t 3 ) o ，即对于任意的n 有“；，因此，对v n 有 矿( ) w 0 ( 2 1 6 ) 事实上，如果存在t o 和某个n ，使得驴( ) 彬 0 ，叼，但扩( t ) a w ，即 j ( u ”( 丁) ) = o ，那么| | 矿( t ) i | o ( 否则由引理2 2 得驴( t ) w ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) ，( 2 5 ) 可推得守j j 训f 2 2 e ( o ) ，进一步可得| | “0 o ( 2 1 7 ) 式成立由( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 和( 25 ) 推得 扣“琊) 旷+ 鲁( 如u w ) 旷+ l | v u 堆) 懈 ：) + z 上，( “? ( r ) ) u ? ( r ) 如打2 e ( o ) ， 。 ( 2 1 8 ) 因 。 1 时，由( i i i ) 和( 2 2 3 ) 推出 ( z 。zi ，( ”? ( r 川1 + ；如d r ) 赤( z 上。，( “? ( 丁) ) ”? ( r ) d z 打) 卉 m ( 2 f ( o ) ) ；暑m( 2 2 4 ) 当l “? i 1 时，由，的连续性知 ( z 。上l ，( ”? ( r ) ) r ；如打) 赤m i q 扑 ( 2 t 2 5 ) 由( 2 2 4 ) ，( 2 2 5 ) 导出 ，( “? ) 在l 警( q ，) 中有界( 2 2 6 ) 此处及后文中出现的m 均为不依赖于n 和的正常数由( i i i ) 和( 2 9 ) 得到 ( 上j m 驯2 埘“- ( 小脚z ) j n j n = l 训k 一怯。c ( 22 7 ) 故 | | ，( 嵋) | | g 在( 2 7 ) 中将u 。替换成t 喵( f ) 且令bo ，则有 吲n ( 硪佃) + ，( 0 ) 卜砉知( 划，吲o ) ) 钮 即 l i 札嚣( o ) i i i l 2 钍；l i 十l i ，( u ? ) | | + e i | ；| | g ( 2 2 8 ) 故 | | u 嚣( o ) 1 1 2 g ( 2 2 9 ) 假定 丁，我们在和t + 两点分别运用( 2 7 ) 式，其中0 1 时，注意到g 十l 4 ) ，取口 o 当n ，。o 时有 v u ”( t ) 一v t b ( ) 于l 2 ( q ) 且几乎处处于n 吼( 三( t ) ) 一以( 。，) 几乎处处于n ，i = 1 ， f 25 0 1 对( 2 7 ) 式两端分别在( 0 ，t ) 上积分得 ( u 孙) ，) + z 。( “( r ) ，札。) 打+ z ( ，( “? ( r ) ) ，) 打 鲥嗽小k 渺州f 0 ( 25 1 ) ( 25 2 ) ( 嘶三) 1 ( 训h i z 1 乏吼( 剖酬i | | ! ( 吧。) 如( 三一“。，) | | 一o ，n o 。，t = 1 ，一，( 25 3 ) j o m q 汀 矿 q 、j一 矿 存们 为 我 田 其中唁= “+ ( 1 一e ) 在( 2 5 1 ) 中令n - o 。，由( 2 ，4 8 ) ，( 2 8 ) ，( 2 4 9 ) ，( 2 5 0 ) ，( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 和l e 8 b e 8 9 u e 控制收敛定理推出 ( m ( 味) + z 。( u ( 吐叼) d r + z ( ，( u 。( r ) ) ，q ) 打 ，t 一善j ( 慨制慨肌( 毗，b “，m ( 2 5 4 ) “ ( 毗以) 乩2 啡) + ，( 训) 一萋杀嘶啪，垆 0 ，r 1 ( 2 5 5 ) 嘣沪巨! 篡 卸= ( 熹) 击，女= 学( 熹) 击，n 。，m - ， n mr n n m ，( s ) = 西i s r l s ，面 o 或，( s ) = 砷q ，而 o ，g 为奇数 注1 ：由定理2 1 的条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 可推得m 舄鼍 商 1 ；( 25 9 ) ( i i ) 吼( s ) s 届以p ) d r o ， 尥2 则在( i ) ，( i i ) 成立的条件下，问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的解“( t ，) 满足 即) q 啪( 1 + 即) 赫) f _ 寺， 叫， 【e ( o ) e 印( 1 一) ， p = 1 ， 其中 r = g ( q ) ( 1 + f ( o ) 鼍 ) 证明方程( 1 1 1 ) 两边同乘以m ( ) ，并在n 上积分得 ( ) = 正u t ( ) ，( 恤( ) ) 如 1 ) ， 则 ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 上h ( z ，圳2 出= z ，h ( 。，驯2 如+ 上。h ( z ，驯2 如 g ( n ) ( 上，i u t ( z r 1 如) 南+ 上。h ( z ，驯2 如 ( 2 6 5 ) 由( 2 5 9 ) 推出 ( 上。l u t ( z ，圳升1 如) 南e ( 上，h ( ) ，( 姒m d z ) 南g 阿( 驯南 上。h ( z ，驯2 出g 上。h ( t ) ，( 州啪如c l e 懈” 结合上面两个不等式及( 2 6 5 ) 式有 | 饥扛，) 1 2 如e ( n ) i e ( t ) i 寿+ g ( n ) e 7 ( t ) i j n 运用带的y 0 u n g 不等式，并且取e = ：得到 2f 口孕羽川2 m 2 z 7 e 学阢i 引酬州南+ “( 5 2 ) 旧( f ) 门d ；f ( e 孚( f ) ) 岩出+ g ( n ) f ( j ( f ) 南) 学m + ) f e 嘟) 阶) 悼 ；z 1e 郜) d f + ) 邵) + g ( 啪华( 观 ( 2 6 6 ) 1 5 由( 2 ，6 3 ) 和( 2 6 6 ) 推出 ；f e 学( f ) 出g ( n ) ( 1 + e ( 。) 孚) e ( s ) 一z 7e 孚( ) z u ( f ) ，( 咄啪如出 下面估计( 2 6 7 ) 的最后一项：结合( 2 5 9 ) 和定理2 1 的( i i i ) 得到 f 上。婶) m 以) ) 出i 川。锦水川b - ( n ，) g m t ) 慨n 。) ( ) ，( 地( t ) 8 品，) g ( 驯“( 圳m ) ，( ”t ( 嚣矗1 g ( n ) f ( ) l f ，( ，) i 南； 上。u ( t ) ，( 姒啪如f 她( 圳b + l f 啦川，( “羽) ) 忆牛( e | | ”慨) m 。( 训森 g ( n ) e ( t ) l ( ) j 南 宙6 8 ) 和( 26 9 ) 得 上叩) ，( u 印) ) 如j g ( n ) e 钯) 旧( 驯南+ c ( n ) e 弛) i ( 驯赤 结合( 2 6 7 ) 和( 2 7 0 ) 得 ；z 7 e 学( ) 小e ( ”( 1 + e 宁( 。) ) e ( s ) + ) z 7 ( 碱驯训驯南+ 跑驯即) m 出 因为 e ；0 ) l e ( ) i 若= “e ( ) l 本i e j 嚣茜0 ) ) e ，南( t ) 运用带s 的、b u n g 不等式，且取= ；有 ) e 即) 旧( f ) j 赤；e 学+ g ( n ) e 等( 吲酬圳； g ( n ) 矾驯础驯南；e 学( f ) + g ( 删酬驯 ( 2 6 7 ) ( 2 ，6 8 ) ( 2 6 9 1 ( 27 0 ) f 2 7 1 1 ( 2 7 2 ) r 2 7 3 1 ，re 拳( t ) 出g ( q ) ( 1 + e 瞀( o ) ) e ( s ) j s 厂e 肌删1 + 曰督( 0 ) 州 刖q n ) ( 1 + 以0 ) 耥p ， p 1 ( 2 7 4 ) 【e ( o ) e 印( 1 一) ，p = 1 ， 嘶，= 巨篓 s 。= ( 袅) 击，= 学( 黑) 击，n 仉r 。， 0 mm n m 1 7 第三章问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 解的爆破 定理3 1 假定 ( i )吼e ( r ) ，i 吼( s ) i 6 i s i m ，吼( s ) s k 片吼( r ) d r 一，y l s i m “，s r ，i = 1 ，其中k 2 ，1 0 为常数； ( i i ) ，( s ) s o ，1 ，( 8 ) i l h 9 ，s r ，口r 且1 q 仇； ( i i i ) o 日2 n 硎， 1 驴使得e ( o ) o ，其中e ( o ) 如( 2 6 ) 式所示 则问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的解在有限时刻t 4 爆破，即当_ p 一时有 j v 。i l ： ；+ 2 e 。，d 。+ o 。 j n 证明方程( 1 1 1 ) 两边同乘以毗( ) 并在n 上积分得 e ，( f ) = 一地( t ) ，( c ( ) ) 如 o ，( 3 2 ) j n 1 8 即爿( t ) 为增函数，又有e ( ) 。2 蚤上( - 叫k - + 2 厂嘶幻。 故可以选取适当的丑 o 使得 c 坤一刚一叫喜上以c u 一如+ a 姜上z “以c s 灿如一a ，砉上以c “j “。如 ，y k 酬v n ( 圳黔；( 3 5 ) 。：上l g + 1m + 1 ( 36 ) 由l ( 口 o ，再由士一赤 ；推出m ( 1 一q ) 3 口+ 1 ，此式显然成立，因 此有o o f 37 1 2 0 对于给定的j 选取充分小的 o 使得 1 一。一g ( j ) 0 ( 3 8 ) 结合( 3 7 ) ，( 3 8 ) 推出 丢( h 1 一。( ) + s f ( ) ) g ( i i u 。o ) i f 2 + h ( t ) 十j l v 。( ) l ： i ) ( 39 ) ( 3 9 ) 表明日。( f ) + f ( ) 是个增函数，因此选取p ( o ) o ，可推出 日。( ) + e 一( ) 0 以下证明估计 番( h l 一。( ) 十( t ) ) g ( h 1 一n ( t ) + s ( ) ) 9 ( 3 1 0 ) 成立其中g 是正常数，卢= 击 l ，o 如( 3 6 ) 中所示一旦估计( 3 1 0 ) 成立，我们 便可以得到日。( f ) + f 俅) 在有限时刻丁+ 爆破，即当+ t + 一时有 l i v “0 ) j | ：；+ 2 e ( t ) t “( t ) d z 一+ o 。 j n 其中 t + = 乙彳i j ! ? 万i ( h 1 一。( 。) 十s f ( 。) ) 1 一p 为了证明( 3 1 0 ) 式成立，考虑如下两种情形： 情形1 ( ) 0 ，则有 ( 日。( ) + f 讹) ) 7 h ( ) 由上式及( 3 3 ) ( 3 9 ) 可以推出( 3 1 0 ) 成立 情形2 f ，( f ) o ，运用h 6 i d e r 和1 u n g 不等式得 f 协) = 2 “( t ) 地( t ) 如， j n ( e ，印) ) 击( 2 e 愀) ，( 圳) 击 ( 2 i | u ( ) i | 。十l 。( ) 吣i 与 2 1 g ( m ) j | 焉+ ( t ) | | 忐) 其中 + j = 1 ，选取p = 2 ( 1 一n ) 则a = 芈鲁由 a2 2 五一而2f 磊“+ 1 推出 + 1 ) ( 1 一责) o 成立因此有 显然 故有 s f 7 ( t ) g ( 日( o ) + l i u ( t ) i i ： ；+ i 地0 ) 0 2 ) 1 一。 g ( h ( t ) 十v 钍( t ) | | 嚣：i + 0 “。( f ) 4 2 ) 1 _ 。 h 1 - 。( f ) a ( 日( ) 十i i v ( ) 0 ： ；+ | f u 。( ) 0 2 ) 1 一a ( h 1 “( ) + e f ( ) ) r 与g ( h ( ) 十i i v u o ) i f 嚣丰 + j 毗( ) | | 2 ) 爰( 日1 。w ) + ( f ) ) 因此( 3 1 0 ) 式成立 下面给出满足定理3 1 条件的例子 取吼( s ) = o h m 一1 s ，i = 1 ， ，o l 或以( 5 ) = n s m ， = 1 ， o ，”l 1 或，( s ) = o ( s m + s 一2 + s ) ，i = 1 ，“ o ，m 为奇数 参考文献 1 】1 r h gz h 巧i a n ，g l o b a le x i s t e n c e ，a 8 y m t o t i cb e h a v i o ra 以db l o w u po fs o l u t i o n sf o ra c l a 8 8o fn o i l l i n e a rw a v ee q u a t i o 璐w i t hd i s s i p a t i v et e r m ，j d i 圩b r e n t i a le q u a t i o i l 8 2 0 0 3 ：1 8 7 ：5 2 0 5 4 0 2 l i a n j u na ，a n t h o n yp a ，e a k l yn o n h n e a ra n a l y s i 8o fe l a 8 t o - p l a 8 t i c m i c r o s t r u c t u r e m o d e l 8 s i a mja p p l m a t h ，1 9 9 5 ；5 5 ( 1 ) ：1 3 6 1 5 5 【3 】b o n ajl ，8 a c h srl ，g l o b a le x i s t e n c eo fs m o o t hs o l u t i o n sa n ds t a b i l i t yo f 舯l i t a r y w a 邶f o rag e n e r 甜i z e db o u 韶i n e s qe q u a t i o n c o m m m a t h p h y s ，1 9 8 8 ；1 1 8 ：1 5 ，2 9 ( 4 杨志坚，陈国旺，类广义b o u 口i n e 吕q 方程解的b l o w u p 数学物理学报，1 9 9 6 ；1 6 ( 1 ) ：3 1 3 9 ( y a n gz h 玎i a n ，c h e ng u o w a n g ，b l o w u po fs o l u t i o n so fac l a s 8o fg e n e r a l i z e db o s 8 i n e s qe q u a t i o n s a c t am a t h s c i ，1 9 9 6 ；1 6 ：3 1 3 9 ) 5 】y h n gz h 司i a n ，e x i 8 t e n c ea n dn o n e ) 【i s t e n c eo fg l o b a l8 0 l i l t i o n st oag c n e r a l i z e dm o d i b c a t i o no ft h ei m p r o v e db o i l s s i n e s qe q u a t i o n m a t h m e t h a p p l s c i ，1 9 9 8 ；2 1 ：1 4 6 7 _ 1 4 7 7 【6 】s o l a n g ek o u e m o up a t c h e v ，o n9 1 0 b a ls o l u t i o n sa n da s y t o t i cb e h a v i o u rf o rt h eg e n e r _ a l i z e dd a i l l p e de x t c i l s i b l eb e a i nc q u a t i o n ，j ，d i m 、l e n t i a le q u a t i o n s 1 9 9 7 ；1 3 5 ：2 9 9 3 1 4 7 】a d a m 8 ，r a ，s o b o l e vs p a c e 8 ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 5 【8 】c h e i lg u o w a n g ，y a n gz h 玎i a n ，e x i s t e n c ea n dn o n _ e ) d s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o ra c l a s so fn o n l i n e a rw 舯ee q u a t i o i l s ，m a t h m e t h a p p l s c i 2 0 0 0 ；2 3 ：6 1 5 6 3 1 9 】a n ，l 一j ，af k i r c e ，a 陀a k l yn o n l i n e a ra n a l y s i so f e l a s t o - p l a 8 t i c _ m i c r o s t r u c t u r em o d e l 8 s i a mja p l m a t h 1 9 9 5 ；5 5 ：1 4 0 9 1 4 1 8 1 0 】n a k a o ，m ，o n o ，k ，f 蜘s t e n c eo f9 1 0 b a ls o l u t i o n st ot h ec a u d l yp r o b l 咖f o rt h es e m i 1 i n e a rd i s s i p a t j v ew a ee q u a t i o i l s ，m a t hz 1 9 9 3 ；2 1 4 ：3 2 5 3 4 2 1 1 o n ok o s u k e ，g 1 0 b a le x i s t e n c e ，a s y m t o t i cb e h a v i o r ，a n dg l o b a ln o n e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rd a m p e dn o n 1 i n e a rw a ee q u a t i o i l so fk i r c h h o f ft y p ei nt h ew h o l es p a c e ， m a t hm e t