（系统理论专业论文）坡矩阵的广义逆理论及应用.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 坡是一种满足吸收律夥+ x = x ，x y + y = y 的加法幂等半环布尔代数、模糊代数和 分配格均是坡代数的特例坡代数和坡矩阵理论已在自动机理论、图论、医学诊断、信 息系统、复杂系统建模、决策论、动态规划、控制论、神经系统、聚类等众多领域显示 了广阔的应用前景( e 1 ) 因此，对坡代数和坡矩阵的研究不仅具有重要的理论意义也 有一定的应用价值但由于该理论刚刚起步，还存在着大量问题亟待解决，新的应用领 域尚待探讨 广义逆理论是矩阵理论的重要组成部分经典矩阵的广义逆理论已趋于完善，布尔 矩阵、模糊矩阵及格矩阵的广义逆理论也有人作了初步探讨但坡矩阵的广义逆理论还 尚未进行系统研究为进一步丰富和完善坡矩阵理论，开拓坡矩阵理论新的应用领域， 本文对坡矩阵的广义逆理论进行了系统研究，并讨论了坡矩阵的新的应用领域主要内 容及结论如下： 第一。讨论了坡矩阵的 1 - 广义逆和 1 ，2 _ 广义逆给出了它们存在的若干条件及 其结构定理，并指出了它们与经典矩阵的 1 - 广义逆和 1 ，2 _ 广义逆的若干差别比如， 与经典矩阵相比，坡矩阵并不总是存在 1 ) - 广义逆：满秩坡矩阵的 1 ) - 广义逆也不总是 唯一：坡矩阵若存在 1 ) 一广义逆，则行秩、列秩与s c h e i n 秩相同，反之，不成立，等 等 第二，对坡矩阵的卅p 逆和加权m p 逆进行了论述给出了坡矩阵的m - p 逆和加权 m - p 逆存在的若干充分、充要条件以及 p 逆与加权m - p 逆的存在性的关系，即，如果 州7 = a n a 7 ，a 7 a = m a ，则a + 存在当且仅当以( 矩阵a 的加权妒p 逆) 存在且 确= n 7 4 7 m 讨论了存在m - p 逆的坡矩阵的结构特征：如果矩阵彳中的元素都是乘一既约元，则 4 + 存在当且仅当存在置换矩阵p ，q 使得 a = p a q = 4 0 00 04 00 0 0 a k 0 oo oo 聊城大学硕士学位论文 其中一。，i = 1 ，2 ，k 都是由非零元素组成的矩阵且爿j 存在 证明了当吖，满足一定条件时，如果砧 r 存在，那么a = a l v a 7 m a 且 = n 1 a 。m 。 第三，给出了一种在特殊坡上解决广义逆问题的新方法二值矩阵表示该方 法通过将坡矩阵分解成若干二值矩阵的线性组合，将坡矩阵广义逆问题转化为二值矩阵 的相应问题来解决，有效地降低了求解坡矩阵广义逆的难度并给出了用这种方法判断 寻找各种广义逆的算法及实例分析，证明了广义逆的结构定理解决了文 2 中提出的 公开问题：给出一种找到正则模糊矩阵的所有 1 ) - 广义逆或 1 ，2 ) 广义逆的方法部分 解决了文 1 中提出的公开问题：提供一种找到坡矩阵的所有 1 - 广义逆或( 1 ，2 广义逆 的算法 第四，给出了坡代数和坡矩阵理论的两个新的应用实例一个是基于坡代数的联想 记忆模型，另一个是基于坡代数运算的噪声图像增强算法并对上述两种方法进行了计 算机模拟试验，初步验证了它们的有效性 关键词：坡：坡矩阵：广义逆：格矩阵：二值矩阵表示：联想记忆：图像增强 l l 聊城大学硕学位论文 a b s t r a c t i n c l i n e sa r e a d d i t i v e l y i d e m p o t e n ts e m i r i n g s s a t i s f y m g t h e a b s o r p t i o n l a w x y + x = x ，x y + y = y b o o l e a n a l g e b r a s ，f u z z y a l g e b r a sa n dd i s t r i b u t i v e l a t t i c e s a r e t h es p e c i a l e x a m p l e so fi n c l i n e s i n c l i n ea l g e b r a s a n di n c l i n em a t r i c e sh a v eg o o df o r e g r o u n do f a p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a ss u c ha sa u t o m a t at h e o r y ，g r a p ht h e o r y , m e d i c a ld i a g n o s i s ， i n f o r m a t i o n a ls y s t e m s ，c o m p l e xs y s t e m sm o d e l i n g ，d e c i s i o n - m a k i n gt h e o r y , d y n a m i c a l p r o g r a m m i n g ，c o n t r o lt h e o r y , n e r v o u ss y s t e m , c l u s t e r i n ga n ds oo n ( 【1 】) t h u st h es t u d yo f i n c l i n e sa n di n c l i n em a t r i c e si sv e r ys i g n i f i c a n tb o t hi nt h e o r ya n di np r a c t i c e b u ts i n c et h e t h e o r yj u s tb e # n e dt h e r e 眦al o to fq u e s t i o n st ob es o l v e da n dm a n ya p p l i e da r e a st ob e s t u d i e d t h eg e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r yi s v e r yi m p o r t a n ti nm a t r i xt h e o r y t h ec l a s s i c a l g e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r yh a sa l m o s td e v e l o p e dp e r f e c t l y t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so f b o o l e a nl n a t r i c e s ，f u z z yi n a t r i c e sa n dl a t t i c em a t r i c e sh a v eb e e nc o n s i d e r e d h o w e v e r , t h e g e n e r a l i z e di n v e r s e so v e ri n c l i n e sh a v e n tb e e nd i s c u s s e d f o re n r i c h i n ga n dp e r f e c t i n gt h e i n c l i n em a t r i xt h e o r ya n de x p l o i t i n gt h ea p p l i e da r e a so fi n c l i n em a t r i c e s ，t h i sd i s s e r t a t i o n s y s t e m a f i c f l l yi n v e s t i g a t e st h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fi n c l i n em a t r i c e s , a n dd i s c u s s e st h en e w a p p l i e da r e a so f i n c l i n em a t r i c e s t h em a i nr e s u l t sa r ca s f o l l o w s ： f i r s t l y ， 1 卜g e n e r a l i z e di n v e r s e sa n d ( 1 ，2 - g e n e r a l i z e di n v e r s e so fi n c l i n em a t r i c e sa r e d i s c u s s e d m a n ys u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h e i re x i s t e n c e sa n dt h e i rs t r u c t u r e t h e o r i e sa r eg i v e n a n dt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h e s eg e n e r a l i z e di n v e r s e sa n dt h eg e n e r a l i z e d i n v e r s e so fc l a s s i c a lm a t r i c e sa r es h o w n f o re x a m p l e , t h e l - g e n e r a l i z e di n v e r s e so fi n c l i n e m a t r i c e s ，o ri n c l i n em a t r i c e s 谢t l if u l lr a n k d o n ta l w a y se x i s t ：f u r t h e r ，i f a ni n c l i n em a t r i xh a s t h e l _ g e n e r a l i z e di n v e r s e s , t h e ni t sr o wr a n k , c o l u m nr a n ka n ds c h e i nr a n ka r ee q u a l o n t h ec o n t r a r y 。i ti s n ts o s e c o n d l y w es t u d yt h em - p i n v e r s e sa n dt h ew e i g h t e dm - pi n v e r s e so v e ri n c l i n e s w e g i v em a n ys u f f i c i e n ta n de q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rt h e s eg e n e r a l i z e di n v e r s e st oe x i s t a n dw e p r o v et h er e l a t i o n sb e t w e e n t h ee x i s t e n c eo fm - pi n v e r s e sa n dt h a to f w e i g h t e dm - pi n v e r s e s ： i ：fa a 7 = a l v a 7 ，a a = m a ，t h e na + e x i s t si fa n do n l yi f 靠( t h ew e i g h t e dm - p i n v e r s e so fa ) e 妇s t sa n d 砧= n 7 a 7 m 7 i l l 聊城大学硕士学位论文 w ea l s os h o wt h a tt h es t r u c t u r a lc h a r a c t e r so f i n c l i n em a t r i xaw h i c hh a sm ，pi n v e r s e s ： i ft h ee l e m e n t so fi n c l i n em a t r i xaa r em u l t i p l i c a t i o n - i r r e d u c i b l e ，t h e na + e x i s t si fa n d o n l yi f t h e r ee x i s tp e r m u t a t i o nm a t r i c e sp ，qs u c ht h a t a = p a d = 4 0 0 4 00 o0 00 00 4 0 oo w h e r ea l lt h ee l e m e n t so f4a r en o n z e r oa n d4 je x i s t sf o ra n yi 量 w e p r o v e t h a tw h e nm ，n s a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s ，i f 以e x i s t s ，t h e n a = a n a 7 m aa n d 以= n 7 a m 7 t h i r d l y ，w es h o wt h a tan e wm e t h o do fb i n a r ym a t r i xr e p r e s e n t a t i o nt os t u d yt h e g e n e r a l i z e di n v e r s e so v e ras p e c i a li n c l i n e t h em e t h o dn 1 a k e st h eq u e s t i o n se n n c e m i n g g e n e r a l i z e di n v e r s e so fi n c l i n em a t r i c e sb er e f e r r e dt ot h eb i n a r ym a t r i c e se a s eb ym e a d so f d e c o m p o s i n ga l li n c l i n em a t r i xi n t ot h el i n e a rc o m b i n a t i o no fm a n yb i n a r ym a t r i c e s t h e r e b y i td e c r e a s e se f f e c t i v e l yt h ed i f f i c u l t i e so fs o l v i n gt h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fi n c l i n em a t r i c e s f u r t h e r , w ep r o v i d ea l g o r i t h m st ot e s ta n df i n dt h eg e n e r a l i z e di n v e r s e sa n dt h ea n a l y s e so f e x a m p l e s ，a n dp r o v em a n ys t r u c t u r et h e o r i e so fg e n e r a l i z e di n v e r s e s w es o l v e sc o m p l e t e l ya n o p e nq u e s t i o np r o p o s e di n 【2 】： i st h e r eaw a yt of i n da l l 1 - g e n e r a l i z e di n v e r s e so ra l l 1 , 2 - g e n e r a l i z e di n v e r s e so fag i v e nr e g u l a rf u z z ym a t r i x ? a n ds o l v e sp a r t t yt h eo p e n q u e s t i o nt h a tg i v i n ga na l g o r i t h mt of i n da l l 1 - g e n e r a l i z e di n v e r s e so ra l l 1 ，2 ) - g e n e r a l i z e d i n v e r s e so v e ra l li n c l i n ep r e s e n ti n 【1 】- f o u r t h l y ，w ep r o v i d et w on e wa p p l i e de x a m p l e so f i n c l i n e sa n di n c l i n em a t r i c e s o n ei s a na s s o c i a t i v em e m o r i e sb a s e do i li n c l i n e s t h eo t h e ri sa l li m a g ee n c h a n e e m e n ta l g o r i t h m b a s e do ni n c l i n eo p e r a t o r s c o m p u t e rs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h et w oa l g o r i t h m sa r e e 丘b c t i v e k e y w o r d s ：i n c l i n e ；i n c l i n em a t r i x ；g e n e r a l i z e di n v e r s e ；l a t t i c em a t r i x ；b i n a r y m a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ；a s s o c i a t i v em e m o r y ；i m a g ee n h a n c e m e n t 聊城大学硕士学位论文 日蔷 坡代数和坡矩阵理论是近年来一个新兴的研究领域其基本体系由z q c a o ( 曹志 强) 、k h k i m 和f w r o u s h 于上世纪八十年代提出1 9 8 0 年，为克服模糊矩阵的种种局 限性，中国学者曹志强提出了坡代数这一性质远比模糊代数优越的新结构，并以此为工 具建立了关于心理现象的现代控制论模型，解决了模糊理论中的一些难题1 9 8 4 年，曹 志强、k h k i m 和f w r o u s h 出版专著( i n c l i n ea l g e b r aa n da p p l i c a t i o n s 首次 系统介绍了坡代数和坡矩阵理论的基本内容，并列出了大量公开问题1 9 9 5 年，k i m 和 r o u s h 在i n c l i n eo fa l g e b r a i cs t r u c t u r e s ) 一文中讨论了坡的若干结构最近， s o n g c h o lh a n 、李洪兴等对坡矩阵理论做了进一步研究( 3 8 ) 研究了坡矩阵的幂序 列、标准特征向量、积和式、幂零坡矩阵、b a l i 坡矩阵及可逆坡矩阵等，给出了坡矩阵 具有指数的条件，解决了( i n c l i n ea l g e b r aa n da p p l i c a t i o n s 中提出的一个公开问 题，并研究了具有指数的坡矩阵在坡值模糊双向联想记忆网络动态分析中的应用 但由于该理论刚刚起步，又因为坡代数结构的特殊性，直到目前为止仍然存在大量 理论问题尚未研究，新的应用领域尚待探索 广义逆矩阵在矩阵理论及其应用中占有重要地位经典矩阵的广义逆理论白上世纪 5 0 年代以来，其理论、应用和计算方法的研究褥到了迅速发展，其重要性毋庸置疑，且 其理论体系现己趋于完善( 9 ) 上世纪人们也意识到了一些半环结构上广义逆理论的 重要作用比如布尔代数、模糊代数及布劳威尔格上的广义逆理论在最优控制、信息系 统、聚类、复杂系统建模、决策论等众多领域有着广泛应用( 1 ) 文 1 0 ，1 1 ，1 2 儿2 1 3 分别对布尔矩阵、模糊矩阵及布劳威尔格上的各种广义逆作了探讨但坡矩阵的广义逆 理论还尚未进行系统研究，存在着大量问题亟待解决究其原因，主要是坡代数自身结 构特点( 不满足乘法幂等律，不是全序集等) 导致坡矩阵广义逆的研究存在一定困难本 文对上述问题进行了系统研究，取得了一系列的研究成果，其中包括各种广义逆存在的 若干条件及其结构定理，研究坡矩阵广义逆理论的新方法，以及坡代数与坡矩阵理论的 新的应用领域等全文共分五章，主要内容如下： 第一章预备知识：介绍了坡代数及坡矩阵广义逆等基本概念 聊城大学硕士学位论文 第二、三章分别讨论了坡矩阵的( 1 卜广义逆、 1 ，2 ) 一广义逆以及卅p 逆和加权m - p 逆给出了它们存在的若干条件及其结构定理，并指出了它们与经典矩阵广义逆的若干 差别大部分结论对布尔矩阵、模糊矩阵及格矩阵同样成立 第四章给出了一种在特殊坡上研究广义逆的新方法一二值矩阵表示与经典矩 阵不同，一个坡矩阵a 的广义逆并不总是存在，如果它们存在，也不总是唯一那么， 自然地要问： ( 1 ) 坡矩阵a 什么时候存在广义逆? ( 2 ) 当一的广义逆存在时，怎样将它们全部找出来? ( 文 2 与文 1 将此类问题列 为公开问题) 本章用二值矩阵表示在加一既约元是幂等元的坡上解决了以上两个问题二值矩阵 表示法避免了求解坡矩阵方程，有效地降低了研究坡矩阵广义逆的难度 第五章给出了坡代数和坡矩阵理论的两个新的应用实例：基于坡代数的联想记忆模 型和基于坡代数运算的图像增强算法前者从代数结构出发，将模糊联想记忆模型推广 为坡联想记忆模型，并给出了相应的联想记忆算法；后者利用由具体的坡和反坡运算构 造的一对噪声滤波算子提出了一种噪声图像增强算法并对脉冲噪声和高斯噪声污染的 图像进行增强试验，初步验证了其有效性 聊城大学硕士学位论文 第一章预备知识 本章介绍坡及坡矩阵广义逆等基本概念 下面给出坡的概念及例子 定义1 1 1 嘲带有两种代数运算”+ ”和”的非空集合三称为坡，如果满足 ( 1 ) ( 厶+ ) 作成一个半格； ( 2 ) ( 厶) 作成一个交换半群： ( 3 ) x ( y + ：) = x y + x t , ， f i x , y ，。l ； ( 4 ) x + x y = 麓v x ，y 三 坡中的运算”+ “和“”通常称为加法和乘法坡有半环结构和偏序结构 在坡三中，定义 s ：j y z + y = y 易知，是坡三的一个偏序v x ，y e l ，x + y 是 x ，y 在中的最小上界，即在偏序 集( 厶9 中，x + y = x v y 显然，v x ，y 三都有x y 五弦蔓j 且垤，y ，z 三由y z 可 推出x y 船，y x 及 如果坡有加法单位元0 ，则0 称为三的零元v x l 有x + o = o + j = ，0 x 且 加= o x = 0 如果坡三有乘法单位元1 ，则1 称为工的单位元v x l ，有x l = l x = 五 x l 且l + x = x + 1 = 1 坡称为交换的，如果v x ，y l ，x y = y x 布尔代数。模糊代数及分配格都是坡的典型例子 定义1 1 2 “1 坡三的非空子集m 称为坡三的子坡，如果肘对l 的加法和乘法封闭， 即v x ，y m 都有x + y m ，x y m 聊城大学硕士学位论文 定义1 1 3 。1v a l 称为幂等的，如果口2 = a 坡三中所有幂等元作成的集合记为 ，( 上) ，即，( 三) = a e l i 口2 = 口 例1 1 1l = ( 【o ，1 】，v ，z ) 是一个坡，其中e 【0 ，i i 例1 1 2 工= ( 【o ，1 1 ，v ，) 是一个坡，其中是数的普通乘法 例1 1 3 上= ( 【o ，1 1 ， ， + 弘1 ) ) 是一个坡 例1 1 4l = ( l ，2 ，3 ，4 ，6 ，1 2 ，+ ，) 是一个坡，其中a + b 为岛b 的最小公倍数，a b 为 a , b 的最大公约数 本文讨论的坡三是带有零元0 和单位元l 的交换坡 1 2 坡矩阵广义逆 坡矩阵广义逆的定义与经典矩阵广义逆的定义( 9 ) 类似 为方便，引入如下符号：c 表示上所有m x 行矩阵作成的集合，其中矩阵的加法 和乘法与经典矩阵相同厶与f 分别表示工上所有，l 维行向量与胛维列向量作成的集合 a 7 表示4 的转置l 表示行阶单位矩阵0 表示元素全为0 的矩阵，( 三) ”表示工上所 有元素是幂等元的脚，矩阵作成的集合 对任意m x n 坡矩阵彳，用下面四个方程定义的广义逆： ( 1 ) a x a = a ， ( 2 ) 脚= x ， ( 3 ) ( 肛) 7 ：朋， ( 1 1 ) ( 4 ) ( x a ) 7 = x a ， 定义1 2 1 对任意a r ”，如果存在某个力m 矩阵x ，满中方程( 1 1 ) 中一部分 或全部，则称为a 的广义逆 4 卜包或其淼 鞫城大学硕士学位论文 如果广义逆z 满足第j 个条件，则把z 记作彳”，称为a 的 f 一广义逆，并把这类 矩阵的全体记作4 f ) ，于是彳c ea i 。类似地，把满足第f ，两个条件的广义逆矩阵 x 记作a “1 ，称为a 的 f ，n 一广义逆：满足第f ，j ，k 三个条件的广义逆矩阵x 记作 a o 埘，称为a 的 f ，j ，k 一广义逆：满足全部四个条件的广义逆矩阵x 记作4 1 邡4 ，并 称为a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆( 简称m - p 逆) 相应地分别有a i ， ，a i , j ，k ， a 1 ，2 , 3 ，4 ) 由定义1 2 1 可知，满足1 个、2 个、3 个、4 个方程的广义逆矩阵共有1 5 种但 应用较多的是4 ( ”，一( 1 ，”，彳( 1 m ，a 1 2 3 朋四种广义逆，分别记为一一，4 _ ，巧，本文在 不同章节使用了一些在相关领域惯用的称法 定义l2 2 设一俨“，m e l m ，“满足下列条件的g r ”称为a 的加权 l o o r e p e r l r o s e ( m p ) 逆( 记为局) ： ( 1 ) a g a = a ， ( 2 ) g a g = g ， ( 3 ) ( m a g ) 7 = m a g ， ( 4 ) ( g a n ) r = g a n 当m n 是单位矩阵时，满足上面条件( 1 ) 一( 4 ) 的g 就是a 的m - p 逆 坡矩阵又称广义模糊矩阵( 1 4 ) ，是布尔矩阵、模糊矩阵、格矩阵( 分配格上的矩阵) 的自然推广因此。上面广义逆的定义对布尔矩阵、模糊矩阵及格矩阵都是成立的 聊城大学硕士学位论文 第二章坡矩阵的 1 卜广义逆和 1 。2 卜广义逆 本章对坡矩阵的 1 - 广义逆和 1 ，2 一广义逆进行了讨论，给出了它们存在的若干条 件及其结构定理，并将坡矩阵的 1 _ 广义逆和 1 ，2 _ 广义逆与经典矩阵的 1 ) - 广义逆和 1 ，2 - 广义逆进行了比较本章大部分结论在布尔代数、模糊代数及分配格上也是成立 的 2 1 坡矩阵的 l 卜广义逆 从第一章给出的各种广义逆的定义可以看出， 1 广义逆是最基本、最重要的一种 广义逆，它是研究其它广义逆的基础本节讨论了坡矩阵的 l - 广义逆的结构、性质及 其存在的若干条件 定义2 1 1 “1 设a f ”，a 的行( 列) 生成的空间称为a 的行( 列) 空间，记为 r ( a ) ( c ( 4 ) ) 定义2 1 2 设矽是r 的子空间，的基数最小的线性无关生成集所含向量的个数， 称为的秩设a f ”，a 的行( 列) 空间的秩称为一的行秩( 列秩) ，记为 ( 4 ) ( ，2 ( 4 ) ) 非零矩阵a f ”的s c h e i n 秩是指满足4 = b c , b p ”，c p ”的最小 的s ，记为( 4 ) 若a = o ，定义r a a ) = 0 对于坡工上的矩阵，行秩、列秩与s c h e i n 秩可以是互不相同的若行秩、列秩与 s c h e i n 秩相同，称之为矩阵的秩设a r ”，若a 的秩为n ，则称a 是满秩的 由定义1 2 1 知，如果a 可逆，则 a 一= i a i = ( 爿_ 1 a ) a 一( 彳0 - 1 ) = a 一( a a a ) a 一= a - 1 a a 一= a 下面给出坡矩阵的 1 ) 广义逆的结构定理 6 卿城大学硕士学位论文 疋埋z 1 1饭4 r ”，”，2 e ，且，g 足口j 逃州，0 ，占仔仕t l ，一j 义逆，且满足彳= p 言o 9 ，血n t m 一，则4 的m 一广义逆存在，且 _ 一= q 。 譬三 p 。，其中￥，伽q ，y 釜如，z 叠一m ， 证明敞，令g 叫；计，其中一z 一刚 ， z 叠h ( 5 ”) 。则 列够1 眵净p 跚q = p 吲q 言： ；主 言o = 言o 呱0 。0 m 0 。0 ， l 故 g 是彳的 1 _ 广义逆营c w c , = c ， 所以，对任意彳加- ，) ，y 叠m ，z 叠m p 一及矿= c j ，q 。1 ；兰 p 。1 均为a 的 1 ) 一广义逆反之，4 的任一 l - 广义逆均具有此形式口 推论2 1 1 设a ”，p f “，q f ”，p ，q 是可逆的， 并满足 么= 吐： q ，伽，”，则4 的m 一广义逆存在，且一一= q 。 ；主 p ，其中 x 。e ”+ ，y 0 ”- ，k 7 ，z f ”一h ( 卜n 注2 i 1 与经典矩阵不同，坡矩阵并不总是存在 1 ) _ 广义逆满秩坡矩阵的 1 - 广鼙滞十h 不荫帚唯一枣空p 满穰特矩阵不一常存存m 一广义谫 7 塑堕查兰堡主堂堡笙壅 例z l - 在坡三= c 鸭，l v 为中，_ 0 。o i l 不存在m 一广义逆因为若设 卜一得融上槲礁 舭 2 在坡扛( 蚴v 忍煅螺s = k 篇5 ，扣是旬) 中，矩阵 _ = ? 0 1 6 满秩c c 彳，= ，i c 4 ，= 吒c 一，= 2 ，但4 t ，= ( ：。1 ) i 。x s 。a ，显然彳一不 弓l 理2 i 1设彳f 。“，口r “，贝0 ( 1 ) 0 s ( 加( 4 ) 肌，0 s ( 爿) 乞( 爿) 厅 ( 2 ) ( 么彩m i n ( 椰，( 国 证明由行秩、列秩与s c h e i n 秩的定义易得口 弓i 理2 - i 2 设f ”，口，则r ( 4 曰) r ( b ) ，c ( 4 研c ( 彳) 证明由行、列空间的定义可得口 一 定理2 1 2 设4 r ”，如果一存在 1 ) - 广义逆，则( = ( 4 ) = 吃( 椰 证明设a b a = 一，( 4 b ) = j ，则存在矩阵c e z ”，d ”，使得a b ：c d 这样 c d a 2 a b a = a 由于r ( 彳) = r ( c d a ) g r ( d a ) ，又r ( d a ) r ( 0 ) ，故r ( 4 ) = r ( d a ) 所以，i ( 4 ) = ( 鲫茎s ( 5 为d a 的行数) ，即( 国( a 酚由引理2 1 1 ( 2 ) ， ( 4 b ) s ( 彳) ，故，i ( 4 ) ( 爿) ，再由弓l 理2 1 1 ( 1 ) ，( 4 ) ( 爿) ，所以( 爿) = ( 爿) 同理可证( 4 ) = r 2 c a ) 口 注2 1 2 坡矩阵若存在 l _ 广义逆，则行秩、列秩与s c h e i n 秩相同反之，不成 聊城大学硕士学位论文 帅设坡州 o l 】，v ，其帆，= x 旭y ，凳一，矩阵 4 = o 期渊倒一( 舻倒冲) 但彳不存在 l - 广义逆 定理2 1 3 设a f ”，则g 是a 的 1 - 广义逆当且仅当对任意b f ，若方程组 a x = b 有解，则g 6 必为其解 证明j ：由于g 是彳的 1 - 广义逆，故a g a = a 若方程组a x = b 有解，设其解 为五，则峨= 6 f h l l t g a x o = g b ，进而 a ( g b ) = a ( g a x o ) = ( a g a ) x o = a = 6 ， 故g b 必为a x = b 的解 仁；任取z f ，令b = a z ，则a z = b 有解于是g b 是a z = b 的解，即a ( g b ) = b ， 进而a g a z = 爿g ( 出) = a g b = a ( g b ) = 6 = a z 由：的任意性可得a g a = a 口 定理2 1 4 设a z ”，若彳等价于某个幂等阵，则4 的 1 ) 一广义逆一定存在 证明设存在可逆阵p ，q 三_ ，使得? a q 是幂等的，即( e a 9 2 = p a q 令 p a q = b ，g = q b e ，则b 2 = b ，进而 a g a = ( p ) a ( q b p ) a ( q q 7 ) = 尸7 ( p a b ( p a q ) q 7 = p 7 8 3 矿= p 7 占q 7 = 尸7 ( p a q ) q 7 = a 因此g 是a 的一个 1 广义逆口 推论2 1 2 若a r ”等价于一个主对角元是幂等元的对角阵，则4 的 1 卜广义逆 一定存在 、 注2 1 3 与格矩阵不同，推论2 1 2 中“主对角元是幂等元”的条件不可少，因为 坡不满足乘法幂等律 下面给出一一的若干性质 定义2 1 2 设4 p ”，定义爿的零空间为( 4 ) = 缸c l a x = o ) 9 聊城大学硕士学位论文 逆 定义2 1 3 设a r ”，如果a 2 = a 则称矩阵a 是幂等的 定理2 1 5 设a f ”，若a 存在 1 _ 广义逆，则 ( 1 ) a 4 一和a a 都是幂等的 ( 2 ) ( a 一) 7 为a 7 的( 1 - 广义逆 ( 3 ) 设p r “，q ，p ，q 均可逆，则q 。1 a p - 1 ( 或q 7 a p 7 ) 为p a q 的 l 卜广义 ( 4 ) c ( c 4 一) = c ( 爿) ，n ( a a ) = n ( a ) 证明略 2 2 坡矩阵的 1 ，2 卜广义逆 由上一节可以看到，坡矩阵的 1 ) 一广义逆并不总是存在由 1 ，2 一广义逆的定义知 坡矩阵的 l ，2 卜广义逆也不总是存在本节给出坡矩阵的 l ，2 卜广义逆存在的充要条件 及其结构定理 对任意矩阵4 。( 1 也是4 的一个”于是1 2 1 具有前面讨论过的4 的所有性 质 定理2 2 1 设a e 三，则彳存在 1 ，2 广义逆当且仅当a 存在 l 一广义逆 证明j ：显然成立 乍；设g 1 ，g 2 是4 的两个 l - 广义逆，令g = g i a g 2 ，则 a g a = a g i a g 2 a = a g 2 a = a ， g a g = g i a g 2 a g l a g 2 = g 1 a g i a g 2 = g i a g 2 = g 因此，g 是彳的 1 ，2 卜广义逆口 定理2 2 2 设一p “，p e r “，q r ”且尸，q 是可逆的，c ，7 存在 1 卜广义 逆，且满足彳= p 瞄凇，酬删舢帅力一广义逆存在，且有形式 l o 聊城大学硕士学位论文 翔叫c 罗去卜其中岍叶满足2 y i f - - * , 足y = r c r c j l ” 证明由定理2 1 1 知，a 的 1 l - 广义逆存在由定理2 2 1 知a 的 l ，2 ) - 广义逆存 在不妨设g r ”是4 的仉z ，一广义逆，令g = q 。 ；三 p 一，其中形7 是c ，的 任一 1 一广义逆，x f 。”，y d ，z 叠“。”由定理2 1 1 知。只有这样的 矩阵是a 的 l - 广义逆于是 即 g a g = g 营q 。 ；x z j p 1 p l e o ： q 旷1 ；x p - i = 矿1 ；兰 p 。 ；三 c ，： ；兰 = ；喜 营男嚣 - ；习 g 是彳的 1 ，2 _ 广义逆营w c ，w = w ，w c ，x = x ，玛= l ，r c , x = z 故形r 7 为c ，的任一 l ，2 ) - 广义逆反之，a 的任意一个 l ，2 广义逆均具有此形 式口 推论2 2 1 设a 口“，p 口一，q 三，且p ，q 是可逆的，并满足 爿= p ： q ，r m i n t m ，疗， 则彳舯力一广义逆存在，剧啦。眵轰卜其中x 盯忙，r 一帅， 推论2 。2 2 设a p ”，p “，q ”，且p ，q 是可逆的，c ，7 存在 1 卜广 义逆，且满足4 = p 际啦r 州m ，* t g 是a 舯国一广义逆删存在4 的 1 ) 一广义逆g i ，g 2 使得g = g l a g 2 聊城大学硕士学位论文 定理2 2 3 设爿r ”，p p 一，q r ”，且p ，q 是可逆的，若爿存在 1 ，2 ) - 广义 逆。则 f p a q ) 1 ，2 = q 一1 a 1 f 2 1 p 一 证明由 l ，2 一广义逆的定义易得口 1 2 聊城大学硕士学位论文 第三章坡矩阵的m _ p 逆和加权m p 逆 半环上的m o o r e p e n r o s e 广义逆( 简称m - p 逆) 以及加权m o o r e p e n r o s e 广义逆( 简称 加权m p 逆) 在矩阵理论及应用中起着重要作用文 1 2 ， 1 5 ， 1 6 分别对布尔代数、模 糊代数及分配格上的卅p 逆作了初步探讨文 1 7 介绍了布尔矩阵的加权m - p 逆本章 讨论了坡代数上的m _ p 逆和加权m - p 逆其中大部分结论在布尔代数、模糊代数及分配 格上同样成立 对任意正整数疗，丝表示集合 1 ，2 ，押 3 1 坡矩阵的m _ p 逆 本节讨论了坡矩阵的m - p 逆，给出了m - p 逆存在的若干条件以及m p 逆的若干表示 形式 定义3 1 1 一个元素a l 称为乘一既约元，如果由等式d = 砂可推出口= 工或a = y 用m ( 工) 表示上中所有乘一既约元作成的集合，m ( 三) 表示m ( 三) 上所有删行矩阵 作成的集合 对于矩阵a 上，4 + 并不总是存在如果一+ 存在，则必唯一 引理3 1 1 设a p ”如果4 + 存在，则彳+ = 4 7 引理3 1 2 设a ”，则 ( 1 ) a 1 ，3 ) a 当且仅当矩阵方程x a 7 a = a 有解 ( 2 ) a 1 ，4 0 当且仅当矩阵方程朋7 y = a 有解 证明( 1 ) j ：设4 1 3 a i ，3 ，则 a = a a 1 4 = ( a a 1 3 ) 7 a = ( 4 1 却) 7a 7 a 故，( 4 1 3 ) 7 是咒4 7 a = a 的解 仁：设b p ”且b a 7 a = a 则a 7 = a 7 a b 7 且 聊城大学颈士学位论文 a b 7 a = ( b a 7 a ) b 7 a = b a 7 a = a ( a b 7 、7 = b a 7 = b a 7 a b 7 = a b 7 故b