（基础数学专业论文）f（s）中的近似推理与三Ⅰ算法的连续性.pdf

f ( s ) 中的近似推理与三i 算法的连续性 于鹏 摘要众所周知，数理逻辑是以符号化为特点的形式化理论，它注重形式 推理而不重视数值计算，与此相反，数值计算的目的则在于借助各种手段，采用 插值，迭代，差分或概率估算等方法研究各类问题，它所关注的是问题的求解以 及求解的误差估计，而很少使用形式推理方法数理逻辑与数值计算的研究可谓 是相距甚远，那么能否将两者结合起来研究呢? 王国俊教授在其专著 一书中，给出了肯定的回答，提出了计量逻辑学，给出了 一个公式可靠程度的描述一公式真度，进而给出了两个公式间相似度，距离的概 念，并由此提出了一组公式的发散度，相容度等内容，建立了一种以公式真度为基 础的近似推理理论，提出了三种近似推理框架，以及三种形式的推理误差理论 关于这三种形式的推理误差之间存在什么内在联系，这是本文所要研究的问题之 一 此外，随着模糊控制在生产实践中的成功应用，作为其核心内容的模糊推理 越来越受到众多学者的重视现在常见的模糊推理方法有z a d e h 的c r i 合成方 法和三i 方法，针对于c r i 方法和三i 方法的研究可以说硕果累累而这些研究 大多是集中在对三i 方法的推广与改进上因为对于实际情形而言，我们在做模 糊推理时，是无法保证模糊输入是准确无误的，它往往带有一定的误差，所以我 们希望我们所采用的推理方法能够保证这种误差不会扩散，不会对最终结果产生 太大影响，那么对于三i 算法而言，它满不满足这样的要求呢，在本文中我们给 出了肯定地回答 以下，便是本文所得到的主要结果 ( 1 ) 证明了在二值逻辑系统l 中，三种不同的近似推理的描述是相互等价的 这就告诉我们在做近似推理时，只需考虑一个公式到一组公式集的推论之集之间 的距离，便可判断出推理的误差特别是若该公式本身就是这组公式集的推论， 则它到其推论之集的距离为零明显地，一组公式推出一个公式的能力越强，该 公式到给定公式组的距离就越近 ( 2 ) 证明了在f u z z y 逻辑系统口中，i - 型推理误差与i i - 型推理误差是彼此 等价的，但它不等价与i i i - 型误差在此基础上我们给出了i - 型误差与i l l - 型误 差之间的内在联系，这就是定理2 3 6 所讲的内容。又，只有在b 是 + 一重言式 的条件下，i - 型误差与i i i - 型误差才相互等价此外，我们还给出了b 不是：+ 一 重言式的情形下，i - 型误差与i i i - 型误差的联系 ( 3 ) 首次提出了逻辑方程的概念，给出了逻辑方程的解的存在性定理，并详 细分析了逻辑方程解的性质，指出对于一般的逻辑方程而言，其解集合是不相容 的 ( 4 ) 研究了三i 算法的连续性问题指出对于正则蕴涵算子而言，其相应的三 i 算法是连续的，该结果表明，三i 算法是一种比较理想的推理方法 关键词：公式真度；公式集发散度；根；逻辑方程；近似推理；三i 方法 i i a p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nf ( s ) a n dc o n t i n u i t yo ft h et r i p l e im e t h o d y u p e n g a b s t r a c t ：i ti sw e l lk n o w nt h a tm a t h e m a t i c a ll o g i ci saf o r m a l i z e ds y m b o l i c t h e o r y ，i tp l a y sg r e a ta t t e n t i o nt of o r m a li n f e r n e c eb u tn o tt on u m b e r i c a lc o m p u t a - t i o n o nt h ec o n t r a r y , n u m b e r i c a lc o m p u t a t i o nu s e si n t e r p o l a t i o n ，i t e r a t i o n ，d i f f e r e n c e a n dp r o b a b i l i t ym e t h o dt os t u d yd i v e r s ek i n d so fq u e s t i o n s i tp a y sa t t e n t i o nt ot h e q u e s t i o na sw e l l 够e r r o re s t i m a t e a n di n g o r e si n f e r e n c em e t h o d h e n c et h er e s e a r c h o fm a t h e m a t i c a ll o i ca n dn u m b e r i c a ld i f f e r sg r e a t l y an a t u r a lq u e s t i o ni s ：w e t h e rt h e y c a nb ec o m b i n e dt of o r mau n i f i e dt h e o r y ? p r o f e s s o rw a n gg u o j u ng a v et h ea f f i r m a - t i v ea n s w e ri nh i sm o n o g r a p h f o rp r o p o s i n gt h eq u a n t i t a t i v el o g i c ，t h et r u t hd e g r e eo faf o r m u l aw a s g i v e n ，a l s o ，t h es i m i l a r i t yd e g r e eo ft w of o r m u l a sa n dp s e u d o - m e t r i ca m o n gf o r m u l a s w e r eg i v e n b a s e do nt h o s ea b o v e ，t h ed i v e r g e n c ya n dc o n s i s t e n c yd e g r e eo fag r o u p o ff o r m u l a sw e r ep r o p o s e d ，a n dt h u so n ek i n do fa p p r o x i m a t i o nr e a s o n i n gt h e o r y b a s e do nt r u t hd e g r e ew a se s t a b l i s h e d ，a l s o ，t h ef r a m e w o r ko ft h r e ek i n d so fa p p r o x - i m a t i o nr e a s o n i n ga n dt h et h e o r yo fr e a s o n i n ge r r o rw a sp r o p o s e d t h ep a p e rm a i n l y d e a l sw i t ht h ei n n e rl i n kb e t w e e nt h et h r e ek i n d so fr e a s o n i n ge r r o r i na d d i t i o n ，a l o n gw i t ht h es u c c e s s f u la p p l i c a t i o no ff u z z yc o n t r o li np r o d u c t i o n p r a t i c e f u z z yi n f e r e n c ea si t sk e yc o n t e n ta t t r a c tm o r ea n d m o r es c h o l a r s a t t e n t i o n t h e r e s e a r c ho nt h ec r im e t h o da n dt r i p l e - im e t h o dw h i c ha r ec o m m o n l yu s e di n t h ep r o c e s so ff u z z yr e a s o n i n gh a sa c h e i v e dg r e a ta c o m p l i s h m e n t b u t ，m o s tc o n c e n - t r t et h ee x t e n t i o na n di m p r o v e m e n to ft r i p l e - im e t h o d 、 融h o p et h a tt h er e a s o n i n g m e t h o dw eu s ec a nm i n i m i z et h ee r r o rp r o d u c e di nt h ei n p u to ff u z z yr e a s o n i n gs o a sn o tt oh a v ea l a r g eb e a ro nt h ef i n a lr s u l t ss i n c et h ee r r o rc a nn o tb ea v o i d e dc o r n p l e t e l yi nt h ep r a c t c e t h ep o s i t i v ea n s w e rt ot h eq u e s t i o nw e t h e r h i p i e - im e t h o d s a t i s f i e st h er e q u i r e m e n t sa b o v ei sg i v e ni nt h i sp a p e r t h em a i nr e s u l t so ft h ep r e s e n tp a p e ri sa sf o l l o w i n g ( 1 ) t h ee q u i v a l e n c eo ft h r e ek i n d so fa p p r o x i m a t i o nr e a s o n i n gi nt w o v a l u e d l o g i cs y s t e r ml i sp r o v e d i tt e l lu st h a tt h er e a s o n i n ge r r o rc a nb eo b t a i n e db yo n l y c o n s i d e r i n gt h ed i s t a n c eb e t w e e no n ef o r m u l aa n dt h el o g i cd e d u c t i o no fag r o u p o ff o r m u l a si nt h ep r o c e s so fa p p r o x o m a t i o nr e a s o n i n g ，e s p e c i a l l y , t h ed i s t a n c ei s z e r oi nt h ec a s eo ft h ef o r m u l ab e i n gt h em e m b e ro fd e d u c t i o ns e to ft h eg r o u p i i i o ff o r m u l a s o b v i o u s l y , t h ei n f e r e n c ea b i l i t yo ft h i sg r o u po ff o r m u l a sp r o m o t i n gt h i s f o r m u l ai ss t r o n g e r ，t h ed i s t a n c ef r o mi tt ot h ef o r m u l ab e c o m e sn e a r e r ( 2 ) i nf u z z yl o g i cs y s t e ml * , t h ed e f i n i t i o no fl i n f e r e n c ee r r o ra n d t h a to fi i - i n f e r e n c ee r r o ra r ee q u i v a l e n t ，b u tn o te q u i v a l e n tt ot h ei i i - i n f e r e n c ee r r o r t h ei n n e r l i n kb e t w e e nt h ei - i n f e r e n c ee l t o ra n dt h ei i i - i n f e r e n c ee r r o ri sg i v e n t h a ti sw h a t t h e o r e m2 3 6s y s i i n f e r e n c ee r r o ra n dt h ei i i i n f e r e n c ee r r o ra r em u t u a l l ye q u i v a l e n t i nt h ec a s et h a tbi sa + c o n d i t i o nt a u t o l o g y f u r t h e r m o r e ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h e i - i n f e r e n c ee r r o ra n dt h ei i i - i n f e r e n c ee r r o rw h e nbi sn o tt h e 十| t a u t o l o g yi sg i v e n ( 3 ) t h ec o n c e p to fl o g i ce q u a t i o ni sp r o p o s e df o rt h ef i r s tt i m e ，a n dt h ec o r r e - s p o n d i n ge x i s t e n c et h e o r yo ft h es o l u t i o nt ot h el o g i ce q u a t i o nh a sb e e ng i v e n ，t h e p r o p e r i e so fs o l u t i o nt ol o g i ce q u a t i o nw e r ea n a l i z e d i ta l s op o i n t e do u tt h a tt h e s o l u t i o ns e to ft h ee q u a t i o ni si n c o n s i s t e n t ( 4 ) t h ec o n t i n u i t yo ft h eq 1 r i p l e - im e t h o dh a s b e e nd i s c u s s e d i ti sp o i n t e dt h a t c o r r e s p o n d i n gt r i p l e - i m e t h o di sc o n t i n u i t yw i t hr e s p e c tt ot h er e g u l a ro p e r a t o r t h i s r e s u l ti n d i c a t e dt h a tt r i p l e ia l g o r i t h mi so n ei d e a li n f e r e n c em e t h o d k e y w o r d s ：t r u t hd e g r e eo faf o r m u l a ；d i v e r g e n c yd e g r e e ；r o o t ；l o g i ce q u a ， t i o n ；a p p r o x i m a t i o nr e a s o n i n g ；t r i p l eim e t h o d i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：班 日期：j 翅灶 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：李豳垒 日期：丝丕堡 前言 人工智能是近3 0 多年来计算机科学的一个重要的研究领域，受到各个方面 科学家的广泛重视而人工智能中的推理研究又是最为活跃的研究方向之一，计 算机的设计基于非此即彼的经典逻辑，本质上是采用演绎推理的功能，这种 推理是一种保真的推理而真正模拟人的思维活动的智能计算机都是实现某 种合情的推理，因此它是一种近似的推理针对不同的应用背景，人们提出了 各种不同的近似推理理论比如说z a f l e h 于1 9 7 3 年提出的基于模糊集思想的近 似推理理论，这种近似推理理论一经提出，便在生产实践当中获得了极大应用， 显示了其蓬勃的生命力，受到了众多学者的追捧，形成了新的数学研究分支然 而，并非所有的近似推理理论都是依赖于模糊集思想的比如说，近些年来在王 国俊教授积极引导下，形成的计量逻辑学便是独立于模糊集思想的一种近似推理 模式 在计量逻辑学中，王国俊教授首先在二值命题逻辑系统l 中利用势为2 的均 匀概率空间的无穷乘积引入了公式真度的概念以及公式间的相似度概念，从而导 出了全体公式集上的一种伪距离，进而为二值命题逻辑的近似推理理论提供了一 种可能框架，提出了一组公式的发散度，相容度等概念，为讨论逻辑系统本身的 性质提供了一种可能的途径除此之外，王国俊教授还基于真度理论提出了三种 近似推理的框架，也就是三种近似推理的误差分析理论，为在f ( s ) 中展开近似 推理提供了途径命题逻辑系统l 中公式的真度理论一经提出，便引起了巨大的 反响，众多研究者纷纷跟进，将真度思想引入到了三值l u k a s i e w i c z 逻辑系统，和 n 值l u k a s i e w i c z 逻辑系统当中，建立了相应系统的公式真度理论为这一理论， 为计量逻辑学的发展注入了新鲜的活力然而，美中不足的是王国俊教授所提出 的三种近似推理误差之间存在什么内在的联系? 至今还没有完全解决，在本文当 中我们就此问题在二值逻辑逻辑系统l ，f u z z y 逻辑系统口中展开讨论，得到 了许多很好的结果 f u z z y 逻辑系统口是王国俊教授于1 9 9 6 在全国的七届多值逻辑与模糊逻辑 年会上提出的一种崭新的逻辑系统p 系统较常见的逻辑系统诸如l u k a s i e w i c z 系统，g s d e l ，p r o d u c t 等系统有着许多优点比如说演绎定理，在口系统中存在广 义演绎定理，也就是说在扩中若r u a 卜b ，则r 卜一b 而对l u k a s i e w i c z 系统而言，虽然广义演绎定理存在，但演绎定理中的参数却是不确定的，这为研 究带来了诸多不便而对于g s d e l ，p r o d u c t 系统，由于其否定过强，在反映实际 问题时就不可避免得不能完全反映客观实际，这显然不是理想的逻辑系统针对 1 于系统矿的研究近些年来也是硕果累累，在口中建立积分语义学，便是诸多研 究成果中影响最为显著地一个通过积分语义学的建立，在系统扩中可以引入 公式的相似度，伪距离等概念，从而可以在扩系统中展开近似推理文献【5 】更 是建立了n 值的口系统与f u z z y 逻辑系统三间公式真度的联系，极大的丰富 了计量逻辑学的内容 方程思想是一种重要的数学思想所谓方程思想是指从分析问题的数量关系 入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程，然 后通过解方程使问题得到解决的思维方式用方程思想解决实际问题的的关键是 利用已有的信息，通过某种方式构造方程，构建该问题的数学模型这种思想在 代数、几何及生活实际中有着广泛的应用那么在注重形式化推演的数理逻辑当 中能否应用方程的思想来展开近似推理呢? 这个问题，在没有引入公式真度之前 似乎有些不大可能，但在有了公式真度之后，这种看似不可能的结合却实现了， 在本文当中我们就尝试着将逻辑与方程方程放到一块来研究，并得到了许多很好 的结果 此外，随着模糊控制在生产实践中的成功应用，作为其核心内容的模糊推理 越来越受到众多学者的重视现在常见的模糊推理方法有z a d e h 的c r i 合成方 法和三i 方法，针对于c r i 方法和三i 方法的研究也是说硕果累累而这些研究 大多是集中在对三i 方法的推广与改进上，而对于实际情形而言，我们在做模糊 推理时，是无法保证模糊输入是准确无误的，它往往带有一定的误差，我们希望 我们所采用的推理方法能够保证这种误差不会扩散，不会对最终结果产生太大影 响，那么对于三i 算法而言，它满不满足这样的要求呢，在本文中我们给出了肯 定地回答 以下，便是本文所做的主要工作： 第一章基础知识本章主要介绍了二值命题逻辑系统l ，f u z z y 命题逻辑系 统p 及其公式的真度理论，并给出了不同公式间相似度，伪距离的的概念，为 后面的在公式集e ( s ) 中展开近似推理奠定了基础，与此同时为了后面讨论的方 便，在本章第三节，还介绍了命题公式集上一组公式的根的理论，并给出了与其 相关的性质 第二章本章主要研究讨论了命题逻辑系统l 与r 中的近似推理问题首 先在第一节利用了命题公式的真度，及公式问的距离，提出了一组公式集的相容 度，发散度等概念，随后建立了三种近似推理的框架，也就是提出了e ( s ) 中近 似推理的误差理论在第二，第三节当中，又重点论述了三与p 中三种误差理 论之间的内在联系，指出在系统l 中三种误差之间存在着彼此等价的关系在第 2 四节，又创造性的提出了逻辑方程的概念，将逻辑与方程结合起来研究，给出了 一些非常有意义的结果，这些成果的取得极大的丰富了真度的应用范围和近似推 理的内容 第三章基于正则蕴涵算子，讨论了三i 算法的连续性问题，通过对常见的几 种形式的三i 算法的讨论，指出了三i 方法是一种比较理想的推理方法 3 第一章预备知识 1 1 二值命题逻辑系统l 的真度理论 关于区分公式可靠程度的思想早在1 9 5 2 年就由r o s s l - 与t u r q u e t t e 提出，之 后又有许多学者从不同的角度提出了公式的程度化真确度的方法 e l ，文献【7 】还就 格值逻辑的情形基于公式的多种不同的被知值概念展开了知识状态逻辑的研究 这些方法都是在赋值域为多个值的情形下展开的这一节，我们将在经典命题逻 辑系统中利用一个公式诱导出来的b o o l e 函数来定义一种全新的区分公式可靠程 度的方法，我们将其称为真度方法 定义1 1 1 设s = p 1 ，p 2 ，) ，作f ( s ) 如下 ( i ) p 1 ，仇，p n f ( s ) ； ( i i ) 若a ，b f ( s ) ，贝0 ，a ，a + b ，a v b f ( s ) ； ( i i i ) f ( s ) 中的元都可通过( i ) 与( i i ) 而得到 则f ( s ) 是由s 生成的( _ 7 ，v ，一) 型自由代数，s 中的元叫原子命题或原子 公式，f ( s ) 中的元叫命题或合式公式，简称公式 定义1 1 2 设m = o ，1 ) 在m 中规定一0 = 1 ，一1 = 0 ，a v b = m a x a ，6 ) ，a b = 0 当且仅当a = 1 ，b = 0 ，则m 也构成( 一，v ，一) 型代数 定义1 1 3 设矿：f ( s ) 一 o ，1 ) 是映射，若是( _ 7 ，v ，一) 型同态，即， ( _ 7a ) = 一( a ) ，( a vb ) = ( a ) vv ( b ) ，u ( a b ) = ( a ) 一v ( b ) ，则称为 f ( s ) 的赋值，v ( a ) 也叫公式a 的赋值，f ( s ) 的全体赋值之集记做n 定义1 1 4 函数i ： o ，1 p 一 o 1 ) 叫做礼元b o o l e 函数m n ) 通俗地讲，礼元b o o l e 函数就是以长度为礼的0 1 序列为变元，并在 o ，l 取值的n 元函数例如由i ( 0 ，1 ) = 1 ( 1 ，0 ) = 0 ，y ( 1 ，1 ) = y ( 0 ，0 ) = 1 所表示的函数 就是一个二元b o o l e 函数 定义1 1 5 设4 ( p 1 ，p 2 ，) 是含有n 个原子公式的合式公式，它由p 1 ，仡， ，m 通过逻辑连接词- 7 ，一，v ，a 连接而成再设( x l ，x 2 ，z 。) o ，l p ，分别用 ( 0 1 ，z 2 ，x n ) 取代a ( p 1 ，仇，) 中的p 1 ，p 2 ，加，则得一n 元函数，记做 a ( z 1 ，x 2 ，一，z 。) ，叫做由公式a 诱导出来的b o o l e 函数 例如：若a = ( p 1 _ p 2 ) v p 3 ，则a ( x l ，z 2 ，x 3 ) = p l 一现) v x 3 4 命题1 1 6 对于任意一个b l o o e 函数它都可由某个合式公式导出 例如；3 元b o o l e 函数由f ( 0 ，0 ，0 ) = i ( 0 ，1 ，0 ) = i ( 0 ，1 ，1 ) = 1 ( 1 ，0 ，1 ) = 1 ( 1 ，1 ，1 ) = 0 ，f ( 0 ，0 ，1 ) = i ( 1 ，0 ，0 ) = 1 ( 1 ，1 ，0 ) = 1 给出，则此b o o l e 函数可由如 下公式导出 a ( p 1 ，p 2 ，p a ) = ( - p l a 讹a p a ) v ( p l a 嘞h 嘞) v ( p l p 2 八嘞) 定义1 1 7 【1 3 l 设a p l ，m ) 是含有n 个原子公式p 1 ，p 竹的公式，才： o ，1 p 一 o ，1 ) 是由a 诱导出来的b o o l e 函数，令 ，。 l 万。( 1 ) l r ( a ) = 半， 称r ( a ) 为a 的真度【1 3 】中证明了f ( s ) 中全体公式的真度之集为 日= 去i 七= 。，2 ”，m = 1 ，2 ，) 例1 1 8 求公式p 1v p 2 ，p l 一耽v p 3 的真度 解( i ) 对于公式p 1v p 2 而言，其诱导的b o o l e 函数为页= z lv x 2 ，a ( x l ，x 2 ) 在点( 1 ，o ) ( 1 ，1 ) ，( 0 ，1 ) 处的值为1 ，在( 0 ，0 ) 处的值为0 ，所以7 - ( p 1vp 2 ) = i 3 ( i i ) 公式p 1 一t ) 2v p 3 诱导的3 元b o o l e 函数为z 1 _ x 2v z 3 ，其在( 1 ，0 ，0 ) 处 的值为0 ，而在其它各点处的值为1 ，所以下( p l 一1 0 2v p 3 ) = ； 关于公式的真度，如下一些性质是成立的 性质1 1 9 在二值命题逻辑系统l 中，设a ，b ，c f ( s ) ，则 ( i ) 若卜a + b ，贝4r ( a ) 7 ( b ) ； ( i i ) r ( a ) = 丁( a a b ) + 下( a ，b ) ； ( i i i ) 7 - ( a v b ) = 7 | ( a ) + r ( b ) 一丁( a a b ) ； ( i v ) 若卜- a ，b ，丁( a ) = f ( b ) ，则a b ； ( v ) t ( a ) = 1 一下( - 7a ) ； ( v i ) 若f ( a ) o ，t ( a + b ) p ，则7 - ( b ) a + p 一1 ； ( v i i ) 若7 ( a ，b ) o t ，7 - ( b ，c ) p ，则1 ( a ，c ) o t + p 一1 我们只证明( i v ) ，其它的可参看相关文献 5 】 证明当卜a b 时，不妨设a ，b 含有相同的原子公式，则v v q ，v ( a ) u ( b ) 所以当”( a ) = 1 时v ( b ) = 1 ，而当”( 月) = 0 时，v ( b ) 只能为零，否则 5 使a 赋值为1 的赋值映射的个数就会大于使a 赋值为1 的赋值映射的个数，从 而r ( a ) r ( b ) 这与r ( a ) = 7 - ( b ) 相矛盾 在引入了公式的真度之后，我们看一下命题逻辑系统中，公式间的相似度与 距离，它们是我们在f ( s ) 中展开近似推理的基础 定义1 1 1 0 1 1 a l 在l 中，设a ，b f ( s ) ，令 荨( a ，b ) = 丁( ( a 一b ) a ( b + 4 ) ) 则称( a ，b ) 为公式a ，b 的相似度，进一步令 p ( a ，b ) = 1 一f ( a ，b ) ， 则称p ( a ，b ) 为公式a ，b 的距离称( s ) ，p ) 为逻辑度量空间 性质1 1 1 1 在l 中，设a ，b f ( s ) ，则 ( i ) f ( a ，b ) = f ( b ，a ) ； ( i i ) f ( a ，b ) = 1 十t ( a a b ) 一t ( a v b ) ； ( i i i ) f ( a ，b ) = 1 当且仅当a b ； ( i i i ) ( a ，b ) = 0 当且仅当a _ 7 b ； ( i v ) ( a ，b ) + ( a ，b ) = 1 ； ( v ) f ( a ，b ) + f ( b ，a f ( 4 ，e ) 命题1 1 1 2 在l 中，设a ，b f ( s ) ，则 证明 a ( a ，b ) = r v b ) 一r ( a a b ) p ( a ，b ) = 1 一f ( a ，b ) = 1 一( 1 + r ( a a b ) 一r ( a v 口) ) 一r ( a v b ) - - r ( a a b ) 1 2f u z z y 逻辑系统l + 的真度理论 在上一节中我们介绍了二值逻辑系统l 及其真度理论，这一节我们介绍f u z z y 逻辑系统l + 及其真度理论 6 定义1 2 1 设m = 【0 ，1 】在m 中规定一a = 1 一a ，avb = m a x a ，6 ， 。一6 = 苫一) v6 ，：至：则m 成为( 一，v ，一) 型代数，进一步可以验证 m 是岛代数设：f ( s ) 一【0 ，1 l 是( 7 ，v ，一) 型同态，即，v ( _ 7a ) = 一 u c a ) ，u ( avb ) = ( a ) v ( 口) ，( a b ) = v ( a ) 一v ( 日) ，称为为公式a 的赋 值映射，其全体赋值之集记做q f u z z y 逻辑系统扩就是以f ( s ) 做为公式集，m 为赋值域，并以如下1 0 条 公理做为公理模式的逻辑系统 l + 1 ：a _ ( b _ a a b ) l + 2 ：( _ 7a 一7b ) 一( b a ) l 3 ：( a 一( b c ) ) 一( b 一( a c ) ) p 4 ：( b q 一( ( a b ) 一( a e ) ) p 5 ：a _ 1 1 a l 6 ：a _ a v b 己+ 7 ：a v b _ b v a l 4 8 ：( a c ) a ( b c ) 一( avb g ) l 4 9 ：( a ab c ) 一一c ) v ( b e ) 口1 0 ：( a b ) v ( ( 4 一b ) 一一a v b ) 其推理规则为m p 规则，即，由a ，a b 可得口在介绍了f u z z y 逻辑系 统p 的之后，我们来看一下其真度理论 与二值逻辑系统中公式a 诱导的7 元b o o l e 函数a 类似，在f u z z y 逻辑系 统l 中我们也可以由公式a 诱导一个公式函数才 定义1 2 2 在口中，设ac p l ，p 2 ，p n ) f ( s ) 是含有r l , 个原子公式的合式公 式，它由p 1 ，m ，p n 通过逻辑连接词一，一，v ，a 连接而成再设( z 1 ，x 2 ，o 。) 【o ，1 】“，分别用( x l ，x 2 ，z 。) 取代a ( p 1 ，p a ，m ) 中的p 1 ，耽，m ，则得一n 元函数，记做a ( z ，z z ，z 。) ，叫做由公式a 诱导出来的公式函数其变元连接 方式恰如公式a 的连接方式 定理1 2 3 【1 5 l ( 可测性定理) 任一逻辑公式公式 诱导出来的公式函数a 是q 上的可测函数 定义1 2 4 在p 中，设a ( p 1 ，p 2 ，一，p n ) f ( s ) ，记由a 诱导出来的公式 函数为a ( x “z 2 ，) ，令 r ( a 、=a ( x 1 ，x 2 ，) 如l d x 2 d 称t ( a ) 为公式a 的积分真度 例1 2 5 求公式p ，p v _ 7 p 的真度 解( i ) 下( p ) = 露a d x = $ 0 1 z d z = ( i i ) r v p ) = i o x v x d x 。 = 詹( 1 一z ) 如+ 片x d x = i 关于公式a 的真度，上一节性质1 1 9 中( i ) ，( i i i ) ，( v ) ，( 、r i ) ，( v i i ) 在口中也是 成立的，而( i i ) ，( i v ) 却不在成立例如，取a = p ，b = q ，则r ( a ) = j ，7 a b ) + r ( a a b ) = 1 + ；= ；7 - ( a ) 显然不等于t ( a a b ) + r ( a a 一口) ，再 取a = ( 扫一q ) 一一p vq ) v ( ( 口一p ) - - + - - rqvp ) ，b 为任意一个定理，则 卜a b ，7 ( a ) = 7 ( b ) = 1 ，但a ，b 不是逻辑等价的，详细说明请见文献【14 】 有了公式a 的真度概念以后，我们介绍公式间的相似度与距离 定义1 2 6 在口中，设a ，b f ( s ) ，令 f ( a ，b ) = r ( ( a + b ) a ( b ，a ) ) j 则称f ( a ，b ) 为公式a ，b 的相似度进一步令 p ( a ，b ) = 1 一f ( a ，b ) 则称p ( a ，b ) 为公式a ，b 之间的距离称( f ( s ) ，p ) 为基于f u z z y 逻辑系统上，的 逻辑度量空间 1 3 命题逻辑系统中根的理论 命题逻辑系统中根的理论是王国俊教授为解决三i 算法的形式推理基础时 引入的一个概念随着我们对诸多逻辑系统的深入研究，尤其是对真度理论的研 8 究，我们发现，一组公式的根，对于在f ( s ) 中展开近似推理起到了很大的作用， 下面我们就简要地介绍一下根的理论 定义1 3 1 设a ，b f ( s ) ，规定 a b 当且仅当卜a b ， 则f c s ) 成为一预序集，记作( f ( s ) ， ) 注1 3 2 上述定义的序 并不是f ( s ) 上的偏序，因为反对称性不成立，如， 令a = p p ，b = q q 则，a b 且b ， 则u ( a 2 圆b 2 ) = 一( a 一一b ) = b ，而u ( a 2 a b 2 ) = 扩( a 2 ) a ，( 口2 ) = b ，所以有 印圆b 2 a 2 a b 2 ( i i i ) a 圆b g = 7 一- 7b ) 一c 一一c 一( a 一- 7b ) 一a 一( _ 7 e 一一b ) a 一旧一c ) ( i v ) a 一( b 一ob ) ) = a 一( b 一- 7 一一b ) ) 一a 一( ( a 一- 7 b ) 一一b ) 一( a 一- 7b ) 一( a 一一b ) 所以，a 一( b 一( a p b ) ) 是定理 有了以上的准备工作以后，我们介绍一个重要的命题 命题1 3 8 设f = a 1 ，a 2 ，a 。) cf ( s ) ，则 ( i ) 在二值逻辑系统l 中，r 的根为a 1aa 2a a a 。； ( i i ) 在f u z z y 逻辑系统口中，r 的根为钟o a ；圆 织 证明我们只以( i i ) 为例加以证明 因为a 1 a 2 0 a 。一a 1 0 a 2 0 p a 。是定理，又由命题1 3 7 ( i i i ) 可知a 1 a 2o p 也一a 1 如o oa 。一( a 1 一( a 2 一( 一( a a 1o 4 2 圆圆a 。) ) ) ，所以 卜( a 一( a 2 一( 一( a 。一a 1 圆a 2 圆oa 。) ) ) 由上式出发运用n 次m p 规则就可由f = a 1 ，a 2 ，a 推出a 1 圆a 2 圆o a 。， 这就证明了4 1 0 a 2 p a 。d ( r ) 此外，运用上述原理，可以验证a 卜以2 ，所以有， a 1 ，a 2 ，a 。) 卜( a 1 a 2 p 如) 2 ，这就说明，( a 1o a 2 o a 。) 2 d ( r ) ，即，a i o a ；o o a ：d ( r ) 最后证明a o 码圆圆群是d ( r ) 中的最小元事实上任取b d ( r ) ，则 l o d ( f ) 卜b ，即， a 1 ，a 2 ，a 。) 卜b ，运用l 4 系统的广义演绎定理可知 卜a ；一( 镌一( 一( a ：一b ) ) ) 从而由命题1 3 7 ( i i i ) 可知 卜a ；固a l 圆o a ：一b 由此，我们可知a o 钨固o 群确实是d ( r ) 中的最小元，所以它是r 的根 第= 章f ( s ) 中的近似推理理论 近似推理是一种不确定性推理，是近些年人工智能领域研究的热点问题之 一在上一章中，我们介绍了二值逻辑系统l ，f u z z y 逻辑系统的真度理论， 并且引入了公式间公式的相似度，距离等概念这一章，我们就具体研究一下与 之相关的f ( s ) 中的近似推理问题 2 1f ( s ) 中的近似推理机制 f ( s ) 中一组公式的发散度，相容度与根的关系 定义2 1 1 1 1 1 1 设f c f ( s ) ，令 d i v ( r ) = s u p p ( a ，b ) i a ，b d ( r ) ) ， 称d i v ( r ) 为公式集r 的发散度当d i v ( r ) = 1 时称r 全发散 例2 1 2 设f l = o 若 p ( b ，d ( r ) ) 毛 则称口为r 的i - 型误差不大于的结论，简记为b 趔( r ) 这种关于误差的定义是一种很自然的想法，因为，若b d ( r ) ，则p ( s ，d ( r ) ) = 0 若bgd ( r ) ，我们可以衡量一下b 到d ( f ) 的距离，以此来判断b 隶属 于d ( r ) 的