五年级奥数第一讲——质数、合数和分解质因数(教师用).doc

远辉教育远辉教育奥数班第一讲质数、合数和分解质因数主讲人：杨老师 学生：五年级 电话：62379828一、 基本概念和知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：把30分解质因数。解：30235。其中2、3、5叫做30的质因数。又如12223223，2、3都叫做12的质因数。二、 典例剖析：例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：210=2357可知这三个数是5、6和7。例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=1129=3+37。17233911129319337111。所求的最大值是391。答：这两个质数的最大乘积是391。例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：19中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。解：5=5，7=7，6=23，1427，15=35，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=27）放在第一组，那么7和6（=23）只能放在第二组，继而15（35）只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样1415=210=567。这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。分析 先大概估计一下，303030=27000，远小于42560.40404064000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在3040之间。解：42560=26571925（57）（192）323538（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38。例7 有3个自然数a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530在例7中有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数.下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9，36，144，1600，275625。解：9=32 36=2232 144=32241600=2652 275625=325472可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，3662，144=122，1600=402，275625=5252。例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析 a与1080的乘积是一个完全平方数，乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解：1080a=23335a，又1080=23335的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，a必含质因数2、3、5，因此a最小为235。1080a108023510803032400。答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。例9 问360共有多少个约数？分析 360=23325。为了求360有多少个约数，我们先来看325有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23325（=360）的所有约数.为了求325有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到325的所有约数。解：记5的约数个数为Y1，325的约数个数为Y2，360（=23325）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：Y3=4Y2，Y23Y1，显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。因此Y34Y2=43Y1=432=24。所以360共有24个约数。说明：Y3=4Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是36023325中质因数2的个数加1；Y2=3Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23325中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23325中质因数5的个数加1.因此Y3（31）（2+1）（1+1）=24。对于任何一个合数，用类似于对23325（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例10 求240的约数的个数。解：240243151，240的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240有20个约数。请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？模拟测试1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2.111