（应用数学专业论文）二维landaulifshitz方程球对称解的存在性和唯一性.pdf

摘要 jillli i l lflj l l f l lr ii r f l f f f f lii j 0 17 6 8 0 6 9 在本文中，作者考虑在球对称的情况下二维l a n d a u - l i f s h i t z 方程d i r i c h l e t 边界条件下外区域上整体光滑解的存在性，即u t = uxu r ，+ u u ，其中z q = z r 2 i 风 蚓 。) ，在这里我们先在环形区域上证明解的存在性，然后 把外边界推广到无穷远 关键词：局部解，先验估计，g r o w a l l 不等式 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls m o o t hs o l u t i o nf o rt h et w o - d i m e n s i o n a lr a d i a ls y m m e t r i cl a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o ni nt h ee x t e r i o rd o m a i n ，i e u t = u u r r + l u u rw h e r ez q = 【z r 2 ir 0 o 。) f i s to fa l l ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h et w o - d i m e n s i o n a lr a d i a ls y m m e t r i cl a n d a u - l i f s h i t ze q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o ni nt h ea n n u l a rr e g i o n f u r t h e r m o r e ，w ee x t e n dt h eo u t e rb o u n d a r yt o i n f i n i t y k e y w o r d s ：l o c a ls o l u t i o n ；p r i o r ie s t i m a t e ；g r o n w a ui n e q u a l i t y 2 1引言 在文献1 1 中作者证明了二维l a n d a u - l i f s h i t z 方程在球对称的条件下外区域 上光滑解的存在性，不过作者考虑的边界条件是屏u l ，：r 。= 0 ，而对于d i r i c h l e t 边界的情况从来没有人研究过，这就是本文作者做这篇文章的主要目的，在讨论 方法上，作者做了部分调整，其中心思想是首先考虑在环形区域上解的存在性， 然后再推广到外区域上，本文的主体部分是在研究环形区域上的情况 对于环形区域上光滑解的存在问题，我们依旧从作先验估计和作局部解的存 在性两方面来研究，另外在这里我们也补全了唯性的证明过程 首先我们引入方程 1 乱t2u u r r + 一ux 7 u ( r ，0 ) = ( r ) 其中u ：q r + _ 铲，r = i z i ，z q l = z r 2 1 r o i z i r 1 ) ， 且满足边界条件 u i ，：r o = a ，u i ，：r ，= p ，i 口l = i p i = i ( r ) i = 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 在作先验估计的过程中，我们遇到的困难是文献 1 中的内插不等式在这里 应用不合适，我们利用球对称的特点，应用了两个内插不等式，引理( 3 1 ) 和引 理( 3 2 ) ，对于局部解的存在性，我们依旧利用差分的方法，下面我们引入差分方 程及其一些相关的定义 其中 面d u j = 吻学+ 老警庐1 j 2 ，一l ( 1 4 ) u j ( o ) = 呜= 西( 乃) ，j = 0 ，1 ，2 ，j ( 1 5 ) u 0 = 瓦u j = p 0 h 1 ，r j = r o + j h ，u j = 札( 巧，t ) ，j = 0 ，1 ，2 ，j 3u ( 1 6 ) 札 = = u ( 吩，t ) l j = 0 ，1 ，2 ，j ) = 半护o j l ，2 - 1 ) = 半护1 2 了】i 另外， 咿咿训护褂卢钭 h 计j = z 挚阿 1 p 0 ，则 方程( 1 1 ) - ( 1 2 ) 在( 1 3 ) 的条件下存在光滑解u s 2 且珏一，。t 。l ”( o ，t ；l 2 ( q 1 ) ) ， 其中1 ( 2 k 2 + k 1 ) m + 1 并且当m 3 时解唯一 为了得到定理2 2 ，我们要通过先验估计和作局部解，因此我们需要下面两 个命题 命题2 3 对于方程( 1 1 ) - ( 1 2 ) 在边界条件( 1 3 ) 的情况下的光滑解，我 们有以下估计，对于任意的t 0 和所有m 0 ：i l u 一。t * 。i i l 一( o ，r ；l z ( n 。) ) c ( t ，r o ，i i 啡| i 胛( q 。) ) ，其中1 2 七1 + 后2sm + 1 ，c 与外边界无关 命题2 4 对于方程( 1 1 ) - ( 1 2 ) 在条件( 1 3 ) 下，假设初值满足( z ) s 2 且 v ( z ) h 2 ”_ 1 ( q 1 ) ( m 1 ) ，则存在常数t o = t o ( 1 l v 1 1 , 。一- ) 0 则解满足 印u ( x ，t ) ，a 印- 1 u ( z ，t ) ，a 2 卵u ( x ，t ) 俨( o ，t o ；l 2 ( q 1 ) ) 3 命题2 3 证明 引理3 1 如果满足仳w 1 “( q ) nl 7 ( q ) ，则i l u l l l 。( o ) 5c i i u i | 影z ，。( q ) i l u l l 淼) 其 。赫)-i-(1-q)1 11 ；1q m ， 一= q l 一 、 nr 引理3 2 在二维球对称的情况下，有内插不等式 i i p j u l l l 。( 硒，r ，) c ( 1 l p 乱i l l 。( 劢，r 。) + i | p u p i | l 。( 凰，r ，) ) 口! 一1 - 、a 珀，冗，) 其中 11 一a i = 一q 2 5 证：由基本内插不等式知： l u ll l a ( o 。) c 鼽m ( o ，) i 舄，) 化成球坐标形式： 忆啦! ) - ( 上。i 卵耐卅( 1 l 外讲 ：c ( ! 而lp 孚ui 。咖) ：c l l p 孚u i i 州娜。) i i d u l l 州。，) = ( z 。i d ui m 如) 去 f r l = c ( 矿- 1l d ui m 咖) 击= e l i p - 簪u p l l p ，r 。) 苴中汶单用虱i 了 d u i = ( u 。2 ；) ；= ( l u p 因此有 忪孚u il l , ( 劢，r ，) c ( 忪百n - - 1 “ii l m ( 劢，r ，) 刊j d 等让p ii l 。( r 0 ，r ，) ) 口忪孚训i 菇，r ，) 昙= q ( 去一元1 ) + ( 1 - - ) 吾 一= q l j + ) 一 口m佗。r 特别当m = n = r = 2 时， i i j d j u i i l q ( 琊，r ，) c ( 1 l p u i i l ：( 凰，r 。) + i i p ；让p i i 工。( 凰童，) ) q l i p ；仳i l 2 ( r o ，r 。) 同理当u i a q ，：0 = 0 时， 1 1 一a 一= = 一q 2 p i l u i i l q ( 凰，r 。) c l i p i u p i l 2 。( r 0 ，r ，) l i p u i i 工1 - - 。( 1 1 r 0 ，r ，) l1 一a q 2 6 引埋3 3 对于万崔( 1 1 ) - ( 1 2 ) 征杀仟( 1 3 j 卜的光滑解，我们对于v 2 0 可以得到估计， i 1 札，ii 工。( o 卫睇) = r j l 办ik ， f f 7 i 1 毗i i l 一( 。，丁江；) + 1 1 7 u ，f i l m ( 0 , t ；l 2 r ) c ( t , r o ，f l r 1 办l i 研，l i r a ，i i 睇) i i u ，i l l 一( o ，t ；l 一( 凰，r ，) ) c ( t ，r o ，i i r i l 拆i i l ；，| | r i l 西，i i 工i ) 其中 霹= i l l 。( r 0 ，r 。) 证：在方程( 1 1 ) 两边同乘r ，然后在( 岛，r 1 ) 上积分，得到 l r u r r u t 咖= ( 1 小弛渺 ( 3 3 1 ) 其中( 3 3 1 ) 左边 1 r u r r u t d r = e 1 弛虹 = 脚u t f t r l t $ r 一一r 1 r u r t u r l 2 0 u t d r j r e j 咖= 7 坼地 一 一咖 ， 一( 1 c uxu r r m 砂一r 1 弛。州r = r 1 小弛渺一j id 蛳喝办 因此我们得蛩i 翱也r i ；= o 我们由此得到 u ，i i p ( o ，t ；l 2 ) = 办j k 在方程( 1 1 ) 两边同时对t 求导， u t t2u txu r r + uxu r n + 一u txu r + - - ux 乱n 11 在上式两边同乘r 钆t 然后在( r o ，r 1 ) 上积分，得到 ( 1 地办= e 1 弛( u xu r r t 炒+ e 1 u 。( t $ xu r t 渺( 3 s 2 ) 冥中( 3 3 2 ) 石边第一坝 = ( 1 m - c u x u r t m r 一( 1 m c u rxu r t 炒 = 一( 1 饥c u x u r t 炒一r 1 “ux ? 2 r t 渺一( 1 弛小，u n 因此我们得到 ( 1r u n u t d r = - ，e 1 r u t c u rxu r t 渺 另外我们还有 11 u r t2 让rxu r r + uxu r r r + 一uxt b r r _ - 5 u xu r7 t _ 把它带入( 3 3 3 ) 我们得到 0 r u u u t d r = l u r r 吣沁懈肌丢爰( 1 巾，恤胁 把 u 。u 。= 坼，u ，一( u 坼，) 2 + 1u ，坼一( 昙u u ，) 2 + ；乱，让，一；( “u ，) ( 带入( 3 3 4 ) ，即有 爰( 1 蛳，_ - r 5 沁m ) 2 + 坼+ 2 u r u r r 办 = 2 ，( 乱让，) ( u ，u ，) d r 2 l 仳，i l u ，1 3 d r c l l u ，怯i k 怯 j r o e l l a ，i l l 。( 1 + i l u ，i l l 。) c ( 1 + i i “，i i i z ) 在这里我们利用了 i l u r l l 工。c ( 1 l u ，怯+ i l u r l l l 。) lm u ，幢 而 ( 1 利5 即2 d r 0 可以得到估计， l l r u 托i l 工。( o ，? ；l ；) + j l r u ，t i i l 。( o ，t ；l i ) + i i r ；u ，4 i i 。( o ，r ；l ；) c ( t , r o ，r 西i k ，i i r ，a i i l ；) i i 毗f i l 一( n t ) + iu r i l l 一( q t ) + i l u ，i i l 一( a r ) + i l u ，i i l m ( o r ) c 其中 q r = q 1 0 ，卅 证；首先对( 1 1 ) 两边t 方向求两次导，我们得到 让托= u t t a u + 2 v a a u t + u “t t ，( 3 4 1 ) 其中 似：坼，+ 竺 在( 3 4 1 ) 两边点乘r u 托然后在( 风，r 1 ) 上积分，得到 x r u t t t u u d r = f ：r u r u ( u r xu t t ) d r - 2e 1 蛳“u tx u r t 炒( 3 4 2 ) 把 11 u t t5u t u r r + u u r n + 一u t u r + 一u u n 11 u r t = 让r u r r + u u r r r + 一u u r r 一- l - ；u 7 j , r r7 一 代入( 3 4 2 ) 得到： 1 r u u t u u d r = 小刊( 缸) 打 ，r 1，r 1 + 厶“乱( u t 。u r t t ) 打+ 厶“锄k u t - 2 u t ( r ) 吨m ) 打( 3 4 。) 其中( 3 4 3 ) 右边第一项 ，r l，r 1 正r ( 坼啦) a ud u t t = r ( u ，札t ) ( a u ) i 急一u ，u t ) ( u u 托) d r j 砥 jr o f r lf r l ，o 一厶巾r r 毗) ( a u u u ) 打一厶ru r u r t ) ( 龇吼托) 咖一厶ru r u t ) ( 舭r m 枷r ：一! 冗1r ( u r u r t ) ( 乱托) 打一 r 1r ( u r u t ) ( k u r u u ) d r jr o jr o ( 1 l r u ，。j i l 。咿i 1 u i i 工e + i i r u 。l i 工e i i r a u r l l l 。) l l r u 。l i 工： ( 3 4 3 ) 右边第二项 ，r l，r l r ( u ，钆) 札t d = r ( 饥，乱) ( 地钆托) i 宅一( 乱，u ) ( u t ) d r jr ojr n 一厂兄lr ( u u ) ( u t u u ) 咖一j r 1 r ( 乱，札，) ( u 。乱托) d r j r x r ( u ，仳)u r t u t t ) d r j r o u r r u ) 咖一邶 乱r 札r ) ( u t 乱托) d r - 1 j 瑚 u r 仳) d r ，o且0 c ( 1 l r l u ，。| | l s 咿i 1 u i i l e + i i t u 。i i 工e i l r l z x u ，怯+ l l r 屯。| i l 6 咿 札晤) l l r u 。怯 现在估计第三项，由u - u = 1 ，我们得到 让- t 正r t t2 - - u t t - u r 一2 u t u r t 代入( 3 4 3 ) 的右边第三项得到 ，r 1 r ( u ，札t 一2 u t ( z x u ) ，) ( 一u 扰牡，一2 u t u r t ) d r ，r o 它可以被 c ( f l r u 托怯+ r u 。i 圳护1 嘶。i i l s ) ( r i l 乱州l i l 。+ 咿；1 u n l l l 。) + c ij r i l u 。i i l 6 l i7 i 1 乱，i | l z i i r u “i l l 。+ cj i r 石1 牡。i i 至。i i r i a u ，| | l a i l r l u n l l l s 控制 另外 r u r t i l i 。= f t r ，1r u r t u r t d r = r u r t u t 肾f t r lurtutdrjj r o一( 1 m r t 叫r ， - ，凰 丢l i t u r t 嵫+ e l i r i l 饥嵫+ 胪u t 怯幡让州怯 因此我们得到 互1 让，。怯c ( 11 7 u r r t 幢+ 1 ) 现在估计 i l r l u n 忆s ，咿i l u 。i i l e ， 亏1 i i l s ，咿 “l k 。 其中 i l r l u r t l i l s c ( 1 l r 缸n i i l 。+ i i r u ，n i l l ：) ij r 钍n i i i 。c ( 1 + f i r “，n l i i 。) i i r u t i i l e e l l r ；仳n ij i 。i l r u t i l i 。c ( 1 + l i t u r r t l i i ：) 由z t r t = ( u u ) ，= u ，a u + 牡( a u ) ，得 ( 札) r ( 让) ，( ”n 嘶t + 珏。让+ ( 3 嘶乱) 2 + ( = z u ，2 ) 2 ) 这里用到了 o “( z x u ) ，= 一3 u ，牡+ = u ，2 因此我们得到估计 l | r 札，i i l 。c ( 1 l r l u n i i 工。+ i l r u i i l 。+ 1 ) 另外 咿 札i i 工s c ( 1 l r l u ，r l a + r u ，i i l s ) 而 咿 ，l i l s c ( 1 l r u ，jj 工。+ ；u i i l 。) i i i r + 1 u r r l l i 2 。 c ( 1 l r l u m 怯+ 1 ) 我们再用前面的 11 u r t = u r 心r r + u u r r r + 一u u r r 一 让r_-虿u 7 7 一 得到 ，u , p p i , 一- - - c ( ( 3 u r u r r ) 2 + i 孔川2 + i u r r l 2 坩+ 去i ur r | 2 + 去i u r l 2 ) i i7 互1 廿，i i l ：c ( i i r i l u n i i l ：+ 1 ) c ( 1 l r j l 乱，n i i 芝1 ：+ 1 ) 因此 r 乱，怯c ( 1 l r u 州咆+ 1 ) 另外 r 缸i l 工e c ( 1 l 瘴u ，怯+ 咿百1 撕i i l e ) c ( 1 l r ；让，l i i 。+ 1 ) c ( 1 l r ；1 札，nj i 呈_ 1 。+ 1 ) 我们得到估计 2 磊d 戊j r l ，让托打c ( 怖船仆k 嵫+ 1 ) ( 3 4 4 ) 通过( 1 1 ) 式，我们得到 u 托u 托= a u t a u t + 2 ( u ，u r ) ( u t u t ) + ( u u t ) ( u a u ) 一4 ( u ，u r t ) 2 ， 带入( 3 4 4 ) 得到 丢小训2 小蚓2 悱1 2 u t x u t + i 蚓2 m 妒煳r c ( 1 l r u i i ：。+ i r i u r nj i 艺。+ 1 ) 两边在( o , t ) 上积分， 胁北+ 厂崩r 让。也。咖 f tf r l c ( i i r ；u 托1 1 2 。+ i i r 互1 u ，n i i 羔。+ 1 ) d t + c r l u 。1 1a u t i d r ，0 j 凰 f r af r l + c r u t l 2 i u 1 2 d r + c r t u r t l 2 d r + c( 3 4 5 ) j r oj r o ( 3 4 5 ) 左边第二项 er i 仳斤咖= r 1 巾州+ b ) 2 _ ( 1 ( 晖2 r t + 拓2 + 2 u r r t 嘶t ) d r 因此我们得蛩l 川i 舢r t i i ：+ ( 1 譬d r c 厂。( 1 i t u 托1 1 2 。+ i i r 札，n i i i 。+ 1 ) 出+ c r 1 i u ，n i i u n i d 7 j o j ” f r lf r lf r l + c 厶r l u , i i a u t d r + c 厶r l u , 1 2 l u 2 d r + c r o 帆1 2 办+ c ( 3 4 6 ) ( 3 4 6 ) 右边第二项 f r l i 钆州ii u n i d r c i r ；u 州ii l 。ii r u n ii l 。 c ( 1 l r 缸，。i i i 。+ 1 ) ! ；c + 三i i r u ，。i i ：。 ( 3 4 6 ) 右边第三、五项 f r lf r l l r l u t i i u t i d r + | f l u n l 2 d r j r o，凰 0 和所有m 0 ，可以得到估计， 其中 u 一- t 。ij l 一( o ，t ；l 。( n ，) ) c ( er o ，i i 圣，1 1 日m ( n 。) ) ， 1 2 k x + 如m + 1 4 命题2 4 证明 引理4 1 对于任意函数v h = v o ，v l ，v j 且v 0 = 0 ，我们有以下不等式： r 口i i p c 胪膀+ ，i i 。+ 妒慨一； 其中2 p o o ，p 0 ，c 与和h 无关 证：当p = 0 时 u m 钞m = v m u m 一一1 一1 + v m 一1 。一1 一+ 可1 口1 一如伽+ 铷铷 即 另外 m 一1 m - 1 ( + l + ) d + j = o m 一1 c ( ( 吻+ - + ) 2 九) ( j = oj = o c i h 陋1 1 2 ( 警黝) 喜1 11 v h l l c l l v h l l ；j 1 6 幢 i i p ：( jl 吻l p h ) t ：i i i i ：；i i 观膀 0 时 j = o r 2 m 口v m = 髻口m 一7 袭1 砂m _ 1 一1 + 椎l - 1 一l 一+ r 尹 1 口1 一学如v o + r 2 卢v o v o m 一1 0 满足： s u p ( 1 l r g m i l 2 + ；6 2 u 1 1 2 ) c o t 乃 s u p ( 咿i 1 6 u 胁1 1 2 + i i r ；6 3 u 1 1 2 ) c o t s t o s u p ( i l r i l 占u i i 。+ i i r u 衄i i + i i r ；6 2 “_ l i i 。) c 0 t s t o 其中c 和蜀与h 无关 证：在( 1 4 ) 两边对t 求导得到 嘶托= 吻( 竽+ 百d + u j t ) 椭嘶托2 吻【万一+ 习r j + t ( d + d - u i + 业) ，j ：1 ，2 ，j 一1几一 r i h 7 。 ( 4 5 1 ) 然后在( 4 5 1 ) 两边同乘乃蛳 求和，得到 巧驴扰 ：j - 1 巧畛( d + d 厂_ u j t ) + 巧扰 = 巧吻t ( r ) + 其中( 4 5 2 ) 右边第一项 。o 吩t ( j = l 霎学c u ，t xr i u i ， d + 广u j t ) 危( 4 5 2 ) 芦 间 j 一1 j = o 堂譬逍州缸“r o u o ) 警+ u j r x r s u s ) t d _ u j t + u j r l f u j r 坳( j = o ) h 一 ，一1 ) h f 一 j = o ，一1 j = o 吩+ 1 ) 如m + 。半) 九 因此得到 三翱也枷c 圳i 南u 川。咿砒训让蒯i 。i i 尚让训i 。 在( 4 5 1 ) 两边同乘r jd + d h 2 型求和 蚤j - 1 懒学九= 萎c 惭一d + d _ u j 一 ( 4 5 3 ) j 一1 ( t j = l 左边 ，一1 心 j = l + d + 札f 、 卞) ，一l j = o d + d u j r 九2 ( d + d 仃。_ u j t ，一l j = l ( j = l 1d 。 一互磊i | j 一1 h + f ( u i z 二_ 一、j j = l 一r o u 慨d + 厂u o t r j - 1 ，d + u j t 聃半 j = o + 仃u ，t t d - 厂u j r h t ( 学+ 警) 】 一 一 ，一l r ；6 u ( t ) 旧一( 坳 j = l 2 5 d + u 、 带) ( 4 5 3 ) 学半 呦一 等 学学 d 一 卜 警衰舢 半 、l ， 警学 学掣 半 些九 d 一 警 + 学半 触 些 d 一 学 勺 豇一 坐 d 一 味 同 学学 学学 + ，一1 ( 吩 j = l d + 凡u j t ) d + d r _ u ，t 九一j - 1 ( 。 3 = 1 ( 4 5 3 ) 右边第一部分 ，一2 j = l d + ( r j u j t 旦生h 2 蚴d + u j t h h 皇些 h + r j - l u j - l tx d + d 厂_ u j _ i ) d + f u j - l t 一( r a