2018年高考数学课标2理科真题.doc

1.(2018年新课标理)( )A.i B.i C.i D.iD 【解析】i.2.(2018年新课标理)已知集合A(x,y)|x2y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.4A 【解析】当x1时,y22,得y1,0,1；当x0时,y23,得y1,0,1；当x1时,y22,得y1,0,1.所以集合A中元素有9个.3.(2018年新课标理)函数f(x)的图象大致为( ) A BC DB 【解析】f(x)f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x1时,f(1)e0,排除D；当x时,f(x),排除C.故选B.4.(2018年新课标理)已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)( )A.4 B.3 C.2 D.0B 【解析】由题意,a(2ab)2a2ab213.5.(2018年新课标理)双曲线1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.yx B.yx C.yx D.yxA 【解析】依题意,e,则,所以双曲线的渐近线方程为yxx.故选A.6.(2018年新课标理)在ABC中,cos ,BC1,AC5,则AB( )A.4 B. C. D.2A 【解析】cos C221,由余弦定理,得AB4.7.(2018年新课标理)为计算S1,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A.ii1? B.ii2? C.ii3? D.ii4?B 【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是SNT,则在空白处应填入“ii2?”.8.(2018年新课标理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. B. C. D.C 【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p.9.(2018年新课标理)在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.C 【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),(1,0,),(1,1,).设异面直线AD1与DB1所成角为,则cos .故选C.10.(2018年新课标理)若f(x)cos xsin x在0,a是减函数,则a的最大值是( )A. B. C. D.C 【解析】f(x)cos xsin x(sin xcos x)sin.由2kx2k(kZ),得2kx2k(kZ).取k0,得f(x)的一个减区间为.由f(x)在0,a是减函数,得a0,a是减函数,所以a的最大值是.11.(2018年新课标理)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x),若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)f(50)( )A.50 B.0 C.2 D.50C 【解析】f(x)是奇函数,且f(1x)f(1x),f(1x)f(1x)f(x1),f(0)0,则f(x2)f(x),则f(x4)f(x2)f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.f(1)2,f(2)f(0)0,f(3)f(12)f(1)f(1)2,f(4)f(0)0,则f(1)f(2)f(3)f(4)20200,则f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)f(1)f(2)202.12.(2018年新课标理)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C的离心率为( )A. B. C. D.D 【解析】由题意知A(a,0),F1(c,0),F2(c,0),直线AP的方程为y(xa).由F1F2P120,|PF2|F1F2|2c,则P(2c,c),代入AP的方程,整理得a4c,C的离心率e.13.(2018年新课标理)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_.y2x2 【解析】y2ln x,y.当x1时,y2,曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为y02(x1),即y2x2.14.(2018年新课标理)若x,y满足约束条件则zxy的最大值为_.9 【解析】作出可行域如图.zxy可化为yxz.当直线yxz过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z549.15.(2018年新课标理)已知sin cos 1,cos sin 0,则sin()_. 【解析】由sin cos 1,两边平方,得sin2cos22sin cos 1, 由cos sin 0,两边平方,得cos2sin22cos sin 0, ,得22(sin cos cos sin )1,即22sin()1,解得sin().16.(2018年新课标理)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45,若SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为_.40 【解析】由题意可得sinAMB.SSAB|SA|2sinAMB5,即|SA|25,解得SA4.SA与圆锥底面所成角为45,可得圆锥的底面半径为42,则该圆锥的侧面积4440.17.(2018年新课标理)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a17,S315.（1）求an的通项公式；（2）求Sn,并求Sn的最小值.【解析】（1）设等差数列an的公差为d.S33a13d3(7)3d15,解得d2.ana1(n1)d72(n1)2n9.（2）Snn28n.Snn28n(n4)216,当n4时,Sn有最小值为16.18.(2018年新课标理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:9917.5t.（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【解析】（1）对于模型,当t19时,30.413.519226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.对于模型,当t9时,9917.59256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.（2）模型得到的预测值更可靠.从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,利用模型的预测值更可靠些.19.(2018年新课标理)设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.（1）求l的方程；（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【解析】（1）抛物线C的焦点为F(1,0).当直线的斜率不存在时,|AB|4,不合题意.设直线AB的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去y,得k2x22(k22)xk20,x1x2,x1x21.由|AB|x1x2p28,解得k1.直线l的方程yx1.（2）由（1）得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.20.(2018年新课标理)如图,在三棱锥PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O为AC的中点.（1）求证:PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【解析】（1）证明:ABBC2,AC4,AB2BC2AC2,即ABC是直角三角形.又O为AC的中点,OAOBOC.PAPBPC,POAPOBPOC.POAPOBPOC90.POAC,POOB,OBAC0,PO平面ABC.（2）以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.易知A(0,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),(2,2,0).设(2,2,0),01,则(2,2,0)(2,2,0)(22,22,0),则平面PAC的一个法向量为m(1,0,0).设平面MPA的法向量为n(x,y,z),则(0,2,2),则n2y2z0,n(22)x(22)y0.令z1,则y,x,即n.二面角MPAC为30,cos 30,即,解得或3(舍去).n(2,1),(0,2,2).PC与平面PAM所成角的正弦值sin |cos,n|.21.(2018年新课标理)已知函数f(x)exax2.（1）若a1,求证:当x0时,f(x)1；（2）若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.【解析】（1）证明:当a1时,f(x)exx2,则f(x)ex2x.令g(x)ex2x,则g(x)ex2.令g(x)0,解得xln 2.当x(0,ln 2)时,g(x)0；当x(ln 2,)时,g(x)0.g(x)g(ln 2)eln 22ln 222ln 20.f(x)在0,)单调递增,则f(x)f(0)1.（2）f(x)在(0,)只有一个零点,等价于方程exax20在(0,)只有一个根,即a在(0,)只有一个根,转化为ya与G(x)的图象在(0,)只有一个交点.易得G(x).当x(0,2)时,G(x)0；当x(2,)时,G(x)0.G(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增.当x0时,G(x)；当x时,G(x).f(x)在(0,)只有一个零点时,aG(2).22.(2018年新课标理)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解析】（1）曲线C的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为1.直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程为xsin ycos 2cos sin 0.（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程,整理得(4cos2sin2)t2(8cos 4sin )t80,则t1t2.由于(1,2)为中点坐标,0,则8cos 4sin 0,解得tan 2.直线l的斜率为2.23.(2018年新课标理)设函