（基础数学专业论文）关于雅克比级数和拉盖尔级数的一些问题.pdf

摘要 与特殊函数有关的函数论问题越来越受到数学家们的重视，是个非常活跃的 研究领域，其中的典型问题有j a o o b i 级数，l 8 9 u e r r e 级数，h e r m i t e 级数h a l l k e l 变换以及近年来才发展起来的p 中带有反射不变测度的d u n l d 变换等这些问题 既是经典函数理论的广泛推广，在特殊参数下又与李群和对称空间中的分析问题密 切相关但是由于特殊函数的性质比三角多项式复杂得多，在这些问题研究中会遇 到许多实质性的困难，比如相应的广义平移和广义卷积运算的复杂性等，同时也衍 生出一些有价值的新问题 共轭函数( 瑚e n 变换或砌b e r t 变换) 是分析领域的重要概念和工具之一自b m u c k e n h o u p t 和e s t e i n 于1 9 6 5 年研究共轭超球级数以来，与特殊函数有关的。共 轭。问题，比如共轭l a “e m 级数，共轭h e m i t e 级数，共轭j 8 。o b i 级数等，成为 相关领域中的重要课题，取得了一系列研究成果，例如m u d c e n h o u p t 【1 9 6 9 】，【1 9 7 0 】， t l 啪g 鲫e l u 【1 9 9 0 】i1 1 9 9 3 l ，g o 龉e l n s t e m p a l 【1 9 9 4 l ，l i 1 9 9 6 1 ，n a w a k 【2 0 0 4 】，g r 懈y k 【2 0 0 5 】等 本文主要研究与共轭j a c o b i 级数和共轭l a g u e r r e 级数相关的几个问题，取得了 些有重要价值的研究成果，同时还研究了矩阵形式的l a g u e r m 多项式的s o b o l e 、， 正交性本文的具体成果有如下四个方面， 研究函数按照与j a c o b i 多项式相。共轭一的基底 r 翳1 肚1 ( t 1 ) 、压= 珊甚l 的展开问题。定义了相应的广义平移丁乞和广义差分算子吒利用共轭基函数的特 征微分算子d 。对相应的j a c o b o p o i 8 8 积分的作用给出了按照广义平移丁t 。描述 的口( ( 一l ，1 ) ) 空间中的l i p 8 c h i t z 函数的特征刻划；并通过相应的p o 蟒o n 积分的 一阶导数给出了按照广义差分蟊。描述的吃口( ( 一l ，1 ) ) 空间中的l 啦8 c h 址z 函数的特 征刻划 研究了j o b i 级数的( e 6 ) 平均和a b e l p o i 8 s o n 平均的饱和问题，利用相应 于j a c o b i 级数的共轭函数的加权l i p 8 d l i t z 性质亥划了j a c i 曲i 级数的6 ) 平均和 a b e l p o i 咖平均的饱和类，从而对j 8 c o b i 级数建立了a l 喇协z a 跚s b 型定理 这是b u t m 等人关于l e g e n d r e 级数的推广，且不同于b 撕n d c 的关于j o b i 级数 的结果以及h o n 晒t h 的饱和定理 z 通过引入与l a g i l e r r e 级数相应的广义差分算子磊和核函数g ( 计，给出共轭 l a g l l e r r e 级数的主值积分表示证明了广义差分0 在某种范数意义下的有界性并 可用来描述函数的光滑性通过建立核函数g ( g ) 的一系列估计式，证明了在某种 范数或点态意义下，利用主值积分所定义的函数，的( l a g i l e r r e ) 共轭函数与利用共 轭( l a g u e r ) p o i n 积分，( z ，v ) 所定义的共轭函数是一致的， 通过找出适当的带有导数的矩阵矩量泛函，证明了关于具有负的非整数特征 值的参数矩阵的l a g i l 矩阵多项式在此泛函意义下的s o b 0 1 e 、r 正交性；给出关于 具有负整数特征值的可对角化参数矩阵的l a 酗e r e 矩阵多项式的适当定义，并证明 这种推广的l a 9 1 l e 丌e 矩阵多项式关于上述泛函也具有s o b o l e v 正交性 关键词，j a c o b i 级数，l 鳝u e r r e 级数。p o i n 积分，共轭p o i s s o n 积分，广义 平移，广义差分，饱和类，共轭函数，l 8 9 l l e r r e 矩阵多项式 s 哪ep r o b l e m so nj a c o b is e r i e sa n dl a g u e r r es e r i e s ad i 蹴r t a t i o ns u b n l i t t e do na 曲l1 2 ，2 0 0 7 i nf 1 1 l m l m e n to ft h er e q l l i r e m e n t sf o rt h ed e 盼o fp h d d o c t o r a lc 姐d i d a 协：z h i h i l iz h u s u p e r v i 8 0 r ：p r o z h o n g k a il i c a p i t a ln o m a lu n i v e 墙时 a b s t r a c t 3 t h e 沁c t i o nt h e o r yr e l a 钯dt o 叩e c i a lf 1 1 眦i o 册i sa 七t 舵h e di m p o r 七a n c et ob ym a t h e - m a t i c i a n 8m o r ea n dm o r e ，a n db e o o m 郫av e r y 扯t i v er 髑把h 矗e l d ，hw h i c ht h e 它1 嘲i c m p r o b l e m sa r ej 8 c o b i 驰r i 档，l a 9 1 l e r r e 弛r i 髑，h e r m i t e r i ，h a n h lt r 哪f o r m s ，粕dd u n k l t r 娜f b r m sa 黯o c i 酏e d l r i t hr e 丑e c t i o n i m 龟r i 柚吨m e 卸u r 档o n 舯t h e s ed r o b l e 瑚a r en o t o n l yt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ed a 黯i c a lf i l n c t i o nt h 啪b u td 1 8 0h a ec l o r e l 8 t i 咖谢t h t h e 柚时y s i sp r o b l e m so nl i eg r o u p 8 蛐d8 y 姗e t r i c8 p a o 皤b u t ，b i n t h ep r 印e r t i e 8o f 叩e c i a lf i l n c t i o 瑚a 弛m o r ec o m p u c a t e dt h e nt r i 9 0 n o m e t r i cp o l y l l o i n i a | s ，t h e r ew o u 】db e m a n yd i 伍c l l l t i e si ns t u d yo ft h 郫ep r o b l e 脚，8 u 出t h ec o m p l e 】c i 锣o ft h ea 8 c i a 湖 t r 哪! a t i o n sa n dt h e 蝴c i a 托dc o m r 0 1 u t i o 娜，a n di nt h em e 钏墟i m e ，8 0 m ev a l u a b l en e w p r o b h m ep r o d l l o e d c o 脚u g a 盯( 硒髑zt 抬瑚f o r mo rl i l b 8 r # 虹叻8 f o 瑚) i so n eo ft h ej m p o n 8 n t n 钟p 括 觚dt 0 0 1 8i n 锄a l y s i b a f t e rb m u d n h o u p t 姐de 8 t e ms t u d i e di i l1 9 6 5t h ec o n j u g a t e i i l t r a 印h e r i c a l 船r i 髑，t h ep r o b l e m sa b o u tc o n “g a c yr e h t e dt o 印e c i a i c t i o m ，8 u 出船 4 c o n j u g a 托l a g u e r r e r i 鹪，c o n j u g a t eh e r n l i t e r i 档哥n dc o n j u g a t ej a c o b is e r i 箦i b e c o m e i m p o r t 蚰tt o p i i nt h i s 矗e l d ，柚dm 锄y 隅l l l t 8a b o u tt h e mw e r eo b t a i n e d ，f o re 】【蛐p l e 8 ， m u c k e n h o u p t 【1 9 6 9 ”9 7 0 l ，t h a i l g a v e l u 【1 9 9 0 ”9 9 3 】ig 伽e l n s t e n l p a k 【1 9 9 4 】，l i1 1 9 9 6 l ， n 讲v a k 【2 0 0 4 | 。g r m 勾r k 【2 0 0 5 】 h 岫t h 髑i 8 ，8 e v e r a lp r o b l e m s 蜘c i a t e dt 0c o n j u g a 协j a c o b i r i 缸dc o n j u g a t e l a g u e 丌e 舱r i a 舱s t u d i e da n ds o m ei m p o r t 锄t 瑚u l t sa 托a c h i e v e d ，锄dm e 钔懈r h i l e ，t h e s o b o l e 、ro r t h o g o n a l i 锣o fl a g i l e r r em a t r i 】cp o l y n o m i a bi bb t u d i e d t h e 懈u l t 8i nt h et h 铝i s i n c l l l d et h ef o l l o 咖gf o u ra 8 p e c t 8 ： t h e 唧蛐i 螂o f f i l n c t i 0 璐i t e r i n 8 0 f t h e b 嬲es y s t e m r 翳1 川( t 1 ) f 疆) 器l c 0 脚u g a t et oj 鱼c o b ip o 驷o m i “l s 缸e8 t u d i e d i nt h i sp a r t ，t h ea 鼯o c i 咖dg e n e r a l i z e d t r a 瑚l a t i o 衄仉2 蛐d 七h eg e n e r a l i z e dd i 如r e n c e 丁ba r ei n 七r o d u c e d t h el i p 8 d l i 乞z m c t i o m i n 吃。口( ( 一1 ，1 ) ) d e f m e db yt h eg e n e r a l i z e dt r a 璐l a t i o m 缸ed 】a r a c t e r i z e db yt h ea c t i o n t ot h ea 8 c i a t e dp 虹s 啪i i 慨g r a | so ft h ee i g e n d i 髓r e n t i a io p e r a 乞0 rd 仉口o ft h ec o 嘶u g a t e b 铀ef u n c t i o n 8 - 觚di nt h em e a n t i m e ，t h el i p 8 d l i t zf l l n c t 岫n s m 吃口( ( 一1 ，1 ) ) d e 6 n e db y t h eg e n e r a 地e dd i 如r e n c 龆丁t 2a r ec h 盯a c t e r i z e d 蚵t h e 丘r s 七d e 矗v a t i v e 8o ft h ea s s o c i a t e d p o i 硒o ni i l t e f a k t h e 昭t l l r a t 妣p r o b l e mo ft h e m dt h ep o i 目o nm m o fj a c o b i 船r i 缸e8 t u d i e d ，a n dt h es a t u r a t i o nd a 稿a d h 缸a c t e r i z e db ，m ew e i g h t e dl i p 8 c h i t z ”o p e r 乞i 朗o ft h e n j u g a t ej a c o b i 鼬r i 皤t h i gi 8 越蛳a l o 雷o u sr 酬to fa l d t s 卸d z 8 皿8 n s l 瞒越dg e n 盯a l i z e st h a ta _ b o u ti 俘n d r e 鞠d 姻，b t l t 纽出& r e n tf 幻mt h 8 毒d u et o b a i ，i 出 b yi n t r o d u c 缸gt h el a g l l e r r eg e n e r a l i z e dd i 髓f e n c 瞄足a n dt h el 【e m e lf i l n c t i o n g ( 们，8r e p r e 鸵n t a t i o ni p r j n c i p l ev 蝴u eo fc o 面u g a t el a 鼋捆e 哪8 n 8 i o 地埠醇v e n h t h i 8p 越，i ti sp r 州e dt h a tt h eg e n e r a h 舱dd i f f e r e n c 髂疋a r eb o u n d e di n m en o 唧e d s p a c e 8 柚dc 姐b el l s e 七。出a f a c t e r i z et h eg m o o t h n 嘲o f c t i o m b y 髑t i l a t i n gt h e b r n e lg ( i nv 喊。璐c 潮，nj 8v e r 访e d 如啦t h e ( l a g u e r 拎) c o 丑j u g 矗t ef 1 1 n c t i 佃o f & f i m c t 咖，d 醴n e d mp r i n c i p l ev a l u ea 托璐i b t e n tw i t ht h a td e 6 n e db yi 拓c o n j u 础 l a g i l e r r e p o i s 踟咀i n t e g r a b ，扛，p ) ，i n n o f8 0 m en o r m s o rp o i 七w i l 弘 5 i nt h el 躺tp a r t ，b 旷i n t r o d u c i n ga8 u i t a b l em a t r i 】cm o m e n tf u n c t i o n a lw i t hd e r i v 扣 t i v e s ，t h es 0 b o 研o r t h 0 9 0 n a l 埘f mt e r m so ft h i sf i l n c t i o n a io ft h el a g i l e r r em a t r b cp o l y n o m i a l 8 姗c i a t e dt oap a r 啪e t 盯m a t r 政w i t hn e g a t i v e 卸dn o n - i 咖g e re i g e n _ v a l u 朗j 8 p r o v e d ；a n d ，t h el a g u e r r 弓n l a 土r p 0 1 y n o m i a | sa s s o c i a 捌t oad i a 罾o n a l i z e dp a 玎m e t e r n l a r t r i x l r i t h m en e g a t i i n t e g e r sa d e 缸e d m 眦印p r o p r i a t e w a 乳姐d 址i 8p r 伽e d t h a t t h i 8g e n e r a l i z e dl a g u e n _ em a t r i xp o l y n o m i a l 8a l h a et h es o b o l e vo r t h o g o 叮a l i t yi nt e 娜 o ft h ea b o v ef u n c t i o n a l k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：j 蛐b i 舱n 鹊，l a 藿舢e 玎e r 蝻，p o i s s o n 证t e g r a l ，c 0 i 卜 j u g a t ep o i s s o ni n t e f a l ，g e n 盯a l i z l e dt f a n 8 l a 七i o n ，g e n e 瑚j i 翟! dd 进b r ，8 a 栅8 t i c l a 8 s ， c o 虹j u g 瓢t ef u n c t b n ，l a 如e r r em a t r 奴p o 妒面a 1 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：李玄嘶 f 。 日期：2 0 0 7 年4 月1 2 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本 规定 ，j 学位论文作者签各红压惦 j 。 日期：2 0 0 7 年4 月1 2 日 引言 与特殊函数有关的函数论问题越来越受到数学家们的重视。是个非常活跃的 研究领域，其中的典型问题有j 鼢b i 级数，l 8 9 l l e 玎e 级数，h e m 溉级数，1 1 8 l l k e i 变换以及近年来才发展起来的r n 中带有反射不变测度的d u n l l 变换等这些问题 既是经典函数理论的广泛推广，在特殊参数下又与李群和对称空间中的分析问题密 切相关 关于j a c o b i 级数的研究已经取得了一些成果，早期的工作有l b 0 1 】，【b 0 2 】，i l o r 】， 【n r j ，【p o l p 0 2 】，【s 列【w i n 】等像经典的f h r i e r 级数一样，开展j a c o b i 级数的研究 的主要工具是广义平移及其相应的卷积结构，但是由于周期性的破坏，通常意义下 的卷积结构已经不再适应了a b 睁w a i n g e r 【倒嘲定义了一般参数下的j a c o b i 平移 和卷积结构并证明了它们的有界性，g p e g 拍1 2 l 给出了平移和卷积核的超几何 表示，k o 谢n d e r f k o l l 证明了j a c o b i 多项式的乘积公式，从而建立了j a c o b i 平移 的封闭表示从此以后该领域的研究变得越来越活跃起来了，比如【a 1 - a 】， b a v l 3 j ， 【b s j ，【b s w l 2 j f 叫，【c s l q 郦，l 一2 l ，( g 姐l ，【g t l - 3 1 ，【g p v l ，i h o r l ，【h 0 1 2 】，【k s 】，i k 0 2 j ， 【l i l 卅，【l l 】，阻) ( 】，【m e l ，【m 目，【m u l 】，r 州等但是与经典的f 0 l l r i e r 分析相比，ja c i d b i 级数理论还有许多本质的区别，需要进步探讨和研究由于j a c o b i 多项式的许多 基本性质比三角多项式复杂得多，例如，各种求和性，振荡性，p o i 8 s o n 核与卷积运 算的复杂性等等，开展这领域的研究会遇到许多实质性的困难，同时由于j a c l ) b i 多项式参数变化的多样性，会出现一些周期情况下难以发现的现象，得到一些新型 的结果 同样地，l a g u e r r e 级数是特殊函数理论中的另个重要的例子，关于它的研究 和j a c o b i 级数有相似之处，但由于l 8 9 1 l e n e 级数是定义在正半空间的，j a c c i b i 级 数理论中的许多方法在这里已经不再适用，出现很多新的困难比如m t l 幽n h o u p t 在【m u 2 】中关于i 聊e r r e - p o i s 8 0 n 积分，以及i w 1 】， g s t 】，【g t 4 _ 5 1 ，【m a l l ，【s t l 2 1 ， 【s t 】【t h l 2 】等与经典f 札胁分析和j a b i 级数理论一样，l 4 9 t l e r r e 平移算子和 l a 9 1 l e r r e 卷积在研究l a g i l e 玎e 级数中发挥着重要的作用，但是直到上世纪八十年代 初期，人们才得到了l a g u e r r e 平移在适当的函数空问职( o ，o o ) 中的有界性结果( 见 【g m l l 和i g m 2 】) 2 首都师范大学博士毕业论文 有关h e r m i t e 级数的相关理论见t h a n 萨l u 的书f t h l 及其后姆参考文献m 8 r - l 【e t t 还在【m a 3 l 中研究了广义h e r m i t e 多项式的卷积结构 共轭函数( 胁变换或砌b e r t 变换) 是分析领域的重要概念和工具之一自 m u c k e n h o u p 乞s 乞e i n m s 于1 9 6 5 年研究共轭超球级数以来，与特殊函数有关的“共 轭”问题成为相关领域中的重要课题，例如m 、l 幽n h o u p t 分别在i m u 3 l 和【m u 4 l 中 引入和研究了共轭h e r m i t e 级数和共轭l a g u e m 级数，l i 在i l 边中定义了共轭 j a c o b i 级数并在【l i 3 l 中建立了相应的m r d y 空间基本理论 g o 1 m 8 t e m p a k 和 t h a n g 目l u 分别在【g s l 和【t h 3 _ 4 】中对共轭h e m i t e 展开进行了深入研究最近， n o w a k 和g r a 哂r k 等分别在【n o l 和【g l l l 中研究了多重l a g i l e m 级数的i u z 变 换，得到一系列深刻的结果 近年来，随着二阶微分方组在某些学科中的应用，推动了正交矩阵多项式的研 究1 9 9 4 年，l j 甜等人的工作开启了l a g i l e r r e 矩阵多项式的研究( 见i j c n l ，其 中的很多问题是对经典l a g i l e r r e 多项式的广泛推广。但是由于矩阵比单纯的数量包 含有更多的信息使得矩阵多项式的研究又遇到了许多本质的困难比如渐进展开， 求和问题等等为克服这些困难j 甜”，s 臧r e 等人作了很多工作，比如p s l l ，【j s 2 l f j s 3 l ，【s d l ，【s d j 】等经过十几年的发展，已经把经典的级数理论部分地推广到了矩 阵形式，还得到了在计算机盼图像处理方面盼应用( 详见文献f s d j j ) 本文主要研究与共轭j a c o b i 级数和共轭l a g u e r r e 级数相关的几个问题，取得了 一些有重要价值的研究成果，同时还研究了矩阵形式的l a 黜饿多项式的s o b o k v 正交性本文的具体成果是如下四个方面t 定义了对应于同j a c o b i 多项式相“共轭1 的基底 姑1 肘1 ( t 1 ) f 瑁) 器l 的 广义平移和广义差分算子，建立了函数按照该基底进行正交展开时的h 口d y l 她t k w d o d 和z y 掣n 1 1 n d 理论，即利用j a o o b i p o i 跚m 积分在边界处的渐近性态来刻 划通过广义平移丁t ：和广义差分算子亍t 。描述的函数的光滑性 研究了j a c o b i 级数的6 ) 平均和a b e l p o i 鲫n 平均的饱和问题，利用相应 于j b c o b i 级数的共轭函数的加权l i 触i t z 性质刻划了j o b i 级数的( c ，d 平均和 a b e l - p o i s n 平均的饱和类，从而对j a b i 级数建立了a l 嘲僻z 锄a n s 蚵型定理 通过引入与l a g i l e r r e 级数相应的广义差分算予磊和核函数g ( ) ，给出共轭 雅克比级数和拉盖尔级数 3 l a g u e n e 级数的主值积分表示，并证明了在某种范数或点态意义下，利用主值积分 所定义的函数，的( l a “e r m ) 共轭函数与利用共轭( l a g u e * ) p o j s s o n 积分，( $ ，) 所定义的共轭函数是一致的 通过找出适当的带有导数的矩阵矩量泛函，证明了关于具有负的非整数特征 值的参数矩阵的l a g u e r 弛矩阵多项式在此泛函意义下的s o b o l e v 正交性；给出关于 具有负整数特征值的可对角化参数矩阵的l a g t l e 矩阵多项式的适当定义，并证明 这种推广的l a g u e r r e 矩阵多项式关于上述泛函也具有s o b o l e v 正交性 第一章综述 本章介绍与j a c o b i 级数和l a 9 1 l e r r e 级数有关的函数理论的研究进展及本文的 主要研究结果在第一节我们介绍了j o b i 级数的相关内容。包括j 鼢b i 级数的卷 积结构，p j o s s o n 积分和共轭p o i b s o n 积分，h a r d y l i t t l e w 0 0 d 和z y 蛐胁d 理论以及 饱和问题在第二节中我们重点陈述了m l l 凼n h o u p t 关于l a g i i e r 级数的p o 岫o n 积分和共轭p o i 8 n 积分的研究结果第三节主要介绍了l a 9 1 l e r r e 矩阵多项式的有 关内容最后我们给出了本文的主要研究结果 1 1j a c o b i 级数 1 1 1j a c o b i 级数的卷积结构 对实数o ，反口一l ，一2 ，以( 口，励为参数的n 阶j a c o b i 多项式砖邮( t ) 是 ( 见【p 0 l ，( 4 2 1 2 ) 】) 世棚( t ) = c ：勺即 + a + 卢+ 1 a + 1 孚1 其中f 【n ，6 ；c ；t i = 墨。垒崔磐噶是g a u 辐超几何函数( 见旺0 1 ，( 4 2 1 3 ) j ) 熟知。 对口，妒 一1 ，( 砖4 ，p ( ) 墚i o 是在区间( 一1 ，1 ) 上关于权函数( 测度) d p 。口( t ) = ( 1 一t 尸( 1 + ) 4 出 的正交多项式系( 见【p 0 1 ，4 3 1 ) 我们记l p = ( ii ，( t ) i p 咖郇( t ) ) ，以妒= 吃。口( ( 一1 ，1 ) ) 表示满足b p 一1 2 时，j a c o b i 多项式磁一( t ) 的一个重要性质是下面的乘积公 式( 见k o o r n 砒l d e r 嘶l 】) r 亓，t 只乎- 口( t 1 ) j 毋所( 如) = f 丑乎棚( x ) 西月o ，f ) ， ( 1 6 ) j 0j 0 其中 x = ；( 1 + t 1 ) ( 1 + 如) + ；( 1 一t 1 ) ( 1 一屯) + 【( 1 一堵) ( 1 一磅) 】1 ，2 。c f 一1 ，( 1 7 ) 西一( s ， ) = ，口( 1 一s 2 ) 。邓一1 s 筇+ 18 i n 2 4f d 5 武， ( 1 8 ) 郇：丽菥孕孕开而 ( 1 g ) ，42 币厕币二面可r 珂万 p = 瑶t 口( ( 一l ，1 ) ) 中函数，的j a c o b i 展开( 或称f 0 u r i e r j a b i 展开) 是 ，( t 1 ) 一a ”( ，) u 乒r 乎所( t 1 ) ， ( 1 1 0 ) 其中 ， q ( ，) = ，( 如) r 乎，研( t 2 ) 缸。口( t 2 ) ( 1 1 1 ) ，一l 雅克比级数和拉盖尔级数 7 是，的第n 个f o u n * j d b i 系数 当口 口 一1 2 时，基于乘积公式( 1 6 ) 一( 1 9 ) ，相应于j a c o b i 级数的广义平移 算子瓦，( t 2 ( 一1 ，1 ) ) 定义为 驯= f 办x 小， 而函数，和9 的广义卷积是 ， 鲋1 ) 2 上l ，( t 2 ) 死绯1 ) 咖印恤) r 如果n = 卢 一l 2 ，乘积公式( 1 6 ) 退化为单积分， g e 配n b e f 公式 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 得到关于超球多项式的 鼢川( t 1 ) 鼢t 耐( 屯) = 白砖t 。( t l t 2 + ，( 1 一碍) ( 1 一t i ) c o b f ) s p f ( 1 1 4 ) j o 其中c a = 邢高；如果a p = 一l 2 ，( 1 6 ) 退化为另一形式的单积分；如果 口= p = 一1 2 ，( 1 6 ) 退化为余弦函数的积化和差公式这样，我们可以依照对应的 形式写出这些情况下的广义平移和卷积的定义 广义平移和卷积的性质陈述在下面的定理中 定理1 1 设口p 2 一l 2 ，吼h 驴= 瑶口( ( 一1 ，1 ) ) 则 ( i ) 平移算子是关于圮( 一1 ，1 ) 一致有界的正算子，并且正，( 2 ) = 正：，( t 1 ) ； ( u ) ( 五：，) = ( ，) j 龆0 2 ) ，( ，口) = ( ，) ( 9 ) ； ( i i i ) ，9 = 9 + ， ( g ) = ( ，+ g ) ； ( i v ) 0 正。，i b s i f 州p ，i f ，9 i f rs i i ，l | ，j 1 9 ， l r 霉l p + l 叮一1 由b a n a 吐- s t e m h 定理易有下面的收敛性结果， 1 1 盟怫，一刘p ；o p o + 根据定理1 1 ( n ) ，和，t 9 分别具有展开式 死，( t 1 ) 一( ，) 竹1 所踏棚他) 鼢向( t 1 ) ， # 0 ，9 ( t 1 ) 一( ，) ( 9 ) 毋，4 盼所( t 1 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 8 首都师范大学博士毕业论文 注记乘积公式( 1 6 ) 可以写成 ，1 砰，口( t 1 ) 踏，口( t 2 ) = 砖毋( t 3 ) 砒“。【t 3 ) ，一l 根据f g a 8 1 】，i g 2 】，该公式可以扩展至口p 一1 ，口+ p2 1 ，此时实b o r e l 测 度d ，虹慨) 对t l ，t 2 ( 一1 ，1 ) 一致地满足li 砒曲( t 3 ) lsm ，定理1 1 ( i ) ( ) 仍然成 立，只是在( i v ) 中的两个不等式的右侧附上常数因子m ；而且当且仅当卢一1 2 或口+ p o 时。d 魄，t 2 ( t 3 ) o 1 1 2j a c o b i 级数的p o i s g o n 积分和共轭p o i s n 积分 下面我们介绍j a c o b i 级数的p o i 8 0 n 积分和共轭p o i 6 8 0 n 积分 对，p = 必。口( ( 一l ，1 ) ) ，( 1 1 0 ) 是，的j a c o b i 展开，其p o i 8 s o n 积分( 即a b d 平均) 是 ，r ( t i ) = ，( r ，缸) = 一( ，) c - # 所硝? 脚( t t ) 1 1 7 ) = o 函数t ( ，口) = ，( r c 0 b 口) ( ( z ，) = ( r c o s 口，r 8 i i l 口) ) 在上半圆盘 d + = ( z ，f ) ：孑+ 护 o ) 内满足微分方程( 见【l i 2 ，( 2 4 ) 1 ) 其中 口一u 嚣0 ， 吣= 嚣+ 品+ n 小- + 苦斋 南一茜南丢 ( 1 1 8 ) 关于( j a o o b i _ ) p o i s s o n 积分，我们有( 见| l i 3 ，l e i l l m a3 1 ) 9 ，( r ) i i p i p ( 1 1 9 ) ，r ( t 1 ) = ，( r t 1 ) 的积分形式是 ，j ，r ( t 1 ) = ，( r l t l ) = ，( 如) j 母册( t 1 t 2 ) 。缸乜。母( t 2 )( 1 2 0 ) j l 雅克比级数和拉盖尔级数 其中 9 群。，卢o l ，屯) = p ( 。口( r 亡1 ，幻) = 乏二r “乎t 卢r 乎所( t 1 ) 砰芦( t 2 ) ( 1 2 1 ) ，= o 根据定理1 1 及其后的注记，当口2 卢 一l ，口+ p 一l 时，p o i 8 s o n 积分矗( 0 1 ) = ，( r ，t 1 ) 还可以写成卷积形式 ( t 1 ) = ，( r t 1 ) = ，群。所( t 1 ) 2 - 1 ，( t 1 ) ，p 所( 屯) 缸郇( 屯) ， ( 1 2 2 ) ，l 其中 耳。仞o ) = p 陋，卢( r ，t ) = ，“乎卢r 乎口( t ) ( 1 2 3 ) n = ：o 容易看出群“所( t l ，t 2 ) = 辟叩0 1 ) ，即 母脚( t l = z 。z 1 即( x 帆加固， ( 1 2 4 ) 其中x ：x ( t 1 ，t 2 ；s ，f ) 和d m 。口( s ，f ) 由( 1 7 ) ( 1 9 ) 给出我们称群“毋o ) = p ( 口，口( r ，t ) 为( j a c o b i - ) p o i n 核，而称群。卢( t 1 ，t 2 ) 为平移( j a c o 妊) p o i 8 n 核 p 0 i s s o n 核群。脚( ) 的g 超几何函数表示是( 见【b 吼【l i 3 】) 胛= 器f r 斛攀) ；酬一筋， 利用关系式( 见f e m o t ，2 。1 4 ( 2 3 ) 】) f 陋，b ；c ；t 】= ( 1 一t ) 。一。一6 f 【c o ，c 一6 ；c ；t 】， ( 1 2 6 ) p o i s 8 0 n 核戽。脚( t ) 还可以写成( 见【l i 2 ，( 5 3 ) 】) 籼归学f r 等一：；鬻卜。， 利用微分关系( 1 4 ) 或者 丢m ，如；z l = 警f 【d + 1 6 + 1 i c + 1 z 】， 首都师范大学博士毕业论文 我们有 姜班；( 2 n + 2 ) r 母扎m 协 ( 1 2 8 ) 设( 1 1 0 ) 是，p = 必口( ( 一1 ，1 ) ) 的j a c o b i 展开，则其共轭( j a c o b - ) p o i 5 s o n 积 分是( 见【l i 2 ，( 2 6 ) 1 ) 鼬：m m ：量( ，) 一专丢孚啦! 川m ) ( l 2 9 ) 五0 1 ) = m t l ) = r “( ，) 竹月觜啦+ 1 ( 1 2 9 ) 由于( 1 5 ) ，从而有 ( 1 一t ) ” ( 1 + t ) 4 + ，( r ；t ) ：r “( ，烤脚r 妙( s ) p ( s ) ( 1 3 0 ) 若记v ( 毛们= ，( r ，c 0 8 口) ( ( f ) = ( r s p ，r 咖p ) ) ，则它与p d i s s o n 积分u ( 而p ) = ，( r ，o 口) 在上半圆盘d + 内共同满足广义c a u d l y - r i e m n 方程组( 见i 比，( 2 8 ) 1 ) 哿+ 嘉一嚣知一o ， 【1 3 1 ) 【爱一蠡一 。+ p + ，+ 蜘) ；- o 从( 1 3 1 ) 可知，共轭p o i 8 8 积分口( ，) ；，( r c 0 8 口) 在d 一内满足方程 。，一v 一 n + p + + i 窘斋) 嘉。= o c l s 。， 共轭p o n 积分，( r ，t 1 ) 的积分形式是 ， 二( t 1 ) = ，( r t 1 ) = ，( t 2 ) 1 3 ，所( t l ，t 2 ) 地口0 2 ) j l 其中 q ( t l 动：q ( 印) ( 呐：雹一毋毋兰i 暑啦! 肌) ( t 1 ) 砰，所( 钳 0 l 口，口( t 1 ，t 2 ) 被称为共轭( j a c o b i - ) p o i s m 核，它与平移p o i s s o n 核一。所( t l ，如) 的关 系是( 见阻i 2 ，( 2 1 1 ) 】) 盼，肿( t 1 = r 巾姗1 ) 两r ，郇岳盼所m 托 设( 1 1 是，护= 臻，口( ( 一l ，1 ) ) 的ja c o _ b i 展开，我们称级数 ，。妻( ，) 始棚兰i 孚孑r 1 卅飞 ( 雅克比级数和拉盖尔级数 为函数，的共轭j a c o b i 级数 下面介绍与共轭j a c o b i 级数相应的奇异积分 对a 口 一1 2 ，我们定义。广义差分算子” 咖) = j ( 。办x 胍“) ， ( 1 踟 其中x = x ( t l ，t 2 ；8 ，f ) 由( 1 7 ) 式给出，而 捅。p ( s ，f ) ；4 陋+ 1 ) 2 s c o s f 饥。，如) 显然有 l 磊：，( 1 ) i 4 似+ 1 ) 2 丑：( i ，1 ) ( t 1 ) ( 1 | 3 5 ) 而当，是常函数时，龟，；o ，即龟具有消失性质( 或称差分性质) ，因此我们称磊。 为。广义差分算子。 对，口= 吃口( ( 一l ，1 ) ) 和给定的t 2 ，( 一1 ，1 ) ，气，具有展开式( 见| l i 2 ，( 3 3 ) 1 ) 磊：坤。) 。( ，) 堪邶+ 1 ) 冗冀川( t ，) 啦州) ( t 2 ) i 卢习( 1 3 6 ) 特别地，有乘积公式 n ( n + n + 卢+ 1 ) 啦! 4 + 1 ( “) r 翳1 一+ 1 ( 如) 1 一碍、l 一绣 = z ”z 1 妒忪慨州“) ( 1 3 7 ) 我们定义函数 g ( t ) ：( 2 。+ 2 ) i = 石1 。卵+ 1 巧”1 册i ( t ) 如 根据【l i 2 ，p p 1 8 8 - 1 8 9 l ，g ( t ) 是【_ 1 ，1 ) 上的连续函数且 g ( t ) ( 1 一t ) 一口一1 ( 1 + t ) 1 2 ， t 【一1 ，1 ) ， g ( t ) 还具有展开式 g ( t ) 一霎雨等南啦! 啦邶+ 1 ) ( t ) 瓜 1 2 首都师范大学博士毕业论文 现在我们定义截断共轭函数 ，i c 五( t 1 ) = 磊。，( t 1 ) g 他) 如。，口( t 2 ) ， j l 并在主值意义下定义共轭函数 ，( t - ) = 。船。讹) 如果，是适当好的函数，则共轭函数，具有展开式( 1 3 3 ) 关于j a c o b i 级数的p o i s s o n 积分和共轭p o