（计算数学专业论文）两类sobolev方程的非协调h1galerkin混合有限元方法.pdf

摘要 本文主要研究两类s o b o l e v 方程的非协调h1 - g a l e r k i n 混合有限 元方法。针对第一类方程在正则网格下给出了一个新单元的收敛性分 析；针对第二类方程在各向异性网格下分析了其收敛性，并且利用单 元的特殊性质及一些新技巧得到了超逼近性，最后利用插值后处理技 巧得到了超收敛结果。 关键词：h1 - g a l e r k i n 混合有限元方法，非协调元，s o b o l e v 方 程，超逼近，超收敛 a b s r t a c t i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nt h es t u d yo ft h ea p p l i c a t i o n so fh 1 g a l e r k i nm i x e d f i n i t ed e m e n tm e t h o df o rt w ok i n d so fs o b o l e ve q u a t i o n s f o rt h ef i r s to n e ，t h e c o n v e r g e n c ea n a r 蚓su n d e rr e g u l a rm e s h e si s 垂v e i lw i t han e we l e m e n t a n df o rs e c o n d o n e ，t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i si sc a r r i e do u tu n d e ra n i s o t r o p i cm e s h e s ，a n dt h e s u p e r c l o s ep r o p e r t yi so b t a i n e db a s e do ns 锄en o v e lt e c h n i q u e sa n dt y p i c a lc h a r a c t e r s o ft h ee l e m e n ti t s e l f , a tl a s t , t h e s u p e r c o n v e r g e n c ei sd e r i v e dt h r o u g hm t e r p o h t e p o s t - p r o c e s s i n gt e c h n i q u e s k e y w o r d s ：h 1 - g a l e r k i nm i x e df i n i t ed e m e n tm e t h o d , n o n c o n f o r m i n g e l e m e n t , s o b o l e ve q u a t i o n s ，s u p e r c l o s e , s u p e r c o n v e r g e n c e 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没 有剽窃、抄袭等违反学术道德，学术规范的侵权行为，否则，本人愿 意承担由此产生的一切法律责任和法律后果。特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ：脚日 7 。缉驴月o 日 及 本文主要讨论两类s o b o l e v 方程 前言 i 坼= v ( 口( 墨f ) v 坼+ 6 ( 墨f ) v ”) + ，( 墨f ) ，( 五f ) f 2 x ( 0 ，r 】， ( 五f ) = o ，似f ) 8 q x ( 0 , t l ，( o a ) i 甜( ，o ) = ( 工) x q 卜硼埙口( 墨，) v + 6 ( t f ) v 力= j r ( 毛f ) ，( f ) q ( o ，刀， 甜( 五f ) = o ，( x , i ) ea o ( o ，刀， ( o 2 ) l 甜( ，o ) = ( n x 【x 其中q 为f = l ，2 ，3 ) 中的有界域，其边界记为越l 。c 破，( 墨，) 为已知函数， a ( x ，f ) ，b ( x ，t ) 为给定的具有有界导数的连续函数，满足： i b x ，f ) ，o o ) 6 r o n w a l i 不等式：i 霞y ( t ) f 0 ，t 上连续且满足 朋s 朋+ e 坝f ) 少( f ) 以 其中钡力o 且名( 力_ ( 0 ，r ) ，则 如) e x “t 似f ) 出，) 构造有限元空问k ，一般情况下为分片多项式，将变分问题离散化，在有限 维空间上求解。若圪cy ，则称有限元是协调元，否则称为非协调元。 对于协调元，误差估计有如下引理： c 引理；如果a ( u ，v ) ，( v ) 满足l a x - m i i g r a m 引理的条件，则离散问题有 唯一解，且 肛一虬c 糕陋一v k 其中 k 为能量模，吼= ( 口( w ，h ，) ) j 对于非协调元则有如下引理 s t r a n g 引理：设a h ，v ) 为s s 上的连续线性泛函，并且满足强制性， 则离散问题有难一解，并且有估计式 j - - h 扭( 糍h 卜嗍s u p 唑寄蚴， 其中4 卅一2 ( ( w ，w ) ) j ，a h ( w , v ) 2 萋f , r v 胛蝴 设霞是参考元，是上的一个m 维多项式空间，户是户的共轭空间。设 仁，息，危，】和 疵，晚也】是p 和少的一对共轭基，则 砖( 霹) = 磊，l s - ，胍 4 设j ：日( 詹) _ 户| l 是有限元插值算子，满足 髓( 卸= 砖( ，i = 1 ，2 ，鸭v 口户 口= ( 缉，吗，) 是一个多重指标，则d 哆也是露上的多项式空问。 设d i m 西咿= ， 倚，f = l ，2 ，) 是西4 户的一组基，则伊( 劫西a 户可表示为 妒( 劫= 芝砖( 囝妒声= r 岛( 碡 j = l 显然，旬是 西4 丘) 。“的线性组合，而局( 乃是 砖( 嘲”的线性组合，设 历( d = q 囊( 就 则由上面两式我们有 局( 毋= 兰q 砖( 力= m 啦弼a 鹕渤 自l目 各向异性基本定理【7 ：在上述表达下，如果尼( 口) 能表示成 局( 囝= e ( 西4 0 ，l s j m , 其中巧( 日( 重) ) ：l f ，_ ，所，同时卑( 它) c 西4 户，s q 1 ) ，则存在常数“霞) 满足： p 4 一向) l ，t 确p e 。j ，o f ，十l ，v 谤h “( 自 第二章 正则网格下一个新单元的s o b o l e v 方程半离散格式及误差估计 在区间 1 x ( 0 , t 】上讨论下列方程： f 坼= v ( 五f ) v + 6 ( 五f ) v “) + ，( ，) ，( 五f ) 1 2 x ( o i r l ， 甜( 五f ) = o ( 工，t ) ea q ( o ，刀， ( o 1 ) l “( ，o ) = u o ( 功， x x 根据实际问题的物理意义，引入中间变量 p = a ( x ，) v q + 6 “f ) 甲玑 则( 0 1 ) 可化为下列方程组 u , - v - p = f , ( 2 ，1 ) l 口( 五，) v + 6 ( ( 五f ) v 口= 办 i e v = 砩( q ) ，m = ( r ( q ) ) 2 方程组e e 的一式和二式分别和v ( v vy ) 及w ( v w e d 做内积。由已咖公式 可得( 2 1 ) 的混合变分形式：求 ，p ) ：( o ，r 1 - v x m ，使得 ：三二篡盏三嚣；而。妇，叻：。，v 妇v e v 磁, g 刁 l 瓴w ) 一如( 五f ) + 6 ( 而f ) 妇，叻= o ，妇磁 为了方便起见，设q c r 2 是有界凸多边形区域，其边界a q 平行于x 轴或y 轴， l 是q 的矩形剖分族。v k l 设其中心点在瓴，妇) ，四个项点分别为 q ( k 一噍，) k 一吩) ，a 2 ( 砭+ 嚏，坛一i x 码( 】嘧+ 吃，v x + 以) ，q ( 一吃，v x + 吩) 平行 于工轴、y 轴的边长分别为2 h 圾2 h , 设重= 卜1 ，l 】2 是一印平面的参考元，其中心点 在( o ，o ) ，四个顶点分别为磊( - 1 ，一1 ) ，龟( 1 ，一1 ) ，岛( 1 ，1 ) ，毛( - i ，1 ) ，四条边分别为 = 礴；：= 礴毛= 玩 4 = 丽则存在可逆的仿射变换& ：霞一置 f x = x x + 吃善， b = y x + h 灌 在重上构选有限元( 启，j 6 ( “，窆) o = l ，2 ，3 ) 如下； 龛( - j = 书i = v ( 五) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，声o ：司咒m 1 ，善，7 ，勿 ， 枣2 = s ，= l 试，扛1 ，2 ，3 ，4 ) ，”= s p a n l ，六玑，7 2 ) ， 扣= 颤= ：江，f = l ，2 ，3 ，4 ，”= s p a n l ，六仍尸 容易验证w f ( 它) 其插值函数j ( n , x i = l ，2 ，3 ) 可分别表示为 辨= 丢( 锄+ ；：+ ；3 + ；4 ) + 丢6 ：+ 毛一；i 一钆) f 十丢( 南+ ；4 一南一；2 砌+ 丢( 氟+ 钫一访一钆) 玩 j f l 2 ) ；= 吾而+ 3 ；4 一；i 一麓) + 丢( ；2 一讧蟮+ 丢( 为一磊切+ 詈( 五+ 玉一；2 一乱抑2 ， 辨= 扣t + 3 铽一锄一乱) + 扣一钆) 善+ 丢( ；3 一魏) 1 7 + ；( ；2 + 乱一；i 一镑) 尹 定义一般单元置上的如下： “毛j ，) = “工( 己，7 ) ，贝参叩) ) = 以参功 相应的有限元空间为： 吆= 帆h l 。= 帚。f - l , 9 q 。为双线性矩形元，i 船= o ) ， 蚝= 锄i 岛i ；= 声。f 一，p e 2 ( 置) 尸( 3 岱) ，v i c e l ，工魄】= o ，f c 旅 不难验证v 圪c 肘。满足匹配关系，这里魄 表示跨过单元边界的跳跃度，当 f c 独时，【见】= p s 。 定义插值算子 j 1 ( 日( 【坳 k ，1 j j ( d = ( f 1 谚。最一， ，( r ( 坳2 _ 厶，j 2 i r ( p ) = 口2 刃。最一 则( 2 2 ) 的半离散混合元格式为 求魄，a ) ：【o r 】_ 圪鸲满足 f ( ，吃) + ( ，。，9 屹) = ( 厂，吒五 l ( 儿，h ) - ( a ( x ，f ) v + 6 ( x , t ) v ，) = o ， 其中 魄，) = y ( 见，) 。， 定义k b 2 = k ，。2 ( j = o ，1 ) ，其中| j f 。是k 上的范数。 定理2 1 逼近问题( 2 3 ) 的解唯一。 证明：该方程组是关于和i v , 的线性方程组，因而解的存在唯一往等价于相 应的齐次方程组仅有零解。 令f = o ，在( 2 3 ) 第一方程中令= 刚 ( ，) + ( n ，v ) = 0 ， ( 2 4 ) 在( 2 3 ) 第二方程中取= v 则 ( p h ，v u 詹) - ( a ( x ，t ) v u ，v u * ) ( 6 ( x ，t ) v u , ，v l ) = 0 ( 2 5 ) 由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得 ( 1 ，) + ( 口“，) v ，v ) = 似x , t ) v u h ，v ) ( 2 6 ) 由( 0 3 ) 和c a u c h y 、y o u n g 不等式得 i d 2 + q v 如2 甲如9 v j l s c 9 v 如2 + v 您2 ， 这里c 与h 无关，取适当可得 i 0 2 + gw v - xs c 眵盱 ( 2 7 ) 在( 2 3 ) 第二方程中取l f = v f 。，则 ( p s ，v ) 一( 口( 而t ) v u * ，v u ) 一( b ( x , t ) v u h ，v u h ) = o ， 即 ( 口( 毛t ) v u h ，v u h ) = ( n ，v u h ) 一 “毛t ) v u , ，v u h ) 又 ( 口( 蠢f ) v ，v ) = 三丢8 a l z v u h l 2 三( 口( 毛f ) v u ，v ) 功q 咖m 所以上式可化为 2 l _ _ d 出l l a l 2 v u 。l m 2 = ( 以，v u h ) 一( 6 ( 工，f ) v + 三( 口 ，f ) v ，v u h ) 由( o 3 ) 和c a u c h y 不等式得 i l 西d p 卜2 删l 2 将上式两端从o 到f 积分，并注意到( o ) = o 得到 l l v , , , i l 2 - e 8 岛盯函+ c 8 v 蚝k 2 匆， 由g r o n w a l l 引理得 v 如2 c e 慨肚2 叔 再在( 2 3 ) 第二方程中取w h = p h ，则 ( 取，以) 一( 口阮f ) 甲，办) 一似工，t ) v u h ，p h ) = o ， 0 p j ，l 1 0 2 = ( 烈t ) v u ，p d + ( b ( x ，t ) v u h ，n ) ， 由不等式和( 2 7 ) 结合( 2 8 ) 和( 2 9 ) 有 慨k 2 c i 盯， l n 旷s c l 既l 。2 叔 由g r o n w a l l 引理，知0 仇= o ，即得岛- - - o , y 根据( 2 8 ) 得| j v 1 | d = o 由虼之构造知= o ，从而( 2 3 ) 的解存在唯一性得证。 下面进行误差分析 令r l = u 一一) i t ，p = p l ( 2 ) p ，满足下列逼近性质 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) | f 1 7 艮+ h i l l ls 西2 m ：，肛l + h b , l l c h 28 p 肚 ( 2 1 1 ) i 己u - u h = ( u - i 甜) + u 一) = 刁+ f ， p 一以= ( p - i 2 p ) + f f 2 p 一只- ) = 户+ 毒 由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 司得误差万崔为： 黻慧尝按器v 印氧a 加+ b ( v 0 r + v n w d , 毪鬣 组 l ( p ，w k ) + ( 善，w k ) = ( 4 ( v 旗+d ，v 厶 一 定理2 2 设 暂，刃和 ，办) 分别是( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的角孚令，1 甜( o ) = ( o ) 则 有下列误差估计 盼一虬+ 肛一m - c 埘1 1 甜i i + 丘( 陋盱+ o ：2 ) 凼f ， o p 一儿b c 砌p 卜2 + 肛i l + 刖t 蚱”2 2 】_ 证明：在( 2 1 2 ) 第一方程中，令h = f 在( 2 1 2 ) 第二方程中令魄= v f 得 f ( 仇，o + 皤，d + ( 岛v o + ( 参v o = o ， i ( 岛v 力+ ( 参v 0 = 0 ( v r , + v 磊) + 6 ( v 吁+ v n v 办 所以 ( a v 6 , ，v 力+ ( w 白v 0 = - ( 口v 琅，v d - ( b v ，7 ，v f ) + ( a v 力+ ( 孝，r e ) = - ( a v e , ，v o 一( b v r , , v 力一( 缶，d 一魄，d ， 移项得 ( a v e , ，v 力+ ( ，力= - ( b v f , v o 一( a v r , ，v 力一( b v g , v d 一( 珥，办 由口6 为有界函数，利用c a u c h y 不等式、y o u n g 不等式及 ( 押白，v o = 三扣”v 耵一a , v g , v o 有 j l 石d v 到l 2 + 吾丢l i 珩s c ( 阿研舻+ l l v q l 2 + 阮| | 0 2 + i 矶2 + i i v f | | 0 2 两边积分得 咿乩2 + i i f i s c t v 砩j 1 0 2 + o v 矾2 + 岈k 2 + o 砚2 + 9 v 矶2 ) 戤 由g r o n w a l l 引理 妒髫+ 4 乩2 s c j o tq i v 嘻k 2 + 0 v 蹿盱+ 2 ) 叔 ( 2 1 3 ) 再在( 2 1 2 ) 第一式中令唯= ，第二式中令嵋= v 得到 f ( r , ，) + ( 缶，) + ( p ，v 缶) + ( v 缶) = o ， i ( d v 白) + ( 参v 缶) = ( a ( v r , + v ) + 6 刁+ v f ) ，v ) ( 口，v ) + ( 6 v f ，v 缶) = - ( a v r , ，v 0 一( 6 v 仉v ) + ( 岛v 磊) + ( 六审每) = - ( a v t l , ，v 白) 一( 6 v ，7 ，v ) 一( ，) 一( 绣，) 移项得 ( d 9 白，v 白) + ( 缶，白) = - ( b v g ，v ) 一( 砚，v ) 一( 6 v ，7 ，v ) 一( 绣，白) 由c a u c h y 不等式和不等式得； v c , l 2 + 融| | 0 2 c q p 绣盯+ f , 1 l 2 + 舷f 1 0 2 + 0 v 地2 ) ( 2 1 4 ) 有( 2 1 3 ) 得 l i v 1 0 2 + 忙盯s 删v 研i 1 0 2 + l l v 札2 + 慨盯) + c 丘邙v 珥| 1 0 2 + v 印l | 0 2 + 慨盱) 凼， ( 2 1 5 ) 在( 2 1 2 ) 第二式中令= 最则 ( p ，务+ ( 参0 = ( 口哺+ v ) + ( d v l 7 + v 力，0 即 l 善i | d 2 = ( 口( v 珐+ v 翕) + 6 ( v 刁+ v 办0 一( 岛国 = ( a v r l ，0 + 0 v ，务+ ( 6 v 玑务+ ( 6 v 白勿一( n 0 “i 珥k 2 + 9 v ，7 | | 0 2 + 0 纠i 。2 ) + c ( f i v 1 1 0 2 + l l v 纯2 ) 由( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 得 乱2 c 硼p k 2 + 8 v 臻舻+ 8 v 砘2q , 7 1 , l 1 0 2 ) 们( 1 l v 哺l i d 2 + v 玎舻+ 胁i l 2 ) d s ， ( 2 1 6 ) 又 8 纯2 c 9 v 纯2 ， 双 i b 一材。i k 2 2 l l 刁n 0 2 + 2 l i f 0 2 2 j 。2 + c e ( 妒啊j l d 2 + 8 v 刁k 2 + 慨i b 2 ) 凼 s 曲2 ( 1 川：2 + e ( 肛抒2 2 + l ：2 ) 凼) ， ( 2 1 7 ) 所以有 肛- u l 2 2 1 1 , 1 1 。2 + 2 1 1 f 1 1 。2 9 2 m iz + c e ( 8 v 珥盯+ 6 v 刁旷+ 慨| 1 0 2 ) 凼 s 西2 ( ：2 + t 啦k 2 + 鼽8 ：2 冲， ( 2 1 8 ) p n 1 1 0 2 2 0 尸i 1 0 2 + 2 l l 钆2 s c ( 1 酬l 。2 + 9 v 臻j i d 2 + l p 可k 2 + 9 绣戤2 ) + c o j i v , 7 , e v 2 + 阪| i d 2 冲 曲2 ( 1 1 p 1 2 + 鼽4 2 2 + 岍) + t 啦肛2 删：2 ) 斑 ( 2 1 9 ) 综会卜诔估计常理辑证 第三章 各向异性网格下s o b o l e v 方程半离散格式及误差估计、 超逼近及超收敛性分析 在区间q x ( o , y l 上讨论下列方程 f - d i v ( a ( x , t ) v u ，+ 6 ( 五，) v ) = ，( 墨f ) ，( 而，) q ( o ，r 】， 玎( j ，f ) = o ( x , t ) ea q ( o ，r 】，( n 2 ) k ，o ) = 似 工g 其中口，6 w “。( 0 钆v t ( 0 ，r 】 根据实际问题的物理意义引入中间变量p = 口“f ) v + 联f ) v ，则( 0 2 ) 可化为下列方程组 书p 2 厂( 3 1 ) l a ( x , t ) v u , + b ( x , t ) v u = p ， 。 记矿= 磁( 固，m = ( r ( q ) ) 2 ( 3 1 ) 中的一式和二式分别v ( v v d 、以v w j j i d 傲内积，由g r e e n 公式可得 ( 3 1 ) 的混合变分形式：求似p ) ：( o ，明v x m 使得 憋鬻毛条”堆，t ) v u 咖。饥v w e l m ( 3 2 ) l p ，w ) 一d ( 毛f ) v 坼+ 6 ( 而 ，w ) = o 。 在霞上构选有限元( 霞，声。宝( o ) o = 1 , 2 ，3 ) 如下 喜”= 蛾= l 泌( i = l 2 ，3 ，4 ) ，e + 也= 吃+ 以 ，p ”= s m n l 善, 7 ， 宝( 2 ) = 纸，色， 户( ”= s p a n l r t ， 宝= 岛，文 声升= s p a n 1 ，务 容易验证v 帝eh ( 霞) 其插值函数可分别表示为 f o 哥a = l ，2 ，3 ) 可分别表示为 抑= 吉( e + 如+ 也+ 吱) + 丢( 岛一以蟮+ 丢( e 一咖， j 拉垮= 丢( e + 如) + 丢( 屯一e ) 玎， p 口= 三 + 以) + 丢( 也一成) 乒 由文献【7 】不难验证上述插值具有各向异性。 定义一般单元k 上的v y ) 如下： “y ) = “最，7 ) ，y ( 参，7 = 参r d ， 相应的有限元空间为 圪= kj 。= 参。磊一，多e 声“，上f 】= o ，c 汉】， 蚝= 见h l 。= 声。r ，声卢2 卢，工f 以】= o ，c a 研 不难验证v kc 鸭满足匹配关系 定义插值算子 j ( j ) - 日1 ( q ) 一，j l f v = ( j 1 d 。最一， j ：蹬( 桫寸，j 伫l x p f f i ( 2 1 加。& 则( 3 2 ) 的半离散混合元格式为：求( ，最) ：l o 明_ 圪x 毛满足 (ps,mvvs。)s巾=(f堋,vs),(ph+ 逸裁，w d 。：o v w , m ( 3 3 ) i，k 一( 口 f ) v + 6 瓴t ) v ， = o 肘 定理3 1 逼近问题( 3 3 ) 的解唯一 证明；该方程组是关于和觅的线性方程组，因而解的存在唯一性等价于相应 的齐次方程组仅有零解。 令- f = o , e ( 3 3 ) 第一方程中令吒- - - - l h 则 ( 见，v 九；o ( 3 4 ) 在( 3 3 ) 第二方程中取= v k ，有( 3 4 ) 得 ( a ( x , t ) v u h ，v u h ) = ( 6 “t ) v u ，v ) 由( o 3 ) 和c a u c h y 、y o u n g 不等式得 强孵i l 2 c j l v k ；l v z k 。 8 v f 8 v k 在( 3 3 ) 第二方程中取l 。= v i 。，则 ( 口o ，t ) v u h , ，v u ) = _ 6 ( 工，t ) v u h ，v u h ) ， 由( o 3 ) 和c a u e h y 不等式及 ( a v v 。= 丢鲁p v l l o ，? 一三“v v 。， 圭丢 v | | 。2 = 巾，) v u h ，v u h ) 。+ j 1 ( 如，) ，v ，砜k i 2 出a _ l 。口1 7 2 v k 。2 c 陬。 将上式两端h k o 到，积分，并注意到蚝( 0 ) = o 得到 陬| | o ，2 c f ：陬| l o 。2 西， 由c 椭n w a l l 引理得 妒k = o 5 己f t a 之构造知= o 再在( 3 3 ) 第二方程中取峨= p l ，则 ( 见，磊) - ( a ( x ，t ) v u h , ，p h 一( 6 t ) v u h ，仇h = o ， 慨1 1 2 = 口如，) v ，磊k + ( 6 d ，) 9 嘞，磊 由不等式和( 3 6 ) 慨k 2s c i l v k 2 ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 由( 3 8 ) 和( 3 9 ) 知i 见l k = o a p 得p = o 从而( 3 3 ) 的解存在唯一性得证。 下面进行误差分析 令r l = 群一，1 ”，p = p - i 2 p ，满足下列逼性质 i i 玎l l + h l l d 。 c h 2i l u l l ：， p l - c h l l e l l ，0 砘+ h l l p u 。彬8 蒯： 记王，一2 - i 1 ) + ( ，1 m - - z k ) = r + - ， p 一只- = ( p j 2 力+ u 2 p - p 1 , ) = p + 乒 对非协调元来说由( 3 2 ) 和( 3 3 ) 可得误差方程 j ( 岛v k + v k2 善k 飓咄 虼， ( 3 1 0 ) i ( 岛) + ( 六) = ( a ( v r l , + v h + b ( v r + v 办k ，饥 定理3 2 设 甜，p ) 和 ，既】分别是( 3 2 ) 和( 3 3 ) 的解令，1 n ( o ) = ( o ) 则有下列 误差估计 l l l ，一l i o + 卜队s 硎坩+ t ( 眦+ 帆l ：2 渺# ， 所以 怕一n i l o c ( 1 l p m 2 + 1 2 2 + 犯c + 球t 帜u 2 2 + 陋瞄) 凼 证明：在( 3 1 0 ) 第一方程中令= 白在( 3 1 0 ) 第二方程中令嵋= v 白得 f ( 办v d + ( 参v o 。= 醒p c n d s ， i ( 肛v d 。+ ( 六v d = ( 口( 毡+ v h + 6 ( v ，7 + v d ，v o ， ( 押，v 疵+ v 九= 一口v 珥，v 办一( b v ，7 , v o + ( 岛v 叭+ 候v 庇 = - ( a v e , ，v 办一( b v ，v 办+ kp 鳓， 移项褥 得 ( a v g - , ，v g = - ( b y e ，v 0 一( a v o , ，v o 。- ( b v o ，v f ) + kp f n d s 因口，b 是有界函数，利用c a u c h y 、y o u n g 不等式及 ( a v e , ，v 办= i 1 磊d 炉1 2 v “2 一丢“v 刍v 巍， 两边积分 三丢4 v 纠l 2 c q l v , l 2 + 8 v ，7 k 2 + 夥纠i 啪2 ) + 曲2 i i p i i 。2 ， i l v f k 2 c 丘t ( o v 研2 + 8 v ，7 i l o ，2 十l v f 2 ) 施+ 西2e o p 4 。2 凼 8 v 盯s c 和v 琅k 2 + l v r l 2 冲+ 西2 o h , 2 叔 ( 3 1 1 ) 再在( 3 1 0 ) 第一方程中令= 在第二方程中令= v 白得 i 协v ) + ( v 缶) 。= k p , n d s , 【( p ，v 白k + ( 六v 缶) = ( a ( v r , + v 6 ；) + b ( v r + v d ，v h ( a v e , ，v 缶) 。+ ( w v 妄) = - ( a v r , ，v ) 一( 6 v 玑v 白k + ( 店v h + ( 最v ) = 一口v 琅，v ) 一( f v 玑v 缶) + f 勰p ，洒， f ( a v e , ，v ) = ( w 白v 缶) 一( 押聃，v h 一( 胛，如v ) + k p , n d s f 由c a u c h y 不等式和不等式得到 8 v | i o 2 c ( 1 i v 珥乳 2 + 9 v 叩k 2 + i v g 札2 + c 矗20 p 2 ， 将( 3 1 1 ) 代入( 3 1 2 ) 9 v k 2s c l l v o , l 2 + 咿，7 k 2 ) + c 丘t ( i i v 珥k 2 + l v r l 2 涉 + 西2 i i p t 2 击+ 幽2 旷 在( 3 1 0 ) 第二方程中= 六则 - 1 7 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 即 p ，0 + ( 己善) = ( 口( v 研+ v ) + ( b v r + v 力，勿 i l 乱2 = ( 口( v 研+ v ) + ( 6 v 叩+ v 力，0 - ( p ，0 s c ( 1 | v 珥k 2 + 咿叩l i o ，。2 + i l p 虬。2 + 咿白k 2 + 0 v 九2 ) ， 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 晰c 硼硝+ j k 2 + 3 v 砒2 及 所以 所以有 + c 球to v 珐l k 2 + 8 v ，7 l l o ，h 2 ) d s + 曲2 e 8 p 8 。2 丞+ 砌2 i i p o 。2 ( 3 1 4 ) 又各向异性元由文献【8 ，9 】知 l 引l 2sc i i v f i | 0 - 2 ， p = a v u t + b v u ， 陋一盱 - 2 i i r l 1 0 2 + 2 忙1 1 0 2 s 2 物l b 2 + 2 0 v 乩2 2 捌k 2 + c t 【i i v 珥2 + i v 7 7 吐d 。2 ) 凼+ 曲2e 忙旷凼 曲2 ( o 甜铲+ e ( 肛如2 + 贮) 凼) - - 4 。m 2 2 2 + 2 u f h 。2 s 2 。2 + c 心to v 玩岵2 + 蛐2 冲+ 曲2 蜥d s 西2 舡| 1 2 2 + e ( 舡1 2 2 + h 虬2 ) 凼， 一l 。 ( 3 1 5 ) 怕一见l k 2 2 p f l 2 + 2 1 1 善1 1 0 2 c q 纠k 2 + i v 琅k 2 + i v ，7 k 2 ) + c ( o v 研i k 2 + l v l 7 l l 2 ) 丞 + 幽2 e 枷i l 。2 凼+ 幽2i p l l 2 s 曲2 ( 。2 + 2 + 蜥) + 剁t q 8 ：2 + 肛也2 迹 由以上估计定理得证。 下面进行超逼近分析 定理3 3 设伽，p 和玩，p h 分别是( 3 3 ) 和( 3 4 ) 的解1 0 ) h t e 圪为材的有限元插 值，当砧，l 日3 ( q ) 时 8 u h - l i ”u i 。+ i - - i o ) u t i 。s 曲2 c r o o n 坼f l + i i = , l 2 + l 甜l ：2 + 肛盯) 击 证明：在( 3 1 0 ) 第一方程中令唯= 在( 3 1 0 ) 第二方程中令坼= v 得 所以有 移项得 l ( p , v o + 候v 九= 车l p 鳓， 【( 店v 力 + ( 善，v 力 = ( a ( v r , + v ) + 6 ( v 刁+ v n v f h ( 刃，v 虢+ ( 6 v v 办= - ( a v r , ，v a - ( b v r , v 九十( 店v 叭+ ( 舅v 巍 = - ( a v g ，v 晓一( w 玑v 办+ ；l p 卵呶 ，v a = _ w v 办一，7 ，v 办一( 坍弱v 珐+ 莓l 础 令万2 南【撕 i 2 南上蚴 则由于口，西w i - ( q ) 可得 i 口一司s 矾l b - b b c h 又由吒的构造知 l ( v r ，v d = o i 珥，v 办= 0 则上式可化为 ( a v e , ，v 鼽= 胛白v d 一“d 一刃v 珥，r e ) 一( p 一乃v ，7 ，r e ) + ；l p g n d s 由文献【1 2 】知当p e ( h 2 ( 【坳2 有 陲l ，叫鲋i i p i l ：o v f 所以有 i l 磊d4 v f 2s 西2 ( i v 嘻2 + 妒玎2 + 眵f i i o 2 ) + 曲2 l p 0 ：9 v f ， 两边积分得 8 v 曲。2 幽2 ( l l v 绣以，。2 + 阿节k 2 + 8 v 九2 渺) + 矿8 p | j 2 2 丞， 由g r o n w a l l 引理得 v 札2s 幽2 ( i l v 绣1 1 0 + i v j 7 2 ) 国+ 西4 f i p j l 2 2 凼 ( 3 1 6 ) 再在( 3 1 0 ) 第一方程中令屹= 白，在( 3 1 0 ) 第二方程中令= v ，得 p v x + 簖v 九2 莓丘飚 【( 岛v ) + ( 参v ) = ( 口( v 珥+ v 缶) + 6 ，7 + v “v 白) 所以有 ( a v e , ，v 磊h + ( 押v 九= - ( a v r , ，v 缶) 一( 莎铲玩v 缶) + 6 0 , v g ) h4 - ( 六9 x = 一胛珥，v ) 一，7 ，v 白) + 莓k 础， 移项得 ( a v e , ，v 白) = 一_ 白v ) 一( 口v 研，v ) 一玑v 白) + ；l p 础 由c a u c h y 和不等式类似( 3 1 6 ) 有 i i v 2s 西2 ( j t o f ? , l l 2 + 哼玎i k 。2 ) d o + l i v g 2 + 曲4 o p l l 2 2 凼 ( 3 1 7 ) g ( 3 1 6 ) 代入( 3 1 7 ) 得 l l v 氧, i l o j 西2 q j w t , l 2 + n v , l l 2 ) 鳓+ 葫4e | l p 如2 叔 ( 3 1 8 ) 又因甜，虬h 3 ( q ) ，p = a v u , + b v u ， 所以 0 v 珥ks 圳h9 ：， 8 v , 7 1 l 。曲， 肛如如d 1 , f l , + i i d - e a ( 3 1 6 ) 和( 3 1 8 濡 i i v 巩。2 ( 豇t ：2 + 1 1 2 + m + 1 1 虬2 ， o v 引i 2s c 矿( e ( 亿2 + 阮1 3 2 + 肛赴2 + 陋也2 ) 凼， 故 f 甲屯s 西2 tj 冉t 1 2 2 + h n 断+ 蜥】；， k k c h 2 e ( h 1 2 2 + 如2 + l 鲇4 2 2 + o 甜1 1 2 ) 凼， 怫一j o ) u 1 一+ 帆一p k ks 曲2 【艮阢l | 2 2 + i ，2 + 肛1 1 2 2 + 睁啦2 ) 凼】i 综上有定理得证。 为了进行超收敛分析，我们首先将原来相邻的四个单元合并成一个大单元，在 大单元上构造如下插值后处理算子n ：。：j j r 3 昱( d r 1 2 昱，c ( 砚 这里b ( 司为完全二次多项式空间，c 为e 上的连续函数空间，设露中平行于， 轴的中线为厶，平行于y 轴的中线为工l 。 bl 珥 l i o b k l l 在大单元e 上使得 i ：拙蠹= l 鼬汰，o = i ，3 ，5 ，7 ，9 ，l o i 不难验证n ：。满足： ( i ) j i n ：。一u n , c 产7 i 扣艮， ( ，= o ，1 ) ， ( 2 9 l i n ：。v l t , s c 8 咀，v v e 吆，( ，= o ，1 ) ， 其中圪为有限元空间， ( 3 ) 2 j 1 甜= n 2 甜 其中0 ) 1 1 e 虼为甜的有限元插值。 由定理3 3 及n ：。的性质( 1 h 3 ) ，我们得到下面的超收敛分析。 定理3 4 在定理3 3 的假设下成立下面的估计 l | r i ：。心一m ，。动2 【( 1 i 利| 2 2 + 鼽舻+ 盼如2 + 肛k 2 ) 凼】- i + 肛艮】， 证明：因为 1 1 2 一= l - 1 2 - l - 1 2 1 ( ”u + 1 1 2 i o ) 1 - - t 所以 = 1 1 2 魄- i m u ) + i i n 甜- - t t ， l i z 一一甜虬l ：。魄一j o ) 虬+ 4 i 1 2 , u - - u 虬 定理得证。 c 怫”甜虬+ 8 ：一叱 西2 f o l l 蚱：2 + 帆1 1 2 + i 川：2 + 肛8 ，2 ) 凼+ 曲2 忙i i ， = 幽2 【球啦2 + 慨艮2 + 肛0 2 2 + l i 甜1 1 2 ) 豳】i + i i i i ，】 【l 】 【2 】 【4 】 【6 】 7 1 参考文献 赵培，陈焕贞s a b o l e v 方程的特征混合有限元洼应用数学2 0 0 3 。1 6 ( 4 ) ：5 0 - 5 9 m i t s w h i r o 工n a k a o e r r o re s t i m a t e