（基础数学专业论文）实半单群的表示理论及相关代数结构.pdf

a b s t r a c t ( c h i n e s e ) 李群的无限维表示及其相关课题的研究是数学的最活跃的领域之一。本文 研究了此领域的些有趣的问题。本文包括三个部分：1 ) 拟可裂李群的 f i n e 表示，好根和r 群的分类；2 ) 最小k 一型正则的酉表示的d i r a c 上同 调；3 ) 二次李代数。 在简夼审，我们回顾了表示理论的发展历史及研究现状，解释了我们感 兴趣的问题，并简要说明了我们的研究思路和主要结果。 f 第一章主要介绍实约化群的无限维表示理论的基本内容，研究表示的两 种主要方法一抛物诱导法和上同调诱导法以及两者之间的联系。其中5 1 2 4 节的不可约性定理和酉性定理对我们的研究很有帮助 在第二章，我们首先介绍了严先生用于研究实单李代数分类的方法利 用严的方法我们描述了好根集，并给出了f i n e 表示的分类、r 群的结构。 我们给出了a ，和朋两种情形的具体计算，并将所有的结果总结在表2 1 和 2 2 中。 在第三和第四章，我们利用口不变参数研究了最小k 型正则的酉表示 的d i r a c 上同调。此研究的动机源于s a l a m a n c a - r i b a 3 5 的结果在第三章，我 们利用v o g a n 的方法研究了正则最小k 型p 所决定的拟可裂子群的结构。 我们得出【的d y n k i n 图是离散的或者是4 l a l b 2 ( 定理3 9 ) 在第四 章，我们简要介绍了d i r a c 上同调的基本概念以及目前已知的一些结果。 主要是黄劲松和p a n d t i d 的结果( 推论4 9 ，4 1 1 和命题4 1 0 ) 。这是我们研 究d i r a c 上同调的主要工具我们的主要结果是定理4 2 5 在最后一章，我们讨论了二次李代数的性质。二次李代数是带有非退 化、对称、不变双线性型的李代数。我们首先研究了其分解的唯一性( 定 理5 4 ) ，并由此得到了一般李代数分解的唯一性( 推论5 1 0 ) 。最后我们 提出了非可解不可约二次李代数的种分类方法，给出了第一第二类的分 类( 定理5 1 4 和5 1 9 ) ，并具体描述了第二类的一些元素。 h g 撕，7 ，季f7 ( “，f k 1 东t ：j 。 a b s t r a c t ( e n g l i s h ) t h es t u d yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i eg r o u p sa n dr e l a t e dt o p i c s i so n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d si nm a t h e m a t i c s i nt h i st h e s i s ，w es t u d ys o m ei n t e r e s t i n g p r o b l e m si l lt h i sf i e l d t h et h e s i si n c l u d e st h r e ep a r t s ：1 ) t h ec l a s s i f i c a t i o no f f i n er e p r e s e n - t a t i o n s ，g o o dr o o t sa n drg r o u p so fq u a s i s p l i tl i eg r o u p s ，2 ) d i r a cc o h o m o l o g yo fu n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n sw i t har e g u l a rl a m b d a - l o w e s tk t y p e ，3 ) q u a d r a t i cl i ea l g e b r a s t h ep a p e r i so r g a u i z e d “f o l l o w s i ni n t r o d u c t i o n ，w er e c a l lt h eh i s t o r ya n dr e c e n tr e s e a r c ho nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , e x p l a i nw h a tw ea r ei n t e r e s t e di na n dg i v ea n o u t l i n eo fo l l rs t u d ys ot h a tt h er e a d e r sc a n f o l l o we a s i e r i nc h a p t e rl ，w er e c a l ls o l n eb a s i cf a c t so ft i l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y o fr e a lr e d u c t i v eg r o u p sa n dt h et w om a i nm e t h o d st oc l a s s i f yi r r e d u c i b l ea d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n so fr c d u c t i v eg r o u p s ，t h a ti s ，p a r a b o l i ci n d u c t i o na n dc o h o m o l o g i c mi n d u c t i o n ，a s w e l la st h e i rr e l a t i o n s h i p t h ei r r e d u c i b i l i t ya n du n i t a r i z a b i l i t yt h e o r e m si ns e c t i o n12 4 a r eu s e f u lf o ro u rs t u d y i nc h a p t e r2 ，w ec o n c r e t eo i lt h es t u d yo ff i n er e p r e s e n t a t i o n sw i t ht h eh e l po fy e n s m e t h o d ，w h i c hi sr e c a l l e db r i e f l yi ns e c t i o n2 2 t h e nw eu s ey e n sm e t h o dt od e s c r i b et h e s e to fg o o dr o o t sa n dc l a s s i f yf i n er e p r e s e n t a t i o n s ( t h e o r e m2 2 3 ，2 2 4 ) t h es t r u c t u r eo f r g r o u p si so b t a i n e di ns e c t i o n2 4 ，w h e r ew ej u s ts h o wt h ec a l c u l a t i o n so ft y p e sa i ( s p l i t ) a n de l i ( q u a s i s p l i t ) a l lt h er e s u l t sa r ec o l l e c t e di nt a b l e s2 1a n d2 _ 2 i n c h a p t e r s3a n d4 ，w es t u d yd i r a cc o h o m o l o g yo fu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n sw i t ha r e g u l a r a m b d a l o w e s tk t y p epu s i n go - s t a b l ed a t a s a l a m a n c a - r i b a 7 sr e s u l t ( 3 5 jm o t i v a t e s u st oc o n s i d e rs u c hk i n d so fr e p r e s e n t a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ef o l l o wv o g a n sm e t h o dt o s t u d yt h es t r u c t u r eo fq u a s i s p l i ts u b g r o u pl a s s o c i a t e dt ot h er e g u l a rl a m b d a l o w e s tk - t y p e “i ns e c t i o n3 1 w er e c a l la n dr e w r i t ep r o p o s i t i o n5 3 3 【3 9 a n dg e ts o m eb a s i cf a c t s o ft h er o o t so f 【a c t u a l l y , w eg e tt h a tt h ed y n k i nd i a g r a mo f 【i sd i s c r e t eo ro ft h ef o r m a 1 xa 1 b 2 ( t h e o r e m3 9 ) i nc h a p t e r4w er e c a l lt h ed e f i n i t i o n so fs p i n o r sa n d d i r a cc o b o m o l o g ya n ds t a t ei nb r i e ft h es t u d yo fd i r a cc o h o m o l o g yu pt on o w ：m a i n l yt h e c o n j e c t u r eo fv o g a n ( t h e o r e m4 8 ) a n dt h er e s u l t so fh u a n g a n dp a n d i i d ( c o r o l l a r i e s4 9 ， 4 1 1a n dp r o p o s i t i o n4 1 0 ) w h i c ha r eo u rm a i nt o o lt os t u d yd i r a cc o h o m o l o g y s i n c e t h e r ei sar e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i r a cc o h o m o l o g ya n d ( g ，k ) 一c o h o m o l o g y ，w em e n t i o ni n b r i e fs o m eb a s i cf a c t so f ( g ，k ) - c o h o m o l o g yi ns u b s e c t i o n41 3 o u rm a i nr e s u l ti ss t a t e d a st h e o r e m4 2 5i ns e c t i o n4 2 i nt h el a s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fq u a d r a t i cl i ea l g e b r a s q u a d r a t i cl i e a l g e b r ai sal i ea l g e b r ae n d o w e dw i t haf o r mw h i c hh a sa l lt h eu s e f u lp r o p e r t i e so fk i l l i n g f o r mo nas e m i s i m p l el i ea l g e b r a ：b i l i n e a r i t y , n o n d e g e n e r a c y ，s y m m e t r ya n di n v a r i a n c e w ef i r s tf o c u so nt h es t u d yo fab a s i cp r o b l e m ，t h a ti s ，t h eu n i q u e n e s so ft h ed e c o m p o s i t i o n so fq u a d r a t i cl i ea l g e b r a sa n dg e tt h a tt h ed e c o m p o s i t i o no faq u a d r a t i cl i ea l g e b r a i n t oi r r e d u c i b l en o n d e g e n e r a t ei d e a l si s u n i q u eu pt o a ni s o m e t r y ( t h e o r e m5 4 ) a sa c o r o l l a r y ，w eo b t a i nt h eu n i q u e n e s so ft h ed e c o m p o s i t i o no fa na r b i t r a r yl i ea l g e b r ai n t o i n d e c o m p o s a b l ei d e a l su pt oa ni s o m o r p h i s m ( c o r o l l a r y51 0 ) f i n a l l y ，w ep r e s e n taw a y t oc l a s s i f yn o n s o l v a b l ei r r e d u c i b l eq u a d r a t i cl i ea l g e b r a sa n dg i v et h ec r i t e r i o nf o rt h o s e i n0 1 ( t h e o r e m5 1 4 ) a n d 西2 ( t h e o r e m5 1 9 ) w ea l s oc o n s t r u c tc o n c r e t e l ys o m es p e c i a l e l e m e n t si n0 2 a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rh o uz i x i n ，m ys u p e r v i s o r ，f o rh i sm a n ys u g g e s t i o n sa n d c o n s t a n ts u p p o r td u r i n gt h ef i v ey e a r so fm yp o s t g r a d u a t es t u d y ia ma l s ot h a n k f u lt o p r o f e s s o rl i a n gk ef o rh i sg u i d a n c et h r o u g ht h ee a r l yy e a r so fc h a o sa n dc o n f u s i o n t h e y s h a r e dw i t hm et h e i ri m m e n s ek n o w l e d g ea n di d e a s p r o f e s s o rl i a n gp r o v i d e dm em a n y u s e f u lr e f e r e n c e s ，a n dh i su s e f u li d e a s ，h e l p f u lg u i d a n c e ，f r i e n d l ye n c o u r a g e m e n ta n ds o m e o fh i sr e s e a r c hp r o d u c th e l pm ec o m p l e t et h i sp a p e rf a v o u r a b l y 1w i s ht oe x p r e s sm yt h a n k st op r o f e s s o rm e n gd a o j ia n dh i ss t u d e n t s m yp u b l i s h e d p a p e r sa r ej o i n t l yw o r kw i t ht h e m a l s ois h o u l dt h a n kt h ef o l l o w i n g ：b a ic h e n g m i n g ， d e n gs h a 靠q i a n ga n ds oo n 1w o u l dl i k et ot a k et h i so p p o r t u n i t yt ot h a n kp r o f e s s o rh u a n gj i n g s o n g ，w h os u p p l i e d h i ew i t ht h ep r e p r i n t so fs o m eo fh i sr e c e n tj o i n tw o r kw i t ha n d i i dp a v i e ，w h i c hm o t i v a t e s m et os t u d yd i r a ce o h o m o l o g ya n dg a v em eab e t t e rp e r s p e c t i v eo nm yo w nr e s u l t sa n d t h a n kp r o f e s s o r sv o g a na n dk n a p pf o rt h e i rp a t i e n c ea n dg o o da d v i c e o fc o x x r im g r a t e f u lt om yp a r e a t sa n dm y w i f ef o rt h e i r o r e w i t h o u tt h e mt h i s w o r kw o n 】dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e z h uf u h a i a p r i l ，2 0 0 2 i n t r o d u c t i o n t h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ei r r e d u c i b l eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n so fal i eg r o u pi sa v e r yi n t e r e s t i n gp r o b l e m ，n o to n l yf r o mt h ep o i n to fv i e wo ft h ep h y s i c a la p p l i c a t i o n s ，b u ta l s ob e c a u s e o fi t si m p o r t a n c ei nm a n ya r e a so fm a t h e m a t i c s h o w e v e ri ti sn o tc o m p l e t e l yu n d e r s t o o d e v e nw h e nt h el i eg r o u pi sar e a lr e d u c t i v eg r o u p u p t on o w ，t h e r ea r et w om a i nm e t h o d st oc l a s s i f yt h ei r r e d u c i b l ea d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n so far e a lr e d u c t i v eg r o u p ：p a r a b o l i ci n d u c t i o na n dc o h o m o l o g i c a li n d u c t i o n t h e f o r m e ri sa na n a l y t i cm e t h o du s i n gl a n g l a n d sp a r a m e t e r ，t h a ti s ，t h ee q u i v a l e n tc l a s s e so f i r r e d u c i b l ea d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n so fgs t a n di no n e - o n ec o r r e s p o n d e n c ew i t ha l lt r i p l e s ( s ，p ， ) t h i sr e s u l tw a sd u et ol a n g l a n d s 【a z l t h el a t t e r ，i n t r o d u c e db yz u c k e r m a n ，i a a na l g e b r a i ca n a l o g v o g a n 【3 9 d e v e l o p sc o h o m o l o g i c a li n d u c t i o na n dc o n s t r u c t s0 - s t a b l e d a t at o g i v ead e s c r i p t i o no fi r r e d u c i b l ea d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n s a c t u a l l y ，t h e r ei s a n a t u r a le q u i v a l e n c eb e t w e e nt h et w ok i n d so fc l a s s i f i c a t i o n s t h em a i nr e s u l t so ft h e s et w o c o n s t r u c t i o n sa n dt h e i rr e l a t i o na r ei i l t r o d u c e di nb r i e fi nc h a p t e r1 i nv o g a n sc o n s t r u e t i o n ，f i n er e p r e s e n t a t i o n si sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e ri n 良s t a b l ed a t aa n dr g r o u pi su s e dt o d e t e r m i n et h es e to fl a m b d a l o w e s tk t y p e s r g r o u p i si n t r o d u c e da n du s e db yk n a p pa n d s t e i n 【2 4 】t ou n d e r s t a n dt h ei r r e d u c i b i l i t yo fp r i n c i p a ls e r i e s b u ti t i sal i t t l ed i f f i c u l tt o e l a s s i f vf i n er e p r e s e n t a t i o n sa n dr g r o u pu s i n gt r a d i t i o n a lm e t h o d ，t h a ti s ，s a t a k ed i a g r a m t h em o r ee f f e c t i v ew a ym a yb ey e n sm e t h o d ，w h i c hi st h em a i nt o o lw eu s ei nc h a p t ，e r2 a n dw i t ht h eh e l po fw h i c hw e c l a s s i f yt h ef i n er e p r e s e n t a t i o n sa n drg r o u p sm o r ee x p l i c i t l y a n dd e s c r i b et h es e to fg o o dr o o t si na ne a s i e rw a y 1 2 r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fr e a ls e m i s i m p l eg r o u p sa n dr e l a t i v ea l g e b r a i cs t r u c t u r e s 1 9 9 7 2 0 0 2 n o wt h ep r o b l e mi sr e d u c e dt od e t e r m i n ef o rw h a tk i n d so fp a r a m e t e r st h er e p r e s e n t a t i o n c a nb eu n i t a r i z a b l e u n f o r t u n a t e l y ，i ti s v e r yd i f f i c u l t t of i n das a t i s f a c t o r yc r i t e r i a i n 1 9 8 4 ，v o g a n 4 0 】p r o v e dt h eg e n e r a l i z e dz u c k m a nc m l j e c t u r ew h i c hs a y st h a t 冗5 ( y ) i s i n f i n i t e s i m a l l yu n i t a r yi fy w i t hi n f i n i t e s i m a lc h a r a c t e rai s i n f i n i t e s i m a l l yu n i t a r ya n dt h e r e a lp a r tr e ( a + p ( u ) ) i sd o m i n a n tf o ra ( u ) ( t h e o r e m s1 2 2a n d1 2 3 ) l a t e r ，s a l a m a n c a ri b aa n dv o g a n 3 6 p r o p o s eaw a yo fr e d u c i n gt h i sp r o b l e mt ot h ec l a s s i f i c a t i o no fap a lt o ft h eu n i t a r yd u a lo fav e r ys p e c i a lt y p eo fs u b g r o u p t h e yd e c o m p o s e dt h es e tf i “( g ) o f n o n e q u i v a l e n t ，i r r e d u c i b l e ，u n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n so fg i n t od i s j o i n ts e t sp a r a m e t r i z e db ya d i s c r e t es e to fp a r a m e t e r s a u ) i nf 3 5 s a l a m a n c a - r i b ae s t a b l i s h e st h ec l a s s i f i c a t i o no ft h e e q u i v a l e n c ec l a s s e so fi r r e d u c i b l e ，u n i t a r i z a b l eh a r i s h - c h a n d r am o d u l e sw h o s ei n f i n i t e s i m a l c h i na c t e ri ss t r o n g l yr e g u l a ra n dc o n c l u d e st h a ta l lt h o s em o d u l e sa r ea q ( a ) i ti st h i sr e s u l t t h a tm o t i v a t e sm et os t u d yt h er e p r e s e n t a t i o n sw i t har e g u l a rl a m b d a l o w e s tk t y p epi n c h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t r u c t u r e o ft h eq u a s i s p l i ts u b g r o u p 上a s s o c i a t e dt o “a n d g e tt h a t t h e o r e m3 9 l e t 肛b eak t y p e0 ，ar e p r e s e n t a t i o n 吖g a s s u m e 卢i sr e g u l a ri o r ( e ，t 。) 了e n 1 ) f o rl y p e sa i i i c i i a n dd t ，t h ed y n k i nd i a g r a mo fli sd i s c r e t e 2 1f o rt y p e sb ta n dc i t h ed y n k i nd i a g r a mo iti se i t h e rd i s c r e t eo ro ft h ed o r t n 0 1 兰：兰垒! 。b 2 r 一2 纠f o rt y p eb 1 巧肛i sr e g u l a r 如r ( 口，t 。) ，t h e nt h ed y n k i nd i a g r a mo fi i sd i s c r e t e t h es t r u c t u r eo fli ss os i m p l et h a tw ec a nu n d e r s t a n dt h er e p r e s e n t a t i o n so flc o u l 、 p l e t e l y , h e n c et h es t r u c t u r eo fi n d u c e dr e p r e s e n t a t i o n si sal i t t l ec l e a r ，w h i c he n a b l e su st o s t u d yt h ec o h o m o l o g yo fs u c hr e p r e s e n t a t i o n s c o h o m o l o g yo fr e p r e s e n t a t i o n si s a ni n t e r e s t i n gp r o b l e m ，i nt h ep a s t t w e n t yy e m s 、 p e o p l ea r ei n t e r e s t e di nu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n sw i t hn o n z e r oc o h o m o l o g i e s ，t h a ti s ，( g ，) c o h o m o l o g y ( d e f i n i t i o n4 1 2 ) a n dd i r a cc o h o m o l o g y ( d e f i n i t i o n4 3 ) v o g a na n dz u c k e r n l a n 4 2 】c l a s s i f i e dt h eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n sw i t hn o n z e r o ( o ，k ) 一c o h o n m l o g ys i n c ee v e r y m 吼2 0 0 2 一 ! 兰：! 竺! 竺! i 一一 一 r _ e d r e s c i l t a t i o l lw i t hn o n z e r o ( g ，k ) c o h o m o l o g yh a s n o n z e r od i r a cc o h o m o l o g y ，t h i s f a c tm o - t i v a t e sp e ( ) i 】1 et ( ) p a ym o r ea i t e n t i o nt od i r a ce o h o m o l o g y b c t u a l y ，d i r a ei u e q u a i t y i sa w e l l k n o w na n du s e f u lt o o li nt h es t u d yo fu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n p r o p o s i t i o n4 5 ( p a t h a s a r a t h y sd i r a ci n e q u a l i t y ) l e t xb en 札i r r e 如c 幻l eu n i t a r y h k ) - m 。d “l e i t hi n f i n i t e s i m a lc h a r a c t e r a f i xor e p r e s e n t a t i o no iko c c u r r i n gi nxo l h 、。i g h e s t 叫e i g h t “( t c ) ，a n dnp o s i t i v er o o ts y s t e ma + ( g ，t c ) o rt c i ng h e r et 。i sc a f t a n s u b a l g e b r ao ，e w r i t e p 。= p ( a + ( t ，t ) ，p 。= p ( a + ( p ，t ) 用z 。ne l e m e n tu w k s u c ht h a tu ( 肛一肌) i sd o m i n a n t ，0 ra + ( e ，t ) t h e n ( u ( p p 。) + p 。，叫( p p 。) + p c ) ( a ，a ) h u a n g a n dp a n d i i d 【1 6 1g e tt h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h ee q u a l i t yh o l d s t h e o r e m4 6 t h ee q u a l i t yh o l d s a n do n l y 对 a = u ( 卢一p 。) + p c i n 口n r t i c u l a rt h ee q u a l i t yi m p l i e st h a tav a n i s h e so nt h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n t 酊t 。慨b c i nt l ”f a l lo f1 9 9 7 ，v o g a ne x p l a i n e dac o n j e c t u r e ( t h e o r e m4 8 ) o nd i r a cc o h o n m l o g y i nas e r i e so ft a l k s0 nd i r a co p e r a t o ra n du n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n sa tm 1 t l i eg r o u p ss e r e 。 i n a r t h ec o n j e c t u r ew a sp r o v e db yh u a n ga n dp a n d i i d 1 6 ( s e es e c t i o n4 1 f o rd e t a i l ) f u r t h e r m o r e ，t h e yg e tt h a ta ni r r e d u c i b l eu n i t a r i z a b l e ( g ，k ) 一m o d u l ex h a sn o n z e r od i r a c c o h o m o l o g y ，s a y1 k e r d ，i fa n do n l yi ft h ei n f i n i t e s i m a lc h a r a c t e rao fx i s g i v e nb y 1 十p c t ob ep r e c i s e ，7h a sh i g h e s t w e i g h t u ( 芦一砌) ，w h e r e 卢i sa k t y p eo f x ，“j w ( k ) m a i nr e s u l tf o l l o w s 4 。r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f r e a l s e m i s i m p l e g r o u p s a n dr e l a t d ea l g e b r a i cs t r u c t u r e s 1 9 9 7 - 2 0 0 2 t h e o r e m4 2 5 l e xb e ni r r e d u c i b l eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o no fg w i t hr e g u l a rl a m b d a l o w e s tk t y p e “t h e nx h a sn o n z e r od i r a cc o h o m o l o g y 玎a n do n l y 矿抽ep o “”8 8 ”撕 t h eo - s 6 f e 如f n ( q ，日，d ，) c o r r e s p o n d i n gt ox i sj a s t 反r l 反 i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yac l a s so fl i ea l g e b r a sc a l l e dq u a d r a t i c l i ea l g e b r a se a c h 研w l l i c l lh a sa1 m n d e g e n e r a t es y m m e t r i ci n v a r i a n ! - b i l i n c a r f o r m i ti su s e f u lf o rs e m i _ r i e m a n n i a ng e o m e t r y f i r s tw ec o n s i d e rt h ed e c o m p o s i t i o no faq u a d r a t i cl i ea l g e b 。a a n dt h em a i nr e s u i ti st h a tt h ed e c o m p o s i t i o no faq u a d r a t i cl i ea l g e b r ai n t o i r r e d u c i b l e n o n d e g e n e r a t ei d e a l si su n i q u eu p t oa ni s o m e t r y t h e o r e m5 4l e tgb e8q u a d r a t i cl i ea l g e b r a t h e nt h ed e c o m p o s i t i o no fq i n t oi r r e d u c i b l en o n d e g e n e r a t ei d e a hi su n i q u eu pt o a ni s o m e t r y c o r 0 1 1 a r y5 1 0 t h ed e c o m p o s i t i o no fa na r b i t r a r yl i ea l g e b r ai n t oi n d e c o m p o s a b