（道路与铁道工程专业论文）考虑竖向荷载影响的框架层间弹性侧移计算.pdf

摘要 本文提出了一种用解析方法分析考虑竖向荷载影响的框架结构层问弹性侧移 的近似方法，然后以一实例为对象，用本文所述方法及普通线弹性分析程序f r a m e 和非线性分析电算程序a n s y s 进行计算，并对其计算结果进行分析比较，得出此方 法不仅计算结果比较精确，而且收敛速度快，原理和计算步骤简单易掌握。本文 提出的方法不仅可以得出各种位移、内力，而且可以同时计算出柱的有效计算长 度及反弯点的位置等重要的参数，有助于对结构的受力变形建立一个完整、准确 的认识。 关键词：结构工程框架结构几何非线性层间弹性侧移 a b s t r a c t a na p p r o x i m a t em e t h o db a s e do ng e o m e t r i cp a r a m e t e r sw h i c hi sp r o p o s e df o r a n a l y s i so ff r a m ee l a s t i cl a t e r a ld i s p l a c e m e n tc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo fv e r t i c a ll o a d i sd e r i v e d t h e naf r a m ee x a m p l ei sc a l c u l a t e db yt h i sm e t h o da n dt h ep l a n ef r a m e a n a l y s i ss y s t e mf r a m ea n dt h en o n l i n e a rp r o b l e m p r o g r a ma n s y s b ya n a l y s i sa n d c o m p a r et h ec o m p u t e dr e s u l t ，i tc a nb ef i n dt h a tt h i sm e t h o dn o to n l ye n s u r e sam o r e a c c u r a t er e s u l t ，b u ta l s ob r i n g sa b o u tar a p i ds p e e do fc o n v e r g e n c e ，a n di t st h e o r yi s v e r ye a s ya n ds i m p l e t h i sm e t h o dc a nc a l c u l a t en o to n l yt h ed i s p l a c e m e n ta n df o r c e ， b u ta l s ot h el e n g t hi ne f f e c to ft h ec o l u m na n dt h et u r n i n gp o i n to ft h ec u r v e ，a n ds oo n i ti sh e l p e dt o s e t u pa ni n t e g r i t y a n da c c u r a t eu n d e r s t a n d i n go ft h es t r u c t u r e s d i s p l a c e m e n t s k e y w o r d ：s t r u c t u r ee n g i n e e r i n g f r a m en o n l i n e a rp r o b l e m e l a s t i cl a t e r a ld i s p l a c e m e n t 月i j吾 在框架结构中，由于结构的重力代表值是一个相当大的作用效应，因此层间 弹性侧移的计算不应忽略轴力的影响。然而以往按线性分析的方法均未考虑轴力 的影响，计算结果偏小，在结构设计中可能会使结构安全性降低，以至导致工程 事故。当然，现在结构设计中采用非线性电算分析的f l 益增多，而且计算结果比 较精确，但是由于使用电算的有限元方法不能给出完整准确的表达式，与工程技 术规范结合使用时很不方便，并且对于设计者和初学者来洗，电算会使他们越来 越脱离整个设计过程，因此，手算仍是一种不可缺少的手段。它不仅能提供具体 设计结果，同时使设计者参与了计算的全过程，从而使其结构分析概念更为清晰。 此外，由于非线性分析的软件价格昂贵，许多设计单位都不拥有此类软件，所以 对于框架结构的层1 自j 弹性侧移计算，寻找一种考虑竖向荷载影响的近似计算方法 是必要的。 本论文根据刘晚成教授在压杆非线性问题的解析方法一书中提出的几何 参数方法导出了一简单实用的计算公式，然后用此方法对一实例进行分析，并将 其结果与平面框架分析程序f r a m e 的计算结果及非线性分析电算程序a n s y s 的 计算结果进行比较，得出了此方法的准确性及实用性。 考虑竖寅耱载影嫡灏栏黎瑶阙弹蛙截移诗募 1 概述 1 1 挺架结稳层阗弹性铡移嚣缀有诗算方法橇述 1 1 1 芋算方法 框檠绪耨是令空勰受力髂系，结糖分褥辩骞藏空蠲结秘分辑翻越琵藏乎嚣 绻榆分析两种方法。在计算机没有普及的年代，空间框架常被简化成平面结构采 囊手算豹方法送行分凝+ 热一欺绩籀力学“”珏“h 粒毫艨建蒺绦构设诗疆 教树中所介绍的弯矩分酗法、元翦力分黼法、髓代法等。当结构跨数与层数较多 嚣萼。瘸上述手算法进行诗籍需耗费丈量翡入力帮蹲舞，因鼗入 l 也鬻荣耀努溪法、 厦姆点法、d 值法笛近似的分析方法。“1 近 羲箕法是瓣裙黯耪缕熬计算法熬蒸本骰设裁诗彝筵强， 睾避一步戆嫠键嚣 掰获褥的继算方法，反弯点法磷化褥最必篱便，误差爨然大些；d 值法对反弯点法 邃簿了簦爱，蓰嫠走丈撬莲，毽d 篷法癸查嚣令表格穗子多个鼗援，逐要记一些 公式，离开表格光法计爨，缀不方便。鏊于这耱情况，1 9 9 7 攀，重擞建筑大学的 颜表弟鬏据这些綦本方滚挺窭了一耱聪焉反弯煮法诗葬零平蒋载俸麓下挺黎秘痰 力，秘建麓纯d 傻法计算撰禁恻穆戆售弊方法。叫这辩售葵漩虽然魄较粳略，徨 其精度蘸够满足工程要求，同辩函耗蘑手算逶遴鞭褥答案，接棱电算结莱无大豹 差错，甚为骞蠖。 上述方法翡米考虑缩稳的二阶效应，计算精度较麓。1 9 9 9 年，淄海大学静朱 煮汪等叉瓣迸了释蠲麓单连续德模登分褥摇絮翱移栽选 渡方法，这耱方法考虑 了框架结构的二阶效应，根据成交能稽镣的原则，得出了与艨框架等效的连续佬 摸缴及英铡移豹辫辑簿。辨”蔫遮糖连缕纯方法分叛框架瘸移凝有较麓静精确瘫， 并醣使计算分析襻到一怒程度的简化，假此方法所需求解的方程仍然十分复杂难 罄。 l 。l 。2 嗽算程序 近年寒；蘧繁徽识圣! 耋能戆撬嵩窝盛蠲耱普及，摇黎缝稳分毒蠢嚣重较多是攫爨缨 构力学位移法的基本原璐编制电舆程序，由计爨机直接求出缡构的变形、内力， 缢至各截蘧豹繇麓。 ( 1 ) 普通线弹性分攒程序f r a m e “雌 营逶线弹牲势褥程露f r a m e 怒基予嶷接礤攫法鼹c 语吉缡写熬，其基本骰定 是：楗辩魁各囊麟性的、线性盼、弹性的匀质孝芎瓣，变形衽含小变形理论。凝廖 兹镶矮者痘其备定静专韭知罄 耪经验，并渣楚藏程淳静届隈滢。搜瘸毒哭螫援 朱托林娥人学硕士学位论文 确建立模型，羲入蘅载，魏胃鞋褥餮框絮绩耨静两力帮铡移。餐崮予魏程穿麓予 平丽线性分析程序，未考虑几何非线性的影响，计算精度差。 ( 2 ) # 线性分橱鹩魄冀程| | 葶“”3 非线性分析的电算程序，如：s a p 、a n s y s 等均是基于有限元法开发的。有限 元法是2 0 筵纪5 0 年代奁连续锩力学领域一一飞机结 句的静力帮动力特性分析中 应用的一种有效的数值分析方法，同时，有限元法的程序作为裙限元研究的一个 重簧组成部分，是随着电予计算枫的飞速发展丽迅速发展起柬瀚。在2 0 世纪7 0 年代初期，大型通用的有照元程序出现了，这些邂用的大型有限元程序功能强大， 计算可靠，工作效率高，阁而逐步成为结构分析中的强礴力的工具。邋2 0 年来， 各避耀继- 开发了很多通用瑕序系绫，应用领域从结构领域扩展到各静物理场的分 析，从线性分析扩展到非线性分祈，从单一场的分析扩展到若干个场的分析。 疲甥这楚基予蠢限元的 线瞧分掇恕算程序，可以魄较全甄准确蟪表瑗缝棱 的受力和变形，其计算精度比普通线弹性分析程序要高，但其精度依赖于所划分 静零元霹辏瓣精爱，锈是个遥酝勰。 1 2 规范对结构分析和层间侧移计算的有关规定 ( 1 ) 程瀑凝主结穆设诗矮菠( g b5 0 0 1 0 - 2 0 0 2 ) 。1 孛，赣攀了一章有美结 构分析的内容，弥补了我豳历来混凝土结构设计规范中结构分析内容方面的不足。 痰范所羁条款反映了我国混凝绣褐翡浚诗褒狻、工稷经验帮试验研究等方瑟掰 取得的进展，同时也参考了国外标准规范的相关内容。 a 基本涿弱 结构按承载能力极限状态计算和按正常使用极限状态验箨时，廒接国象现 行有关标准溉定豹作用( 荷载) 对结构的整体进行作用( 荷载) 效应分析：妊要 时，尚应对结构中受力状7 咒特殊的部分进行更详细的结构分柝。 当绪构在施工和使用期的不同阶段有多种受力状况时，成分别进行结构分 析，辨确定其最不利的作臌效应组合。 结构可熊遭遇火灾、爆炸、揽击等偶然作用时，尚应按国家现行有关标准的 要求遴行楣疲的缝橡分橱。 结构分析所需的各种几何尺寸以及所采用的计算图形、边界条件、作用 豹取建与缝合、耪糕缝戆熬计算攒振、秘嫂瘟力鞠变形状况等，痤籍含结穆戆实 际工作状况，并应鼹有相成的构造保证措施。 缝穆分援中爱慕鼷豹器释麓纯器近缓缓定，疯有毽论或试辍静依撵，或缀工 程实践验证。计算结果的凇确程度应符合工程设计的要求。 考簿竖赢狳簸影嫡酌挺絮屡翔弹瞧铡穆诗冀 缝梅分毒厅应簿含。f 捌要求： a 廉满足力学平衡袋侔： b 盛在不弱程度上符合变澎终调袈 争，氢糕节意鞠透葬麴约束絷锋； c 崴采用合瑗的材料或构件单元酶零构关系。 结襁分辑辩，童擞豢蘩糖类型、掏 掌奄裁、秘料淫麓秘受力特点等选撂下 列方法；绞弹性分析方法、考虑塑性内力重分稚的分析方法、塑性极限分析方法、 尊线瞧分攒方法及试验势糖方法。 结构分析斯采用的电算穰序应经考核和验证，熬技术条件应符台本娥越和 专美标准瓣要求。 对电瓣结果，应经刿断和校核：在确认其合理有效艨，方心用于工程设计。 8 线辫蠖势撩方法 线弹性分蛾方法霹用予澄凝土的绻秘蕊裁姥力援限状态及歪嚣使用极限 获溶静佟臻效斑分撬。 器系结构矬按空耀髂系遴行结构整蒋分援，势窿考虑杼馋兹搿夔、皴巍、 骜秘和羟转交形鼹结祷蠹力鹣影稳。 当签台下列祭葶孛爨。霹终穗缀筵纯： a 体形蕊瓣静空阕脊系结褥。可澄柱巅袋墙李垂 线分解为不嚣方商的平蔷结 擒癸鞠送错势辑，经宣考虑孚瑟旗穆熬塑麓瓷鞠工作： b 栉俘的辅向、赘切和摇转变形对结构内力的瓣响不大辩，可不诗及： e 缝橡或释徉豹交澎对箕肉力静= 狳兹巍影璃不大簿，霹不嚣及。 秆系结构的计算圈形宜按下列方法确定： a 杼律熬鞫缓宣袋藏嚣死髓孛心翡连线； b 现浇结构和装配整体式结构的梁柱节点、柱与耩础遴接处等可作为刚接； 粱、扳与其支承擒移嚣整蟀浇筑时，霹俸为铵接； c 抒件的计算跨度藏计冀高度宣梭其两端支承长度的中心距或净距确定， 势投提支承节点辩连接龚菠或支承爱力豹短嚣鸯鬟以掺琵： d 拇 牛闻连接部分的剐鹰遮大予抒件中间截面的刚度时，可传为雕域插入 诗葵图形。 枉蓉结捣孛桎传躲截匿剿发应按下列方法确定； a 淹凝豹弹嚣摸譬痤接表1 - i 采雳： b 截嚣惯燃艇霹按键震斡溅凝全截瑟诗冀； c 蕈形截蟊耱传静裁嚣矮程矩宣考虑翼缘静有效爨度送符诗算，逡霹裔j l 虢 尔北林业人学硕十学位论文 面矩形部分面积的惯性矩作修正后确定； 混凝土弹性模量( 1 0 4 n m m 2 )表1 1 混凝十 c 1 5c 2 0c 2 5( 2 0c 3 5c 4 00 蛎c 5 0c 5 50 6 00 6 5c 7 0c 7 5c 8 0 强度等级 e2 2 02 2 52 8 0 3 0 03 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 53 5 53 6 03 ，6 5 3 7 0 3 7 53 8 0 d 端部加腋的杆件，应考虑其刚度变化对结构分析的影响： e 不同受力状态杆件的截面刚度，宜考虑混凝土开裂、徐变等因素的影响 予以折减。 杆系结构宜采用解析法、有限元法或差分法等分析方法。对体形规则的结 构，可根据其受力特点和作用的种类采用有效的简化分析方法。 结构按承载能力极限状态计算时，其荷载和材料性能指标可取为设计值：按 正常使用极限状态验算时，其荷载和材料性能指标可取为标准值。 c 非线性分析方法 对于特别重要的或受力状况特殊的大型杆系结构和二维、三维结构，必要时 尚应对结构的整体或其部分进行受力全过程的非线性分析。 结构的非线性分析宜遵循下列原则： a 结构形状、尺寸和边界条件，以及所用材料的强度等级和主要配筋量等 应预先设定； b 材料的性能指标宜取平均值： c 材料的、截面的、构件的或各种计算单元的非线性本构关系宜通过试验 测定；也可采用经过验证的数学模型，其参数值应经过标定或有可靠的依据。混 凝土的单轴应力一应变关系、多轴强度和破坏准则也可按混凝土结构设计规范 ( g b5 0 0 1 0 2 0 0 2 ) 中的附录c 采用； d 宜计入结构的几何非线性对作用效应的不利影响； e 承载能力极限状态计算时应取作用效应的基本组合，并应根据结构构件 的受力特点和破坏形态作相应的修正：正常使用极限状态验算时可取作用效应的 标准组合和准永久组合。 ( 2 ) 在计算框架结构层问弹性侧移时，偏心受压柱在偏心荷载作用下会出现 纵向弯曲，产生侧向附加挠度，这个挠度将引起附加弯矩，一般称为“二阶弯矩”， 对于这种由于荷载效应所产生的变形效应，即所谓“二阶效应”应予以考虑。”1 在有侧移框架中，二阶效应主要是指竖向荷载在产生了侧移的框架中引起的 考辔整囱蒋裁影响瀚框架层间弹性铡移计算 隧热悫力，逶誊熬必p - a 效建。在这类撰絮熬务个柱敬孛，p a 效盛霉冬壤大柽端 控制截面中的弯矩；在无侧移框架中，二阶效威是指轴向压力在产生了挠曲变形 靛校疆孛弓l 超煞辫鸯羹疮力，逶霉成为p 一效盛，它寿菇戆增大柱段串帮静弯矩， 但除底层槛底外，一般不增大桩端控制截面的弯矩。 编心受压鞫 牟由缀窝窍夔雩| 起兹二输弯矩随罄构 率两臻弩簸静不溺丽不黼， 可分为三种情况：当构件两端作用有相簿的端弯矩时，一阶弯矩最大处与二阶弯 矩蔽大处耨熏台，一陵弩矩增加的最多，郄癌嚣截蘧上静弯麓最大：警两个端弯 矩不相等傻符号相同时一阶弯矩仍将增加的较多，假临界截蕊上的弯矩比两端 弯矩相等时的小；翔果两漏弯翘符号相蔽两沿构件产羹一个葳弯点时，一阶帮矩 将增加很少或可能不增加。 对于偏心受压“短柱”，由予挠度缀小，所以二阶奄矩在设计时一般可忽略不 计。丽对予长细比较大的偏心受压构件，挠度比较大，艇挠度髓长细比增大聪增 大，所以由纵向弯曲引起的二阶弯矩在设计时不能忽略。 上述二黔弯矩分农的蠼律，仅适鼹予没有求乎铡移残本平测移可惑蟮不诗的 结构中的偏心受压构件，肖结构有侧移且同一楼层所有柱的侧移相等时，由于结 搀敕侧移傻馕心受鹰构件瓣挠趣线发生了变化，其二除鸾蹩分匆怒律瞧发生了交 化。 疲当攒懑，攫架形状熬不对称、竖囱莓载熬不鼹稼躐嚣者都不对称等跨越都 会使框架产生侧移。在这种情况下，柱轴向压力n 的存在也会产生与酣相同的挠 度耪弯篷戆增丈。麸瑟这餐缝季冬鹣镶心受莲魏 拳鬣截瑟计算霎雩，警二除鸾矩不胃 忽略时，均应考虑结构侧移和构件纵向弯曲变形引起的二阶弯趟。”1 我嚣混凝结麓设计褒范( g 85 0 0 1 0 - 2 0 0 2 ) 中筑定：备类混凝结擒牵 的偏心受臌构件，均应在然f 截谣受压承裁力计辣中考虑结构侧移和构件挠曲g l 起蕊辩掘内力。著强规范巾箍荐采用n - l 。法或弹性分轿法考虑二阶效瘟的不举j 影 响。 r l l 。法是焉倘心距增大系数n 与结构中酌构件计算长度1 。相结台来估算二 阶弯矩的种近似方法，计算结果表明，这种方法在某然情况下会产生较大误差。 因此，今年来，美潮、加零大等翻规范推荐的一种精度和效率较高的考虑二阶效 应的方法，这神方法是考虑几 可嚣线性的有限元法，可以直接计葵出结梅构牛器 控制截面包括弯耀设计值在内的内力设计值，并按相应的内力设计值进行各构件 的裁露设计，是一荦巾理论上严密的分撰方法，是玛手算方法精确分橇缓架结构踞 应采取方法的一种发展趋秘。“姗“” 永北林业人学硕士学位论文 ( 3 ) 多遇地震作用下结构抗震变形的计算及验算“1 a 计算 按照建筑抗震设计规范的设计目标，结构在多遇地震作用下基本处于弹性 状态，其层问位移计算可根据地震作用的不同分析方法而采用楣应的方法。 对于按底部剪力法分析结构地震作用时，层间侧移的近似计算公式为： y a u = l ( 卜1 ) = l 式中a u 一一第j 层框架层间水平侧移： 矿一一第j 层框架层间剪力； d 。一一第j 层第k 号柱的侧向刚度： 棚一一框架第j 层的总柱数。 根据公式( 1 1 ) 便可逐层求得各层的层间水平位移。应当指出，按上述方法 求得的框架结构侧向水平位移只是由梁、柱弯曲变形所产生的变形量，而未考虑 梁、柱的轴向变形和截面剪切变形所产生的结构侧移。 b 验算 在建筑抗震设计规范( g b5 0 0 1 卜2 0 0 1 ) 中，对结构的抗震变形验算作了 下列规定： 对于表1 2 中所列的各类结构应进行多遇地震作用下的抗震变形验算，其楼 层内最大的弹性层间侧移应符合下式的要求： a u 。陵弘 式中 衄，一一多遇地震作用标准值产生的楼层内最大的弹性层间位移：计算 时，除以弯曲变形为主的高层建筑外，可不扣除结构整体弯曲 变形：应计入扭转变形，各作用分项系数应采用1 0 ：钢筋混凝 土结构构件的截面刚度可采用弹性刚度； 晚卜一一弹性层问位移角限值，宜按表卜2 采用； 向计算楼层高度。 1 3 本论文提出的新方法 在框架结构中，由于结构的重力代表值是一个相当大的作用，因此层间弹性 侧移的计算不应忽略轴力的影响。然而以往按线弹性分析的方法均未考虑轴力的 影响，计算结果偏小，在结构设计中可能会使结构安全性降低，以至导致工程事 故。朱杰江等提出的用简单连续化模型求解框架侧移的方法虽然考虑了结构的二 6 考虑竖向旖载影响的框架层闻弹性铡移计算 曼鼍基獬摹鼍舅苣置曩皇皇墨簟胃一i i 量量e 詈奠群鼍曩墨 辩往屡掏钕罄角隈德袭l 一2 结构类型 晚】 镶翁涎凝土框架1 5 5 0 钢筋溉凝十椴絮一抗燃瑞、扳懿一抗燧埔、框絮一核心筒l 8 0 0 钢麓规凝女菰震镶、簿中籍 i t o o o 钢锚掘凝_ v | - 概支层1 1 0 0 0 多、熹层镶缝姆1 3 0 0 陵皴应，餐其求躲避程分复杂，不够麓覆。警然，现在结攘竣谤孛采震饕线毪 电算分析的r 益增多，耐且计算结果比较精确，但是由于使用电算的有限元法不 糍绘密竞熬准臻魏褒这式，与工糕援拳筑菀绩会镬弱辩缀不方镬；并显对予设谤 者和初学澍泉说电算会使他们越来越脱离整个设计过程。因此，手算仍是种 不可缺少麴手蔽，它不援麓够穗供其体设计结巢，丽辩使设诗者参与了计算豹全 过摆，从丽使其结构分析概念更为清晰。此外，由于非线性分析的软件价格鼬贵， 许多设计筚位舔不据有戤袋软件，所域对于挺絮结构鞠层简弹性铡移计算，碍我 一种考虑竖向苟载影响的近似计算方法楚必要的。 在繇秆非线往问题的解析方法书中，刘晚成教授提出了一种新的求解 愿桴弯曲闷题的方法一一烬柝方法。其纂本原理是：建立压栉弯曲平衡的微分方 程，将其鹅一一挠曲线方程变换成以待建的几何参数表达的形式。该挠曲线的表 达式由一孵弦曲线与一多次曲线叠搬露成，佟蠢发理了分别与姥正弦魑线积多次 曲线相对威的压誊下的特定爱力平衡状态，从而把求解攫秆微分方程的问题转化成 根攮压摄数迭爨象馋和力貔平餐条传确定挠蕊线方程豹德定凡侮参数豹阙题。“砖 这种方法可煮接应用于一些简单的结构体繇，但对于框架结构，将导致极复 杂弱超越方程缀，嚣_ l 琏：援到一穆切实霹行静求解攥絮续梅考感a 嚣葵线挂影裁瓣 层问弹性侧移的方法是本论文的主要目的之一。 经过对备静霹缝适瘸豹方法豹爱复试葵、分摄之麓，奉论文捷爨u 一耱蘩予 普通框架分析结果引入压打挠曲线方程的迭代方法。这种迭代方法能够直观地 反浚框黎络鞫韵受力特煮鞠变形，穰念十分弱确：两懿蠢予它考虑了框絮绪稳静 二阶效应，计算精度也较高i 并熙此方法可以完全通过平算来完成，其原理和计 算疹骤均筒荤荔攀键，能够迅速糖计算掰框架结构豹滋润弹髋侧移。在不拥有菲 线性分析软件的情况下，完全可以通过此方法米进行计算；另外也可以用此方法 来判断毫髯结莱静合理性。 东袭棒韭大学碾士学像论文 2 用解析方法求解框架结构考虑竖向荷载影响的层间 弹性侧移跚川剐m 】f l 6 l f 川m 2 ) c z 3 l c 删汹汹m 对 2 1 计算缀理压耔弯蘸阏题鑫孽解析方法的基本公式 2 1 1 建立服杆单元坐标系 靛瑷惩静撵穗绪梅中取密等截鞭受舔雀耔，在其两端有任意约束，使其赣 截面上肖轴力、剪力及弯矩，如图2 1 所承。囤中的虚线为其受荷前的原有竖直 位置，实线为嬲载变形后的薪的平衡位置。 取杼受力变形前的一个端点为x 轴 的原点、秆的弱一端方向为x 轴的藏方 向、杼原点端侧移的方囱为y 触的正方向 建立直角坐标激。称之为压秆的单元嫩标 系。 在稳定性分析中，对秆的轴向压力， 雀计算辩通常必诗算数值，誉艇受号。钢 如欧挝l 晦界力p e = n2 e u l 2 。在本文中， 缳謦这令习凌，规定皴囊压力取委号。枵 o 端的剪力q o 的方向与y 轴的方向一致 闺2 - l y 粒，取必垂蕊，爱之凳受毽。稃l 攒瓣葵力q l 斡方淘与y 辘一致辩，取为受夔， 反之为征值。本文中规定，曲率为负号则弯矩取正号，即傥杆件横截面上y 轴磁 方蠢一德透缘产生楚藏力静驽矩秀歪弯矩，获之菇受弯矩。 2 1 2 微分方程的通解 在摹元坐标系孛，弯蘸平衡静微分方程淹： 嚣警+ 西嗡) t 制e + 鼬 沼1 ) 式巾：p 轴向力o m d 由予约束在截面x - - 0 上所产生的反力矩； q o 一由于约束在截面x = 0 上所产生的水平反力； ) 矿一截面x - - 0 所产生的水平位移； e 弹性模量 卜一截面惯性矩 8 鸯纛坚 罨蔹鼗彩嫡戆挺繁瑶溺弹往铡骖 舞 上述微分方程的通解楚； y = a ic o s o c 十a 2s i n 妇+ a 3 x + a 4 ( 2 - 2 ) 式中：安2 j 亩，a 一味2 矗4 ，蔻待定簸积分常数，磷由边器条传确定。 2 。l 。3 挠趣线表达式 引入一个参数伊，令 l ：一t a n 。- s m o( 2 3 ) a 2 c o s o 蹩理上式，孬弓| 入一个系数a ，可褥： 鱼：二l ：a( 2 。4 ) 一s i n 妒c o s 妒 可分别得出： a f = 一a s i n r , o ，a 2 = a c o s q ， 酝零，嚣个反弯点之阕豹耱莰愚一令典燮熬 二力打的欧拉弯曲模型，敞有： 肛器 沼” 海上式钱天k 豹表这式，可褥； k = 疗 娃 在图b ) 中，联杆任意截面的弯矩表达式为； m * p a s i n ( 钕一妒) 9 ( 2 ，8 ) ( 2 。9 ) 辱 末蔻抟韭大学硕士学霞论文 豳2 - 2 弓l 入新的参数毒，0 可称为菠弯点位置系数，錾寝示x 轴正方向第一个反弯点 到坐标服点的跋离。如图c ) 所示，谯反弯点处，盖一錾，m ；0 ，代入弯嫩表达式 ( 2 - 9 ) ，可得： 是錾一擎一0( 2 - 1 0 ) 将k 的表达式代入上式，w 得： 妒。毛( 2 1 1 )妒- 2 硝( -) u 终( 2 8 ) ，( 2 一t 1 ) 嚣式筏入( 2 6 ) 式孛，冒褥戳足 莓参数表达戆压努弯莛瓣 挠曲线方程： y 州咖爷如啦( 2 - 1 2 ) 上式静隽挠蘧线微分方程( 2 - 1 ) 瓣逶解，逶瘸予任意逡养条佟静压释。对于 给定边界条件的压杆，求其特解的问题可转化为根据秆端的变形连续条件和力的 平衡条侔确定臻蓝线方程静死俺参数静问题。 2 。1 4 挠曲线方程的力学模型 现在，谊我们分析一下维成压杆挠曲线方程的基本元素一一正弦瘟线和倾斜壹 绷基本濒内扣凇轴沁勋嘲争静一。正渡夔线舨弯纛酱在x 1 0 0 荩1，卜坼 h 考虑竖向荷载影响的框架层间弹性侧移计算 轴上可知州。x 一至1 。是以x 轴为基线的f 弦曲线，正弦曲线的两个反弯点之间的 l , u l j 距离为肛，距离原点正方向最近的反弯点的坐标是弘。因as i n x 一乙的最大值 l 肚2j 是l ，所以a 为正弦曲线的最大侧移。在此状态下，杼受力及变形的实质是处于 曲线平衡( 欧拉弯曲平衡) 状态下的二力杆。正弦曲线最重要的几何参数一一有 效长度系数可由( 2 - 7 ) 式导出： “= ( 2 1 3 ) 倾斜直线a 3 x + a 。是在杆的两端同时作用有p 和q o 或q l 的情况下保持平衡状 态的唯一姿态，a 3 的几何意义为斜直线与x 轴的夹角的正切，即杆的0 端p 和q o 的合力作用线与x 轴的央角的下切，其值为： 爿，= 鱼p ( 2 1 4 ) 如图d ) 所示，杆受力及变形的实质是直线平衡状态下倾斜的二力杆。a 。的几 何意义为斜直线在y 轴上的截距。 在一般情况下，a 3 0 ，f 0 ，可将直角坐标系的原点设在杆的变形前的一个 端点，直角坐标系的x 轴与杆轴重合，杆的另一端为x 轴的正方向，y 轴的方向与 杆。端的挠曲线方向一致。在这个直角坐标系中，若a 3 0 ，f 0 ，有a 。= a 3 錾， 如果a 3 或f 为零，则a 4 必须由边界条件确定。 在特殊条件下，如杆的某端弯矩为零，可将直角坐标系的原点设在该杆端， 在这个直角坐标系中，a 4 = 0 ，f = 0 ，可使计算简化。 2 1 5 基本方程式 由式( 2 - 1 2 ) 可以得出杆的挠曲线上任意点处的切线方向与x 轴的夹角的正 切为： t a n 扫= 譬= 一号c o s ( 三一王) 万+ 4 ( 2 15 ) 出 肚、i l l 肛 1 杼的挠曲线上任意一点处的弯矩为： m ：一彤磐：p a s i n ( 一协 ( 2 - 1 6 ) 肛 式( 2 - 15 ) 、( 2 - 1 6 ) 和式( 2 - 1 2 ) 即为压杆非线性问题解析方法的基本方程式。 尔北林业人学硕十j = j f ：位论文 2 2 求解层间弹性侧移的公式推导 压杆挠曲线方程式( 2 - 1 0 ) 及式( 2 - 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 - l3 ) 和( 2 1 4 ) 可直 接应用于一些较简单的结构体系，根据结构变形的连续条件和力的平衡条件，求 解结构的变形和进行稳定性分析。 对于框架结构，上述方法将导致极复杂的超越方程组，显然是行不通的。如 何应用上述基本方程式( 2 - 1 0 ) ( 2 - 14 ) ，找到一种切实可行的求解框架结构考 虑几何非线性影响的层问弹性侧移的方法是本文的主要目的之一。 经过对各种可能适用的方法的反复试算、分析之后，本文提出了一种基于普 通框架分析计算结果，引入压杆挠曲线基本方程式的迭代方法，其基本原理为： 首先我们用线性分析方法按弹性理论求出框架结构中某层柱的内力m 、p 、q 及柱两端的转角0 ( 这一部分可用传统的手算方法或普通的平面框架分析程序 f r a m e 程序求解) 。再锁定柱上下端的转角0 ，把柱的轴向力p 和剪力q 代入考虑 几何非线性影响的压杆的挠曲线方程式，求出新的柱端弯矩。此新的柱端弯矩与 原柱端弯矩的差值是节点的不平衡弯矩，将此不平衡弯矩与原结构的荷载重新作 用在框架上，可求出新的内力和变形。然后再丌始新一轮迭代，直至收敛。 求解框架结构层问弹性侧移基本公式的推导过程如下： 由f r a m e 程序的计算结果，可知柱的两端转角0 。，0 ，及压力p 和剪力q 。将 0 。，0 ，分别代入公式( 2 1 3 ) ，可得： 丌，一 t a n o o = a c o s 上7 + a3 ( 2 - i7 ) “t“ 。、 t a n0 = 爿号c o s i 三一土b a 3 ( 2 - 1 8 ) 其中：= 小譬 在此，通常的算法是联立方程( 2 - 1 7 ) 、( 2 - 1 8 ) ，从而求出未知量a 、g - ，然 后代入公式( 2 1 2 ) ，求出柱端侧移。但作者发现，可直接将a c o s ( - - 厅及爿s i n 王厅作 耻 为基本未知量求出，并不影响侧移的计算，而且可以简化计算。其计算公式推导 如下： 由公式( 2 17 ) ，可得 考虑经商蘅载影响韵框架层间弹性侧移计算 ac o s 疗：竺登鱼二垒( 2 - 1 9 ) 盍 瘗公式( 2 一1 8 ) ，可褥： t a n 既：么导f c o s 三c o s 支+ s 涟曼s i n l + a ， 广警一c o s 詈_ c 。s 鲁g 。as k l 帮= l ( 2 2 0 ) s i l l 告 幽公式( 2 一i ) ，可得柱酌相对侧移为： = 芦。一y 。= 蠢s ；n ( 吉一r c + a j l + a 4 一 冀鼬( 一言) 石+ 建； ：s i n 墨f 4 c 。s 羔矗1 一c 。s 苎f as i n 羔口 + 名s i n 王十窟，l ( 2 - 2 1 ) 跬、u1u uu 公式( 2 2 1 ) 秘是鼹嚣的层闼铡移公式。 2 3 框架结构非线性分析“”n m ” 撰絮终梅主要邀粱嚣柱缨成，英袋纛是剩蠢裂度鞍小，在这震终耀下交形较 大，容易引超梁或柱的破坏。因此，对框架结构详尽的试验研究和理论分析，有 韵予疆褰对堰絮结麓往能豹谈谈，进行台理静终稳设诗，凑镖攥粱结构其有懿好 的抗震性能。所以，对框架结构进行非线性分析是非常必要的。1 在本谂文中，出于诗簿层阕弹性翻移匏迭代过程是在整个祗架结擒各层各柱 同时进行的，而且缳后不仅可以得到结构的层间弹性侧移，同时可以得到各个节 点静位移我内力，这氇就怒整个禚架结构的凡秘菲线往分车厅。 这种几何非线性分析鼹建立在解析方法的基础上，通过严密的数学推理、论 证遴行的，其结莱是弯曲平衡方程的精确解；雨基于有限元静非线性魄算程序的 精确度则依赖于所划分的雄元网格的精度，只是一个近似解。因此作考认为，本 论文提出的方法张 # 线性啦i 算程序的计算结果受为精确。 零论文提出的非线性分极方法与基予有限元故非线性电算程序指魄，不仪计 算结果更为精确，而且可以完全用手算束进行，不需购鼷价格昂贵的软件，填补 了困内在几俺非线性分极方蔼的空自。 当然，结构的a # 线性分析是指在结构分析中充分考虑所有煎要的j # 线性因素 扶瓣可以慰结搴煞实际失效模式逶行综合全嚣静浮定，劳壹接获褥结擒的整转援 限承载力，它不仅需要对结构进行几何非线性分析，还浠要进行材料非线性分析 末藏转业大学毒黉士学经论文 及蕊载非线性分析等。由于本论文主要讨论的并j # 这个问题，在此，仅提出一个 对框架结构避行几何非线性分析的研究方向供大家参考，其体分析过程不再进行 讨论。 莲 考虑竖向荷载影响的框架层间弹性侧移计算 3 框架结构分析实例 3 1 实例n ” 3 1 1 实例 某1 0 层框架结构办公楼的平、剖面如图3 一l 所示，横向框架为两跨，左跨 5 4 m ，右跨6 6 m ，柱距3 6 m ，除一层层高为4 3 m 外，其余层高3 3 m ；框架梁、 柱和楼板均为现浇，柱混凝土强度等级一、二、三层为c 3 0 ，以上各层为c 2 5 ，梁 的混凝土强度等级都取c 2 0 ；柱截面尺寸除一、二层中柱取5 5 0 m m 5 5 0 m m 外其余 均为5 0 0 m m 5 0 0 m m ，梁截面尺寸，横向为3 0 0 m m x7 0 0 m m ，纵向为3 0 0m m 4 5 0 m m ， 楼板厚度取l o o m m ；场地为i i i 类，考虑远震，设防烈度为8 度，基本风压w o = 0 4 5 k n m 2 ，基本雪压0 45 k n m 2 ；房屋内外隔墙均为轻质墙。 - i e = ； 。胬 ： 丽 t = 昌皇 ， 1 3 0 0 l ! 习。 。i 。l ，。i 。1 ，。川。i 。，。，。，。 3 6 0 00 00 0 3 1 - 2 基本数据计算 3 1 2 1 框架横向刚度计算 ( 1 ) 粱的线刚度 图3 一l _ _ d 、，j 。 _ i 8 r o g 。 i r _ = ： u i。 弘。 9 2 ) 0 2 1 一毯一道疆气屡0。15 2 0 脬1 ：3 水泥砂浆找平层 o 4 0 1 1 0 溪褒浇教2 。7 5 1 墨腥云拯逖递壁浆继趣 一心 蘧载总计453 5 q 逝雪冀。一 。一 。q ：2 q 屡蟊釜向菏载蕊诗4 7 3 k n m 2 ( 2 ) 楼面萄裁 2 5 藤自石予农磨石0 6 5 k n m 2 3 0 姆1 ：2 ：4 予硬性鳃石混凝0 7 5 1 1 0 厚现浇板 2 7 5 1 三理丞塑邀漫壁装垒兰璺 恒载总计445 茎垒爨盘查蕉藏坌= 垫 楼面竖向荷载总计5 2 5k n m 2 3 ) 横囊捱粱粱主线爨载 按淑向板计算，作用于樵架顶层和一般滕上的梯形荷栽如图3 2 所示，其中 褥载集度承豫薅予矮瑟，鼋2 作矮子一般瑟，二者之餐受： q 1 = 4 7 3n3 6 = 1 7 k n m q 2 = 5 。2 5x3 6 = 1 8 ，9 k n m 粱的c a 重以及横隔墙自熬近似按 筠鑫线薄载考虑，努羽建$ 及劬蓰表t 龋荷载乏值为； 。，一f 仃r 丌仆、。，m m t m 仆 4 删燃 l ! 途趣姒址邋u 尘 k 。黼。乒。吨节育# 一，r 矗r 毒。t 酋一 1 8 圈3 - 2 考虑竖向荷载影响的框架层间弹性侧移计算 q 3 2 0 3 0 7 x2 5 x1 1 2 5 8 k n m q 4 = 1 8 x ( 3 3 0 7 ) = 4 7 k n m 框架顶层只考虑q 3 ，一般层应取q 3 + q 4 = 1 0 5k n m 。 ( 4 )纵向框架传给柱的轴力( 1 个丌阳j ) 一根纵梁 o 3 o 4 5 x ( 3 6 - o 5 ) x 2 5 1 1 = 1 1 5 k n 一片外纵墙 2 x 【( 3 _ 3 0 4 5 ) x3 1 一l _ 8 1 5 = 1 2 3 k n 一片内纵墙 1 8 【( 3 3 0 4 5 ) 3 1 1 2 4 ；1 1 6 k n 一根柱重2 5 0 5 0 5 3 3 1 15 = 2 3 7 k n 2 5 x 0 5 5 x 0 5 5 x3 3 x 1 1 5 = 2 8 7 k n ( 9 2 5 0 5 o 5 x4 3 x1 15 = 3 0 9 k n 2 5 x 0 5 5 x 0 5 5 4 3 x1 15 = 3 7 4 k n 一段女儿墙 3 6 o 8 5 2 4 = l5 1 k n 屋盖传给边柱轴力4 7 3 0 5 1 8 2 2 = 15 3 k n 屋盖传给中柱轴力 2 x15 3 = 3 0 6 k n 楼盖传给边杜轴力 5 2 5 0 5 1 8 2 2 = 1 7 0 k n 楼盖传给中柱轴力2 1 7 0 = 3 4 0 k n 纵向框架传给柱的轴力其计算过程见表3 7 。 3 1 2 3 水平地震作用产生的框架内力与位移 ( 1 ) 建筑物的重力荷载代表值 女儿墙总重o 8 x ( 3 6 1 0 x 2 + 1 2 x2 ) x5 ，2 4 = 4 0 2 k n 各层梁重 1 1 5 x3 0 + ( 1 2 1 ) x5 8 x 1 1 = 1 0 4 7 k n 柱重三十层2 3 7 3 3 = 7 8 2 k n 二 层2 3 7 x2 2 + 2 8 7 xl l = 8 3 7 k n 首层3 0 9 x2 2 + 3 7 4 x1 l = 1 0 9 l k n 隔墙重( 每层) 1 2 3 2 0 + 1 1 6 x 1 0 + 1 8 x 【( 3 3 0 1 1 ) x3 6 1 2 4 l o + 4 7 x ( 5 4 0 5 + 4 4 5 ) x1 l = 1 0 0 9 k n g - 0 = 4 0 2 + 1 0 4 7 + 4 ，7 3 1 2 3 6 + ( 7 8 2 + 1 0 0 9 ) 2 = 4 3 7 8 k n g g = g s = g t = g 6 = g 5 = g 4 = g 3 = 1 0 4 7 + 7 8 2 + 1 0 0 9 + 5 2 5 1 2 x3 6 = 5 0 t 6 k n g 2 = 1 0 4 7 + ( 7 8 2 + 8 3 7 ) 2 + 1 0 0 9 + 5 2 5 1 2 3 6 = 5 1 3 4 k n g - = 1 0 4 7 + ( 1 0 9 l + 8 3 7 ) 2 + 1 0 0 9 1 0 5 + 5 2 5 x1 2 3 6 = 5 3 3 8 k n 总重力荷载 g = 4 3 8 7 + 5 】0 6 7 + 5 】3 4 + 5 3 3 8 = 5 0 6 0 】k n 9 东北林业大学硕十学位论文 纵向框架传给柱的轴力计算 表3 7 层柱端边柱轴力( k n )中柱轴力( k n ) i ： l5l + l i5 + i53 = 4 191 15 + 3 06 = 4 2 下 4 】9 + 2 37 = 6 564 2l + 2 37 = 6 58 1 6 56 + 123 + ll5 + 17 = 1 0 646 5 8 + i l6 + l l ，5 + 3 4 = l2 29 几 下1 0 64 + 2 37 = l3 01 2 29 + 2 37 = 1 4 66 f ：3 0 1 + l2 3 + l i 5 + 17 = i7 091 4 6 6 + l23 + 1 1 5 + l7 = 2 0 37 八 下7 0 9 + 2 3 7 = 1 9 462 0 3 7 + 2 37 = 2 2 74 ：9 6 4 + 1 23 十l5 + 17 = 2 3 54 2 2 74 + 1 23 + 1 l5 + l7 = 2 8 45 七 下 2 3 5 4 + 2 37 = 2 5 9 12 8 45 + 2 37 = 3 0 8 2 ：2 5 9l 十1 2 3 十l l5 + 1 7 = 2 9 993 0 82 + l23 + l l5 + 17 = 3 6 53 下 2 9 99 + 2 37 = 3 2 363 6 53 + 2 37 = 3 8 90 l 。3 2 36 + l23 + l i5 + i7 = 3 6 443 8 90 + 1 23 + l l5 + 】7 = 4 4 6 五 下 3 6 44 + 2 37 = 3 8 8 4 4 6l + 2 37 = 4 6 98 f ：3 8 8l + l23 4 - 1 1 5 + l7 = 4 2 8 94 6 98 + i23 + 1 15 十17 = 5 2 69 洲 下4 2 8 9 + 2 37 = 4 5 265 2 69 + 2 37 = 5 5 06 l 4 5 2 ，6 十1 23 + i15 + 1 7 = 4 9 345 5 0 6 + 1 23 + l i5 + 1 7 = 6 0 7 7 下4 9 3 4 + 2 37 = 5 1 7 16 0 7 7 + 2 3 7 = 6 34 1 ：5 1 71 + i2 3 + l i5 + 17 = 5 5 796 3 i4 + 1 23 十l l5 + l7 = 6 8 85 下5 5 79 + 2 37 = 5 8 l66 8 85 + 2 37 = 7 l7 2 i 5 8 1 6 + i23 + 1 1 5 + l7 = 6 2 247 l7 2 + l2 3 + l i 5 + 1 7 = 7 7 43 下 6 2 24 + 2 3 7 = 6 5 33 7 7 43 + 2 37 = 8 i i7 ( 2 ) 建筑物基本周期 利用下式计算框架横向自振周期 式中g 一一i 质点的重力荷载代表值( k n ) ； u ，一一各质点承受相当于其重力荷载代表值的水平节点力作用时，i 质 点所产生的侧移量( m ) ； 1 l rt 一一考虑填充墙的刚度影响对周期的折减系数，本例中取vt = 0 8 。 叵扣 考虑竖向荷载影响的框絮层间弹性 j 0 4 移计算 u 值计算表 表3 8 层g 。 v g i d占：生u - g l u g i u i 2。 d 十4 3 8 74 3 8 77 9 9 1 0 o 0 0 5o 3 5 81 5 7 05 6 2 九5 1 0 69 4 9 37 9 9 1 0 300 1 20 3 5 31 8 0 26 3 6 八5 1 0 6 1 4 5 9 97 9 9 1 0 30 0 18o 3 4 11 7 4 l 5 9 3 七 5 1 0 61 9 7 0 5 7 9 9 1 0 3 o0 2 50 3 2 3