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专题报告： 结构动力学学习总结 一、单自由度系统的振动一、单自由度系统的振动 . 3 1.1 自由振动 . 4 1.1.1 无阻尼的自由振动 . 4 1.1.2 有阻尼的自由振动 . 4 1.2 简谐载荷作用下的强迫振动 . 5 1.2.1 无阻尼强迫振动 . 6 1.2.2 有阻尼的强迫振动 . 6 1.3 任意载荷下的强迫振动 . 7 二、多自由度系统的振动二、多自由度系统的振动 . 9 2.1 多自由度系统的固有频率和主振型 . 9 2.2 主振型的正交性 . 10 2.3 模态分析法 . 11 2.3.1 无阻尼强迫振动 . 12 2.3.2 有阻尼强迫振动 . 14 三、结构振动的有限元计算三、结构振动的有限元计算 . 17 3.1 振动的基本方程 . 17 3.2 虚功原理 . 18 3.3 结构振动的有限元分析列式 . 18 一、单自由度系统的振动一、单自由度系统的振动 考虑图 1 所示的单自由度系统的力学模型（弹簧-质量系统） ，它由刚体质量 块、弹簧和阻尼器组成，弹簧和阻尼器的质量与刚体质量块相比可以忽略，系统 的位移完全由刚体质量块的位移x确定。 以弹簧-质量系统为例，对单自由度系统进行受力分析。如图 2 所示，此时有 3 种力作用在质量块上：弹性恢复力，阻尼力和外力。 a) 弹簧恢复力：弹簧的变形产生的弹性力( ) r Fkx t ，弹簧恢复力与运动方向 相反。 b) 阻尼力：若采用粘性阻尼模型，则阻尼力为 d ( ) tFcx ，阻尼力与运动方向 相反。 c) 外力：外部作用在质量块上的力( ) e F t，一般情况下为时间的函数，主要有 3 种类型：周期力，瞬变力，随机力。 根据牛顿第二定律，可以写出下式 ( )( )( )=( ) e mx tcx tkx tF t (1-1) 上式称为单自由系统的动力平衡方程。 根据施加在质量块上的外力( ) e F t的类型不同，可以结构的振动分析分为模 图 1 单自由度系统（弹簧-质量系统） 图 2 弹簧-质量系统受力分析 态分析，瞬态动力学分析，简谐响应分析和随机谱分析。 外力的类型 分析类型 振动类型 无外力(F0) e 模态分析 自由振动 瞬变力（能够使用函数表示） 瞬态动力学分析 任意载荷下的强迫振动 简谐力 简谐响应分析 简谐载荷下的强迫振动 随机力（只能用统计的方式描述） 随机谱分析 1.1 自由自由振动振动 若系统不受外部的干扰作用， 仅由初始条件 （初位移和初速度） 引起的振动， 称为自由振动。 1.1.1 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动 当不考虑阻尼作用时，振动方程退化为： ( )+( )=0ttmxkx (1-2) 令 2 k m (1-3) 则方程(1-2)可以改写成为 2 ( )+( )=0ttxx (1-4) 方程(1-4)的解的形式为： 12 ( )=A cosA sintxtt (1-5) 将初始条件 0000 ( ), ( ) tt x tx x t 代入(1-5)中，可以得到 0 120 A,Ax (1-6) 则 0 0 ( )cossin v x txtt (1-7) 1.1.2 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 单自由度系统考虑阻尼作用的自由振动方程为 ( )+( )+( )=0tttmxcxkx (1-8) 或写为 2 ( )+2( )+( )=0tttxxx (1-9) 其中 2 c m (1-10) 称为阻尼特性系数。常微分方程(1-9)的特征方程为 22 +2+=0ss (1-11) 特征方程的根为 22 1,2 s (1-12) 1) 当时，为超临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为 2222 12 ()() 1212 ( ) s ts ttt x tcec ecec e (1-13) 将初始条件 0000 ( ), ( ) tt x tx x t 代入(1-13)中，可以得到 22 22 22 ()t 00 22 22 ()t 00 22 () (t)e 2 () e 2 x x x (1-14) 2) 当时，为临界阻尼系统，微分方程(1-9)的通解为 ( )e() t 12 x tc +c t (1-15) 由初始条件 0000 ( ), ( ) tt x tx x t ，可得 000 ( )e() t x tx +x t (1-16) 不难发现，式(1-14)和式(1-16)所表示的运动都没有振动的特征。 3) 当时，为低阻尼临界系统，这时特征方程的根为 1,2 si (1-17) 其中 22 微分方程(1-9)的通解为 12 ( )e(sincos) t x tBt+Bt (1-18) 1.2 简谐载荷作用下的强迫振动简谐载荷作用下的强迫振动 本节讨论系统受到简谐变化的干扰力作用下的强迫振动响应问题。 1.2.1 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动 在无阻尼的情况下，假定载荷( ) e F t为如下的简谐形式 ( )=Pcos e F tt (1-19) 因此无阻尼强迫振动方程为 ( )( )Pcosmx tkx tt (1-20) 或写为 2 ( )( )cos P x tx tt m (1-21) 方程(1-21)的通解可由齐次方程的通解和非齐次方程的特解叠加而得。由( ) e F t的 形式，我们不难找到它的一个特解 22 ( )cos () P x tt m (1-22) 则微分方程(1-21)的通解为 12 22 ( )A sinA coscos () P x tttt m (1-23) 由初始条件 0000 ( ), ( ) tt x tx x t ，可求得 0 120 22 , () P AAx m ， 则式(1-23)可写为 0 0 2222 ( )sincoscoscos ()() PP x ttxttt mm (1-24) 在式(1-24)中，前 3 项是振动频率为的自由振动。其中前 2 项的系数决定于初 始条件， 通常称它们为决定于初始条件的自由振动。 第 3 项则不管初始条件如何， 都将伴随干扰力的作用而产生，故可称为伴生的自由振动。至于第 4 项，则完全 按照干扰力频率进行振动，故称为纯强迫振动。 1.2.2 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动 单自由度系统考虑阻尼作用的运动方程为 ( )( )( )Pcosmx tcx tkx tt (1-25) 可知上式的通解为 12 ( )e(sincos)sin() t x tBtBtAt (1-26) 将初始条件代入上式，可得到 00 0 ( )e(sincos) sincos e(sincossin)sin() t t x x ttxt AttAt (1-27) 上式的第 1 项为决定于初始条件的自由振动，第 2 项表示伴生的自由振动。这 2 项皆因有阻尼的存在而逐渐衰减。第 3 项是纯强迫振动，其振幅与周期都不随时 间而变化，是稳定的周期运动。 1.3 任意载荷下的强迫振动任意载荷下的强迫振动 本节讨论单自由度系统在任意一般性载荷作用下的强迫振动问题。 在任意载荷下弹簧-阻尼系统的振动方程为 00 ( )( )( )( ) (0), (0) mx tcx tkx tP t xx xv (1-28) 根据齐次化原理，可将方程(1-28)分解为 ( )( )( )( ) (0)0, (0)0 mx tcx tkx tP t xx (1-29) 和 00 ( )( )( )0 (0), (0) mx tcx tkx t xx xv (1-30) 对于方程(1-29)，利用动量定理可以将初始时刻的瞬时冲击载荷转化为初始 时刻的速度，方程(1-30)可转化为 ( )( )( )0 ( )d (0)0, (0) mx tcx tkx t P xx m (1-31) 这是一个初始位移为 0， 初始速度为 ( )dP m 的自由振动问题， 可得方程(1-31) 的解为 ( )d (t)esin ( )( ) (t) 0 t P t h tx tm (1-32) 其中 22 因此在时间段0,t内的任意载荷( )P t可以看作为时间间隔内大量瞬时载荷 ( )dP的叠加，所以载荷( )P t在时刻t的总响应为 0 ( ) ( )esind t t P x tt m (1-33) 而对于方程(1-30)，易求得其解为 00 0 ( )e(sincos) t x x ttxt (1-34) 将式(1-33)和式(1-34)相加，得到方程(1-28)的解为 00 0 0 ( ) ( )e(sincos)esind t tt xP x ttxtt m (1-35) 二、二、多自由度系统的振动多自由度系统的振动 第一章主要讨论了单自由度系统的振动问题。但严格来说，单自由系统是不 存在的， 它只是实际结构的粗略的简化。 在工程中， 我们会遇到更加广泛的问题， 有些问题必须按多自由度系统来处理，本章将主要讨论多自由度系统的振动。 对于多自由度系统，如果考虑阻尼，在外力的作用下的运动方程为 ( )( )( )tttMXCXKX0 (2-1) 求解此运动方程一般有两类方法，一类是模态分析法，另一类是直接积分法。本 章中将首先介绍多自由度系统无阻尼强迫振动的模态分析法， 然后介绍有阻尼的 强迫振动的模态分析法。 2.1 多自由度系统的固有频率和主振型多自由度系统的固有频率和主振型 考虑一多自由度系统无阻尼自由振动系统， 其计算的关键是求解其自振频率 和振型。 ( )( )ttMXKX0 (2-2) 因该方程有解的形式为 ( )sin(t)tXA (2-3) 将式(2-3)代入式(2-2)中，有 2 sin(t)sin(t)MAKA0 (2-4) 消去sin(t)后，有 2 KM A0 (2-5) 该方程有非零解的条件是 2 0KM (2-6) 这就是多自由度系统的无阻尼自由振动的广义特征方程，是自然圆频率， 对应的频率为 2 f 。如果将特征向量用 i 来表示，很显然 i 满足方程 2 iii KM (2-7) 在结构动力学中， i 称为结构的振型或模态。 在求出系统的各阶自然圆频率 i 后，再将某一阶固有频率代入方程(2-5)中， 可求出对应的特征向量 i 。 2.2 主振型的正交性主振型的正交性 在多自由度系统中， 各阶主振型之间存在着正交性。 设n维向量 ij 与是相 应于n自由度系统自振频率 ij 与的两个振型，且 ij 。 显然，可以证明 0 T ji ij M (2-8) 和 0 T ji ij K (2-9) 式(2-8)和式(2-9)表明了固有振型关于质量阵与刚度阵K的正交性。 对于n自由度系统，每一自振频率和振型都应能满足式(2-5)，把它们依次 写出来，有 2 111 2 222 2 . nnn KM KM KM (2-10) 这n个式子可以合并写成如下矩阵形式： 2 KM (2-11) 其中 2 1 2 22 2 . n (2-12) 称为特征值矩阵。 用 T 左乘式(2-11)的两端，可得 2TT K M (2-13) 或记为 2 KM (2-14) 其中 11 22 0.0 0.0 . 00. T qq K K K K K = (2-15) 称为主坐标刚度矩阵； 11 22 0.0 0.0 . 00. T qq M M M M = = (2-16) 称为主坐标质量矩阵。 可以看出K，M分别为对角矩阵。 2.3 模态分析法模态分析法 模态分析法，就是应用由系统各阶主振型组成的模态矩阵作为变换矩阵，对 系统原运动方程进行坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角化，得到一组 独立的、互不耦合的模态方程，因而可以应用单自由度系统的方法分别求解每一 个方程，从而求得多自由度系统的响应的整个过程。 现应用模态分析法来计算多自由度系统在外力 e tF作用下的响应，为了使 问题简化，忽略系统阻尼，则系统的运动方程为 ( )( )( ) e tttMXKXF (2-17) 用模态分析法解上述方程的步骤如下： 1) 解出系统的各阶固有频率 12 ,., n 和相应的主振型 12 ,., n ，并 由此求出模态矩阵。 2) 用模态矩阵，对原方程作如下的坐标变换： 11 1 ( )( )( ) q i tu tt Xu (2-18) 且原方程变换为模态方程为 ( )( )( ) T e tttMXKX F (2-19) 3）按单自由度系统的方法分别求解模态方程中n个互相独立的方程，求得 12 ,., n u uu，而 12 ,., n u uu即是以模态坐标表示的系统对外力的响应。 4）应用( )( )ttXu 的线性变换，将模态坐标或正则坐标变为物理坐标（即系统 原来的广义坐标） 。最后求得的这一组物理坐标( ) tX就是系统运动方程的解。 2.3.1 无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动 无阻尼多自由度系统的运动方程为 ( )( )( ) e tttMXKXF (2-20) 一个多自由度系统，在外力激励下的响应主要由其较低的一部分振型决定，则可 以将位移向量( ) tX用前q阶振型的组合来表示，即 1122 11 1 ( )( )( ).( ) ( )( ) qq q i tu tu tu t u tt X u (2-21) 其中 12 ( ) ( )( ).( )T q tu tu tu tu (2-22) 是广义位移向量，而振型矩阵 11121 21222 12 12 . . =(.)= . . q q q nnnq (2-23) 是一个n q矩阵。 式(2-21)表明，原坐标系统中描述的位移( ) tX通过振型矩阵 转化为模态坐 标系中的广义位移( ) tu，将式(2-21)代入方程，可得 ( )( )( ) e tttMXKXF (2-24) 将式(2-24)等式左右两端分别左乘矩阵 T ，可得 ( )( )( ) TTT e ttt MX KX F (2-25) 由振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性可知 11 22 0.0 0.0 . 00. T qq M M M MM = (2-26) 11 22 0.0 0.0 . 00. T qq K K K KK = (2-27) 则式(2-25)可改写为 1 11 2 22 11 11 22 22 12 ( )0.0 ( )0.0 . ( )00. ( )( )0.0 ( )( )0.0 (.) . ( )(00. q qq T q qq qq u tM u tM u tM u tF tK u tF tK u tFK ) t (2-28) 它展开为如下q个独立的方程 1 ( )( )( )i1,2,., n iiiiiijij j M u tK u tF tq (2-29) 或 2 1 ( ) ( )( )i1,2,., n jij iii j ii F t u tu tq M (2-30) 式(2-29)或式(2-30)表示q个互不耦合的二阶线性常微分方程，可以由第一章 介绍的方法求解，即 ( )( )( )cossin( ) iihipiiiiip u tututAtBtut (2-31) 将式(2-31)代入式(2-21)，得 11 ( )=(cossin)( ) qq iiiiiipi ii tAtBtut X (2-32) 式(2-32)等号右端第一项是运动方程(2-20)的齐次通解，第二项是方程(2-20)的特 解。下面讨论如何由初始条件(0)X和(0)X计算 ii AB和。 将式(2-32)等号左右两端分别左乘 T i ，有 1122 ( )= ( )( ).( ) TTTT iiiqiq tu tu tu tX (2-33) 利用振型关于质量阵的正交性，则式(2-33)变换为 ( )( )( ) TT iiiiiii tu tM u tX (2-34) 则 ( ) ( ) T i i ii t u t M X (2-35) 由式(2-31)和式(2-35)，有 ( ) ( )cossin( ) T i iiiiiip ii t u tAtBtut M X (2-36) 则 ( ) ( )sincos( ) T i iiiiiiiip ii t u tAtBtut M X (2-37) 将初始条件(0)(0)XX和代入式(2-36)和式(2-37)，可得到 (0) (0) T i iip ii Au M X (2-38) (0) (0) T ip i i iiii u B M X (2-39) 2.3.2 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 考虑阻尼的多自由度系统，其在外力作用下的运动方程为 ( )( )( )( ) e ttttMXCXKXF (2-40) 将位移向量( ) tX用前q阶振型的组合来表示，即 1122 11 1 ( )( )( ).( ) ( )( ) qq q i tu tu tu t u tt X u (2-41) 将式(2-41)代入方程(2-40)，可得 ( )( )( )( ) e ttttMuCuKuF (2-42) 将式(2-42)等式左右两端分别左乘矩阵 T ，可得 ( )( )( )( ) TTTT e tttt Mu Cu Ku F (2-43) 或 ( )( )( )( ) T e ttttMuCuKu F (2-44) 式中MK、仍如式()和式()所示，为对角阵。而 T CC (2-45) 在求解强迫振动方程(2-43)和(2-44)之前，首先研究一下系统的阻尼问题。当 采用振型叠加法计算系统动力响应， 在将系统的响应从物理坐标变换为模态坐标 之后，阻尼矩阵能够转化为对角阵。为了形成非耦合阻尼矩阵，需要引入进一步 的假定，现介绍工程中最常用的瑞利阻尼系统。 瑞利假定阻尼矩阵为 CMK (2-46) 式中、为常数。将式(2-46)代入式(2-45)，得 + TT CMK (2-47) 其中 2 + () TT iiiiii iiii iii C MK M MK (2-48) 方程(2-44)可展开为如下q个独立的方程 1 ( )( )( )( )i1,2,., n iiiiiiiiijij j M u tC u tK u tF tq (2-49) 或 22 1 ( ) ( )() ( )( )i1,2,., n jij iiiii j ii F t u tu tu tq M (2-50) 方程(2-49)和方程(2-50)表示q个互不耦合的二阶线性常微分方程，其解仍可 写成式(2-31)，待定常数 ii AB和仍可由式(2-38)和式(2-39)确定。 三、结构振动的有限元计算三、结构振动的有限元计算 在前两节中， 讨论了具有单自由度系统和多自由系统的振动问题。 在实践中， 大多数工程振动系统，无论是它的质量还是刚度都具有分布特性，在理论上都是 无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机械系统的复杂性，若按无限多自由度 来处理，在数学上至目前为止还无法解决。因此将系统的结构用一些离散的结构 来理想化是可取的，从而使无限多自由度问题简化成有限的多自由度问题。这样 既能较为精确地反映机械系统的动态特性，又能便于数学上的求解。 3.1 振动的基本方程振动的基本方程 基本变量基本变量 三大类变量( , ) i ut、( , ) ij t和( , ) ij t是坐标位置( , , )x y z和时间t的函数， 一般将其记为( ),( ),( ) iijij u ttt。 基本方程基本方程 (1) 平衡方程 利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有 , ( )( )( )( )0 ij jiii tb tu tu t (3-1) 其中为密度，为阻尼系数。 (2) 几何方程 , 1 ( )( )( ) 2 iji jj i tutut (3-2) (3) 物理方程 ( )( ) ijijklkl tDt (3-3) 其中 ijkl D为弹性系数矩阵。 (4) 边界和初始条件 位移边界条件( )BC u为 ( )( ) iiu u tu tonS (3-4) 力的边界条件( )BC p为 ( )( ) ijji t np tonS (3-5) 初始条件 0 ( ,0)( ) ii utu (3-6) 0 ( ,0)( ) ii utu (3-7) 3.2 虚功原理虚功原理 基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式 , ()()0 p ij jii