（等离子体物理专业论文）柱对称磁约束等离子体linetied不稳定性的数值模拟.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 空间和实验室等离子体中都存在宏观不稳定性，这些不稳定性有的在很短的时间内 释放出巨大的能量，从而引起等离子体状态的急剧变化。扭曲不稳定性是最常见的由电 流驱动的一种宏观不稳定性，其性质可用磁流体模型进行数值研究。 在空间等离子体中，扭曲不稳定性可以用来解释太阳耀斑的能量释放。在实验室等 离子体中，扭曲不稳定性被认为是导致托卡马克中锯齿振荡的重要原因之一。 磁流体系统的边界条件对扭曲不稳定性具有重要的影响，对于环形系统下的扭曲不 稳定性，目前已经研究的比较多了。但对于l i n e - t i e d 直圆柱位形，具有理想导体壁的 扭曲不稳定性的某些性质，目前还不是十分清楚。 为了研究这种不稳定性，最近人们做了两个实验：其中一个是在威斯康星大学做的 研究两端封闭的直圆柱位形下，扭曲不稳定性的演化过程；另一个是在阿拉莫斯国家实 验室做的研究磁重联的实验。在第二个实验中，直圆柱只有一端封闭，另一端是开放的。 在理论方面，e v s t a t i e v 等提出了一种求解l i n e - t i e d 扭曲不稳定性的新方法，并 对上述实验进行了数值模拟。但是，在e v s t a t i e v 等的文章中，没有考虑等离子体压 强对扭曲不稳定性的影响。事实上，等离子体压强不能忽略，因为很多宏观不稳定性， 例如气球模和交换模等都是由等离子体压强梯度驱动的。 本文应用e v s t a t i e v 等提出的方法，数值模拟了等离子体压强对直圆柱位形下 l i n e - t i e d 扭曲不稳定性的影响。并分别对等离子体压强为零、均匀等离子体压强和非 均匀等离子体压强三种情形下的增长率和复本征谱进行了分析。本文还讨论了非理想磁 流体中粘滞项和电阻项对l i n e - t i e d 扭曲不稳定性的影响，并从撕裂模等方面进行了分 析，得到如下一些结论： 1 等离子体压强为零时的增长率曲线是一组嵌套的曲线族，而且所有的曲线都交 于点k = 一1 ，y = 0 ，这是由本文给定的磁场位形的特殊性决定的。也就是说，点 后= 一1 ，y = 0 是奇点，为了保证方程仍然成立，本征函数必然为零。 2 对等离子体压强露= o o o l 和昂= o o l 模拟的结果表明，均匀等离子体压强使不 稳定性的增长率减小了。另外，轴向波数k 的范围并不随着均匀等离子体压强的变化而 变化。不同压强下相对应的增长率曲线仍然交于同一点，这说明均匀等离子体压强没有 使不稳定性的范围扩大。 3 与等离子体压强为零时的情形比较，当等离子体压强非均匀时，所有的增长率 曲线没有共同交点。轴向波数k 的范围和增长率的最大值都增大了，即使当等离子体的 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 值仅为2 时，这种差别仍然很明显。这说明非均匀等离子体压强使不稳定性的范围 增大了，很明显，这种变化是由等离子体的压强梯度引起的。 4 粘滞作用会使增长率和二维本征函数的最大值都减小。这是因为粘性会使流体 层之间的速度剪切减小，从而对磁流体系统有稳定作用，而且这种稳定作用对短波模式 影响较大。粘性对不稳定性的稳定作用随着粘滞系数的减小而减小，当粘滞系数小于 1 0 - 5 时，其对增长率的影响基本可以忽略。电阻率对磁流体的影响是导致撕裂模等不稳 定性的发生，当电阻率小于l o 6 时，可以不予考虑。 5 本文的最后一章，应用能量原理分析了磁流体不稳定性。将最速下降法用在等 离子体区域和真空区域对位能e 的变分原理上，分析了d 型托卡马克磁流体的不稳定 性。 关键词：磁流体；扭曲不稳定性；等离子体压强；能量原理 大连理工大学博士学位论文 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fl i n e - t i e di n s t a b i l i t yo nm a g n e t i cc o n f i n e m e n t p l a s m ai ns y m m e t r i c a lc y l i n d r i c a lg e o m e t r y a b s t r a c t t h e r ea r em a n ym a y oi n s t a b i l i t i e si na s t r o p h y s i c a la n dl a b o r a t o r yp l a s m a s ，s o m eo f t h e mc a nr e l e a s ee n o r m o u se n e r g yw i t h i nv e r ys h o r tt i m ea n dc h a n g et h ep l a s m as t a t e k i n k i n s t a b i l i t yi sa f a m i l i a ri n s t a b i l i t yw h i c hd r i v e nb yc u r r e n ti na l lm a c r oi n s t a b i l i t i e sa n dc a nb e s m d i e dw i t hm h dm o d e l k i n ki n s t a b i l i t yi su s e dt oe x p l a i nt h ee n e r g yr e l e a s ei nt h es o l a rf l a r e i nl a b o r a t o r y p l a s m a s k i n ki n s t a b i l i t yi sa c r u c i a lc o m p o n e n tf o rs a w t o o t ho s c i l l a t i o n si nt o k a m a k k i n ki n s t a b i l i t yi ss t r o n g l yd e p e n d so nt h es y s t e mg e o m e t r ya n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ， a n dc o r r e s p o n d i n gt h e o r yh a sb e e nq u i t es u c c e s s f u li np r e d i c t i n gt h eb e h a v i o ro ft o r o i d a l p l a s m a i th a sn o tb e e nt h o r o u g h l yt e s t e di nc y l i n d r i c a lg e o m e t r i e sf o rw h i c ht h eb o u n d a r y c o n d i t i o n sa r el i n e t i e da te n dp l a t e s f o rf u r t h e rs t u d yo fl i n e t i e dk i n ki n s t a b i l i t y , t w oe x p e r i m e n t sh a v eb e e nm a d eo n c y l i n d r i c a ld e v i c e s t h ef i r s ti n v e s t i g a t e st h ee v o l u t i o no fl i n e - t i e dk i n km o d e sa tb o t he n d so f t h em a c h i n ea tt h eu n i v e r s i t yo fw i s c o n s i n ，a n dt h es e c o n di so nt h er e c o n n e e t i o ns c a l i n g e x p e r i m e n td e v i c el i n e - t i e do n l ya to n ee n dp l a t ea tt h el o sa l a m o sn a t i o n a ll a b o r a t o r y e v s t a t i e ve ta li n t r o d u c e dan e wm e t h o df o ra n a l y z i n gl i n e t i e dk i n km o d e si nc y l i n d r i c a l g e o m e t r ya n ds i m u l a t e dt h ee x p e r i m e n t sm e n t i o n e da b o v e h o w e v e r , t h ee f f e c to fp l a s m a p r e s s u r ef o rk i n ki n s t a b i l i t yi so m i t t e di nt h ep a p e ro fe v s t a t i e v i nf a c t ，p l a s m ap r e s s u r ec a n n o tb en e g l c o t e da n ym o r ei fi ti sl a r g ee n o u g h , b e c a u s em a n yk i n d so fi n s t a b i l i t i e s ， s u c ha s b a l l o o n i n gm o d e a n di n t e r c h a n g em o d ea r ed r i v e nb yi t sg r a d i e n t i nt h i sp a p e r ，t h ee f f e c to fp l a s m ap r e s s u r ef o rl i n e - t i e dk i n ki n s t a b i l i t yi nc y l i n d r i c a l g e o m e t r yi ss t u d i e d 、析t ht h em e t h o di n t r o d u c e db ye v s t a t i g v g r o w t hr a t ea n dc o m p l e x s p e c t r aa r ea n a l y z e df o rz e r op l a s m ap r e s s u r e ，u n i f o r mp l a s m ap r e s s u r ea n dh e t e r o g e n e o u s p l a s m ap r e s s u r e e f f e c t so fv i s c o s i t ya n dr e s i s t i v i t yi nu n i d e a lm h d a r ea n a l y z e df o rk i n k i n s t a b i l i t y , t e a r i n gm o d ei ss t u d i e dt o o ，n l er e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 c u r v e so fg r o w t hr a t ea r en e s t e da n di n t e r s e c tt h ec o m m o np o i n to f k = - 1 ，y20 w h e np l a s m ap r e s s u r ei sz e r o ，w h i c hi sas p e c i f i cc a s ef o rt h em a g n e t i cc o m p o n e n t si nt h i s p a p e r t h a ti st os a y , t h ep o i n to fk = 一1 ，y = 0i sas i n g u l a r i t y , s oe i g e n f u n c t i o nm u s tb ez e r o f o rt h eb a l a n c eo fe q u a t i o n 一i i i 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 2 g r o w t hr a t ed e c r e a s e sf o rt h eu n i f o n i lp l a s m ap r e s s u r ee 0 = 0 0 01a n de 0 = 0 01 s c a l e o fa x i a lw a v en u m b e rki sn o tc h a n g ef o rd i f f e r e n tu n i f o r mp l a s m ap r e s s u r e c o r r e s p o n d i n g g r o w t hr a t ec u r v e sa r ei n t e r s e c t et h ec o m m o np o i n t , w h i c hm e a n st h es c a l eo fi n s t a b i l i t yi sn o t e x t e n dw h e np l a s m ap r e s s u r ei su n i f o r m 3 c o m p a r e dt oz e r op l a s m ap r e s s u r e ，g r o w t hr a t e c u r v e sf o rh e t e r o g e n e o u sp l a s m a p r e s s u r ea l en o ti n t e r s e c te o m i l o np o i n t t h es c a l eo fa x i a lw a v en u m b e r ka n dm a x i m u m v a l u eo fg r o w t hr a t ea l ee x t e n d t h ed i f f e r e n c ei sd i s t i n c te v e np l a s m ab e t ai s2 ，w h i c hi s c a u s e db yt h eg r a d i e n to fh e t e r o g e n e o u sp l a s m ap r e s s u r e 4 m a x i m u mv a l u eo fg r o w t hr a t ea n d2 de i g e n f u n e t i o nd e c r e a s ef o rt h ev i s c o s i t y i ti s b e c a u s et h ev i s c o s i t yc a nr e d u c ev e l o c i t ys h e a rs om h ds y s t e mi sm o r es t a b l e ，t h ee f f e c ti s d i s t i n c tf o rs h o r tw a v em o d e t h es t a b l ee f f e c tf o rg r o w t hr a t ed e c r e a s e sw i t ht h ed e c r e a s e so f v i s c o s i t ya n dc a nb en e g l e c t e dw h e nv i s c o s i t yl e s st h a n10 - 3 e f f e c to fr e s i s t i v i t yf o rm h d s y s t e mi st h a ti tw i l lc a u s et e a r i n gm o d e ，r e s i s t i v i t yc a n b en e g 【e c t e di fi ti sl e s st h a n10 。0 5 e n r g yp r i n c i p l ei s u s e dt oa n a l y z e m di n s t a b i l i t yi nt h el a s tc h a p t e r p a t h so f s t e e p e s td e s c e n ta r eu s e df o rt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo fp o t e n t i a le n e r g yi np l a s m aa n d v a c u u mr e g i o n ，i n s t a b i l i t yi nd - s h a p e dt o k a m a ki sa n a l y z e d k e yw o r d s ：m h d ；k i n ki n s t a b i l i t y ；p l a s m ap r e s s u r e ；e n e r g yp r i n c i p l e i v 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：挂盘整磁约塞笠壹王篮垦i 旦皇= ! i 星鱼丕稳定! 睦鲍数焦搓赵 作者签名：越五垄日期：茎型2 年l 月么生日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：挂殖鏊磁约塞笠离王篮圣i 望曼= 至i 曼垦丕整定性鲍数焦搓拯 作者签名：试五塞 日期：迦乞年l 月二竺日 导师签名：害斗 0 时，振幅随时间衰减，对应于稳定情况；劬 ( 2 2 7 ) c 2 = m 2 掣m 2 忡2 ( 脚争厂唾 ( 2 2 8 ) c 3 ：研( 岛国；一马+ 2 b o od ( b o o ) + p o a ) 2 ( 岛国2 一马仁磐) ： op o d r r弘q p 一 一 厂b ( 岛国2 一! ) + 岛国i 筠( 堡生) ： ( 2 2 9 ) 一1 0 一 大连理工大学博士学位论文 将( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 联立，就可得到只含有一个未知量的二阶常微分方程嵋3 洲1 万d 【_ d7 l 万d ( ，鼻) 】+ 唔( c 3 一争一厂导( 虽】鼻= o ( 2 3 0 ) ( 2 3 0 ) 的详细推导过程见附录b 。 对于方程( 2 3 0 ) 来说，只含有一个未知量六，所以，只要给定系数中的初始角向 磁场岛矿初始轴向磁场鼠：和初始等离子体压强昂，我们就可以对其进行数值求解。 2 2 边界条件的推导 对于理想磁流体来说，需要满足的边界条件如下： 在轴上( ，= 0 ) 时，满足对称边界条件，即 婴：0 ( 2 3 1 ) 咖 在径向壁上，则要求径向速度为零，即 蚱= 0 ( 2 3 2 ) 在轴向壁上，应该满足l i n e t i e d 边界条件，即 “，= 0 ，u 8 = 0 ，u z = 0 ( 2 3 3 ) 归纳起来，理想磁流体的边界条件如表2 1 所示 表2 1 线性化理想磁流体边界条件 t a b 2 1b o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h el i n e a r i z e di d e a lm h d e q u a t i o n s 轴径向导体壁轴向导体壁 u ，= 0 a ，= 0，= 0= 0 u = 0 2 3 等离子体压强为零时的l in e - t ie d 扭曲不稳定性 2 3 1扭曲不稳定性的增长率 本节我们主要从增长率来分析等离子体压强为零时扭曲不稳定性的一些特性。初始 角向磁场岛”初始轴向磁场鼠：和初始等离子体压强蜀如下所示。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 岛口2 专 心3 4 ) 岛：2 寿 他3 5 ) e o = 0 ( 2 3 6 ) 图2 1 给出的是无量纲半径为，= 1 ，等离子体压强为e o = 0 时的初始磁场剖面图。 可以看出，轴向磁场逐渐减小，角向磁场逐渐增大，到达径向壁时，两磁场的大小相等。 图2 2 给出了上述磁场剖面下，扭曲不稳定性的增长率曲线。从图中可以看到，增长率 是一族嵌套的曲线，而且所有的曲线都交于点后= 一1 ，y = o ，这是因为当k = 一1 时，对于 扭曲模来说，m + 七兰0 ，而 f = k b = 罟+ k b o z 万m + k 兰0 ( 2 3 7 ) 也就是说，k = 一1 ，= o 所对应的点是奇点，为了保证方程成立，此时的本征函数必 然是零。 图2 1 无量纲半径为，= 1 ，e o = 0 时的初始磁场分量和等离子体压强 f i g 2 1t h ei n i t i a lm a g n e t i cf i e l dc o m p o n e n t sa n dp l a s m ap r e s s u r ew i t hd i m e n s i o n l e s sr = 1 ，忍= 0 大连理工大学博士学位论文 图2 2 等离子体压强为零，无量纲半径为r = 1 时，增长率，与实轴波数k 之间的关系 f i g 2 2g r o w t hr a t e7v sr e a la x i a lw a v en u m b e rkf o rz e r op l a s m ap r e s s u r ea n dd i m e n s i o n l e s s ，= 1 2 3 2 不同半径时的扭曲不稳定性的增长率 对于环形的托卡马克来说，如果我们将其从某一处剪开并拉直，则圆环就变成了有 限长的直圆柱。此时直圆柱的半径同原来未剪开时的大环半径相比，是非常小的，也就 是说，这样的直圆柱是一种瘦环近似。然而，在处理空间等离子体时，圆柱的半径有可 能很大。为了说明等离子体半径对扭曲不稳定性增长率的影响，本节模拟了直圆柱的半 径分别为，= 1 和，= 2 时扭曲不稳定性的增长率，如图2 3 所示。可以看出，= 2 时轴 向波数| j 的范围比，= 1 时增大了，波长范围扩大了一倍左右，不稳定模式向长波方向发 展。从增长率的最大值来看，厂= 2 时的最大增长率明显增大。上述差别表明，等离子体 柱的半径越大，不稳定性越强。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 k 图2 3 等离子体压强为零，半径为，= l 和，i = 2 时增长率y 与实轴波数k 之间的关系 f i g 2 3g r o w t hr a t eyv sr e a la x i a lw a v en u m b e rkf o rt w oc a s e s1 = 1a n dr = 2 w i t hz e r op l a s m ap r e s s u r e 2 3 3 不同角向模数时的增长率 在磁流体力学中，我们用m 表示角向模数，m = 0 对应腊肠不稳定性，m = 1 对应扭 曲不稳定性，聊2 的模则被称为高m 模。角向模数对磁流体的不稳定性有很重要的影 响。图2 4 给出了m = 1 、m = 2 和m = 3 三种模式下，磁流体不稳定性的增长率。可以看 出，每组增长率曲线都交于相同的点，而且交点的横坐标等于其相应的角向模数。这种 现象的解释同图2 2 ，只是m 的值不同。最大增长率随着m 的增大而减小。 大连理工大学博士学位论文 k 图2 4 等离子体压强为零，不同角向模数时，增长率y 与实轴波数k 之间的关系 f i g 2 4g r o w t hr a t e ? , v sr e a la x i a lw a v en u m b e rkw i t h z e r op l a s m ap r e s s u r ef o rd i f f e r e ma z i m u t h a lm o d en u m b e r 2 。3 4 复本征谱的数值模拟 复本征值问题的谱是指所有满足方程( 2 3 0 ) 的复数值k 的集合。图2 5 给出的是 当等离子体压强为零、增长率y = 0 0 3 时的复本征谱。波数k 的实部惫，体现波在空间相 位的延迟；虚部缸表示波在传播过程中振幅的衰减。 计算结果表明，当y = o 0 3 时，共有两个实数本征值厩= - 0 9 9 1 6 和k 2 = 一0 8 1 6 4 。 在图2 2 中，增长率，= o 0 3 的直线与增长率曲线只有两个交点，这两个交点对应图2 5 中的两个实数本征值。 除了上述的两个实数本征值外，其它的本征值都是复数。在舡= 0 附近，我们看到 一系列共轭的本征值k ，在k r = o 6 3 时，只有一组共轭的本征值尼，= 0 6 3 ，墨= 1 7 和 t = o 6 3 ，砖= 一1 7 。另外，此时的本征谱具有很好的对称性，这种对称性是由物理问 题的对称性决定的。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 图2 5 等离子体压强为零，无量纲半径为，= 1 ，增长率y = o 0 3 时的复本征谱 f i g 2 5c o m p l e xs p e c t r af o rz e r op l a s m ap r e s s u r ea n dd i m e n s i o n l e s sr a d i u sr = 1 ，7 2 0 0 3 2 3 5 本征函数 对于磁流体的稳定性问题，除了可以用增长率来描述外，还可以通过磁流体的宏观 速度对其进行分析。在数值计算时，我们在直圆柱的轴心处加一个小的扰动，即令轴上 的径向速度“，= 0 1 。图2 6 给出了等离子体压强为零，无量纲半径为，= 1 ，增长率 7 = 0 0 3 ，南= - 0 9 9 1 6 ，乞= - 0 8 1 6 4 时的一维径向本征函数随半径的变化规律。忌取两 个不同值时，径向速度都是从z ，= 0 1 开始单调下降，到达径向壁，= 0 时，速度减小为 零。二者的不同点在于，短波模式时，径向速度下降较快。 大连理工大学博士学位论文 图2 6 等离子体压强为零，无量纲半径为，= 1 ， 增长率7 = o 0 3 ，毛= - 0 9 9 1 6 ，如= 一o 8 1 6 4 时的一维径向本征函数 f i g 2 6l - dr a d i a le i g e n f u n c t i o n sf o rz e r op l a s m ap r e s s u r e a n d d i m e n s i o n l e s sr a d i u s r = 1 、) i r i m 7 = o 0 3 ，毛= - 0 9 9 1 6 a n d 恕= - 0 8 1 6 4 柱坐标下的磁流体的宏观速度，实际上是径向和轴向的合速度。所以，二维速度能 更精确的反应出磁流体系统的宏观状态。求出一维径向本征函数之后，我们就可以取某 一固定的增长率，对一维径向本征函数求和，进而得到二维本征函数。在本节求解二 维本征函数时，我们在轴向z 上取8 个不同的轴向波数k ，径向，上取4 个点，对整个空 间的二维本征函数的变化规律进行数值模拟。 图2 7 给出了y = 0 0 0 5 ，m = 2 n = 8 时的二维本征函数。可以看出，图形很好地满 足l i n e t i e d 边界条件，即在直圆柱的两个端面三= - + - 4 9 0 和三= - 4 9 0 处，二维速度都是 零。在径向上，当r = 0 时，速度的最大值为8 1 0 - 4 ，然后随着半径的增加而迅速减小， 大约在，= 0 2 时，基本减小为零，随后开始振荡，直到到达径向壁时，速度变为零。在 轴向上，图2 7 给出了两个周期内，二维速度的变化。从z = - 4 9 0 开始，速度先增大后 减小，在z = 0 时，速度减小为零，这样，便完成了一个周期内的变化。 柱对称碰约束等离子体m t i e d 不稳定性的数值模拟 图27 等离子体压强为零，无量纲半径为 r = 1 ，r = o0 0 5 ，m = 2 n = 8 时的二维本征函数 f i g2 72 - de i g e n f i m c t i o n s 缸z e l - o p l a s m a p r c s s u r e a n dd i m e n s i o n l e s sr a d i u s r = 1 w i t h y = 00 0 5 ，= 2 n = 8 24 均匀等离子体压强时的in e t ie d 扭曲不稳定性 2 41 均匀等离子体压强对增长率的影响 本节应用半解析方法，数值模拟了均匀等离子体压强对扭曲不稳定性增长率的影 响。为了便于分析和比较，我们选取类似于231 中的磁场位形，所不同的是，此时的 等离子体压强为一常数。 2 寿 风：2 寿 咒= c o n s t ( 23 8 ) ( 23 9 ) ( 24 q 1 ) 图28 给出了等离子体压强分别为晶= 0 、只= 0 0 0 l 和昂= 00 1 时，扭曲不稳定性 的增长率曲线。三种情形所对应的曲线的左端都交于点k = 一1 ，= 0 ，这是因为，虽然此 时等离子体压强不再为零，但这并不能改变女= - 1 ，y = o 所对应点的奇异性。因此，无论 压强如何改变，曲线的左端总是重合在一起。另外，需要说明的一点是，三种压强下， 大连理工大学博士学位论文 增长率曲线的右端也交于同一点，这说明均匀等离子体压强并没有使不稳定性的范围扩 大。 与压强为零时的情形相比，p o = o 0 0 1 和r = 0 0 1 时所对应的增长率的最大值减小 了，减小的幅度随着压强的增大而增大。很显然，均匀等离子体压强在这里对扭曲不稳 定性起到了致稳作用，这种致稳作用是由等离子体的可压缩性引起的。 比较只= o 0 1 和最= 0 的增长率曲线可以发现，在轴向波数七= 一o 9 7 附近，两曲线 之间的间隔比较大；相反，在轴向波数k = 一0 9 附近时，间隔则比较小，这说明均匀等 离子体压强对短波模式的不稳定性影响较大。 图2 8 无量纲半径为，= 1 ，等离子体压强为分别 为只= 0 ，p o = 0 0 0 1 ，p o = 0 0 1 时，增长率y 与实轴波数k 之间的关系 f i g 2 8g r o w t hr a t e y v sr e a la x i a lw a v en u m b e r k f o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u s r = 1a n d p o = 0 ，p o = 0 0 0 1 ，p o = 0 0 1 2 4 2 均匀等离子体压强时的一维径向本征函数 图2 9 给出了增长率y = o 0 3 ，等离子体压强分别为p o = 0 和p o = 0 0 1 时的一维径向 本征函数随半径，的变化规律。对于短波模式时的速度来说，有压强时( p o = 0 0 1 ， 缸= - 0 9 7 4 4 对应的曲线) 比没有压强( p o = 0 ，毛= - 0 9 9 1 6 对应的曲线) 时，下降速度快。 而对于长波模式，昂= 0 ，砭= - 0 8 1 6 4 和p o = o 0 1 ，k = - 0 8 2 5 2 时的曲线则重合在一 起。也就是说，此时的等离子体压强几乎对长波模式的径向速度没有影响。这再次说明 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 了均匀等离子体压强对短波模式不稳定性影响较大的事实，这一结论与2 4 1 中的结论 一致。 图2 9 无量纲半径为，= l ，增长率厂= o 0 3 ，等离子体压强为p o = 0 ，蜀= - 0 9 9 1 6 ， 如= - 0 8 1 6 4 时和昂= o 0 1 ，恕= - 0 9 7 4 4 ，缸= - 0 8 2 5 2 时的一维径向本征函数 f i g 2 91 - dr a d i a le i g e n f u n c t i o n sf o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u sr = 1 a n d72o 0 3 ， 丽m 忍= 0 ，岛= 一o 9 9 1 6 ，如= - 0 8 1 6 4a n d e o = o 0 1 ，屯= - 0 9 7 4 4 ，屯= - 0 8 2 5 2 2 5 非均匀等离子体压强时的iin e - tie d 扭曲不稳定性 在处理磁流体问题时，很多物理模型都把等离子体的压强看为常数，或者不考虑等 离子体压强，这是为了简化物理模型或计算上的便利而进行的近似计算。一般来说，在 实际物理问题中，等离子体的压强都是非均匀的。所以，要使数值模拟结果更接近于实 际物理问题，等离子体的压强应该是某一个参数的函数。例如，在本文研究的直圆柱位 形下，等离子体压强应该是半径的函数。 为了便于比较和分析，我们在2 3 1 中磁场位形的基础上，引进了参量c ，c 的变 化范围是0 c 1 。当c = 1 时，等离子体的压强为零，与2 3 1 所对应的情形完全相同， 本节计算采用的磁场位形如图2 1 0 所示。 大连理工大学博士学位论文 = 寿 & ：；专 昂= 器 图2 1 0 ，= 1 ，c = 0 9 时的初始磁场分量和等离子体压强 f i g 2 10t h ei n i t i a lm a g n e t i cf i e l dc o m p o n e n t sa n dp l a s m ap r e s s u r ew i t h ，= 1 ，c = 0 9 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 2 5 1 等离子体b e t a 值 关于等离子体的值，有两种不同的定义方法，有的文献定义为等离子体压强与磁 压强的比值随即，而有的文献则定义为等离子体压强与总压强( 等离子体压强和磁压强之 和) 的比值，即 = 忍( 己- i - 昂) ( 2 4 4 ) ( 2 4 4 ) 中是磁压强。磁约束装置中的主要投资在于磁场部分。因此，如果值 越高，则意味着在磁场一定的情况下，也就是投资一定的情况下，磁场所能约束的等离 子体压强越大，等离子体温度和密度越高，则装置的经济效益较好。根据值大小，一 般可将聚变装置分为高装置，如角向箍缩装置和反向场箍缩装置，和低装置，如托 卡马克。尽可能提高托卡马克等离子体的值是当前核聚变研究中的重要课题之一。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 一般来说，在空间物理中，等离子体值约为1 ，所以在近似计算时，等离子体 压强可以忽略。但是在对磁约束或其它值较高的等离子体进行数值模拟时，等离子体 的压强对不稳定性的影响就应该予以考虑。图2 1 1 给出了无量纲半径为r = 1 ，参量 c = 0 9 时，等离子体值随半径，- 的变化曲线。在r = 0 处，值为1 1 7 ，以后随着半 径的增大逐渐减小，到达径向壁时减小为5 3 。事实上，此时的等离子体压强对不稳 定性的影响已经很明显了，2 5 2 中增长率曲线的变化便说明了这一点。 图2 1 1 无量纲半径为，= 1 ，c = 0 9 时的等离子体值 f i g 2 i1p l a s m af lf o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u sr = 1 a n dc = 0 9 2 5 2 非均匀等离子体压强时的不稳定性增长率 图2 1 2 给出的是c = 0 9 和c = 1 ( c = 1 时，等离子体压强为零) 时，扭曲不稳定性 的增长率曲线。可以看出，非均匀等离子体压强对扭曲不稳定性的增长率产生了很大的 影响。最明显的变化是增长率曲线变为相互独立的曲线，如图2 1 2 中的虚线所示。这 是因为，当等离子体的压强不为零时，k = 一1 ，= 0 所对应的点不再是奇点。 非均匀等离子体压强对扭曲不稳定性的另一个影响是：波数k 的范围明显增大。这 就意味着不稳定性的范围增大了，也就是说，非均匀等离子体压强对磁流体是解稳的， 这一点与均匀等离子体压强的影响正好相反。这是因为，判断等离子体压强能否驱动不 稳定性的依据是：是否存在等离子体压强梯度w ，而不是等离子体压强本身。若v 尸= 0 ， 即使存在等离子体压强，也不能驱动新的不稳定性。 大连理工大学博士学位论文 最大增长率也因为非均匀等离子体压强梯度的影响而增大，这一结论再次说明了非 均匀等离子体压强对磁流体体系是解稳的。 k 图2 1 2 无量纲半径为，= 1 ，c = 1 和c = 0 9 时，增长率，与实轴波数七之间的关系 f i g 2 1 2g r o w t hr a t e y v sr e a la x i a lw a v en u m b e r kf o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u s ，= 1 ，c = 1a n d c = 0 9 为了进一步说明非均匀等离子体压强对扭曲不稳定性的影响。图2 1 3 给出了 c = 0 9 8 时等离子体值随半径，l 的变化规律。此时的最大值约为2 ，最小值仅为 1 。也就是说，此时的等离子体压强已经接近了数值计算时可以忽略的范围。尽管如 此，增长率曲线仍然有比较显著的变化，如图2 1 4 所示。不但尼的范围变大，而且最 大增长率也比原来增大了，这种变化与图2 1 2 的变化类似，只是变化的幅度小一些， 在此不再赘述。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 r 图2 1 3 无量纲半径为r = 1 ，c = o 9 8 时的等离子体值 f i g 2 13p l a s m af lf o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u sr = 1 a n dc = o 9 8 k 图2 1 4 无量纲半径为，= 1 ，f = 1 和c = 0 9 8 时，增长率，与实轴波数k 之间的关系 f i g 2 1 4g r o w t hr a t eyv sr e a la x i a lw a v en u m b e rkf o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u sr = 1 ，c = 1a n dc = 0 9 8 2 4 大连理工大学博士学位论文 2 5 3 三种角向模数时的增长率 与2 3 3 节对应，本节模拟了非均匀等离子体压强下，不同角向模数时的增长率， 如图2 1 5 所示。三组曲线分别对应三个不同的角向模数，而且m 越大，增长率的最大 值也越大，这一规律与等离子体压强为零时相反。由此我们得出结论：等离子体压强为 零时，m = 1 的模是最不稳定的；对于非均匀等离子体来说，m 越大，磁流体越不稳定。 k 图2 1 5 非均匀等离子体压强，不同角向模数时，增长率，与实轴波数足之间的关系 f i g 2 1 5g r o w t hr a t e7v sr e a la x i a lw a v en u m b e rkw i t h h e t e r o g e n e o u sp l a s m ap r e s s u r ef o rd i f f e r e n ta z i m u l h a lm o d en u m b e r 2 5 4 非均匀等离子体复本征谱 为了更清楚地说明非均匀等离子体压强对扭曲不稳定性复本征谱的影响，我们将 c = 0 9 和c = 1 时的谱画在一起，如图2 1 6 所示。可以看出，当增长率，= 0 0 3 时，对 c = 0 9 来说，共有8 个实本征值七，也就是说，7 = o 0 3 的直线与c = 0 9 对应的增长率 曲线有8 个交点，见图2 1 2 。对于其它的复本征值来说，与等离子体压强为零时的情形 类似，这说明等离子体的压强对实本征值的影响较大，而对复本征谱的影响并不明显。 柱对称磁约束等离子体l i n e - t i e d 不稳定性的数值模拟 图2 1 6 无量纲半径为- = 1 ，增长率，= 0 0 3 ，c = 1 和c = 0 9 时的复本征谱 f i g 2 1 6c o m p l e xs p e c t r af o rd i m e n s i o n l e s sr a d i u s ，= 1 ，7 = o 0 3 ，c = 1a n dc = 0 9 2 5 5 非均匀等离子体压强时的