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1987 第四届全国初中数学联赛 第一试 一、选择题 1已知实数a，b，c满足0abc，8abc ，那么 111 abc 的值（ ） A是正数 B是零 C是负数 D正、负不能确定 2在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和 最小的点（ ） A可以是直线AD上的某一点 B只是B点和C点 C只是线段AD的中点 D有无穷多个 3如图，AB是半圆的直径，O是圆心，CDAB，DEOC，如果AD，BD和CD的长都是 有理数，那么命题 甲：OE的长是有理数 乙：DE的长是有理数 丙：图中所有字母表示的线段的长都是有理数 （ ） A只有甲正确 B只有乙正确 C只有甲、乙正确 D甲、乙、丙都正确 4已知方程|1xax有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ） A1a B1a C1a D非上述答案 5已知四边形ABCD内有一点E，连接AE，BE，CE，DE，将四边形ABCD分成四个面积相 等的三角形，那么命题 甲：ABCD是凸四边形 乙：E是对角线AC的中点或对角线BD的中点 丙：ABCD是平行四边形 在以上三条中 A只有甲正确 B只有乙正确 C甲、乙、丙都正确 D甲、乙、丙都不正确 6把由 1 开始自然数依次写下去，直写到第 198 位为止： 198 123456789101112 位 ，那么这个数用 9 除的余数是 A4 B6 C7 D非上述答案 二、填空题 1在三边长是连续自然数，周长不超过 100 的三角形中，锐角三角形的个数是_ 2 设a，b，c分别是ABC的三个角A，B，C所对边的长， 而且60A ， 那么 cb abac 的值是_ 3 a表示不大于数a的最大整数例如 21 ，22 ， 那么方程 1 312 2 xx的所有根的和是_ 4设自然数n有下面性质：从 1，2，n中任取 50 个不同的数，这 50 个数中必有两个数之差 等于 7，这样的n最大的一个是_ 5有个五位数的正奇数x，将x中的所有 2 都换成 5，所有 5 都换成 2，其他数字不变，得到一 个新的五位数，记作y若x和y满足等于2(1)yx，那么x是_ O E D C BA 太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮 欢迎加入太原初中数学联赛群：1 2 9 5 2 8 4 7 2 ，一起学习数学 第二试 一、当a、b为何值时，方程 222 2(1)(3442)0 xa xaabb有实根？ 二、已知：D是ABC的边AC上的一点，且:2:1AD CD，45C，60ADB求证：AB是 BCD的外接圆的切线 三、已知存在正整数n，能使数1111 n个 被 1987 整除，求证：数 1 111 n p 个 9 99 9 n个 8 88 8 n个 7 77 7 n个 和1111 n q 个 9999 n个 8888 n个 7777 n个 都能被 1987 整除 1987 第四届全国初中数学联赛 答案 第一试 一、选择题 1C 【解析】 8abc a，b，c全不为 0 又0abc，则有 2222 ()2()0abcabcabbcca 222 0abc 0abbcca 故 111 0 8 abbccaabbcca abcabc 故选 C 【点评】 此题要充分利用题目中给出的实数a，b，c之间的关系，8abc ，0abc，通过通分 可以看出只要知道abbcca的正负值便知道()abc的平方便知道abbcca的值为负， 这其中公式 2222 ()2()abcabcabbcca需要大家牢记 2D 【解析】 易证明：线段BC上的每一点到四点A，B，C，D距离之和都等于ADBC，且平面上任 一点到A，B，C，D距离之和最小为ADBC 因此平面上任一点到A，B，C，D距离之和的最小者有无穷多个 故选 D 【点评】 首先很明显这样的点在直线AD上，经过检验可知BC上的点都符合条件，故有无穷多个 3D 【解析】 因为AD、BD和CD的长都是有理数， 所以 2 ADBD OAOBOC 是有理数 于是ODOAAD是有理数 由此 2 OD OE OC ， DC DO DE OC 都是有理数， 太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮 欢迎加入太原初中数学联赛群：1 2 9 5 2 8 4 7 2 ，一起学习数学 CEOCOE，ABADDB也是有理数，所以甲、乙、丙都是正确的 故选 C 【点评】 此题要注意，有理数之间的加减乘除后的数仍然是有理数，通过几何知识可把图中的每个线 段的长度通过其他已知的有理线段的长度表示出来，故每个线段的长度都是有理数 4C 【解析】 设x是方程的负根，则1xax ，由此 1 0 1 x a ，所以10a ，1a ，显然1a 时， 方程有一个负根 假设方程有一个正根x，则1xax，由些(1)1a x， 1 0 1 x a ，所以1a 所以方程有一个负根而且没正根的条件是1a 成立 而且1a 不成立 所以1a 本题还可利用函数图象求解，在同一直角坐标系函数|yx与 1yax的图象，如图 1 方程|1xax有一个负根而没有正根 直线1yax只与折线|yx在0 x 处相交，由图象知1a 故选 C 【点评】 此题较难，错的原因是容易忽略在求出1a 后，在这个范围内有部分a值可能使得x的解为 正，因此，通过逆向的思维方法求出当方程的解为正时a满足的条件，然后在1a 的范围内 除去使方程的解为正的a的范围后，就得到了本题的答案 5B 【解析】 如图 2，点E在四边形ABCD内，线段AE也在图内，即射 线AE在BAD内，从而B，D两 点分别在射线AE的两侧 由 ABEADE SS ，可知B，D到AE的距离相等，AE与BD的交点F为BD的中点 如果F与E重合，则E也是BD的中点，则乙成立 若F与E不重合，同理由 BECDEC SS 得CE也过BD的中点F，A，C都在直线EF上，即 A，C，E，F在一条直线上 于是，由 AEBBEC SS 可知E点是AC的中点，故乙成立 故选 B 【点评】 此题要利用同底边的三角形的面积要相等则高相等，利用这个性质可以得出这两个三角形另 外的两个点的连线与底边所在的直线的交点是这两人点间的线段的中点，反复利用此结论可 得出结果 6B 【解析】 这 个 数 是1234910111299100101102 ， 因 为1239 能 被9整 除 ， 1 0 1 1 1299 （即 10 到 99 之间的所有整数的数字和）也能被 9 整除，所以这 个数被 9 除的余数是1 00 1 0 1 1 026 故选 B 【点评】 解题所利用的性质是能被九整除的数的各个位的数字和能被九整除， 利用此性质则可解此题 二、填空题 129 【解析】 设满足条件的三角形的三边长分别是1n，n，1n， 则 (1)(1)100 (1)1 nnn nnn ， 图 1 y=|x| y=ax+1 O x y 太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮 欢迎加入太原初中数学联赛群：1 2 9 5 2 8 4 7 2 ，一起学习数学 即 33 2 n n 所以3n ，4，33 3n 时， 222 234，三角形是钝角三角形； 4n 时， 222 345，三角形是直角三角形； 5n时， 2222 (1)(1)4(4)0nnnnnn n，三角形是锐角三角形 所以满足条件的锐角三角形的个数是 29 【点评】 此题主要利用题目中所给的条件，三角形的边的关系，锐角三角形的三边的平方的关系，列 出不等式组则可解出 21 【解析】 由余弦定理 22222 2cosabcbcAbcbc， 于是 2222 222 1 cbaccabbabacbc abacaabacbcabacbc 【点评】 此题只要知道余弦定理，通过等量替换，这题便可迎刃而解本题平铺直叙，思路很明确， 比较简单 32 【解析】 令31x为整数t，按照 a的定义有 0(31)1xt ， 又原方程为 1 2 2 tx， 即 11 24 xt代入上面的不等式，得 37 01 24 tt ， 解得 73 22 t 2t 或3 当2t 时， 1 3 4 x ； 当3t 时， 2 5 4 x 12 35 2 44 xx 【点评】 此题通过变量替换， 设31x的值为t， 且t为整数， 有方程可得出x与t之间的关系， 由于 a 的意义是不大于a的整数，则可得0( )1aa，利用这个性质可以解出整数t的值，再带 回原方程便可解出x的解 498 【解析】 因为507 71由抽屉原则，从 1，2，98 中任取 50 个不同的数，必有 8 个数被 7 除， 所得的余数相同，设余数为r 又因为9814 7，所以在 1，2，98 中恰有 14 个数被 7 除余数为r，这 14 个数中任意 8 个不同的数，必有两数之差等于 7，即 98 具有题中的性质 另一方面，在 1，2，99 中可取出下列 50 个数： 1，2，7，15，16，21，29，30，35，43，44，49，57，58，63，71， 72，77，85，86，91，99 它们中任何两数之差都不是 7，所以 99 没有题中的性质， 因此这样的n最大的一个是 98 【点评】 此题在考察同学们对抽屉原则的理解程度，如果两个数的差是七的倍数则这两个书被七除的 太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮 欢迎加入太原初中数学联赛群：1 2 9 5 2 8 4 7 2 ，一起学习数学 余数相同，知道这两个原则，这题便可以解出 529995 【解析】 首先x的万位数字显然是 2，从而y的万位数字必是 5；其次x的千位数字必大于 5，但百位 数字乘 2 后至多进 1 到千位，这样千位数字只能是 9，依此类推得到x的前四位数字是 2，9， 9，9x的个位数字只能是 1，3，5，7，9经检验，x的个位数字只能是 5，所以x是 29995 【点评】 这道题的关键是充分利用条件2(1)yx，由于根据已知条件并不能将x，y表示出来，所 以我们要充分利用2(1)yx这个条件将求解范围缩小 第二试 一、 【解析】 解法 1： 将已知方程两边乘以 2 后， 配方为 22222 (44)(44)(44)0 xxxaxaaabb， 即 222 (2)(2 )2(2 )0 xxaab由非负数性质有 20 x，20 xa，20ab 故2x ，1a ， 1 2 b 即当1a ， 1 2 b 时，原方程有实根 解法 2：因为方程有实根，所以判别式 222 4(1)(3442)aaabb 22 4( 12244)aaabb 222 4(12)(44)aaaabb 22 4(1)(2 ) 0aab ， 22 4(1)(2 ) 0aab， 22 4(1)(2 ) 0aab， 10a，且20ab， 即1a ， 1 2 b 因此，当1a ， 1 2 b 时方程有实数根 【点评】 此题利用一元二次方程有实数根的性质，和完全平方数大于等于零的性质，通过的判别式的 配方，可解出a，b的值或是也可以通过对方方程直接配方解出，x，a，b的值 二、 【解析】 证法 1： 如图 3， 作B C D的外接圆， 设圆心为O， 边OB，OC， ODOD与BC相交于E 因为DOB是BD上的圆周角，BOD是，所以90BOD 同理，因为15DBCADBACB， 所以30DOC，所以120BOC 因为OBOC，所以 180120 30 2 OBCOCB 在OEC中，因为30EOCECO，所以OEEC 所以22BEEOLEC 所以 1 2 CECD EBDA ，则ABDO， O E D CB A 图 3 图 4 E D CB A 太原学而思初二数学团队，优秀学生的摇篮 欢迎加入太原初中数学联赛群：1 2 9 5 2 8 4 7 2 ，一起学习数学 故90ABO，AB是BCD的外接圆的切线 证法 2：如图 4，过A作AEBD交BD于E，连EC，在ADE， 90AED，60ADE， 3 3 2 AEADDC， 1 2 DEADDC， EDC是等腰三角形 180120EDCADB 30DCE 15ECBEBC BEEC 又30DCEDAE， AEEC，因此BEECAE 即AEB是等腰直角三角形，45ABEACB由弦切角逆定理，AB是BCD的外接圆 的切线 【点评】 由于题中给出的条件都是有关于角的，所以我们考虑利用计算角的方法来证明，这其中利用 好 1 2 ADDC很重要的，像这样条件中给出的角都是特殊角的题目，往往会用计算的方法来 证明 三、 【解析】 证明：易见 32 1111(109 108 107) nnn n p 个 ， 因为1111 n个 能被 1987 整除，所以p能被 1987 整除，类似地 (1) 1111 n q 个 3(1)2(1)1 (109 108 107) nnn ， 由109 1111 1 n n 个 3(1)33 10(10 ) 10 nn ， 2(1)22 10(10 )10 nn ， 1 101010 nn ， 得 3(1) 10 n ， 2(1) 10 n1 10n被1111 n个 除的余数分别是 1000，100，10于是q能被 1987 整除 注：此题的结论可推广为 1若1111 n n I 个 可被abcd整除，a，b，c，d，n为自然数，09a，0b，c，9d ， 则数 k aaa 个k