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5 9 c 8 5 摘要 本论文由六节组成. 第一节给出了小波子空间上抽样定理的发 展状况;第二节呈现出已知结果和准备情况.第三节至第六节是 本论文的主要内容.具体为:第三节构造了一类正交基插值尺度 函数( 简称c o s f ) ， 并证明它们具有指数衰减性; 第四节调查了一般 情况下这类c o s f 的光滑性; 第五节、 第六节分别讨论了两种情况 下这类c o s f 的光滑性和衰减性. 关键字:小波子空间;抽样定理;正交基插值尺度函数;光滑 性;衰减性 ab s t r a c t t h i s t h e s i s c o n s i s t s o f s i x s e c t i o n s . t h e h i s t o r y o f s a m p l i n g t h e o r e m i n w a v e l e t s u b s p a c e s i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 . s o m e r e s u l t s a n d p r e p a r i n g w o r k s a r e s h o w e d i n s e c t i o n 2 . t h e r e is t h e: :、 幼 o r c o n t e n t o f t h is t h e s is f r o m t h e t h i r d s e c t io n t o t h e s i x t h . i n d e t a i l , a c l a s s o f c a r d i n a l o r t h o g o n a l s c a l i n g f u n c t i o n s , w h i c h a r e a b b r e v i a t e d a s c o s f , a r e c o n s t r u c t e d i n t h e t h i r d s e c t i o n , a n d a r e p r o v e d t h a t t h e y h a v e t h e p r o p e r t i e s o f d e c a y ; i n t h e f o u r t h s e c t i o n , t h e r e g u l a r i t i e s o f t h e s e c o s f a r e s t u d i e d i n t h e g e n e r a l i z e d c o n d i t i o n ; u n d e r t h e t w o s p e c i a l c a s e s , t h e r e g u l a r i t i e s a n d t h e d e c a y s o f t h e s e c o s f a r e d i s c u s s e d i n t h e fi f t h a n d s i x t h s e c t i o n s , r e s p e c t i v e l y . k e y w o r d s : w a v l e t s u b s p a c e s ; s a m p l i n g t h e o r e m ; c a r d in a l o r t h o g o n a l s c a li n g f u n c - t i o n ; r e g u l a r i t y ; d e c a y 1 1 1 引言 一般来说，信号可以看成某个变量的函数f ( x ) . 例如， 声音信号是时间的函数， 图 像信号( 灰度， 色彩) 是图像位置的函数. 为了研究方便， 一般将信号f ( x ) 看成是平方 可积函数.记 l ( r ) 表示由所有定义在实数上的平方可积函数组成的空间: l z (r ) 一 、， 人 ， “ (二 )d x 0o 这祥， 一个信号f x ) 在由计算机处理之前或在其它很多 情况下， 必须先对其数字化， 这就要涉及到信号的抽样问题， 所谓抽样， 即用一个序列( 样本) 来表示一个信号. 对这个序列的要求是可以由它 重构原始信号. 对信号抽样有两种方法: 一种方法是把f ( x ) 按它所在空间的一个基作 级数展开， 取展开式系数作为样本; 另外一种方法是直 接用f ( x ) 在一系列离散点仁 n 处的值 f ( t n ) 作为祥本 当f 及 t . ) 满足一定条件时， 存在 s( t ) ， 使得在某种意 义下有 f ( t ) = 艺f ( t n ) s n ( t ) - s ( t ) 称为抽样( 或插值) 函数. 后一种方法是最常用的抽样方法，c d唱片采用的就 是这种方法. 抽样定理在数字信号处理和通信理论中具有重要作用 人们最初研究的是规则抽 样. 所谓规则抽样是指抽样的间隔相同，最为著名的抽样定理是古典s h a n n o n 抽样定 理! ， 古典s h a u n o i 、 定理适用于带限信号， 即当信号f ( x ) 的f o u r i e : 变换限于区 域 - l , l ， 且满足n y q u is t 抽样频率时，f ( x ) 可由它的规则抽样准确重构. 具体描述为: 记s ( x ) 二 s in * z 、 ht 2= ! . 当s u p p f c 卜 t , t 时 ， 则 f ( x ) - 艺f ( n h ) s ( h - 二 一 n )( 1 一 1 ) 但是。由于插值函数是s i n 。 函数，它衰减比较慢，而且现实生活中的信号大多不是带 限的，所以古典s h a n n o n 抽样定理实际中很少用.对干非频谱有限信号，也有类似于 ( 1 .1 ) 的 级数展开， 称之为广义的抽样级数2 1 ,3 1 ， 即当s ( x ) 满足一定条件时， 对于任意 的有界函数 f ， 在 f的连续点x有 f ( x ) =、 l i mh - d + 又f ( r th ) s ( 、 一 x 一 ， )( 1 . 2 ) 小波分析 a 1 出 现以 后， 人们 发现借助于小波分析这个数学工具， . 在小波子空间 中讨论抽样问题，能够使抽样问题得到更好地解决. g . g . w a l t e r首先注意到这 一点， 他把抽样定理推广到多尺度分析的小波子空间中s 1 ， 从此以后有了很多结果 ( 6 1 , 7 1 , 8 ) , f 9 1 , 1 0 1 , 1 1 , 1 2 ) . g . g . w a l t e r 得到的 抽样 定 理为: 设 v i + ai e z 是一 个 正交多尺度分析( z为整数集合) ,w为相应的正交尺度函数， 且满足v ( x ) =o ( it l 一 ) ， 那么对任意函数f ( x ) e v i ， 有 “ ， 一 : f ( 2; ) x (2i一)， ( 1 . 3 ) 这里插值函数x ( x ) 由下式给出 x ( ) = o ( w ) f - , p ( + 2 1; 二 ) ( 1 . 4 ) 其中o (w ) =众w ( x ) e - d x 是 尺度函 数o x ) 的f o u r ie r 变 换， 且对于任意实数。 e r , 有t,m , + 2 。 二 ) 31-1 “ 在网中，y . l i u 和g . g . w a l t e : 将上述命题推广到不规则抽样情形，得到如下结 果: 设 v i , w ) ; e z 是一个正 交多 尺度分析( z为整数集 合) ， w 为 相应的正交尺度函 数， v ( x )=o ( ix l 一 一 ) ， 并设 w可微且 v ( x ) 艺la n l2 0 ， 对任何满足 ( c rl z ， 使得 在一致收敛的意义下成立 f w= 艺j ( 。 + 二 ) s n w, ( d f v o 框架概念的引入在不规则抽样理论中扮演了重要角色， 在一般函数空间中， 框架是一 类能张成整个空问的函数， 它们不一定线性无关， 和r ie s z 基的主要区别在于它们的冗余 性， 这在减少噪声方面有优势. 这方面的研究主要表现在两类: 一类是在带限或在一般平 移不变函数空间中 讨论非规则 抽样问 题， 这方面的文献主 要有( 9 1 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 1 ) 等;另一类是通过定义新的具有某种结构的空间( 如b 一 样条空间) 来解决不规则抽祥 问 题， 这方面的文献主要有“ 1 s 1 , 1 9 1 , 2 0 ) 等. 对这两种情况下不规则抽样理论的讨论 要经常用到框架的知识( 4 ll 本论文主要讨论小波子空间中 规则抽样问题 在满足抽样定理的小波子空间里， 抽 样函数不一定是尺度函数.但是，在某些情况下，尺度函数恰好是抽样定理中的抽样 函数，这给人们处理问题带剩 r 大方便.因此这篇论文构造出一类正交基插值尺度函 数( 简写为c o s f ) . 具体组织如下: 第二节给出一些熟知结果， 做一些准备工作; 第三 节给出一类正交基插值尺度函数，并证明它们具有指数衰减性;第四节调查了一般情 况下这类c o s f的光滑性; 第五节、 第六节分别讨论了两种特殊情况下这类c o s f的 光滑性和衰减性，然后给出了几个例子. 2 准备工作 在这一节中，我们列出本文所需要的相关定义和结论. 定义 1 .一个 正交多尺度分析是l 2 ( r ) 中 的一个闭 子空间列 v i ) i e z 且满足 如下 条件: ( 1 ) .巧c巧 + i + ( 2 ) _ 万v i = l 2 ( r ) ; j 任 z ( 3 ) . n v i = 0 ; ， 任 z ( 4 ) . f ( x ) e巧。f ( 2 x ) 巧 + 1 , 7 e z ; 同， v a 中存在一个函数0 ( x ) ， 使得v ( x ) 的整平移 w ( x 一 k )k e z 构成v o 的 一个标准正交基.相应地，称侧x ) 为正交尺度函数 定义 2 .如果对于f ( x ) e v o ， 存 在 a k k e z 引2 ( z ) = c !e n 护 十 o c ， 使得 f ( x ) = 艺a o p ( x 一 k ) ,( 级 数 收 敛 在l 2 ( r ) 意 义 下 ) ， 并且存在常数a , b , 0 ab00， 使得 那么称 侧x 一k ) a 艺i,k 12 .kk z 构成毗 的一个标准 正交基， 从而 呜 ，* j , k z 构成l 2 ( i r ) 的一个标准正交基. 我们称由( 2 . 8 ) 式所定义的函数o ( x ) 为小波函数. 以后 我们说到小波即是说有一个小波函数7p和一个与之对应的尺度函数lp ( 多分辨函数) . 对于f ( x ) e l 2 ( r ) ， 由( 2 . 7 ) 式可知，f ( x ) 可以表示成如下形式: f ( x ) =艺 a tl ,k w 1 ,k ( x ) +( 2 . 1 0 ) k =一。 f (x ) =艺 艺 艺 q j ,k v) j ,k ( x ) , t 7. , j =亡 k =-o c 又 r i ,k o j ,k (x ) ,( 2 . 1 1 ) 了 二一oo k =一， 其中 o il、 一 f f (二 ) 鸣 ,k ( x ) d x , a l ,k = f f (x )v l,k (x )d x ( 2 . 1 2 ) ( 2 . 1 0 ) , ( 2 . 1 1 ) 称为f ( x ) 的小波展开( 它们是在l 2 ( r ) 的意义下成立) . 而( 2 . 1 2 ) 称为 f ( x ) 的小波系数. 为了保证尺度函数和小波的光滑性， d k h ( w ) 一般要对h 佃 ) ( 或h k ) 施加下面条件: , j . . k =0 , 0三kp一1 , ( 2 . 1 3 ) 或等价地 又( 一 1 ) k k - l ak = 0 , 7n = o , 1 , . . . ， ; 一 1( 2 . 1 4 ) 进一步，我们给出如下定义: 定义3 .如果正 交尺 度函数w ( x ) 满足cp ( n ) 二 d o ., ( n 别= ( 、=( ) ) ( ， : .140 ) 那么称 11cu 产!、.、 这个尺度函数为正交基插值尺度函数，简称为c o s f 下面先证明一个结论，它给出了一个正交尺度函数是抽样函数的充要条件. 性质 1 .若,p ( - ) 是一个正交尺 度函数， 那么它是c o s f 当且仅当对于任意的 f ( a ;) e v i ( jz ) ， 有下式成立 f ( ) 一 f ( 2 j ) v (2 一， 证 明 断 言 : 正 交 尺 度 函 数v ( x ) . c o s f 等 价 于艺v ( a ) e - *“ 三 ( n w ) . 事 实 上， 显 然由* ( 二 ) 是c o s f 推出又、 ( 二 ) e - i“ 三 1 钾。 ) . 另 一 方面又,p ( n ) e 7 不 拓一 1 ( v w ) 蕴含 a o ) + 艺， ( 。 ) 。 一 ，“ 三 1 n 拼0 ( a o ) 一 1 ) + 艺w ( n ) e - 三 0 . o 护0 而 e i n w 是线性无关的， 所以v ( 司= so, 现在利用断言证明性质 1 由正交尺度函数v ( 幻是 对 vf ( x ) e v , ( m )有 首先看必要性: c o s f 可知，文献15 1 中 抽样定理的条件满足，所以 其中戈 ( 。 ) =艺 b ( w “ ， 一 e ( n )f t j x (2n一， 聋 丽 由 ” o isso n 求 和 公 式 及 条 件 可 知 ， f (p (w 2 r eir) 一 艺v (n ) e - 1 ( v w ) ， 因 此x ( w ) = aw ) ， 从而x ( x ) = v ( x ) . 所以对f ( 二 ) e v j ( p ) ， 有 “ ， 一 耳 2 j v (2j 一， 充分性: 令j =0 ， 则已知的条件为 f ( x ) = 艺f (,)v ( z 一 。 ) ， (v f ( t ) e v o ) 特别 w ( x ) _ w ( n ) w ( 二 一 n ) ( 2 . 1 5 ) 因此由 ( 2 . 1 5 ) 可知， w ( x ) ( 1 一 ， ( 0 ) ) = 艺、 ( 。 ) 、 ( 二 一 ， ) ， n 拼o 从而 ( 一 w ( o ) ) 二 ， n 笋 o 即 ( 1 一 ， ( 0 ) ) 一 艺 n 护o w ( 司 =。 ， 这推得 ,p ( 0 ) =1 把w ( 0 ) =1 代入( 2 . 1 5 ) 式有 e,p ( n ) w ( 二 一 司一 “ n 护0 由 于 cp ( x 一 。 )是线 性无关的， 故w ( n ) = 0 ( n 7 0 ) ， 所以w ( n ) 二g o . . 性质1 证毕. 1 9 9 3 年，x i a 和z h a n g s 给出了判断一个正交尺度函数是c o s f 的充 要条件， 即 定理 1 .如果w ( x ) 是 正交尺度函数， 且实序列 h k ) k e z 满足 = 又h k cp ( 2 x 一 k ) , ( 2 . 1 6 ) 那么 这里 w ( x ) 是 c o s f当且仅当 + 2 h (2 w )一 ( 2 . 1 7 ) 1一2 h ( w ) 一 告 艺h k e ik u ， h ( w ) h k e i k , ， i s 、 二 1 2 k + 1 , 方 ( w ) i 三1 俐h(ap屯 为完整起见，这里给出证明的轮廓， 证明:先看必要性: 因为v ( - ) 是c o s f ， 所以w ( n ) =气。 ， 又因为实序列 h k ) k c z 满足( 2 . 1 6 ) 式， 因此有 h o =1 , h 2 k =0 ( k尹0 , kz ) .( 2 . 1 8 ) 令h k =h 2 k + 1 , k z . 根据( 2 .5 ) 式和( 2 . 1 8 ) 式有 又 ilk 二 1 ( 2 . 1 9 ) 由( 2 .4 ) 式和( 2 . 1 8 ) 式得 ( 2 . 2 0 ) 艺 h k h k + m = 0 ,。 尹 。7 n任z.( 2 . 2 1 ) h i ( w ) 一 又h 、 e ik k e 那么( 2 .2 0 ) 式和( 2 .2 1 ) 式等价于 i h(w ) 卜 1 , ( v 。 r ) 所以 h ( w )= 告 艺h k e ik w = h o2+ 告 又h 2 * 十 1 e i(2 k t 1 )w 一 2 + 2 ( 艺h k e 2 ik , ) e 二 =i2 + 2 h ( 2 w ) e iw 充分性 利用2 1 中的结论:正交尺度函数w ( x ) 是 c o s f等价于低通滤波器系数 h k ) k c z 满足( 2 . 1 8 ) 式，所以充分性显然成立. 推论 1 一个正交尺度函数w ( - ) 是紧支的c o s f 当且仅当存在k o c z . 使得h 。 二 l . l i 2 k + 1 =1 ， 当丸 为 其它值时，h k = 0 . 证明:推论 1 的必要性是显然的，下证充分性. 如果正交尺度函数 o ( x ) 是紧支的 c o s f ， 那么，由定理 1 可知 l ft (- ) 卜 又h e x + 1 e k , 卜1 , (v 、 : r ) 而且只有有限个1 1 2 k + ， 不为零，所以存在整数n l , n 2 、 使得 n2 h ( 2 ) = 1 艺h 2 k + 1 8 ik w l = 一n, .n , +a 2 艺 h 2 (* 一 、 , ) + l e ik w 卜1 故存 在k o e z ， 使 得h o =1 , 场 k . + 1 = 1当k 为 其它 值 时 ，h 、 二 0 . 这 就完 成了 必 要 性 的证明. 定理2 .一 个 紧 支 的c o s f o ( x ) 一 定 是h a a r 尺 度 函 数x (o ,l ) ( 二 ) ( 0 , 1 ) 上 的 特 征 函 数 ) . 证明 因为w ( x ) 是紧支的c o s f ， 所以由 推论1 知， 存在k o e z ， 使得 h o = 1 , h 2 k o + 1 =1 , h= 0 , ( 。 为 其它 ) ， 这推得 h( w ) =2+ 告 一 2ko+ 1)w 若记h 川叫 为h a a : 小波的低通滤波器则 h h (w ， 一 ; 因此 h( w ) =h h ( ( 2 k o +1 ) m ) w ( - ) 1 1 “ cjh (2 k )k- 1 2 无 。1 +i ) w. h h ( 一 一 币 万 一- j 留n =必 h ( ( 2 k o +1 ) m ) 所以对上式两边做逆 f o u r i e r 变换得 w (- ) 一 篇 牛 二 j z e c o十 1 i x whg 厂一下 - 1 lti0 - 卜 上 下面确定k 。 的值.由w ( 0 ) =kp h ( 0 ) =1 知，12 k o +1 i =1 ， 因此k o =。 或k o =一 1 当k 。 二。 时，p ( x ) =p u ( x ) ; 当k o =- 1 时，p ( - ) = w h ( - x ) ， 这是负二 轴上的h a a r 函 数，无论任何情况均有w ( x ) a- h a a r 尺度函数 定理2 证毕， 定理1 是本论文的基础， 我们将利用定理1 给出一类正交基插值尺度函数， 并讨论 其相关性质. 3一类正交基插值尺度函数 n i i h . ( ) 一 。 ,ai, 1 1 k = 1 b k 为实的且a k i 别叫， 1 k n， a k +b k e - b k+a k e ( 3 . 1 ) 其中a k 为: me z , n为自 然数. 相应地定义h n ( 叫 1一2 hn ( w ) + 1 -2 h n (2 w ) e ( 3 . 2 ) 因为 ih n (w ) i = fl a k + b k e s4 _ d k十 a k e . w a k + b k e _ a k十 o k e - w 、n目 所以 对任意。 e i t ， 有岛 (w ) i -_ 1 . 这 样， 根据定理1 可 得 定理 3 .假设h, ( w ) 和h n ( w ) 分别由( 3 . 1 ) 式和( 3 .2 ) 式定义. 如果 h n ( w ) = z e k h k e ,k m那么当( 2 . 1 ) 式 定 义 的 函 数w ( x ) 是尺度 函 数时 ，p ( - ) 一定 是c o s f . 规定:由 定理3 构造出的尺度函 数记作v n ,m w 现讨论定理3 中尺度函数v n ,m ( x ) 的衰减性. 先考虑特殊情况:。 * 二0 , 1 k n . 此时由( 3 . 1 ) 式可得b k 6 0 ， 因 此有 ha (w ) = e i (n 1 + n )w 由( 3 .2 ) 式可知， h n ( w )+ 王 e 2 (n 1 + n ) + 1 2 12 故。 一 1 , 11 2 ( n l + n ) + ， 一 1 , ilk = 0伏01 。 且k 0 2 ( m + n ) + 1 ) . 根 据 推 论1 和 定 理2 知，这种情况下由定理3 得到的尺度函数是紧支的c o s f ， 即h a a : 尺度函数. 其次考虑a k 尹。 ， 1 k n的 情形.又分为三种情涅: 第一种:ib k l 7 la d t。 ， 令z =e - ， 则( 3 . 1 ) 式化为 f ( z ) 一 : m 7 -j a k +b k z 帐 +a k z 由( 3 . 1 ) 式知， 对1 k n , b k + a k : 均不为0 ， 故f ( z ) 在一个包含单位圆的区 域内 解析，从而它可以展成罗朗级数 f ( z ) = 又9 k z k 先看 w k 的衰减性.由残数定理得 /n d . r i - 1一 一 m i n .、，“ 瓜 天i 1 ( f )一 乙i v t /了一:一! 正 二 u k 十a k z / 其中c , a * 为常数. 现考虑上式括号内和式的第k o 项的罗朗展开中系数序列的衰减性. 情形 1 : la k p l ib k 。 卜 “ 一” 指 数 衰 ” 的 ， 由于 且h k l o ( 1 +k 2 ) - 1 1_1 b k p + 不下一 p k p z( 1 1t+0kn一 = ( a k p 之 ) 一 (一 )“ 1 bkp ik : 一 * a k p 1丛势艺 一。 - 1k,. 于 (一 1 ) k 1 b k o 1 k : 一 (k + l) 一k = 0 k . 所 以 序 列 .il.k i 一 - l 6 k_ ko ( ako ) 也 是 指 数 衰 减 的 ， 而 且 ，h k l o (1 + k 2)- 因 此 有 性质 2 k 2 ) 一 . 由于 第“ 。 项石 瓦 六 kp z 的罗朗展开中系数序列是指数衰减的， 且jh k j o ( 1 + f ( 二 ) 一 z a i c + 艺艺h , k - + n 一e 9 k z k , k =1t,gz 所以al 是指数衰减的，且 lj k l o ( 1 十k 2 ) 一 因此这种情形下由定理3 构造出的尺度函数(p n ,n 4 w 是指数衰减的 ( 6 1 ) 第二种:b k = 0 , 1 k n . 此时由( 3 . 1 ) 式得 h n (m ) = e k (m - n ) 再由 ( 3 . 2 ) 式知， 、 (。 ) 一 ;+ 里 e (2 ( a 一 、 )+ 1iw z 故h o = 1 , h 2 (n f - n )+ ， 一 1 , h k = 0 (k 7 0 且k 7 2 (m一 n ) + 1 ) . 根 据 推 论1 和 定 理2 知，这种情况下由定理3 得到的尺度函数是紧支的c o s f ， 也即h a a : 尺度函数. 第三种:有。个b k 0。 ， 。e z且2 ， ， ( n一1 ) ， 对应有。 个 b k =0 ， 二 +， 。 =n. 不妨设前， n个b 、 不为。 ， 则 ( 3 . 1 ) 可化为 h n (w ) 一 e (a 一 )e1 1 1 a k 十b k e - b k +a k e - 由于mn ， 所以类似于第一种情况的讨论知:这种情形下由定理3 构造出的尺度函 数v n , d d ( .r ) 也是指数衰减的. 最后考虑: 有p 个a k 0。 ， p e z且2 p ( n一1 ) ， 对应有q 个。 、 二。 ， p +q =n . 还不妨设前p 个a 、 不为。 ， 则( 3 . 1 ) 式可化为 方 ,v ( w ) = e (n r + q )i, a k +b k c i w 1 1 f . k -1 k丁 “ k 0 由p n知， 这种情形就转化为上面的情形. 总结以上各种情况可得: 性质3 .由 定 理3 构 造出 的 尺 度函 数ip n ,n r ( x ) 是 指 数衰 减的 . 注 若( 3 . 1 ) 式中条件a k l y l b k l , 1 k n放松为: 在( 3 . 1 ) 式乘积的表达式里 有r 项( r z , 1 r n ) ， 使得a k i 3 , ib k i， 这时定理3 与 性质3 的结论仍然成立. 事实 上， 不 妨设 前， 项的a k l 另 lb k l， 再设 后s ( s + r = n ) 项中 有s 1 项的a k = b k , : : 项的 a k =- 6 k ， 那么( 3 . 1 ) 式可化为 h n (w ) 一 ( 一 1 ) 一 e01. 1 1 a k +久e a w b k + a k e ,w 因为二 n， 所以类似于上面讨论得 此时定理3 与性质3 仍成立， 歼定理3 中一般情况下so n ,a 1 ( x ) 的光滑性 本节讨论定理 具有一阶光滑性， 3 中尺度函数的光滑性. 对一般自 然数n ， 为了使定理3 中的p a ,a 1 ( 劝 h n ( w ) 应满足如下条件: d h n (w ) _ d w。 = ， 下面要找出在( 4 .1 ) 式条件下a k , b k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) 与m的关系.令 “ 一 h n (2 w ) e iw 一 e (2m + t)w 1 1 a k +b k e 2 i w b k +a k e 2 i w 则两边取对数后得 i ii 、 一 ( 2 m+ 1 ) iw + 艺in ( a k + b k e 2 iw ) 一 又l n ( b k + a k e 2 iw ) , 进而对 。求导有 ( 2 m+ ， ) + 又 2 i b k e 2 i w a k +b k e 2 i w y - n 2 i a k e 2 iw b k +a k e 2 i w r.1.l 军 -一 百r 岁 在上式中令。= n , 那么由( 4 . 1 ) 和( 3 .2 ) 两式知 一 k:一馨 1一 ，)k(b )一 (一 )*一 (苦 )*一 一 / 一 ，? 一 ” “ + 7k= 1一 “ 苦 ，一 子 一 1。一 m + k)w 所以，当k =1 , 2 , - 护一夕 日 寸 ， h a r 一 苦 , h m + * 一 (一 ， )k (b )、 一 当k 为其它值时，i lk = 0 . 因此， 当k =1 , 2 , 时， la。 一 , h 2n r+ l 一 誉 r h 2 (m + k )+ ， 一 (一 )“ (苦 ) 一 -一1 , 当k 取其它值时，i l k =0 然后讨论尺度函数w i x w 的光滑性. 当n二1 时，系数只有a , b , m， 则 ( 4 .2 ) 式和 4 .6 ) 式变为: ab 2 m +3 2 m一 1 ( 2 m+1 ) +2 ( b 一 。 ) 1 3 a+ b a b ( b 一a ) ( a + b ) 3 ( 5 .3 ) ( 5 滩 ) 这样，分别由定理 3 和定理 4 可得 推论 2 .假设h t ( ) 和h , ( - ) 分别由恤1 ) 和( 5 .2 ) 两式所定义， 且。 , b 及h满足 ( 5 .3 ) 式定义: , i，一 。 ， = 亘 h ( 2k ) 如果w i .m w 构成尺度函数， 那么w i ,n f ( x ) 一定是连续的c o s f，且对应的h k 满足 ( 2 . 1 4 ) 式，其中p =3 饥二。 , 1 , 2 注 本文的推论2 比 文献6 中 推论3 的光滑度提高了一级 推论 3 .假设h i ( - ) 和h , ( w ) 分别由( 5 . 1 ) 和( 5 .2 ) 两 式所定义， 且。 , b 及m满足 ( 5 .4 ) 式.定义: ,p i,m (- ) 一 愈 h 2k / 如果0 1 , a f ( x ) 构成尺度函数， 那么 w 1 - 4 1 ( x ) 一定是连续的c o s f， 且对应的h k 满足 降1 4 ) 式，其中p 二4 , m=0 , 1 , 2 , 3 . 最后讨论 0 1 ,a i ( x ) 的衰减性， 由 前 面 的 讨 论 可 知 ， jh k 是 指 数 衰 减 的 ， 而 且 它 的 衰 减 性 与 ( m in a , b ) k 成 比 例，注意到 m in i2 a f- 12 ni + 3+ 3 一 ， 1222a9 - 1 在 m =1 或 m = =1 ( 或m= - 2 时达到最小值1 / 5 ，所以推论3 构造出的这类函数w i , m ( x ) 中， 当h 最好的衰减性. - 2 ) 时函数w l a x ) ( 或p l ,- 2 ( x ) ) 具有 下面给出几个具有一定光滑性和衰减性的尺度函数的例子. 当m =1 时， 1 15一e 2 - 。1 _ h, ( w) =于+于 于 一二 二 - 一e d 1 w=立丫 。 i k w 2 . 2 5 e 2 “ 一 i 一2 分 k - 其中 1 1 0 =i h 3 一; ， h 3- 2k15k 1 ,k 一 2 ( 5 . 5 ) 理” 当h 二一 2时， 艺k 12 hi ( w ) i 1 1 一5 e 2 i w 二 万 十 2 ， e 2 - - 万 e - 3 i wh k e ik w 这里 h o =1 , 1 1 - 3=一 ; , h 2、一 3 - ( 5 . 6 ) 勺 毛了 ，l - 无 类似于文献 圈中定理3 的证明，容易得至 小 定理。假 设 序 列 。 、 * 由( 5 .5 ) 或( 5 .6 ) 定 义 令h i (w ) = 告 艺 k h k e k , 和 w i ， ， ( 。 ) = 则 (p l a 1 ( x ) 是一个连续的 c o s f ， 且对应的 亘 h 1 份 h 、 满足俘1 4 ) 式， 其中。二0 , 1 , 2 , p =3 例利用定理5 的方法可以 证明，由 推论3 构造出的函数w i ,o ( x ) 也是一个连续的 c o s f ， 且满足 ( 2 . 1 4 ) 式，其中二=0 , 1 , 2 , p二3 % n = 2 时定理3 中0 2 ,a 9 幻的光滑性和衰减性 当 n=2时， fl,( ， 一 “ 曰 ( a l +石 t e e m b i +a t e - a 2 +石 2 e - b 2 +1 2 0 ( 6 . 1 ) 了子.胜1、 、11产 因此 h 2 (w ) 一 12 + 盖 h 2 (2 w )一 ( 6 . 2 ) 这种情况下( 4 . 2 ) 式和 ( 4 . 6 ) 式分别对应为 ( 2 m +5 ) b t b 2 +( 2 m +1 ) ( b t +b 2 ) +( 2 m 一3 ) a l a 2 =0 ,( 6 3 ) i (2m + 1) + 睿 2 ( b 、 一a k ) a k +b k 1 6 子a k b k (b k - 华 昌( - k +6 k ) ( 6 . 4 ) -一 3 ，.lesesj 所以分别由定理 3 推论 4 .假设 m满足( 6 .3 ) 式 和定理4 可得 几(。 ) 和热(。 ) 分 别由( 6 . 1 ) 和( 6 .2 ) 两 式 所定 义 ， 且。 1 , b i , a 2 , b : 及 定义: 0 2,11回 一 k= 1* ( zk) 如 果w 2 ,a f ( x ) 构成 尺度函 数， 那么ip 2 ,a f ( x ) 一定 是 连续的c o s f ， 且 对 应的h k 满足 ( 2 . 1 4 ) 式，其中p 二3 , m=0 , 1 , 2 . 推论 几 了满足 5 .假设 ( g .4 ) 式. h 2 司和场( 闭分 别由( 6 . 1 ) 和恤2 ) 两式所定义， 且a 1 , b 1 , a 2 , b 2 及 定义: (p2,af (w ， 一 应 h 2 2k 如果v 2 ,a f ( x ) 构成尺度函数， 那么w 2 ,a f w 一定是连续的c o s f ， 且对应的h k 满足 ( 2 . 1 4 ) 式，其中p二4 , r n = 0 , 1 , 2 , 3 . 注本文 在文 献6 1 的 基 础 上 构 造了 一 类正 交 基 插值 尺 度函 数 ， 而 文献6 1 中 的 几 个定理都是本文定理的特殊情况，并给出了一般形式的具有尸=3 和4 级光滑性的一 类c o s f，比原论文中提高了2 级. 致谢 感谢导师李登峰教授的悉心指导，特别感谢许以超研究员、李金平教授对我学习 上的指导;最后感谢河南大学研究生处和数学与信息科学学院为我提供良 好的学习环 境 参考文献 1 c . e . s h a n n o 工 i , c o m m u n i c a t i o n i n t h e p r e n s e n c e o f n o i s e , p r o c . i r e , 3 7 , 1 0 - 2 1 , 1 9 4 9 . 2 p . l . b u t z e r a n d r . l . s t e n s , s a m p l i n g t h e o r y f o r n o t n e c e s s a r i ly b a n d - l i m i t e d f u n c t io n s a h i s t o r i c a l o v e r v i e w , s i a m r e v i e w , 3 4 , 4 0 - 5 3 , 1 9 9 2 3 p . l . b u t z e r , w. s p l e t t s t o b e r a n d r . l . s t e n s , t h e s a m p l i n g t h e o r e m a n d l i n e a r p r e d ic t i o n i n s i g n a l a n a l y s i s , j b e r . d . d t . ma t h . - v e r e i n , 9 0 , 1 - 7 0 , 1 9 8 8 4 1 5 g 卜 d a u b e c h i e s ， t e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s , s i a m, 6 1 , p h i l a d e l p h i a ， 1 9 9 2 g. w a l t e r a s a m p l i n g t h e o r e m f o r w a v e l e t s u b s p a c e s , i e e e t r a n s . i n f o r m . t h e 3 8 , 8 8 1 - 8 8 4 , 1 9 9 2 6 x . g . x ia a n d z . z h a n g ， o n s a m p l i n g t h e o r e m， w a v e l e t a n d w a v e l e t t r a n s f o r m s , i e e e t r a i l s . s i g n a l p r o c e s s i n g , 4 1 , 3 5 2 4 - 3 5 3 5， 1 9 9 3 . 7 a . j . e . m. .j a n s s e n , t h e z a k t r a n s f o r m a n d s a m p l i n g t h e o r e m s f o r w a v e l e t s u b s p a c e s i e e e t r a n s . s i g n a l p r o c e s s i n g ， 4 1 , 3 3 6 0 - 3 3 6 5 , 1 9 9 3 8 y . l i u , i r r e g u l a r s a m p l i n g fo r s p l i n e w a v e l e t s u b s p a c e s , i e e e t r a n s . i n f o r m . t h e o r y , 4 2 6 2 3 - 6 2 7 , 1 9 9 6 9 y . l i u a n d g . g . w a l t e r ， i r r e g u l a r s a m p l i n g in w a v e l e t s u b s p a c e s , j . f o u r i e r a n a l . a p p l 2 ( 2 ) , 1 8 1 一 1 8 9 , 1 9 9 5 1 0 i . o j o k o v ic , p . p . v a id y a n a t h a , g e n e r a l i z e d s a m p l i n g t h e o r e m s ， :、 n m l t l r e s o l u t io n s u b - s p a c e s , i e e e t r a n s . s i g n a l p r o c e s s i n g , 4 5 ( 3 ) , 5 8 3 - 5 9 9 , 1 9 9 7 1 1 w. c h e n , s . i t o h , j . s h i k i , i r r e g u l a r s a m p l i n g t h e o r e m s f o r w a v e l e t s u b s p a c e , i e e e t r a n s i n f o r m . t h e o r y , 4 4 ( 3 ) , 1 1 3 1 - 1 1 4 2 , 1 9 9 8 2 7 1 2 x . z h o u , w. s u n , o n t h e s a m p l i n g t h e o r e m f o r w a v e l e t s u b s p a c