揭阳一中等2015届高三上学期开学摸底联考试题（理数）

k=0,S=1 k3 开始 结束 是 否 k=k+1 输出 S S=S 2k （ 第 6 题图） 2015 届 高三摸底考联考 数学（理）试题 本试卷共 4 页，三大题，满分 150 分 。 考试时间为 120 分钟 。 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 第 I 卷 （本卷共计 70 分） 一、选择题： (本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ) 1 已知集合 1,1A ， | 2 0B x a x ，若 BA ,则实数 a 的所有可能取值的集合为（ ） A. 2 B. 2 C. 2,2 D. 2,0,2 2. 设 z 是复数， ()az表示满足 1nz 的最小正整数 n ，则对虚数单位 i ， ()ai （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12，则该几何体的俯视图可以是 4.“ 0mn ”是 “方程 221mx ny表示焦点在 y轴上的椭圆 ”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不 充分也不必要条件 D. 充要条件 D 5 已知幂函数()y f x的图象过点 13,33，则9log (3)f的值为（ ） A 14 B 14 C 2 D 2 COBAP6 执行如图所示的程序框图 ,输出的 S 值为 （ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7 已知函数 s in c o syxx，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线 4x 对称 B. 此函数在区间( , )44上是增函数 C. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期 为 8 若不等式2229tta 在 t (0,2上恒成立，则 a 的取值范围是 ( ) A. 16， 1 B. 213， 1 C. 16， 413 D. 16， 2 2 二、填空题： (本大题 共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分 本大题分为必做题和选做题两部分 ) （一）必做题： (第 9、 10、 11、 12、 13题为必做题，每道试题考生都必须做答 .) 9 函数2 11 l g ( 4 )yx x 的定义域是 _. 10 已知 ,xy满足约束条件 5000xyxyy，则 24z x y 的最小值是 _. 11. 若 2 nxx展开式中所有二项式系数之和为 16，则展开式常数项为 . 12 若双曲线22ax22by=1 的渐近线与圆 3)2( 22 yx 相切，则此双曲线的离心率为 13. 已知正项等比数列 na满足：7 6 52a a a，若存在两项 ,mnaa使得14mna a a，则14mn 的最小 值为 （二）选做题： (第 14、 15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 ) 14. (几何证明选讲选做题 )已知 AB 是圆 O 的一条弦，点 P 为 AB 上一点， PC OP ,PC DA CBPO交圆 O 于点 C，若 6AP , 3PB ,则 PC 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题 )在极坐标系中，已知两点 A、 B 的极坐标分别为2,3，4,6，则 ABC（其中 O 为极点）的面积为 . 第 II卷 （本卷共计 80 分） 三、解答题： （本大题 6 小题，满 分 80 分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ） 16.（本题满分 12 分） 已知向量s i n , c o s , c o s , s i n3 3 6 6xxAA ab,函数 ()fxab ( 0,A x R),且 (2 ) 2f . (1)求函数 ()y f x 的表达式 ； (2)设 , 0, 2, 16(3 ) ,5f 5 2 03 2 1 3f ；求 cos( ) 的值 17（本题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 ,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 ,如下表所示 . 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数 (人 ) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟 /人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量 超过 8 件的顾客占 55%. () 确定 x,y 的值 ,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望 ； () 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 ,且各顾客的结算相互独立 ,求该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分 钟的概率 .(注 :将频率视为概率 ) 18（本题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中， AB AC， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC 8， PO 4， AO 3， OD 2 （ ）证明： AP BC； （ ）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求 出 AM 的长；若不存在，请说明理由 . 19（本题满分 14 分）已知数列 na 的前 n 项和为nS，且 *1 ( )nnS a n N 。 第 14 题 （ 1）求数列 na的通项公式； （ 2）设,1,lo g 1 121 nnbbcab nnnnn 记12 ,nnT c c c 证明： Tn 1. 20（本题满分 14 分） 已知圆 C 的圆心为 ( , 0), 3C m m ，半径为 5 ，圆 C 与椭圆 E ：)0(12222 babyax 有一个公共点 A (3,1)， 21 FF、 分别是椭圆的左、右焦点 （ 1）求圆 C 的标准方程； （ 2）若点 P 的坐标为 (4,4)，试探究斜率为 k 的直线1PF与圆 C 能否相切，若能，求出椭圆 E 和直线 1PF 的方程 ；若不能，请说明理由 21（本题满分 14分） 已知函数 3 2( ) l n ( 2 1 ) 2 ( )3xf x a x x a x a R （ 1）若 2x 为 ()fx的极值点，求实数 a 的值； （ 2）若 ()y f x 在 3, 上为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）当 12a时，方程 31(1 )3 x bfx x 有实根，求实数 b 的最大值 。 数学答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C D A C B B 二、填空题： 9. , 1 1 , 3 3 , 4 ； 10. 15 ； 11.24； 12.2； 13. 32； 14. 32； 15.2 三、解答题： 16.解 :(1)依题意得 ( ) s i n c o s c o s s i n3 6 3 6xxf x A Asin 36xA 2 分 又 (2 ) 2f 得 2s i n 236A ,即 5sin 26A , 4A 3 分 ( ) 4 s i n36xfx 4 分 (2)由 16(3 )5f 得 1 1 64 s i n ( 3 )3 6 5 ,即 164 s in 25 5 分 4cos5 , 6 分 又 0, 2, 3sin5 , 7 分 由 5 2 03 2 1 3f 得 1 5 2 04 s i n ( 3 )3 2 6 1 3 ,即 5s in ( )13 8 分 5sin13 , 9 分 又 0, 2 , 12cos13 10 分 4 1 2 3 5 3 3c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 5 1 3 5 1 3 6 5 12 分 17. 解： (1)由已知 ,得 2 5 1 0 5 5 , 3 5 ,y x y 所以 1 5, 2 0 .xy 2 分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 ,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本 ,将频率视为概率得 1 5 3 3 0 3 2 5 1( 1 ) , ( 1 . 5 ) , ( 2 ) ,1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 4p X p X p X yxzDA CBPOM2 0 1 1 0 1( 2 . 5 ) , ( 3 ) .1 0 0 5 1 0 0 1 0p X p X 4 分 X 的分布为 X X 1 1.5 2 2.5 3 P 320 310 14 15 110 X 的数学期望为 3 3 1 1 1( ) 1 1 . 5 2 2 . 5 3 1 . 92 0 1 0 4 5 1 0EX . 6 分 () 记 A为事件 “ 该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5分 钟 ”, ( 1,2)iXi为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间 ,则 1 2 1 2 1 2( ) ( 1 1 ) ( 1 1 . 5 ) ( 1 . 5 1 )P A P X X P X X P X X 且 且 且. 8 分 由于顾客的结算相互独立 ,且12,XX的分布列都与 X 的分布列相同 ,所以 1 2 1 2 1 2( ) ( 1 ) 1 ) ( 1 ) ( 1 . 5 ) ( 1 . 5 ) ( 1 )P A P X P X P X P X P X P X ( 3 3 3 3 3 3 92 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 8 0 . 11 分 故该顾客结算前的等候时间 不超过 2.5 分 钟的概率 为 980. 12 分 18. 方法一 : （ ）证明：如图， 以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.则 O（ 0,0,0）， A（ 0，-3,0）， B（ 4,2,0）， C（ -4,2,0）， P（ 0,0,4） 1 分 ( 0 , 3 , 4 ) , ( 8 , 0 , 0 ) ,A P B C 2 分 由此可得 0AP BC所以 AP BC ，即 AP BC. 4 分 （ ）解：设 , 1 , ( 0 , 3 , 4 ) ,P M P A P M 则 5 分 B M B P P M B P P A ( 4 , 2 , 4 ) ( 0 , 3 , 4 ) ( 4 , 2 3 , 4 4 ) , 6 分 ( 4 , 5 , 0 ) , ( 8 , 0 , 0 ) .A C B C 7 分 设平面 BMC 的法向量1 1 1 1( , , ),n x y z平面 APC 的法向量 2 2 2 2( , , ),n x y z 8 分 DA CBPOM由 110,0,BM nBC n 得 1 1 114 ( 2 3 ) ( 4 4 ) 0 ,8 0 ,x y zx 即 1110,23 ,44xzy 可取 23( 0 , 1, ) ,44n 10 分 由 210,0,AP nAC n 即 22223 4 0 ,4 5 0 ,yzxy 得 22225 ,43 ,4xyzy 可取2 (5, 4, 3),n 12 分 由120nn，得 234 3 044 ， 解得 25， 13 分 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3. 14 分 方法二： （ ）证明：由 AB=AC,D 是 BC 的中点，得 AD BC, 1 分 又 PO 平面 ABC,得 PO BC. 2 分 因为 POAD=0，所以 BC 平面 PAD 3 分 故 BC PA. 4 分 （ ）解：如下图，在平面 PAB 内作 BM PA 于 M,连 CM. 5 分 由（ ）中知 AP BC,得 AP 平面 BMC. 6 分 又 AP 平面 APC,所以平面 BMC 平面 APC。 7 分 在 Rt ADB 中， AB2=AD2+BD2=41，得 AB= 41 8 分 在 Rt POD 中 , PB2=PO2+OD2, 在 Rt PDB 中 , PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36， 得 PB=6. 9 分 在 Rt POA 中 , PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5 10 分 又 2 2 2 1c o s ,23P A P B A BBPA P A P B 11 分 从而 c o s 2 ,P M P B B P A 所以 3A M P A P M 13 分 综上所述，存在点 M 符合题意， AM=3. 14 分 19. 解（ 1）当 1n 时 时，由111,Sa得1 12a ， 2 分 当 2n 时， 1,nnSa 111,nnSa 上面两式相减，得11 .2nnaa 4 分 所以数列 na是以首项为 12，公比为 12的等比数列， 5 分 求得 .21 *Nna nn 7 分 （ 2）.121lo g1lo g12121 nab nnn 9 分 11111 nnnn nnc n 11 分 121 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1nnT c c c nn 11 1n 1. 14 分 20. 解：（ 1）由已知可设圆 C 的方程为 )3(5)( 22 mymx 1 分 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程，得 51)3( 2 m ， 即 4)3( 2 m ，解得 51 mm ，或 3 分 3m ， 1m ， 圆 C 的方程为 5)1( 22 yx 5 分 （ 2）依题意， 可得 直线 1PF 的方程为 4)4( xky ，即 044 kykx . 6 分 若直线 1PF 与圆 C 相切，则 514402 kkk 7 分 011244 2 kk ，解得21211 kk ，或 . 8 分 当211k时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去； 9 分 当21k时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为 4 ， 10 分 )0,4()0,4(4 21 FFc ， ， 11 分 由椭圆的定义得262251)43(1)43(2 222221 AFAFa ， 23a ，即 182 a ， 2222 cab ， 13 分 直线1PF能与圆 C 相切， 直线1PF的方程为 042 yx ，椭圆 E 的方程为 121822 yx 14 分 21. 解： （ 1） 222 2 (1 4 ) ( 4 2 )2 ( ) 2 22 1 2 1x a x a x aaf x x x aa x a x 1分 因为 2x 为 ()fx的极值点，所以 (2) 0f 2分 即 2 2041a aa ， 解得 0a 3分 又当 0a 时， ( ) ( 2 )f x x x，从而 2x 为 ()fx的极值点成立 4分 （ 2）因为 ()fx在区间 3, 上为增函数， 所以 222 (1 4 ) ( 4 2 )( ) 021x a x a x afxax 在区间 3, 上恒成立 5分 当 0a 时， ( ) ( 2 ) 0f x x x 在 3, 上恒成立，所 以 ()fx在 3, 上为增函数，故