（基础数学专业论文）有限群的分解.pdf

摘要 局部分析方法是有限群理论最基本的方法，它在有限单群分类定理中起了十 分重要的作用在很多情况下，p - 局部子群是可解的或p - 可解的，其中一个行之 有效的方法是将给定的有限群分解为具有某些特定性质的子群的乘积因此分解 方法就有着更为广泛的应用，一个应用最广泛的分解定理是f r a t t i n i 定理值得 注意的是，在群类理论( 群系，f i t t i n g 类及s c h u n c k 类理论) 中，分解方法也是 最基本的方法之一 本文首先研究实现有限群分解的条件，给出了把一个有限群分解为它的子群 的乘积的几个充分条件，然后又具体讨论了有限群的分解在有限群论中的应用 关键词可解群，横截，单群，局部子群 a b s t r a c t t h em e t h o do fl o c a la n a l y s i si se l e m e n t a r yi nf i n i t eg r o u pt h e o r y , a n di tp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nt h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mo ff i n i t es i m p l eg r o u p s i nm o s tc a s e s , a p - l o c a ls u b g r o u pi ss o l v a b l eo rp - s o l v a b l e o n eo fe f f i c i e n tw a y t oa p p r o a c haf i n i t e g r o u pi st od e c o m p o s ei ti n t oap r o d u c to fi 忸s u b g r o u p sw i t hs o m es p e c i a lp r o p e r t i e s t h e r e f o r et h em e t h o do fd e c o m p o s i t i o ni so fm o r eu t i l i t y o n eo fd e c o m p o s i t i o n t h e o r e mm o s t l yu s e di st h ef r a t t i n i st h e o r e m i ts h o u l db en o t i f i e dt h a tt h em e t h o d o fd e c o m p o s i t i o ni sa l s oe l e m e n t a r yi nt h es t u d yo ff o r m a t i o n , f i t t i n gc l a s sa n d s c h u n c ke l a s s i nt h i sp a p e rw ef i r s ti n v e s t i g a t et h ec o n d i t i o nu n d e rw h i c haf i n i t eg r o u pc a nb e d e c o m p o s e d , a n dp r e s e n ts e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ri td e c o m p o s e ，a n dt h e n d i s c u s ss o m ea p p l i c a t i o n so fd e c o m p o s i n gaf i n i t eg r o u pi nf i n i t eg r o u pt h e o r y k e y w o r d s s o l v a b l eg r o u p ，t r a n s v e r s a l ，s i m p l eg r o u p ，l o c a ls u b g r o u p 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) ： 朗祝 二零零六年八月二十八日 引言 局部分析方法是有限群理论最基本的方法，尤其是关于对合的中心化子的 研究，在有限单群分类定理中起了十分重要的作用所谓局部分析就是通过分 析和考察局部子群的性质和结构，从而确定单群本身的结构和性质局部子群 原来是指p - 局部子群，即所给群g 的任一个非平凡p 子群的正规化子；2 0 世纪 8 0 年代后期，局部子群定义为g 中非平凡可解子群的正规化子但对于p _ 局部 子群的讨论仍然是局部分析理论最重要的组成部分由于局部分析方法贯穿了 整个有限单群分类的全过程，因此它具有丰富的理论和技巧在很多情况下，p - 局部子群是可解的或p - 可解的，其中一个行之有效的方法是将给定的有限群分 解为具有某些特定性质的子群乘积既然在很多情况下，p - 局部子群是可解的 或p _ 可解的，那么分解方法就有着更为广泛的应用一个应用最广泛的分解定 理是f r a t t i n i 定理值得注意的是，在群类理论( 群系，f i t t i n g 类及s e h u n c k 类理论) 中，分解方法也是最基本的方法之一( 见 1 卜 h i ) 在本文中我们从两个方面来考察分解问题： 一类问题是涉及实现分解的条件： 一类问题是考虑由群具有分解性可能得出的进一步结果 1 有关定义及常用结论 本文所采用的符号都是标准的，参见 1 2 】， 1 3 ， 1 4 令g 为一群，我们 用s y l v g 表示g 的所有s y l o wp - 子群的集合，用兀或兀( g ) 表示i g i 的所有素因 子的集合 为了下文讨论方便，我们首先给出一些定义和一些经常用到的定义和基本 结果 命题1 1 ( f r a t t i n i 命题) 设g 为一有限群，n g g ，s 为n 的s y l o w p - 子群， 则成立g = n n c ) , ( s f r a t t i n i 命题可以做如下的推广： 设g 为一有限群，n g g ，h 5 n ，若对于任意g c - - g ，总可以找到n 抖，使得h g = - h n ， 则成立g = n n c ( h ) , 命题1 2 设g 为一有限群，n g g ，晒，且( p ，i n i ) - - 1 ，设p 为g 的s y l o wp - 子群，则成立n g ( p ) n n = n g n ( p n n ) 命题1 3 ( d e d k i n d 恒等式) 设g 为一群，k ，h ，l 为g 的子群，且有隐l ， 则成立l c i k h - k ( l n h ) 定义1 4 设g 为一群，兀为一个素数集合，设h 为g 的一个子群，兀( h ) c 且 成立( ，i g ：h i ) = 1 ，则h 说为g 的一个旷h a l l 子群特别地，若疳 p ，则h 说 是g 的一个s y l o wp - 子群 定义1 5 一个群g 说是具有m r - s y l o w 性质，若成立： ( 1 ) g 中有h a l l 矿子群 ( 2 ) 任意两个h a l l 矿子群在g 中共轭 ( 3 ) 任意旷子群一定包含在一个h a l l 矿子群中 定义1 6 称群g 为可解群，如果存在正整数n 使g m = 1 命题1 7 可解群的子群和商群仍为可解群 定义1 8 称子群列g = n 0 n l n 2 n r = l 为群g 的正规群列，若 n q g ，i = 0 ，1 ，r 定义1 9 称有限群g 为矿可分群，如果存在g 的一个正规群列 g 。n o n l n 2 n r 2 1 ， ( 1 1 ) 使n i n i + l 为矿群或靠。一群，i = 0 ，1 ，r - 1 2 称g 为矿可解群，如果g 中存在正规群列( 1 1 ) ，使n i n i + l 为靠一群或p - 群，其中p 羁i = 0 。l ，r - 1 定义i 1 0 设g 为p - 可解群，定义g 的上升p - 列如下： l = p n ( g ) 司( g ) qp 1 ( g ) qm 1 ( g ) 司qp p ( g ) 司m 夕( g ) = g uviv 蕾 其中 u i ( g ) p i ( g ) 2o ，( g p i ( g ) ) ，p i ( g ) m i - i ( g ) = 0 p ( g m i _ l ( g ) ) 我们称数善为g 的p - 长度，记为以( g ) p 定义1 。1 1 设g 是有限群，若g 1 ，令由( g ) 为g 的所有极大子群的交：而若 g = i ，令由( g ) = 1 我们称由( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群 定义1 1 2 有限群g 说是一个有限单群，若除本身和i 之外，不包含其它的 正规子群 显然，若g 可换，则g 为素数阶循环群我们所感兴趣的有限单群，主要是指 非可换单群 定义i 1 3 设h 是g 子群，g 的子集合s 说是h 在有限群g 中的右横截， 着忸n 慨l - 1 ，魄g 3 二有限群的分解 本节中我们将讨论有限群能够分解成两个真子群乘积的条件 定理1 令为一群性质，且若群g 具有性质，则说g 是一个 群假定满 足下列条件( 帕： ( 神有限群y 是一个一群当且仅当y o ( y ) 是一个一群 若商群g n 为 群，则必有芑一群k 能使c , = n k 证明假定g 为一群。n 是g 的正规子群能使g n 为一 群令k 为g 的子 群能使g = n k ，且选取k 使具有极小的阶数我们证明k 是一 群，只要证明 k 中( k ) 为一一群即可 下面首先证明k a n s , 垂( k ) 由于n g g ，故k a n 重k 假定k n n 圣( k ) ，则由于m ( k ) 为k 中所有极大子群的 交，故k 中必有极大子群l 不包含k a n 由l 的极大性，成立k = l ( k n n ) ，从而成 立 g = n k = n l ( k n n ) = n l ， 与k 的极小选择相矛盾这就证明了k n n 墨中( k ) 于是我们有g n = n k n = k n a k 由假定g n 为一群，故k k n n 也为一群 现在我们证明k 为一个旷群 下面先证明m ( k n c l i 【) = m ( k ) n n k 由定义可知m ( k n n k ) 为k n a k 中所 有极大子群的交由于k n a k 的极大子群厨在k 中的完全原象m 是k 的极大子 群，且m ( k ) 为k 中所有极大子群的交，从而n a k e d 9 ( k ) 捌，这表明： 垂( k n a k ) = 一n 肘- ( n m ) n a g = m ( k ) n a i c m m i n o 脚t 嘱 这就证明了m ( k n a k ) = 垂( k ) n n k 于是，我们有 k m ( k ) i ( k n n k ) ( 西( k ) n n x ) = ( k n n k ) 4 , ( k n n k ) 由条件( 帕可知( k n n k ) o ( k n n k ) 为一个 群 由上面的证明知m ( k n n k ) = 中( k ) n n k ，从而 l 【o ( k ) i ( k n n k ) o ( k n n k ) ， 哉k 垂( k ) 为一个 群再由条件( 帕可知k 为 群 口 推论2 1 令g 为一群，证明若对于某个正规子群n 商群g n 为幂零，则可 以找到幂零群k 使得g = n l ( 4 证明群的幂零性满足条件( 宰) ，即：有限群y 是一个幂零群当且仅当y o ( y ) 是一个幂零群，从而由定理1 可知，结论成立 口 例设g = q r ，则g z ( g ) 为可换群，由于z ( g ) = 币( g ) ，且g 非可换，故g 中不存 在可换子群k 使得g = i 【z ( g ) 所以推论2 1 中的幂零性的条件不能换成可换性 的条件，这是因为群的交换性不满足条件( 的 定理2 令g 为一有限群，h 和k 为g 的子群， ( i ) 若h ，k 都是g 中的正规子群，则对于g 中任意的s y l o w p - - 子群p ，成立 p n ( = ( p a l l ) ( p n k ) 。 ( i i ) 假定g = 骶，若h ，k 不全都是g 的正规子群，那么结论 p = - p a h k = ( p a h ) ( p a k ) 未必成立进一步证明在这种情况下，仍然可以找到g 的 s y l o wp - - 子群p 使得p = ( p n h ) ( p n k ) 证明( i ) 假定 i k 都是g 的正规子群，p 为g 的一个s y l o wp - - 子群，易知 ( p h ) n ( p k ) ( 1 i n k ) 因此只要证明 i ( p h ) n ( 雕) i = i p ( h a k ) i ， 即可得所需出等式 我们首先证明等式p n h k ：( p n h ) ( p a k ) 成立 为证明上式成立，我们需要如下的命题( 的： ( 木) 若s - s y l p g , n 旦g ，则成立s f i l q e s y l d n 事实上，由s y l o w 定理可知，若s a n $ y l n n ，那么s a n 必然真包含在n 的 一个s y l o wp - 子群u 中，且u 包含在g 的一个s y l o wp - 子群t 中由s y l o w 定 理，可以找到g 中一个元g ，使得 s _ - - t g ， 特别地，成立u g 签由于n a g ，故还成立u g 剜这表明u g 签n n s u 又i u g | - j u l ， 故 u = u g s n n ， 这与u 真包含s a n 相矛盾这就证明了s a n e s y l n n 显然成立 ( p r l h ) ( p n k ) 廿n 呱 只要能够证明等式 i ( p n 哪( p n k ) l - l p n 【i ， 便能得出等式 ( p a h ) ( p n k ) - p n 瑚| 【 由( 的可得 p a l t e s y lp i ，p a k 仨s y l p k ，p a h k e s y l p 胍 再由p f m i k e s y l 坶可知，i p 广1 i 等于i 呱i 中极大p - 因子 s 为表达方便，我们以i l i 。表示i l i 中极大p - 因子的阶这表明 i p n h i = i h i p ，i p n k i = i k ip ，i ( p n 腿) i = i h k ip 由于l 腿l = i x i | k i i h a k l ，故有 i h k i p = i h i p i k i p i m k ip 另一方面，成立 i ( p 广晤i ) ( p n l 【) l = i ( p n h ) ii ( p n k ) i l ( p n h ) a k i - - i h i p i k i p i h n k i p = i 呱l ” 这就证明了( p n h ) ( p n k ) = p n 碓【 下面我们通过计算证明i ( p h ) n ( p k ) i = i p ( h n k ) 1 由于k 量g ，h 驾g ， 珏【量g ，故p k ，p h ，p h k 都是g 的子群我们通过两种方法 计算的阶 首先我们有 i p k h i = i ( p k ) ( p h ) i = i p k | | p h i i p k a p h i = ( ( 1 p i l p a k l ) ( | p it h i i p a h i ) ) i p k a p h i = “p | | p | | h ll k i ) ( i p a k p a h | | p k n p h i )( a ) 另一方面，利用上文所得等式，成立 f p h k l - | p | | 埘( 1 i p a h k l = ( 1 p | | k ii h i t k a h i ) i ( p a k ) ( p n h ) l = ( i p i i h i i k a h i ) ( i ( p a k li p a h i f p a k a h l ) = ( i p l | k l i h | i p a k a h i ( 1 ( p a k | | p n h | i k a h l ) ( 幽 比较( a ) 和( a ) ，即可得出 ( | p i p l ) ( | p a k | i p a h t p k a p h i ) = ( i p il k ij h ii p n k r l l l l ( i ( p 广l k ii p a h li k a h i ) 整理后可得 i p k a p h i - i p | | k t l l i 这就证明了( 咖n ( p k ) = p ( h n k ) ( i i ) 我们首先给出一个例子，说明对于6 = h k ，若子群h ，k 二者之一正规， 二者之一不正规，便存在g 中的s y l o wp - 子群p ，使等式p = ( p r m ) ( p n z ) 不成 立 令仁a 4 ，h = ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 ，3 ) ，k - ，则成立 c , = h k ，且h 璺g ，k 彗g 令p = ，则p 为g 的s y l o w3 子群我们有p a h = i ， p n k = l 。故有( p n l o ( p n z ) = 1 ，p 现在我们证明( i i ) 中的第二个结论，即证明：对于g 的子群h ，k ，若成立 g - n 【则可以找到g 的s y l o wp - 子群p 使得p = ( p n h ) ( p n k ) 6 我们首先证明，可以找到的子群g 的s y l o wp - - 子群p 使得 p a h e s y l p i i ，p n k e s y lp i 【 我们需要子群的如下性质： 设h 为g 的予群，则有g 的s y l o wp _ 子群p 能使p a h e s y l p h 事实上，设u 为h 的s y l o wp - - 子群，由s y l o w 定理，可以找到g 的s y l o wp - 子群p 使得u p 我们有u j p a h , 从而由s y l o w 子群的定义，成立u = p f l i i ，即成立 p n i 岛y 1 d l i 假定已找到g 的s y l o wp - 子群r 和g 的s y l o wp - - 子群s 能使 r f l l e s y l p h 且s a k e s y l p l 【 由s y l o w 定理知，可以找到 g g 使得s = r g ， 又由g = 呱，存在h e h , k e i ! ( 使得 g = h k 从而有 s = r g = r h k 由此可得s k 一：r h 记p = s k - 1 ：r h 这时，我们有 p n h = r h a h = ( r a h ) n e s y l n h ，p a k = s k a k = ( s n k ) k e s y l d k t l 一i 由于l g i - 既l = i h | l k i i h a k l ，故g 的s y l o wp - - 子群的阶为 i g l p - l 胍i p = ( 1 h i p l k lp ) ( 1 h n l 【lp ) 2 l p 广m ii p n k i ( i h n x l p ) 另一方面，成立 f ( p n f d ( p a k ) l e ( | p a h | | p a k l i p n h a k l 由于p a h a k 包含在l i n k 的一个s y l o wp - - 子群中，故有 i p l l j i a k | li h a k id ， 这就证明了i ( p n h ) ( p a k ) i _ i 呱i p 又由于( p 广曲( p n z ) e s y l n g ，故成立 ( p 广l 1 ) ( p n k ) = p 口 定理3 ( i ) 假定g 为一有限群，g = h l ( ，h 和k 都是g 的真子群，若h a k 包含 h 的一个非平凡正规子群l ，则g 不是非可换单群特别地，若h 可换，则h a k = i ( i i ) 令g 为一非可换单群，g 有可换的s y l o wp - 子群h 及具有p - 幂指数 的真子群k ，则g = 呱，k 为p 。一群，且h 为g 的极大可抉子群 7 证明( i ) 要证明g 不是非可换单群，仅需证明g 有非平凡真正规子群 设l 为h 的一个包含在 i n k 中的一个非平凡正规子群，我们有 ： ： 配 由于k 为g 的真子群，故 为g 的非平凡真正规子群这就证明了，g 不 是单群 ( i i ) 由于l 【i - i h | i k i i h a k l ，且显然h a k 为k 的p - 子群，故成立g = 【 由于h 可换，故有 h n k 曩 i 由( i ) 可知 h n k - 1 由于 i 腿i - i h | i k i i h a k i = i h i ， 且h 为g 的s y l o wp - 子群，故k 必为p 一群 假定h 不是g 的极大可换子群，h 萋l 茹，且l 可换，则由d e d e k i n d 恒等式成 立 l = l n g = l n 【_ h ( l n k ) ， 这表明l n k - i ，由此立得矛盾口 定理4 令g 为p - - - 解群，p 为g 的一个固定的s p - 子群，我们以础( p ) 表示 g 的具有如下性质的子群h 的集合： ( a ) h 的p - 长度不超过2 ：( b ) p h ：( c ) i ( h ) l 2 ， 则成立： ( 1 ) g = ， ( 2 ) 若珥n 为g 的包含p 的子群能使删= 眦且v h 卯( p ) 成立 l l = ( h a m ) ( h an ) ，则g = m n 证明先证明第一个结论 我们首先固定如下的符号： 设u 为一群，q 为u 的固定的s y l o wp - 子群，令 ( q ) = 则有净p ( q ) 司以( p ) 对i g i 进行归纳令u = o ( g ) l ，其中 = p 或 p ，则由归纳假设， 在石= g u 中结论成立。即 石= 8 如果v 厅础( ) 成立厅虿，那么有 g = = = u = 【l ， 于是g = 故可以假定存在厅使厅= 虿，即( 石) 2 ，i 兀( 石) i 2 下面分如下两种 情况分别讨论：( a ) o p ，( g ) = 1 ；( b ) o p ，( g ) 1 ( a ) o d ，( g ) = 1 u = o p ( g ) ，那么o p ( g ) ；e i ，i 丌( ) i = i 兀( g l o p ( g ) ) i 2 ，故i “( g ) i 3 ( 1 ) 若i 丌( g ) i - - 3 ，则i 兀( g 0 d ( g ) ) i - - 2 这时，g o p ( g ) 奠a q ，r 卜群，p q r ，且p o ( g ) 2 1 ， m o ( g ) 2 0 p ，( g ) = i ，p i ( g ) 1 ( g ) ，m 1 ( g ) ，敝( g ) = 1 取q s y l q ( g ) ，r s y l r ( g ) ，h 1 2o p ( g ) q ，h 2 2o p ( g ) r 则 g = ( 2 ) 若f 兀( g ) f 2 ，且勺( 万) 2 ，那么 ( 万) 鸣( g 0 p ( 6 ) ) 鸣( 啪1 ( g ) ) ( g ) 一1 ， 故 气( g ) ( 万) + l 2 ，6 = ( 3 ) 若i 兀( g ) i 2 ，且名( 虿) = 2 那么 g 0 p ( g ) 20 q p q p q ( g o p ( g ) ) ，g = o q p q p q p ( 设r s y l p ( o p o p ( g ) ) ，则g = n g ( r ) ( g ) ， 可假定r - - p n o ( g ) ，则p n g ( r ) o h 1 2n g ( r ) ，h 2 2 p ( g ) ，则 g = ，g 2 下面证明墨万，吃虿 若墨2 虿，即h 1 书，则 r q g ，r o p ( g ) 因而i o p ( g ) o ( g ) l 整除i o ( g ) r i 由于l o p q p ( g ) r i 椭 p 因子，l o p ( g ) o p ( g ) i 含有p 因子，矛盾 若吃2 万，h 2 2 po 晶p ( g ) ：g ，则 = 黼， 因而 g | 一 l p | l d 。( g ) lp n d ，( g ) i 由于晶孔南贿哳册 因此成立曩万，毛石类似前面证明可得结论成立 ( b ) o p ，( g ) l 令u ：o p ，( g ) - 那么( 万) 气( g o p ，( g ) ) 2 ， i 靠( 石) i = l 托( a 0 p ，( g ) ) i 2 ， 则 气( g ) ( 石) 2 - ( 1 ) 若p 不属于玎( 万) ，则g 为p 群 ( 2 ) 若p 靠( 虿) 因为i 兀( 石) l 2 ，故万为 p ，q 卜群注意到p 作用在 o p ，( g ) 上，贝j v r e 靠( 0 p ，( g ) ) ，p 稳定o p ，( g ) 的一个s y l o wr _ 子群1 1 令 h ，2 豫 情形1 ：若q 不属于( o o ，( g ) ) 因为o d ，( 6 ) e g 中有补h ，r h 为 p ，q 卜群，故 o - = c i t e2 ：若q 靠( o p ，( g ) ) 设q s y l q ( o p ，( g ) ) ，则g ：n g ( q ) 0 p ，( g ) - - s f l l 定p - - u 这时牙和均包含f 且成立 露露n m x n n _ 、 n 则由归纳假定成立万一m n ( i ) 若a = p ，则显然成立g = m n ( i i ) 若a = p ，则有g 堋o d ，( g ) 令w = p o d ，( g ) ，考虑m n w 和n f - l w h n w n n _ 均包含p ，下面分两种情况： 若w 萋g ，则由归纳假定冒：( m n l ) ( n n w ) ，故有g = i m i l l 若聊，由于p m ，故有 醅= p 0 p ，( g ) ) ， l 胙p ( m a o p ，( g ) ) p ( n f 、o p ，( g ) ) = pm n o p ，( g ) ) o v n o p ( g ) ) 现在我们证明0 p ，( g ) ) ( n n o p ，( g ) ) 20 p ，( g ) 由于p 在o d ，( g ) 上互素作用，则由引理可知，对于任意r 0 p ，( g ) 中有p - 不变s y l 佣r _ 予群s r f 作半直积i i r 2 p s r ，则 h r e # e 由假定 h r = ( m a h r ) ( n n h r ) = p ( m n s r ) ( n n s r ) 显然( h n s r ) ( n n s r ) s r 又s r 为p 在h r 中一个右横截，故成立 0 1 1 1 s r ) ( n n s r ) i = i s r i ， 即有( 1 l n s r ) ( n n s r ) 2s r 由假定删堋可知，蝌为g 的子群我们有 s r = o s r ) ( n n s r ) 蜊， 这意味着0 p ，( g ) 删，这就证明了g = m n 口 三分解方法在群论中的一些应用 定理5 假定g 有可换子群h ，k 能使( f g ：h i ，l g ：k i ) = 1 ，则g 可解 证明假定g 为极小反例，即g 有可换子群h ，k 能使( i g ：t l i ，i g ：k i ) = 1 ，但g 不可解，且具有极小的阶我们通过以下步骤推出矛盾 ( 1 ) g = n 【 我们有 i g ：h n k i - - i g ：h i | h ：h a k | _ i g ：k | | k ：h a k i ， 特别地，i g ：h iti g ：h a k i ，i g ：k l ii g ：h a k i 由于( i g ：h i ，i g ：k i ) = l ，故成立 l g ：h l | g ：k g ：t l a k l 记i g ：h a k i = d l g ：h l l g ：k i ，这里如l ，则有 l g i j h a k l = d ( i g l i h i ) ( i g i i k l ) 由此可得 i h k i = i h l i h a k i = d l g i 又由于t l k g , 故成立 l 胍l = i g i ， 特别地d = 1 由此即得g ：呱 ( 2 ) h n k _ 1 特别地( 1 h i ，i k i ) = 1 假定h n k 一1 ，由于h k 均可换，故 h n ksz ( ) = z ( g ) 特别地h a k g g ，则由归纳假定，g r i n k 可解，故g 可解与假定相矛盾 由于h n k ：l ，故有 i g i - - i 腿i = l h i ， 这表明 i g ：h l = i k l ，i g ：k l = 由假定即得 ( 1 h l ，i k i ) f f i x ( 3 ) n 和k 均为g 的极大子群 我们仅证明对于h 这一结论成立假定相反，即有g 的真子群l ，能使h 善l ， 则成立 g _ l 也 我们有 l = l n m ( _ k ( h n l ) ， 即l 为两个可换子群k 和h a l 的乘积由归纳假定l 为可解的 由于h 可换，故h n l 为h 的正规子群则由1 ( i ) ，l 中包含的g 正规子群t ， 且由l 是可解的知t 也是可解的 由于 万- g t - 万 也是两个可换子群的乘积，故石可解，从而g 也是可解的，矛盾 故h 必为g 的极大子群 ( 4 ) g 可解 假定舻兀( h ) ，则h 为g 的h a l lg - 子群由 i g l = i h ii k l ，且( i h i ，i k i ) = l 可知。k 为g 的h a l l 兀一子群 现在我们证明，对任意g g 、 i 成立h c l i g = i 事实上，首先注意h , j h g ，否则将有g e 刘g ( h ) ，从而由h 在g 中的极大即得 这就证明了 仍由h 的极大性可知 h g i lg y = g h # h g g = ， 若h n h g , 1 ，则由于h 和h g 均可换，即得 h f 廿i g c z ( ) = z ( g ) ， 由此便得g 的可解性，矛盾 这时有 i g 、盅俐| = l g l - z ( 1 卟1 ) i g ：卟， 这表明 k 璺g 由此又得g 的可解性。矛盾 这样我们便证明了。g 是可解的 定理6 设g = n h ，且h 茹，n g g ( p ，l n i ) = 1 ，则对于h 的任意p _ 子群p ，成立 n g ( p ) = 讲n n g ( p ) ) ( n n n g ( p ) ) 证明设否一o n ，n i = n n i i , 我们首先证明 w n l ( p n l n 1 ) n h ( p ) n l n 1 由商群定义得 n v n l ( p n l n 1 ) = n h ( p n l ) n 1 1 4 由于( i n li ，p ) = 1 ，故有 p e s y l p ( h i p ) 由于n 1 p i n g ( n i p ) ，从而由f r a t t i n i 命题可得 n g ( n i p ) 2n 1 p n n g ( n i p ) ( p ) = n 1 p ( n g ( p ) ) = n 1 n g ( p ) 又n n g ( n l p ) ( p ) 地( p ) ) ，这就证明了 n h n 1 ( p n i n i ) = n h ( p ) n 1 n 1 现在我们证明n g ( p ) n n = n h ( p ) n n 事实上，由第二同构定理，成立 o = g n 2 h n n m h h n n = h n 1 令a 为以上g n 到h n i 的同构映射，则有 a ：g n 卜+ h n l t 这里g = h n ，h 甘i ，n 荆 注意a 导出p n n 塑 p n l n 的同构映射和n h ( p ) n n 到n h ( p ) n 1 n 1 的同构映 射 由于( p ，i n i ) = 1 ，并由上述两个同构映射可得 n g ( p ) n n - - n g n ( p n n ) _ n h n 1 ( p n i n 1 ) = n i i ( p ) n 1 n 1 _ n h ( p ) n n 又显然 n g ( p ) n 巾on h ( p ) n n ， 故等式n g ( p ) n n = n h ( p ) n n 局t , - v 从而有 n h ( p ) n g ( p ) 甜州h ( p ) ， 再由d e d e k i n d 恒等式即得 n g ( p ) 锄( p ) n i 屺( p ) = n h ( p ) ( n n l 吣( p ) ) 这就完成了定理的证明 口 定理7 令a 为一可解群，作用在群g = ) 【1 f 上，其中y 重g ，x 和y 都是a - 不变 的，且( ，i c l ) = 1 ，则有c g ( a ) x ( a ) c l f ( a ) 立 即 即有 证明由于a 作用在g 上，故对于g = x y c - - c g ( a ) ，x 墨y e y 及任意a r = a ，成 x y = ( x y ) a = - x a y a ， x - l x a = y y - a e ! x n y = u ， x a = x u ，y y - a e x o y = u 由于u 为一子群，故由y y a e x n y = u 可得y a y i eu ，故还成立y a eu y 由 a 的任意性可知，成立 现在我们证明可以找到c j c x ( a ) ，- 使u x = u c ，这等价于说存在u i u 能使x = c u 注意这时x 和u 都是a - 不变的。且a 互素地作用在x 和u 上 作半直积x ：a - - x a 由x - 1 x a i j 得x - l a - 1 x a u 即有a - l x - l a x c = u 这表明 由此即得 a x e a u , a x s a u 于是a x 和a 都是u 在a u 中的补，由于a 可解，故由s c h u r - z a s s e n h a u s 定 理可知，a x 和a 在a u 中共轭，即有 这里a a ，u e u ，且能使 令c = x u _ l ，则 m 1 6 枷， 一向鲫锄_ 从而由c = x u l 鬟，成立 这就证明了c c - c x ( a ) a c = a x u - a a ，c s x s a n x = i 同法可证，可以找到d c - - c y ( a ) w e u ，使 y = w d 现在我们完成定理的证明 由于c u w d = x y c g ( a ) ，则 u w c - c 6 ( a ) n x n y 由此即得x y c - - - c x ( a ) c y ( a ) 口 命题3 1 假定群g 具有x - s y l o w 性质，h 为g 的h a l l 开群，n 璺g ，则h n n 为n 的h a l l 矿子群 证明假定l 为n 的矿子群，能使h n n s l 由于g 具有- s y l o w 性质，g 中有h a l l 驴子群s ，l s s ，且可以找到g c - - - - g ，使 h = s g 故成立 l g d l 从而有 l g s h n n 量l 这就迫使l _ m n n 引理3 2 令h ，k 为g 的s 子群，h ，k 均幂零，则h 和k 在g 中共轭 证明设p 曰s 衙l p h y l p 6 ，t 日s y l p k c = s y l p g ，则 h 砘( s ) ，k - 硎g ( t ) 令倦g ，n g ( s ) 8 = n g ( t ) ，若i n g ( s ) i 1 g i ，由归纳假定，i i g 和k 在s g ( t ) q ， 共轭 故令n g ( s ) 砘即 s g g 辛s - - t 再由归纳可知，h s 和i 【s 在g s 中共轭故h 和k 在g 中共轭 口 定理8 令玎为一素数集合，g 为一群具有旷s y l o w 性质假定g 中有正规子 群n 和子群r 满足下列条件：g = n r ，n n r = i r 为一r - 群，r 白( g ) ，又n 中有幂 零的h a l l 矿子群，则n g ( r ) 中有幂零的l i a l l 矿子群 证明( 1 ) 首先我们证明：n g ( r ) 2 r c n ( r ) 我们有 n g ( r ) 爿k ( r ) 广i g = n g ( r ) c i n r = ( n g ( r ) n n ) r 由于r 璺n g ( r ) ，并且n 重g 故成立 n g ( r ) f 3 n 璺n g ( r ) 由此即得 r n g ( r ) c l n s r nn g ( r ) n n = 1 这表明 n g ( r ) n n 2 c n ( r ) 这就证明了 n g ( r ) 2 r c n ( r ) 对于任意p i 巍，+ u i 为c n ( r ) 的一个s y l o wp i 一子群 ( 2 ) 由假定r 巩且r 与u i 元素可换，u i r 为g 的一个矿子群由于g 满足 d 孵则g 中有h a l l 旷子群m i 包含u i r 我们证明m i 包含唯一的一个包含r 的 s y l o wr - 子群 事实上我们有 m i = m i n n r = ( m i c 饿) 由于n 目g ，且g 满足，故t l i f t n 为n 的h a l l 驴子群若s 为m i 的包含r 的s y l o wr - 子群，则成立 s - - s f 幢l i = s n ( ( m i r 咖r - ( s 广哟r 由于n 在g 中正