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临界点理论对非线性方程的应用 摘要 本文利用变分方法研究全空间上一类拟线性椭圆方程的无穷多解的存在陛以及 二阶差分方程的多重解的存在性 首先，我们应用喷泉定理研究了拟线性椭圆方程 一a p 茁+ b ( x ) i u l p 一2 “= f ( x ，铭) ， 。r 的无穷多解的存在性其中a p u = d i v ( i w l p 一2 v u ) ，1 p 0 ，a x 。= z n + l ， a 2 t n ：( z 。) ， ) 足个m 。周期非负实序列，足zxr 上的连续函数，且关于第二变元是胁 周期的我们约定( 一1 ) 6 = 一1 关键词：临界点；紧嵌入；喷泉定理；差分方程的周期解；三临界点定理；c l a r k 定理 临界点理论对非线性方程的应用 a b s t r a c t i v i nt h i st h e s i s ，t h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o no nr a n dm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r e o b t a i n e db yv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，f i r s t ，w eu s et h ef o u n t a i nt h e o r e mt oo b t a i ni n f i n i t e l y m a n ys o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n - a p 札+ b ( x ) m p 一2 u = f ( z ，u ) ， z r w h e r e p “= d i v ( 1 v u p v u ) ，1 p 0 ，i st h ef o r w a r dd i f f e r e n c eo p e r a t o rd e f i n e db y a x n = x n + 1 一z n ， p n ) i san o n n e g a t i v e f u n c t i o no nzxr w h i c hi sm p e r i o d i co n t h ec o n v e n t i o n ( 一1 ) 6 = 一1i sm a d e k e yw o r d ： f o rd i 踟r e n c e m p e r i o d i cr e a ls e q u e n c e ； i sac o n t i n u o u s t h es e c o n dv a r i a b l e t h r o u g h o u tt h i st h e s i s ， c r i t i c a lp o i n t s ，c o m p a c ti m b e d d i n g ，f o u n t a i nt h e o r e m ，p e r i o d i cs o l u t i o n s e q u a t i o n s ，t h r e ec r i t i c a lp o i n t st h e o r e m ，c l a r kt h e o r e m 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：l 桶 。毫年s 只、侣 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ( 请在以上相应括号内打” ”) 作者签名：劫桶 日期： 口降明) ，细 导师签名：主1 李式受 日期： 矿陴f 月i 尹 第一章引言 第一章引言 变分方法是人们用以理解数学及其应用的重要理论之一，变分方法不 仅用来解决许多重要的具体的问题，而且变分方法所蕴含的原理一变分原 理，是非常普遍的自然法则，来自物理，生物，经济，工程等不同分支的 许多自然现象都服从这一法则， 描述来自不同背景的自然现象都可以归结为各种非线性方程的求解问 题而这些方程的求解从抽象的观点去考察，可以归结为求解如下形式的 非线性算子方程： a x = 0 ， ( 1 1 ) 这里a ：x _ y 的一个映射，x 和y 是两个b a n a n c h 空间当这个非线 性问题具有变分结构时，即存在可微泛函币：x y ，使得 ( a ，秽) ：( 西) ，秽) ：l 。i r a 。垫兰掣，剐x 这时空间y 相应的是x 的对偶空间x + ，则求方程的弱解( 1 1 ) 等价于求 圣7 ( u ) = 0 ( 1 2 ) 的解u x ，即札满足( 西u ) ，v ) = 0 ，v v x 我们称满足( 1 2 ) 的元素乱是泛函币的临界点，求解具有变分结构的 非线性问题的解等价于求其能量泛函的临界点，临界点理论就是研究泛函 临界点的存在性，多重性的数学理论 近2 0 年来，临界点理论在非线性问题方面得到了广泛的应用和发展， 近代变分方法也得到了重大发展，本文利用变分方法研究全空间上一类拟 线性椭圆方程的无穷多解的存在j f 生以及二阶差分方程的多重解的存在性 我们将在第二章运用喷泉定理研究如下拟线性椭圆方程 一p u + 6 ( z ) l 扎i p 一2 札= f ( x ，“) ， z r ( 2 1 ) 的无穷多解的存在性其中a 以= d i v ( i v u t p v u ) ，1 0 ，p n + m = p n 并且约定 ( 一1 ) 5 = 一1 具体的说，我们的主要结果如下： 定理2 1 假设6 ( z ) 和非线| 生项f ( x ，u ) 满足下列条件 ( b ) b c ( r ，r ) ，满足i n f 。r 6 ( z ) 0 ，并且对任意m 0 ， m ( z r ：b ( x ) m ) ) 0 ，使得对所有( z ，乱) r r ， 有 l f ( x ，乱) i c ( i “l p - 1 + l u q - 1 ) ， 这里p + 为p 的临界指数，即p + = 斋笔如果p n ，则令p + = o o ； ( 厶) f ( x ，仳) 关于u 是奇的，即f ( x ，u ) = 一f ( x ，一u ) ，对所有( z ，u ) r xr ； ( ) 对z r ，一致的有l i m l 。i 。o 剿= 0 ，并且对所有的札 0 ， 成立f ( z ，锃) 乜o ； ( ，4 ) 对每一个固定的z r ，辞甍是乱的增函数，并且对z r ，一致 的有 i 收糕= 那么问题( 2 1 ) 有一列弱解 u k k ncw 1 ，p ( r ) 满足：当k 一十o o 时， 垂( 札七) = 刍上( i v u 妒+ 6 ( 圳u 舻) d x 一上f ( z ，u t ) d x _ + o 。 其中f ( x ，u ) = 譬f ( x ，t ) d t 是，关于第二变元的原函数 第一章引言 3 定理3 1 设整数m 2 ，c ( zxr ，r ) ，满足( n + m ，z ) = f ( n ，z ) 及以 下条件： ( 如) 存在r 0 ，使得当i z i r 时，有f ( n ，z ) 0 ，并且 l i m 掣：0 o 一0 z o ( 厶) l i m f ；卜。斜= + 。，对咒z 一致成立这里f ( 死，z ) = 后f ( n ，s ) d s 则问题( 3 1 ) 至少有2 个非平凡的m 一周期解 定理3 2 设整数m 2 ，c ( z r ，r ) ，满足f ( n + m ，z ) = f ( n ，z ) 及 ( 知) ，( 几) ，若f ( n ，z ) 关于z 是奇的，那么问题( 3 1 ) 至少有m 一1 对非平 凡m 一周期解 为了叙述方便和便于理解，我们简要的介绍一些相关的概念和引理 定义1 i ( ( p s ) 条件) 设e 是b a n a c h 空间，泛函圣c 1 ( e ，r ) ，对给定的 c r ，若任何满足西( u 。) _ c ，中7 ( u 。) 一0 的序列 u 。) 都有收敛子列，则 称圣满足( p s ) 。条件若对任意的c r ，币都满足( p s ) 。条件，则称泛函 西满足( p s ) 条件 定义1 2 ( c e r a m i 条件) 设e 是b a n a c h 空间，泛函中c i ( e ，r ) ，对给 定的c r ，若任何满足e ( u 。) 一c ，( 1 + f f 乱。i i ) l l e 托。) | f 叶0 的序列 “。) 都有收敛子列，则称西满足( c e r a m i ) 。条件若对任意的c r ，西都满足 ( c e r a m i ) 。条件，则称泛函垂满足c e r a m i 条件 定义1 3 ( 零点局部环绕) 设b a n a c h 空间e 可以分解为e = y o w ，其 中y 的维数d i m v 0 ，使得当u v ，0 i l u l p 时， 圣( u ) o ；当u w ，i p 时，西( u ) 0 ，则称泛函在0 点局部环绕( l o c a l l i n k i n g ) 注1 1 局部环绕概念是1 9 8 4 年文献 1 4 】中引入的，此后它被用于研究泛 函临界点的存在性和多重性，并在许多非线性微分方程问题中有广泛的应 用 引理1 1 设x 是可分的b a n a c h 空间，由文 2 0 知存在 u 。) 。ncx ， 妒n ) 。ncx + ，使 ( i ) ( ，u 。) = 曙，其中当 ( i i ) s - - p - g - n v n ；托en ) = x ， 令x j = s p a n v j ，则x = 引理1 2 ( 内插不等式) 设 使 实际上丁满足百1 在本文中记 第一章引言 n = m 时， 6 7 = 1 ，n t i t 时，船= o ； 司f 面 妒。；扎n ) = x j 三l 玛 p 0 ， m ( z r ：b ( x ) m ) ) 0 ，使得对所有( z ，饥) r n r ， 有 i f ( x ，乱) lsc ( 1 u l p l - 4 - i u l q - i ) ， 这里p + 为p 的临界指数，即p + = 盟n - p 如果p n ，则令p + = c o ； ( 尼) f ( x ，札) 关于u 是奇的，即f ( x ，u ) = 一f ( x ，一乱) ，对所有( z ，u ) r n r ； ( ，3 ) 对z r 。，一致的有l i m 一。掣= 0 ，并且对所有的u 0 ， 成立f ( x ，u ) u o ； ( ) 对每个固定的z r ，器甍是乱的增函数，并且对z r ，一致 的有 卅l i r a 。忡f ( x 一, ：u 石) = + ( 2 2 ) 令f ( z ，u ) = 片f ( x ，t ) d t ，由条件( f 1 ) ，泛函垂：w 1 ，p ( r ) _ r ， 圣u ) = 三上( 1 v u i p + 6 ( z ) i u l p ) d z 一上f ( z ，札) d z 有定义。并且圣c 1 ( 1 ，p ( r v ) ，r ) ，其f r e c h e t 导数圣( 珏) 由下式给出： ( m ) 纠2 上i v u r 2 v u v 0 如一上6 ( z ) 川p - 2 u d m z 一上f ( x , u ) 西如j r nj r nj r n 第二章r 上拟线性方程的无穷多解 6 众所周知，泛函西的临界点恰好是方程( 2 1 ) 的弱解，于是求方程( 2 1 ) 的 弱解等价于求泛函西的临界点当p = 2 时，此方程变为 一u + b ( x ) u = f ( z ，u ) ， z r ( 2 3 ) 在量子力学中求s c h r 6 d i n g e r 方程的行波解时就会出现形如( 2 3 ) 的方程 在过去的几十年里，人们用变分方法得到了许多关于问题( 2 3 ) 的解 的存在性和多重性结果由于极限( 2 2 ) ，人们称( 2 1 ) 为超线性问题我 们自然期望在这些条件下得到问题( 2 。1 ) 的无穷多解 事实上，在s t r a u s s 著名的文 1 6 】中，考虑了p = 2 ，b ( x ) 三1 的情 形，他在( ) 一( ) 和 ( a r ) 存在弘 p ，使得z r ，u 0 毒0 2 和c 0 ，在 r 上一致成立 1 帮璺糕揖 ( 2 4 ) i t i 一i u l 扩u 当p = 2 时，在条件( b ) ，( ) 一( 厂3 ) 以及( 筋) 下，z o u 【2 1 证明了问题( 2 3 ) 的无穷多解的存在性 第二章r “上拟线性方程的无穷多解 7 -_。_-_。_二-_。_-_-一一 显然，不管是( a r ) 条件还是条件( 2 4 ) 都蕴涵着对某个肛 2 ，和 c l ，q 0 ，有 f ( x ，u ) c lj uj p c 2 1 u 1 2 ， ( 2 5 ) 这一不等式，在证明变分泛函西满足对称泛函的临界点定理的几何条 件中起着至关重要的作用然而，在我们的条件( ) 一( ) 下，不等式 ( 2 5 ) 并不成立，我们这一章就是要处理这一情形。 下面是我们的结果： 定理2 1 在条件( b ) 以及( ) 一( 五) 下，问题( 2 ，1 ) 有一列解 姓岛) 南n 满 足：当k 一+ 时， 圣( 锃南) = 三z ( f v 钆舻+ 联z ) f 铭舻) d x z f ( z ，钍t ) d x - - , + 。o 注2 1 - 当p = 2 时，显然我们的条件( 厶) 弱于( 片) ，因此我们的结果推广 了z o u 2 1 ，定理3 1 】，事实上有很多超线性函数满足条件( ) 一( ) ，却 不满足不等式( 2 5 ) 例如：根据定理2 1 ，如下问题 一u + b ( x ) u = u l o g ( 1 + l u l ) i nr 有无穷多解，但这一结论却不能由z o u 2 1 ，定理3 1 】得到 2 2 紧嵌人定理 我们考虑的是全空间的问题，众所周知w - ，p ( r ) q 汐( r v ) 是不紧 的与b a r t s c h w a n g 4 】类似，我们在如下线性空间 x = 乱坳( r n , r ) z ( f v “f p + 6 ( 刮让一如 0 ，使得对所有的n f u 。一呦i p d x 4 。， ( 2 6 ) 这里b r = b r ( o ) = x r ： x l 兄) 。 这是因为u n 一乱。在妒( b r ) 中，即当n 充分大时 珏。一u o l p d x 丢 如果( 2 6 ) 成立，那么当几充分大时 z i u n - - 7 t o i p d x = 上r | i t n - - 7 t o l p d x + 上、日ri u n - - u o l p d x 现在只需证明( 2 6 ) 记y n = 乱。一u o ，则s u p 。i i v 。i | ；s u p 。i i v 。忆s ( 1 ，忐) 再取 c s u p 赫 n| | u n | i 则由条件( b ) ，对足够大r ，有 m ( z r b r ：b ( z ) m 】- ) ( 顽赫) 5 ( 2 7 ) 第二主一坠圭垫鳖：堡查墨箜垄窒兰堡 一_ g 一一 其中专+ = 1 记 a = z r n b e ：6 ( z ) m ， b = z r n b r ：b ( x ) m ) 根据m 的选取，则 上 u 。- u o z = z l p d z z 盟m 业 三 由h o l d e r 不等式，c 的选取以及式子( 2 7 ) 知 厶b 乱。= j 厂b p 如 ( 丘 训5 。i 训8 i v 1 ；。( m ( b ) ) 1 7 8 c i i v i i p 4 c s u 二p n i i v 1 l p e 0 ，令蛾= p v 霹w 。由于对任意的t 防，p + ) ，w 。( z ) _ w ( x ) = 0i nl ( r ) ，所以砜一0i nl ( r ) ，故砜_ 0i n1 2nl q 再由( ) 有 f ( x ，蛾) c ( 1 w 。i p + j 砜i q ) ，于是由【1 8 ，定理a 4 】知f ( x ，砜) 一f ( x ，0 ) i nl 1 ， 于是 l i m f ( z ，面。) d x = l i r a g ( x ，痂叫。) d x = 0 n + oj r n n ”j r j r 于是对充分大的n 捣) 邶。) = 2 c z 脚心) d x c ， 即有1 i l n 。o c 西( 。u 。) = + o 。 又由币( o ) = 0 及西( 缸。) 一c ，可知t 。( 0 ，1 ) ，从而得出 z ( 三，( z ，t 。u 。) t n u n - f ( z ，。n 。) ) d z ：圣( k u 。) 一! ( 中，( 。仳。) ，。“。) ) _ + 。( 2 1 0 ) p 第二章r 上拟线性方程的无穷多解 由条件( ，4 ) 尚残是u 的增函数，我们知对每个固定的z ，l f ( x ，t ) t f ( z ，) 作为t 0 的函数是单调增的这是因为对v t s 0 刍，( z ，t ) t f ( z ，) 一( 三，( z ，s ) s - f ( z ，s ) ) = 胖f ( x 一, t ) r v _ l d r - z 8f s ( 川x , s ) r p _ l d t _ 。掣，协 = ，2c 辔掣，t p - l d t + 0 5 c 掣一掣矿丁 0 再考虑到f 的奇性，我们有 上( ；m 池) u n f ( 训n ) ) 如 上( 刍他 u n ) 咖”一f ( 州捣) ) 妇 由( 2 1 0 ) 知 ( 二厂( z ，u n ) 珏。一f ( z ，u n ) ) d z _ + 另一方面 i i m 蜊f ( 三他，u n - - f ( 删圳d z = 熙卜n ) 一( 训隔) 一 得出矛盾 因此， “。) 是x 中的有界点列，利用我们的引理2 1 的紧嵌入，由 标准的论证可知， 乱。) 有收敛子列，这就证明了西满足c e r a m i 条件口 在本节的最后，我们写出要用到的临界点定理： b a r t s c h 喷泉定理 由引理1 1 ，我们令玛= s p a n v 3 ) ，则x = o j lx j 再令 k = o 玛，玩= o 玛 j = lj k 定理2 2 ( 喷泉定理) 若圣c 1 ，r ) 满足c e r a m i 条件，币( 一u ) = 西( u ) ，又 设对每个后n ，存在p k 仇 0 使 1 2 第二章r 上拟线性方程的无穷多解 ( i ) b k2 。磊i 川n 。f l i ：他o ( u ) _ + 。o ，七_ ， ( i i ) a k = ，m 垂( u ) 0 ，、 u 氓，i l u l l = p k 则圣有一列临界点 珏南) 使西( 珏奄) 一+ 。 注2 3 在 3 ，1 8 1 中，喷泉定理是在( p s ) 条件下得到的，虽然c e r a m i 条件 比( p s ) 条件弱，但和( p s ) 条件一样，c e r a m i 条件足以保证形变引理成 立，见文 2 ，定理1 3 ，所以我们可以在c e r a m i 条件下得到喷泉定理 2 3 定理2 1 的证明 我们来验证定义的圣满足喷泉定理的条件 定理2 1 的证明：首先由( j f 2 ) 知对v u x ，有西( 仳) = 圣( 一乱) 由引理2 2 ， 圣满足c e r a m i 条件 ( i ) 由( 厶) ，( 丘) 知，对任意 0 ，存在g 0 ，对任意( z ，札) r r 成立 i r ( x ，u ) i m p + g l u | q 令风= s u p u 玩删i ：ll u l 。，k = 1 ，2 则由文献 6 ，1 9 1 知，当k _ o o 时， 8 k _ 0 因此对u 玩和足够小的e 1厂 圣( u ) - 圳f 九上f ( 掣) 妇 = 刍i l u l l l 水卜g 川； 历1 i u i i p c i u 曙 劫u 1 1 p - c 硎讹 取r ：= ( 2 c q 3 2 ) 1 p 一口，贝0 对于u z k ，i i u | | = r k 州( 2 c q 磙) p m ( 三2 p 一面1 ) ， 1 3 第二章r 1 v 上拟线性方程的无穷多解 注意到陬一0 以及q p ，由上式有 b k = i 矿， 中( u ) 一+ ，k 一 u e z k ，l l u j l = 仉 。 ( i i ) 能量泛函是： 嘶) = 刍上( 1 v u l p + 6 ( z ) i u n 如一上即，u ) 如 = 扣卜f r n f ( 训) 如 我们要证明存在一列p k _ ，使 a k = 1 t i 解中( u ) 0 ， u k ，| | u | l = p k 这只需说明对每个有限维子空间y ，都有 l i r a 中( u ) = 一。 口y j j l + 。 。 假设不然，则存在札n y ，a r ，| i u 。l l _ o 。，但 q ( u n j2a ( 么j 令= 尚，则i l v n l l = 1 ，因d i m y 0 ，有 。矧虻z 。掣h 阳z 一慨 注意到f ( z ，u 霏) 0 ，从而 厶。裂独 1 4 第二章r 上拟线性方程的无穷多解 我们得到 西( u 。) = 刍i i 乱1 l p 一上f ( z ，u 。) d z = “训f p ( 三一厶。矧一厶。矧) 钏训i p ( 三一z 。矧) _ 喝 这就和( 2 1 1 ) 式矛盾 由此可见，对充分大的p k ，u 圪，i l u 0 = p k ，有 o k = m a x中( u ) 0 ：a x 。= x n + 1 一x 。，2 z 。= a ( a x 。) ， p n 是个实序列，并且 满足对所有的n z ，p n 0 ，p 。+ 。= p 。，是zxr 上的连续函数，使得 i ( n + m ，z ) = 厂( 几，z ) ，对所有的( n ，z ) z r 成立m 2 为一固定的整 数，并且约定( 一1 ) 6 = 一1 由于缺乏适当的研究方法，关于非线性差分方程周期解的结果不多 在文 1 1 】中，郭志明，庾建设率先将临界点理论应用于这类问题，用变分 方法得到了一些有趣的结果此后他们又用变分方法在这一领域做出了一 系列工作在最近的文献 8 】中，蔡晓春，庾建设和郭志明等在如下的条 件下证明了周期解的存在性： ( 皿) 对任意z r ，f ( 佗，z ) 0 有 l i m 地粤：0 ( 3 2 ) z o z “ ( 凰) 存在常数r 0 ， 6 + 1 使得对任意的l z i r ， z f ( n ，z ) z f ( n ，z ) 0 ， 这里f ( n ，z ) = s o 厂( n ，s ) d s 由( 3 2 ) 知f ( n ，0 ) = 0 ，从而z 。= 0 是问题( 3 1 ) 的个平凡的m 一周 期解在文章 8 ，定理3 1 】中，在( 日) 和( 飓) 的假设下，作者通过变分 方法和环绕定理f 1 5 ，定理5 3 】得到了两个非平凡的m 一周期解 本章的目的是改进他们的结果我们将证明如下定理 第三章二阶差分方程的多重解 1 7 定理3 1 设整数m 2 ，c ( z xr ，r ) 关于第一变元是胁周期的，并 且满足如下条件： ( ，o ) 存在r 0 ，使得当r 时，有f ( n ，z ) 0 ，并且( 3 2 ) 成立 ( 厶) l i m 。f 一。笔搿= + o o ，对佗z 一致成立 则问题( 3 1 ) 至少有2 个非平凡的m 一周期解 注3 1 。与f 1 1 一样，f 8 ，定理3 1 】的证明是基于环绕定理f 1 5 ，定理5 。3 文【8 】中要求的上述条件( 日。) 是全局条件，他们要求对所有的名r ，有 f ( n ，z ) 0 ，这对应用环绕定理至关重要而我们的( 知) 仅要求对比较小 的l z i 满足y ( n ，z ) 0 另一方面，通过简单的计算，由条件( h z ) 可知： 存在q 1 0 ，q 2 0 ，使得 f ( n ，z ) o i l l z l 一o l 2 因为声 6 + 1 ，显然条件( ) 强于我们的( 厶) 条件因此我们的定理 3 ，1 在很大程度上改进了 8 ，定理3 1 】的结果我们将看到其证明也大大 简化了 如果，( 亿，z ) 关于z 是奇的，我们可以得到更多的解 定理3 2 设整数m 2 ，f c ( z r ，r ) 关于第一变元是m 一周期的，满 足条件( 如) ，( 厶) 并且对所有的( n ，z ) zxr ，有f ( n ，z ) = 一f ( n ，一z ) ，则 问题( 3 1 ) 至少有m 一1 对非平凡解 注3 2 在 8 】中没有考虑这种对称情形，我们将运用c l a r k 定理 1 5 ，9 】证 明定理3 2 3 2 定理3 1 ，3 2 的证明 如文 8 】那样，我们在 e m = z = z n ) n z ：z n r ，z n + r n = z n ，几z ) 上按显然的方式定义线性运算，使之成为线性空间，并在五k 上装备如下 第三章二阶差分方程的多重解 i 8 的内积( ，) 和范数”i i ： m m 1 ：2 i x , 矽) = z 肌 i l x l l = i 2 ) ， 啪 那么e l m 是个m 维的h i l b e r t 空间并且等矩线性同构于r ” 在e m 上定义泛函，：_ r ， z ( x ) 2 南州瓴) 弭1 一f ( 叩n ) ，z = ( z n ) e r ( 3 3 ) 因为f c ( z r ，r ) ，那么? c 1 ( 蹋，r ) 利用x o = x m ，z l = 2 9 m + 1 ，和 ( 3 3 ) 式，我们可以计算出i ( x ) 的偏导数为 瓦o s = 一阮( z 。一1 ) 6 ) j - m ，z n ) n e 1 ) 2 ，m ) 那么z = z n ) 。z 是，在点 仇上的临界点( 即j 托) = 0 ) 当且仅当 眵。( z 。一1 ) 6 ) 】+ f ( n ，z 。) = 0 考虑到z 。，f ( n ，z ) 关于亿的周期性，根据文( 8 】jj 的临界点恰好为问题( 3 1 ) 的m ，周期解因此我们需要研究j 的临界点的存在性 为了这一目的，我们需要下面的结果 命题3 1 ( 7 ，：4 1 ) 设e 是b a n a c h 空间，垂c 1 ( e ，r ) 满足( p s ) 条件并且 垂下方有界，假设西在零点具有局部环绕结构，那么圣至少有三个临界 - 点 命题3 2 ( 1 5 ，定理9 1 1 1 9 1 ) 设e 是b a n a c h 空间，西c 1 ( e ，r ) 是偶泛函且 满足( p s ) 条件和西( o ) = 0 ，假设圣下方有界，并且存在p 0 和e 的一 个k 维线眭空间f ，使得 s u p圣( z ) 0 1 0 ，使 i ( z ) 0 ， v x yn o b , 7 ，( 3 5 ) 帕一，矿一+沈一6 ，一 、， + n z+ + 卜 n z + 2 。蹦 + j n z 。脚。旧。嘲 收一，分一+沈一巧 0 ， v x yn b p ( 3 6 ) 如果x w ，l p ，那么i x 。i p r ，且a x 。= 0 ，由( f o ) 我们得 m j ( z ) = 一ff ( n ，x n ) 0 n = l 由此及( 3 6 ) 知一，在零点局部环绕 根据引理3 1 ，当i _ 。时，一z ( x ) _ 。由d i m e 。 。o ，可知一， 是下方有界的，并且满足( p s ) 条件应用命题3 1 知，一j 至少有三个临 界点，因此，有两个非零的临界点，即问题( 3 1 ) 有两个非平凡的仇一周 期解 口 注3 4 在文【8 】中，为了验证环绕定理的条件，在得到了( 3 5 ) 式后还需 要大量繁琐的估计，并且全局条件，对所有的( 佗，z ) ez r ，r ( n ，z ) 0 ， 是必不可少的，而我们的上述讨论不需要这个全局条件，证明过程也大大 简化了 定理3 2 的证明 对所有( n ，z ) z r ，s ( n ，z ) = 一厂( n ，一z ) ，因此j 是一个偶泛函 即，( z ) = ，( 一z ) ，我们知道，( o ) = 0 ，一，下方有界并且满足( p s ) 条件 由( 3 5 ) ，因为yn 岛是紧的，我们有 s u p ( 一州z ) 筹川一i z l l l 。o o 十j 取代( 厶) ，定理3 1 和定理3 2 的结论仍然成立 参考文献 参考文献 2 1 1 a a m b r o s e t t i ，p r a b i n o w i t z ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n t t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，j f u n c t a n a l 1 4 ，3 4 9 3 8 1 ( 1 9 7 3 ) 【2 】p b a r t o l o ，v b e n c i ，d f o r t u n a t o ，a b s t r a c tc r i t i c a lp o i n tt h e o r e m sa n d a p p l i c a t i o n st os o m en o n l i n e a rp r o b l e mw i t hs t r o n gr e s o n a n c ea ti n f i n i t y ， n o n l a n a l t m a ，1 9 8 3 ，7 ：9 8 1 - 1 0 1 2 【3 】t b a r t s c h ，i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s as y m m e t r i cd i r i c h l e tp r o b l e m n o n l i n e a ra n a l y s i s ，t m a ，2 0 ( 1 9 9 3 ) ，1 2 0 5 1 2 1 6 4 t b a r t s c h ，z - q w a n g ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf 0 7 s o m es u p e r l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m so nr ，c o m m p d e ，2 0 ( 1 9 9 5 ) ，1 7 2 5 1 7 4 1 5 】t b a r t s c h ，m w i l l e m ，i n f i n i t e l ym a n yn o n r a d i a ls o l u t i o n s 吖ae u c l i d e a n s c a l a rf i e l de q u a t i o n ，j f u n c t a n a l ，1 1 7 ( 1 9 9 3 ) ，4 4 7 4 6 0 【6 t b a r t s c h ，a n dm w i l l e m ：o na ne l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc o n c a v ea n dc o n v e x n o n l i n e a r i t i e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 3 ，3 5 5 5 3 5 6 1 ( 1 9 9 5 ) 【7 h b r e z i s ，l n i r e n b e r g ，r e m a r k so nf i n d i n gc r i t i c a lp o i n t s ，c o m m p u r e a p p l m a t h ，4 4 ( 1 9 9 1 ) ，9 3 9 9 6 3 8 】x c c a i ，j s y u ，z m g u o ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fa c l a s so fn o n l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n sv i ac r i t i c a lp o i n tm e t h o d ，c o m p u t m a t h a p p l ，5 2 ( 2 0 0 6 ) ，1 6 3 0 1 6 4 7 9 d c c l a r k ，av a r i a n t 吖t h el j u s t e r n i k s c h n i r e l m a n nt h e o r y ，i n d i a n au n i v m a t h j ，2 2 ( 1 9 7 2 ) ，6 5 7 4 【1 0 】d a v i d g c o s t a o nac l a s s 巧e l l i p t i cs y s t e mi nr ，e l e c t r o n i cj o u r n a lo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 4 ，n o 0 7 ，p p 。1 - 1 4 参考文献 11 z m g u oa n dj s y u ，t h ee x i s t e n c eo fp e r o d i ca n ds u b h a r m o n i cs o l u t i o n s 如rs e c o n d o r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e s a ) 3 ，2 0 0 3 ，2 2 6 2 3 5 1 2 】l j e a n j e a n ，o nt h ee x i s t e n c eo ，b o u n d e dp a l a i s s m a l es e q u e n c e sa n da p p l i c a t i o nt oal a n d e s m a n l a z e rt y p ep r o b l e ms e to nr n , p r o c r o y s o c e d i n b u r g h ，1 9 9 9 ，1 2 9 a ：7 8 7 8 0 9 ， 1 3 】g b l i ，h s z h o u ，a s y m p t o t i c a l l yl i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e mf 0 7 t h ep l a p l a c i a n ，n o n l a n a l t m a ，2 0 0 1 ，4 3 ：1 0 4 3 1 0 5 5 ，