（基础数学专业论文）几何结构在brunnian链环的琼斯多项式计算中的应用.pdf

摘要本文从几何角度研究b r u n n i a n 链环的琼斯多项式，具体给出组件数为3 。4 和5 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式，进而归纳出任意组件数的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式的特征，并给出了投影图的交叉点具有几何对称性的链环的琼斯多项式的算法语言，给出了h o p f链环的琼斯多项式的算法实现过程另外，本文把上述结果应用到环面纽结上，具体给出三叶结的几何分解过程，结合已有的由代数手段得出的结论，实现代数方法与几何方法的结合而且本文还讨论并证明了环面纽结类( m ，n ) - 纽结：当m ，l l 不互索时，其为t 个分支的环面纽结( m l ，n 1 ) ，其中t 为m ，n的最大公约数，m 1 = m t ，n l = n t 关键词：琼斯多项式；b r u m f i a n 链环；( m ，n ) - 环面纽结；算法i i ia b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sj o n e sp o l y n o m i a lo fb r u n n i a nl i n k sm a i n l yf r o mt h eg e o -m e t r i cp o i n to fv i e w w eg i v ej o n e sp o l y n o m i a lo fb m n n i a nl i n k s ，w h i c hh a v e3 、4a n d5c o m p o n e n t s t h e nw es u m m a r i z et h ef e a t u r e so fj o n e sp o l y n o m i a lo fb r u n n i a nl i n k sw h i c hh a v ea r b i t r a r yn u m b e ro fc o m p o n e n t s m o r e o v e r ，w eg i v eo u tt h ea l g o r i t h m ，w h i c hi su s e dt oc o m p u t ej o n e sp o l y n o m i a lo fb n m n i a nl i n k s ，w h e nc r o s s i n g so ft h e i rp r o j e c t i o n sh a v es y m m e t r y a l s ow eg i v eo u tt h ew h o l ep r o c e s so fr e a l i z 咄t h ea l g o r i t h mo fj o n e sp o l y n o m i a lo fh o p fl i n k i na d d i t i o n ，w ea p p l yt h e s er e s u l t so nt o r u sk n o t w eg i v et h ed e c o m p o s i t i o np r o c e s so ft r e f o i lk n o t ，a n d 、，e r i l j rt h ec o n c l u s i o n so na l g e b r a sb yv a u g h a nj o n e s m o r e o v e r ，w ed i s c u s s ea n dp r o v e ( m ，n ) 一k n o tw h i c hi sac l a s so ft o r u sk n o t ：w h e nma n di ia r en o tc o p r h n e ，i ti s ( m l ，n 1 ) - t o r u sk n o tw h i c hh a stc o m p o n e n t s ti sc o m m o nd i v i s o ro fma n dn m l = m t ，n l = n t k e yw o r d s ：j o n e sp o l y n o m i a l ；b r u n n i a nl i n k s ；( m ，n ) 一t o r u sk n o t ；a l g o r i t h m独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意学位论文作者签名；羔暮赶日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或酃分内容编入有关数据库进行检索。可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名。堑互- k 墼互指导教师签名；日期t 边呈。玉2 日期：学位论文作者毕业后去向；工作单位。运! 呈龌蚴第三幸学电话：q 丝墨刨吼德通讯地址：超盟省土这审沙河口唇邮编tz ! 么qz | f粒盟笨东北师范大学硕士学位论文1引言有关纽结理论的真正研究始于1 9 世纪中期，根据开尔文的原子结构模型猜想，原子是由多结的以太组成，其中每个纽结代表一种特殊的原子为支持这一观点，苏格兰物理学家t a i t 决定列出所有可能的结来制作个元素周期表但开尔文的猜想后来被证明是错误的，使科学家们对纽结失去了兴趣到2 0 世纪中期，随着拓扑学的出现，数学家们开始运用拓扑学的观点研究纽结理论，纽结理论与纯数学领域的拓扑学被综合起来现在，这一被数学家发展了的纽结理论在不同学科都有重要的应用，形成了像化学拓扑学、生物化学拓扑学和立体化学拓扑学等新的学科分支由于纽结、链环与三维，四维流形的构造和分类有深刻的联系，与奇点理论也密切相关，也由于高维纽结( 佗维球面在几+ 2 维空间中安放方式) 的研究的进展，纽结理论近年来引起更多人的兴趣它也被应用于化学中大分子的空间结构的研究，例如遗传物质d n a 的研究f l o 纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，它的根本问题是研究纽结的等价分类，区分不等价的纽结因此它是研究曲线在三维空间中安放方式的差异，而非研究曲线本身的差异因为任意两个纽结均同胚于圆周，在同胚的意义下，它们是无差异的纽结也是三维空间特有的现象，在二维或高于三维空间，简单闭曲线没有”打结”的问题要证明两个纽结等价，只要能作两个模型，想办法把一个形变为另一个即可但要证明两个纽结不等价，不能因为找不到两个纽结之间的形变，就断定它们不等价；通常还是用拓扑学的基本办法，即找纽结等价的不变量若两个纽结有一个不变量各不相同，则这两纽结不等价c o l i nc a d a m s 在t h ek n o tb o o k ：a ne l e r n e n t a r yi n t r o d u c t i o nt ot h cm a t h c -m a t i c a lt h e o r yo fk n o t s 中介绍了几种纽结不变量：三色性、交叉数、解结数、桥数、欧拉多项式和琼斯多项式等虽然前几个便于求解，但鉴别力不强常见的纽结不变量还有纽结群，纽结群是从三维空间中挖去该纽结后所余的1东北师范大学硕士学位论文开集的基本群它容易计算，有简单的步骤从该纽结的投影图来写出它的母元和关系然而它也不易鉴别，因为用母元和关系写出的两个群，没有普遍适用的办法来鉴定它们是否同构1 9 2 8 年，j w 亚历山大发现可以利用具有整数系数的多项式一亚历山大多项式f 5 】，不同的纽结对应不同的多项式，因而它能够在一定程度上对所有纽结或链环进行分类然而，它不是纽结不变量，且无法区分纽结和它的镜像1 9 8 4 年，新西兰数学家j o n e s 从他的关于算子代数的定理中引申出纽结的另一个多项式一琼斯多项式，是纽结不变量，所以后人大多用它来分类各种纽结和得到一些结论，例如，k m l i f r n a n k u n i om u r a s u g i 和m o r w e nt h i s t l c t h w a i t e 于1 9 8 6 年分别用琼斯多项式证明了一个交错的纽结如果有一个交叉数为1 1 的约化的投影，则这个纽结交叉数为n 琼斯多项式的意义还不限于纽结理论，它与3 维拓扑学以及物理领域有密切关系同时。j o n e s 多项式的计算方法问题，也备受关注国外对于此项工作的进展情况是。给出纽结的标准化投影并编号，开发出一种软件，达到输入某个纽结的相应编号，即可算出该纽结的j o n e s 多项式国防科技大学的博士研究生赵砚在纽结不变量的一种算法实现 1 4 1 中指出纽结的琼斯多项式应用广泛，但手工计算复杂烦琐鉴于此，提出了一种简单易行的算法，基于该算法实现的程序，能够对手工画得的纽结迅速算得其琼斯多项式该算法的主要步骤是t 对于一个手工画得的以投影图形式出现的纽结，读取投影图为二值矩阵，进而从该二值矩阵中提取三个矩阵w ，n 、z 。以代表该投影图本质上的数学信息然后，设计一套基于上述三个矩阵的信息采取规则，来实现对投影图交叉点的打开过程的模拟，得到该纽结的尖括号多项式最终得到j o n e s多项式此算法从理论上简单可行，帮助解决实际操作繁琐易错的问题，然而，我们经过实际模拟操作，发现此算法对本文要研究的b r u n n i a n 链环这样交叉数多的复杂纽结，所需要处理的数据量非常大，且体现不出几何结构的对称性对其琼斯多项式的影响1 8 9 2 ，h e r m a n nb r u n n 研究了n 个组件的链环，当移走任何一个组件时，剩下的则是个有n 1 个组件的平凡链环，将具有这种性质的链环称为b r u n n i a n 链环特别的，h o p fl i n k 是组件数为2 的b r u l m i a n 链环2东北师范大学硕士学位论文b r u n n i a n 链环是链环理论中一个备受关注的话题，它有其广泛的实际应用，分子生物学家用它来构造大量的物理结构模型在一些智力游戏中，可以利用b r u n -n i a n 链环的研究方法，将问题分解，找到正确的解决方案后，再将其重组本文，我们将利用b r u n n i a n 链环独特的几何结构，按照法则，从对称位置分组分批依次打开交叉，从而发现规律，得到其琼斯多项式本文，我们还利用同样的几何手段，求解了( 2 ，3 ) 一环面纽结和( 3 ，2 ) 一环面纽结的琼斯多项式在此之前，v a u g h a nj o n e s 已经运用代数方法证明了( m ，n ) - 环面纽结的琼斯多项式为t 一1 ) ( n t ) 2 ( 1 一t m + l t n + 1 + t m + n ) ( 1 一t 2 ) | 3 】，但是相当困难本文想从几何角度寻找一种比较简单的方法，实现此问题的求解k u n i om u r a s u g i 于1 9 9 1 年证明了( i n ，n ) 环面纽结的交叉数为m 一1 ) 和n ( m 一1 ) 中最小值，在此结论成立的前提下，论文中对环面纽结琼斯多项式的研究，就不必考虑投影不同导致结果不同的可能了本文我们的创新是t 从b m n n i a n 链环自身独特对称性的几何构造，利用几何方法求解它的琼斯多项式，它的求解过程和结果也会呈现出这种对称性，进而便于猜想任意组件数的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式于此同时，我们给出了几何结构对称的链环的琼斯多项式的一种算法实现，大大简化了琼斯多项式的求解过程3东北师范大学硕士学位论文2 琼斯多项式2 1r e i d e m e i s t e r 移动纽结的投影图：任意一个纽结，选取适当的投影方向，总可以使它在平面上的投影的自交点都只是二重交叉点；以线的虚实表现交叉的情况，就得到了纽结的投影图纽结的等价类被它的投影图完全确定，但是等价的纽结可以有不同的投影图性质2 。l 【1 1 假设同一个纽结k 有两个投影图a 和b ，则投影a 可以合痕移动到投影b r e i d e m e i s t e r 移动是空间中的合痕移动，有如下三种形式，见图参1 1ilhp弧ihb”r ”等m ，牧h 婊。o l 专_一一一一、 通墟图2 - 2专一设纽结k 的尖括号多项式为 ，有如下三个规则：r u l e1 ： = 1r u l e2 ：。 = 以 + 一 = 4 + 一 ( r u l e3 ： = ( 一a 2 一a 一2 ) 有了上面的规则，我们就可以算出给定纽结的尖括号多项式引理2 2 1 尖括号多项式不是纽结不变量证明：只需证纽结的尖括号多项式在r c i d e m e i s t e r 移动下并未保持不变下面考虑纽结的尖括号多项式在r e i d e m e i s t e r 三种移动下的变化情况5通、哆，。东北师范大学硕士学位论文i i ： - - a ( a “1 ) + 4 d u )；i i i ：( 必 = _ + 4 1 肖z 铬： 一r ： t + 一 ；o ( 萏 = 4 = 卜综上，我们得到结论：尖括号括号多项式不是纽结不变量，不能直接用它来对纽结进行分类我们在尖括号多项式的基础上加上变量，使得得到的多项式能够在r e i d e m e i s -t e r 移动一下保持不变，在引入这个多项式之前，我们先定义拧数我们给纽结或链环k 个定向，在其投影的每个交叉定义一个值t 如果该交叉满足右手法则，则定义为+ 1 ；如果该交叉满足左手法则，则定义为- 1 我们把所有+ 1 和1 的和称为k 的拧数，记为( k ) 引理2 2 2 两个组件的链环如果改变其中一个或两个组件的定向，不改变拧数的绝对值证明方法很简单现在我们引入x ( k ) = ( - a 3 ) 叫( k ) 下面证明：x ( k ) 在r e i d e m c i s t e r 移动一下保持不变设纽结k 存在可以进行移动一的扭转，打开扭转后形成的纽结我们记为以一种情况为倒，不妨设此扭转的上跨斜率为正，定向为逆时针，则、那么，l o c k ) = ( ) 一1x ( k ) = ( - a 3 ) 叫( k ) ：( 一a 3 ) 一( ( ) 一1 ) ( 一a 一3 ) 6东北师范大学硕士学位论文：( 一) 一u ( ) ：x ( k )综上，我们得出：性质2 2 多项式x ( k ) 在r c i d e m e i s t e r 三种移动下保持不变，是纽结k 的不变量因此，多项式x ( k ) 可以用来进行纽结分类，我们称其为欧拉多项式2 3 琼斯多项式在欧拉多项式的基础上，我们将x ( k ) 中的a 替换为t - l 4 ，得到的多项式仍然是纽结k 的不变量，我们称其为琼斯多项式，记为v ( t ) 它是新西兰数学家j o n e s 于1 9 8 4 年得到的，已经发现1 0 个交叉以内的纽结有且只有一个琼斯多项式，这样可以准确的区别每一种纽结性质2 3 设纽结k 的镜像为j ，a ，如果纽结k 具有非手性，即k 与a 合痕，则如果纽结k 具有手性，则坼f ( t ) = v k a ( t )坛( ) = 坛 ( t 一1 )所以，琼斯多项式可以区分纽结和它的镜像，例如。左手三叶结的琼斯多项式为t - 1 + t - a + t 一，右手三叶结的琼斯多项式为t + p + t 4 引理2 3 1t - 1 v ( l + ) 一w ( l 一) + ( t 一1 2 一t l 2 ) v ( l o ) = 0证明，x ( l + ) = ( 一a 3 ) 一1 = ( 一a 一3 ) ( a + a 一1 )= 一a 一2 一a 一4 v ( l + ) = 一( t - 1 4 ) 一2 一( t 一1 4 ) 一4 = 一t l l 2 一t x ( l 一) = ( 一a a ) = 一a 3 ( a + a 一1 )= 一a 4 一a 2 7东北师范大学硕士学位论文v ( l 一) = 一( t - 1 4 ) 4 一 一1 芦) 2 = 一t - 1 ( x 一t - 1 2 t w ( l + ) 一t v ( l 一) + 0 1 2 1 1 2 ) y ( l o )= 一t - l z 一 + + 矿z + ( t 一1 2 一t l 2 ) = 08东北师范大学硕士学位论文3b r u n n i a n 链环的琼斯多项式两种形式的b r u n n i a n 链环定义3 1n 个组件的链环，当移走任何一个组件时，剩下的则是一个有n 一1个组件的平凡链环，将具有这种性质的链环称为b r u n n i a n 链环下面给出b n m n i a n 链环的两种表现形式各举一例见图3 - 1 和3 - 2 3 1 空间形式3 2 平面形式9东北师范大学硕士学位论文无论是空间形式还是平面形式。b r u n n i a n 链环的几何结构都体现了明显的对称性，这种特殊的结构必然导致它的代数结果的对称性3 2b r u n n i a n 链环的琼斯多项式定理3 2 1 组件数为礼的b r u n n i a n 链环k 的拧数u ( k ) = 0 ( n 3 )证由b r u t m i a n 链环的定义，对称位置的两个交叉纵向的绳要么都是下跨，要么都是上跨，且方向相反而横向的绳方向相同。所以两个交叉处的值互为相反数，和为0 设b r u n n i a n 链环k 交叉数为n ，则由其几何结构的对称性，n 为偶数。有n 2 组对称的交叉，已得每组交叉的值和为0 所以，b r u n n i a n 链环k 的拧数) ( k ) = 0 对于一个状态s ，令i ( 8 ) 为s 所打开的a 通道个数，j ( 8 ) 为s 所打开的b 通道个数，l s i 为这些通道全部打开后，那个没有交叉点的投影图由多少个简单闭曲线组成则有引理3 2 1 1 4 1 = 。a ( a ( a 一1 y ( 。( 一a 2 一a 一2 ) 一1由引理3 2 知，无论按照怎样的次序解开所有交叉，所得到得琼斯多项式是一样的因此，我们不必讨论解开交叉的次序对于b r u n n i a n 链环，当其组件个数增多时，它的琼斯多项式越复杂，不容易计算然而它的对称结构，使得我们可以考虑从对称位置入手，有类似前面提到的纽结和它的镜像之间的的琼斯多项式的关系我们不妨以组件数为3 、4 和5 的b r u n m a n 链环的琼斯多项式的求解为例，来说明任意组件数的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式的求解规律首先，我们给出求解过程中经常用到的纽结和链环的尖括号多项式1 0( 0 ；一彳 ) = 一月 a ( - 叫妒一4 畸) 。以l 一( 一一一) “= 4 n f 一2 2 1 2 _ 2 月州f -定理3 2 2 组件数为3 的b r u r m i a n 链环的琼斯多项式为证明： = 。 “一，、定理3 2 3 组件数为4 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式为y ( k ) = 一1 3 2 + t 一6 4 t 一1 1 2 3 t 一5 + 1 2 t 一9 2 + 孔一4 1 5 t 一7 2 1 5 t 一3 + 2 6 5 2 + 3 1 t 一2一乳一3 2 1 2 t 一1 + 1 7 t 一1 2 + 2 6 + 1 7 t a 2 1 2 t 一5 庐2 + 3 1 t 2 + 2 6 5 2 1 5 t 31 5 t 7 2 + 7 t 4 + 1 2 t 9 2 3 t 5 4 t 1 1 2 + t 6 + t 1 3 21 1东北师范大学硕士学位论文证明：一声一 刊一 + 一+ 一一；，一， + c 4 + 2 一上， ：国坼 颤葑+ 扪 。p 一。， + 酗一， +。一+ 2 一4 毒， + 卜岔+ z 一一z s ， ：c 手戡。r l 一4 弓， + 。4 一4 4 ，= 滞蠢、； 舯 +1 2东北师范大学硕士学位论文。p一，c一一_一，+c4一：冬净。r一2+ 一2 一啦- 列二， + ( - 俨+ 甜一2 + 4 + 3 a j 一一) + 。) + u 一且4 ， + c z 一4 4 ，卜一4 一r +一m ， + ( a m - p i 6 + a 2 ) 们州， + _ a 6 ) ( - a 4 - ( - a 2 ( a 2a 6 ) ( - a 4 州一，胁硒 +州( 1 一a ) ( - a 2 一_ 3 ) ( 叫| 一点- ) 2 + ( - 3 a * + 3 a - ，)一卅 毒+ ( 一4 - ) ( - 一_ - ) +c l 一2 - + _ ) ( 一。) + ( d 一2 a - + 矗枷) ( - 0 - ) +( - a n + 孰| 一2 a 4 + 4 2 ，+ 3 矗一4 川) + ( i 一) ( 一一一_ 4 ) ( - - a _ ) +一a = x - a 4 一a - b + ( 矿一a 4 ) ( - a 一一) + 一才+ 一1 ) 州一一1 3东北师范大学硕士学位论文= ( a 1 2 2 a s + a 4 + a 一4 2 a 一8 + a - - 1 2 ) ( 一a 1 4 一a 6 2 a 2 2 a 一2 一a 一6 一a 一1 4 )+ ( 2 a 1 0 + a s 一6 a 63 a 4 + 6 a 2 + 3 + 6 a - 2 _ 3 a 一4 6 a e + a 一8 + 2 a 一1 0 ) ( 一a 4 一a 一4 ) 4+ 3 ( 一a 4 + 2 一a 一4 ) ( 一a 2 一a 一2 ) ( 一a 4 一a 一4 ) 2+ ( a 2 一a 6 + a 一2 一a 一6 ) ( 一a 2 一a 一2 ) 2= 一a 2 6 + 2 a 2 2 一a l s a l o + 2 a 6 一a 2 一a l s + 2 a 1 4 一a l o a 2 + 2 a 一2 一a 一6 2 a 1 4 +4 a 1 0 2 a e- 2 a 一2 + 4 a 一6 2 a 一1 0 2 a 1 0 + 4 a 6 2 a 22 a 一6 + 4 a 一1 0 2 a 一1 4 一a 6 + 2 a 2 一a 一2 a 一1 0 + 2 a 一1 4 一a 一1 8 一a 一2 + 2 a 一6 一a 一1 0 一a 一1 8 士+ 2 a 一2 2 一a 一2 6+ 2 a 2 6 + a 2 4 6 a 2 2 3 a 2 0 + 6 a 1 8 + 3 a 1 6 + 6 a a 4 3 a 1 2 6 a l o + a s + 2 a 6+ 8 a 1 8 + “1 6 2 4 a 1 4 1 2 a 1 2 + 2 4 a l o + 2 4 a s + 2 4 a 6 1 2 a 4 2 4 a 2 + 4 + 8 a 一2+ 1 2 a 1 0 + 6 a 8 3 6 a 6 1 8 a 4 + 3 2 a 2 + 1 8 + 3 6 a 一2 1 8 a 一4 3 6 a b + 6 a 一8 上1 2 a 一1 0+ 8 a 2 + 4 2 4 a 一2 1 2 a 一4 + 2 “一6 + 2 4 a 一8 + 2 4 a 一1 0 1 2 a 一1 2 一纵一1 4 + “一1 6 +8 a - 1 8 + 2 a 一6 + a 一8 6 a 1 0 3 a 一1 2 + 6 a 一1 4 + 3 a 一1 6 + 6 4 1 8 3 a 一2 0 6 a 一2 2 +a 一2 4 上2 a 一2 6+ 3 a 1 4 + 3 a l o + 6 a 6 + 6 a 2 + 3 a 一2 + 3 a 一6 6 a l o 一6 a 6 1 2 a 2 1 2 a 一2 6 a 一6 6 a 一1 0 + 3 a 6 + 3 a 2 + 6 a 一2 + 6 a 一6 + 3 a 一1 0 + 3 a 一1 4+ a e a l o + a 2 一a 一2 + 2 a 2 + 2 a 一2 2 a 6 2 a 一6 + a 一2 一a 2 一a 一1 0 + a 一6= a 颦+ a 2 4 一乱4 2 2 3 a 加+ 1 2 a i s + 7 a 1 6 一1 5 a 1 4 1 5 a 1 2 + 2 6 a l o + 3 1 a s 5 介一1 2 a 4 + 1 7 a 2 + 2 6 + 1 7 a 一2 1 2 a 一4 5 a 一6 + 3 1 a 一8 + 2 6 a 一1 0 1 5 a 一1 2 1 5 a 一1 4 +7 4 1 6 + 1 2 a 一1 8 3 a 一2 0 一“一2 2 + a 一2 4 + a 一v ( k ) = t 一1 3 2 + t 一6 4 t 一1 1 2 3 t 一5 + 1 2 t 一9 2 + 7 t 一4 1 5 t 一7 2 1 5 t 一3 + 2 6 5 2 +3 1 t 一2 5 亡一3 2 1 2 t 一1 + 1 7 t 一1 2 + 2 6 + 1 7 t l 2 一1 2 一5 t 3 2 + 3 1 t 2 + 2 6 5 2 1 5 3 1 5 t 7 2 +7 t 4 + 1 2 t 9 2 3 亡5 4 t 1 1 2 + t j b + t 1 3 21 4东北师范大学硕士学位论文从组件数为3 和4 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式的求解过程来看，b r u n n i a n链环由个图分解为两个图，两个图再分解为四个图的，以此类推，这个过程中，从两侧至中间，呈镜面对称，由上面已经得出的结论，其琼斯多项式呈坛( t ) =v 小( t - 1 ) 规律由此，我们得到的结果也是呈系数由两侧至中间对称位置完全相同，对称位置的指数互为相反数的特点组件数为5 的b r u n n i a n 链环有4 4 个交叉，有2 “种状态，这个计算量即便是由电脑来帮助我们完成，也不是短时间能够完成的，为此，我们还需要考虑它投影的几何对称性，利用其几何对称性，如果5 个组件的b r u n u i a n 链环在每一层对称位置的拆解过程中，其对应系数也具有对称性质，则我们的计算工作就直接降低到算2 2 2 种状态，这样工作量就减半但即便是减少到2 2 2 种状态，仍非短期能够完成，这就促使我们设想能否有一种算法，使得我们的计算工作在计算机中完全实现，即当我们在算组件为5 的过程中，若遇到组件为4 , 3 拆解的状态。我们可以直接利用其结果这样，我们计算琼斯多项式时，所遇到的状态将会远远低于2 2 2种在给出这种算法之前，我们先通过拆解组件为5 的b r u n n i a n 链环的最外层组件上的1 6 个交叉的过程，去说明组件为5 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式的系数也具有和其投影的几何对称性一样的对称性由于在其余三层上的交叉点也具有几何对称性，所以最外层的对称性就可以类推到其它三层上由于篇幅所限，我们将其在附件中呈现由于b r u n n i a n 链环在其组件数增多的时候，交叉也越来越多，逐一去分解每一个交叉，异常繁琐，然而国内外至今没有合适的算法能够解决这个问题我们利用它对称的几何构造，采用上述的方法，使得计算量减半，并能初步验证一个琼斯多项式是否是b r u n n i a n 链环的多项式，为今后进一步的研究提供了很好的方法和结论定理3 2 4 任意组件数的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式应具有以下特征；( 1 ) 死3 时，以常数为中，l - ，尹与一m 的系数相同；( 2 ) 仃4 时，b r u n n i a n 链环的琼斯多项式按t 的降幂排列，指数间距为1 21 5东北师范大学硕士学位论文4 几何结构对称的链环的琼斯多项式的一种算法实现下面，我们给出求解b r u n n i a n 链环的琼斯多项式的算法实现、对于组件数为7 , 的b r u n n i a n 链环，我们认为它的投影有 = n 一1 层，根据下面的法则，我们可以将其投影的每个交叉点表示为m 、n 或o ，这样其投影转化为一个二维矩阵m ，列数坩为每一层交叉数的最大值其中d 是2x2 的零阵，当某一层的交叉数小于t t ，时，用d 补位在我们按照尖括号多项式的规则打开交叉的时候，相当于用p ，q 替换m 、n m 、n 、p 和q 的含义如图垂1 这样，我们最终得到2 1 c 1 个由p ，q 、o 构成新矩阵，以及它们对应的系数，其中i c i 是投影的交叉数我们按照如图3 - 2 对应法则，可以得到新矩阵对应的投影，即若干个无交叉的简单闭曲线，从而就得到了组件数为n 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项式需要说明的是，我们事先给b r u n n i a n 链环的投影一个定向。由引理2 2 2 ，无论怎样的定向，都不改变拧数，所以不妨让它的组件的定向全部为逆时针 h 1 卜 h h m - 0 扣f ，0 一l 、l lo 产图乒l1 6东北师范大学硕士学位论文例：组件为5 的b r u n n i a n 链环的投影对应的矩阵如下mmnn 敞漩nn醯mnnm磁nn酲nn 酲nmmn酲nn 磁nmmnmoonnoomnoom moonmoooooonn0ooooom下面请看算法；在本算法中，规定数组的下标都从1 开始m = 最初输入的矩阵硼= m 的列数h = 仇的行数数据结构体，用于存储每次单元处理的输出s t r u c tr e s u l t ：m a t r i xm l ；矩阵m a t r i xm 2 ；e x p r e s s i o ne l ；多项式e x p r e s s i o ne 2 ；)r e s u l t s t o r a g e r e s u l t 【】；数组，存储调用r e p l a c e e l e m e n t 函数后的返回值r e s u l tr e p l a c e e l e m e n t ( m a t r i xm ，e x p r e s s i o ne ，n o d ex )对z 进行两次替换得到元素a 和b ，以及对应的多项式系数t l 和21 7东北师范大学硕士学位论文让( x = = m )第一次替换成原子p ，第二次替换成原子q ，)e l s ei f ( x = = n )第一次替换成原子p ，第二次替换成原子q ，e l s ei f ( x = o )a = p ，在多项式前插入的系数t 1 为a ；b = q ；在多项式前插入的系数亡2 为a 的一1 次幂；a = p 在多项式前插入的系数1 为a 的一1 次幂；b = q ；在多项式前插入的系数t 2 为a ； 不替换，也不产生多项式因子a = b = o ：t l = t 2 = 1 ：将a ，b ，t l ，t 2 的值保持在r e s u l t 里，返回r e s u l t)主算法ts t o r a g e r e s u l t 0 = ( i n ，i n ，1 ，1 ) ；f o r ( i - - - - l ；i h ；i + + ) r = w 2 ；对每行进行处理时，先从该行的中间两个元素开始处理s = r + l ：f o r0 = 1 ；j ( w 2 ) ；j4 - 4 - )一【x l = m 【i 】【r - 】；x l ，x 2 为当前要处理的两个元素x 2 = m 【i 】【s + + 】；c o u n t = p o w ( 2 ，w 幸( i - 1 ) + j ) ；每个r e s u l t 包含2 个矩阵东北师范大学硕士学位论文f o r ( k = 1 ；七( c o u n t 2 ) ；k + + ) r o = r e p l a c e e l e m e n t ( s t o r a g e r e s u l t 【k 】m l ，s t o r a g e r e s u l t k e l ，x 1 ) ；r l = r e p l a c e e l c m e n t ( s t o r a g e r c s u l t k m l ，s t o r a g e r e s u l t o k j e l ，】【2 ) ；r 2 = r e p l a c e e l e m e n t ( s t o r a g e r c s u l t i k 。m 2 ，s t o r a g e r e s u l t 。【k 】。e 2 ，x 1 ) ；r 3 = r e p l a c e e l e m e n t ( s t o r a g e r e s u l t 【k 1 m 2 ，s t o r a g e r e s u l t 啕e 2 ，x 2 ) ；更新s t o r a g e r e s u l t 数组，删除已经处理完成的元素，添加新生成的元素】) 由于实际操作时a 的一1 次幂，不容易操作，所以我们用b 来代替例：计算h o p f 链环的琼斯多项式在命令提示符下，输入c d + 空格+ 程序所在的绝对路径程序所在绝对路径 a j d h k 3 l p r c -b e f o ri n p u ty o u rm a t r i x p l e a s en o t et h a ty o us h o u l df i r s td e f i n et h en u m b e ro fr o w sa n dc o l u m n so ft h em a t r i x ，t h e ny o uc a ns t a r ti n p u td e m e n t so ft h em a t r i x a f t e rf i n i s hi n p u t t i n gar o w ，p l e a s ep r e s se n t e rk e yt oi n p u tt h en e x tr o w p l e a s ei n p u tt h en u m b e ro fr o w sf o ry o u rm a t r i x ：1p l e a s ei n p u tt h en u m b e ro fc o l u m n sf o ry o u rm a t r i x ：n o w ，i n p u te l e m e n t s ：2n o w i n p u te l e m e n t s ：m mt ob ep r o c e s s e dm a t r i x ：m ml r o w sa n d2 c o l u m n sa a 幸p p0b a 幸p qla b 搴q p2b b 木q q3注t 生成的系数和新矩阵的编号在其下方按照图4 1 的对应法则，我们可以将生成的矩阵( p p ) ，对应图形为两个简单闭曲线，尖括号多项式为一a 2 a 2 ；( p q ) 和( q p ) 对应的图形为一个简单闭曲线，尖括号多项式为1 ；( q q ) 对应的图形为两个简单闭曲线，尖括号多项式为一a 2 一a 从而h o p f 链环的尖括号多项式为一a 一，琼斯多项式为一p 2 一t 1 2 1 9东北师范大学硕士学位论文5 ( m ，n ) - 环面纽结的琼斯多项式5 1 ( 1 t 1 ，n ) 一环面纽结个非平凡纽结，能够放置在一个标准嵌入环面的表面上，自身不想交，则称此纽结为环面纽结性质5 1 每一个纽结都是( m ，n ) 环面纽结性质5 2 每一个( m ，n ) 环面纽结也是( n ，m ) 一环面纽结性质5 3 ( m ，n ) 环面纽结的交叉数为m ( n 一1 ) 和n ( m 1 ) 中的最小值。定理5 1 当m ，他) = t ( m l ，礼1 ) ，其中r f 9 1 = t m ，n l = 孚，p ，g 互素时，( m ，纷)对应于不打结环面t 上具有t 个( m l ，n 1 ) 环面纽结分支的链环证明设c 与c ，为赤道面交不打结环面所得的两个同心圆在c 与d 上分别选8 1 ，口2 ，a m 与h ，k ，k 这2 m 个点，用虚弧线连结0 4 与玩，实弧线连结0 4 与b i + n ，于是对= 1 ，2 ，仇，我们得到组点的对应表示，它们分别为；第一组：啾啼魄+ n玩+ n 一一啾+ t i啦+ n _ 玩+ 加碗+ 孙+ 国+ 知啦+ 2 n 一6 + 3 ，l以+ 3 ，l + a i + 3 n龟+ f m z - 1 ) 订_ b i + 仇1 口= 阮+ m l 伽l = 阮+ 仇l n l = 兢竹胁l = 6 i6 - - - - q第二组；0 4 + 1 一玩+ 1 押吣l + t i + 啦+ l 佃a i + l + 行坟+ 1 + 2 拓k + l + 孙。+ 啦+ l + 知东北师范大学硕士学位论文+ 1 + ( m 1 - 1 ) n 玩+ 1 + m l 仃= 玩+ 1 + 仇1 t n l = 魄+ 1 + 打n l n l = b i + l + m n l = b i + lb i + l + a i + l第t 组：a i + ( t 一1 ) _ b i + ( t 1 ) + nb i + ( t 1 ) + 札一一+ a i + ( t 一1 ) + na i + ( t 一1 ) + n _ b i + ( t 一1 ) - 1 - 2 nb i + ( t 一1 ) + 2 n 一一+ a i + ( t 一1 ) + 2 n：a i + ( t 一1 ) + ( m 1 - 1 ) 忭_ b i + ( t 一1 ) + m l 竹= b i + ( t 一1 ) + t n l t n l = b i + ( t 一1 ) + t r n l n l = b t + m n l = b i + ( t 一1 ) + a i + ( t 一1 )从上述每组中点的对应，可以知道该组中所有弧线连结成一个( 仇1 ，n 1 ) 环面纽结综上，得，礼) 为非打结环面上具有t 个( 仇1 ，n 1 ) 环面纽结分支的链环h 5 2 ( m ，n ) 一环面纽结的琼斯多项式v a u g h a nj o n e s 运用代数方法得出了( i n ，n ) 环面纽结的琼斯多项式为t ( m - 1 ) ( “一1 ) 2 ( 1 一t r n + 1 一矿1 + t m + n ) ( 1 一t 2 )但是相当困难下面我们以( 2 ，3 ) 一环面纽结和( 3 ，2 ) 一环面纽结为例，从几何角度，验证该结论2 1。_ + ，+ = - a 2 ( - a 2 一a 一2 ) ( 一a 4 一a 一4 ) + ( 一一a 一4 ) + a 一4= a 8 + 1 一a 一4x ( k ) = ( - a 3 ) 一4 ( a 8 + 1 一a 一4 ) = a 一4 + a 一1 2 一a 一1 6v ( k ) = t + t 3 一矿( 2 ，3 ) 一环面纽结- - = a ( 一a 4 一a 一4 ) + a 一1 ( 一a 一3 ) 2= 一a 5 一a 一3 + a 一7x ( g ) = ( 一a 3 ) 一3 ( 一a 5 一a 一3 + a 一7 )= a 一4 + a 一1 2 一a 一1 6v ( 9 1 = t + 庐一t 4( 3 ，2 ) 一环面纽结通过几何方法得到的琼斯多项式跟v a u g h a nj o n e s 用代数方法得到的结果一致附件组件数为5 的b r u n n i a n 链环的琼斯多项 ：a 十尸一叫 缚国h - 4 - 4 - ：2 堋锄勺 十( 删) 礴十 斗( a 电一a 一乃= c a 乙a 7 ) 斗( a 一，a 勺 +m 冲矿k 镊h 4 柏勺爷斗a 斗a _ 十( a 一一a 咕夕2 4刮a 。a 8 十胪鳓 十删) 国+ ( 屯斟喃仁舻k 缀 - ( - - 4 铴“勺 斗0 他旁a 多十泌乞a 一刁十( 一a 一a 乒) 十( a 伍乒a4 鼬譬一鸟4 乒“卜肼哆们矿圳“缚h一圳钾) 缀h 篓卜胪夕 论黼2 ) 缚冲。( a a4 ) 翁州a 也舯胪) 僻小翁 十( 伴稍+：( a 2 年一4 厅d 斗多a 位绡7 月8 ) 十湃2 剖旭加胪川椭k 囝斗( 一a g 十弓a 一弓a a 1 ) +川也洲垃训3 斗孵州镟 * 肌钟“冉锹虹” 剽h、- 种洲。圳轴一帆h 弋川胆酗州| 7 + ( 竹销腔乡a8 寸4 a 4 j ) 斗( a 色矾多斗多a 乙a 一2 ) 十以，三科0 a 乎) u + o 一弋q 雌艚十f ( 蒋一旷汁第窜脉(，弋、jaz 一、-jz _埘么一锨纠。尼q0聃竹俐肌1 -5q苫一胪也一ao浍- f4 a 4 一f ) 十( 一a 掣十孵口q 勺砌4 之翎 阴一 + ( ，o _ 3 a 占十多a 乙a 吨) +( 脬4 a # 6 卅1 川卅纠乒钟州) 俐啤销色聃们 十水2 a 叶4 笋) +( a 允泓4 酗乙a 之) 寸( _ 份纠色绷男斗锁 十( _ a 脚锄乞蒯 够州胪埘钾) 黟十( a 8 - 私缉6 一耳聃矿) 寸( a 生甜4 胡三胂 十( a3 4 a 6 - # a 纠) 眵蚶( _ a 4 - - f 州乎) - i - ( _ a 讲卿咖) 钞寸( a a - 与a 譬+ o a z & o a 口a - y a $ - a 刁 砂27“斤q a 啤删乞础刚红6 - k a - 乒) 十形 胆鲋肛眦 十( _ 月锄驯”熙蚺一 州n 协译十孵钭艄 删艮椭洲他州托驰2 刊腩a _ 咖) 十( 彤删。一d4 o4 二一铋一之十a ) + ( q 牟蒯pi 与时婶q j 弓融弋6 醛一妒、 ( 卅俐p 卅8 卅圳 十州姒o _ on ，柚铲) 十( a 句一孔多+ 弓a 乙a 电) 十( al 私多- 4 a 矿) 俐撕色训锄2堋一) 十( | a 、纠彬脚加钟28m 屯p 州l 删一嘲哳乃 q - ( a c 心肌榭以) 十( - a q 僻删俳吖缈十( 一a 俘+ 5 胪一o ag oa - 多a 一、a 一多) 十( a 巾一弓a 占十胡2 一a 之) + ( a 8 4 月哞彳枷一a 1 + ( - n s a 色力月嘶秒么2一s 呼弋一、+ 6 a 一趾a _ ) ) w 舳黼o 0 小涨也k 一 f ( a l a a 锄梆 十( a * - - 4 a 石一朗q 一目) 千铂确册竹口r -沏咄，斗诅鲈争佑一z -l 色a洲似2 -，1-胪一l卜+十寸砂够 + ( 抖2 千弓a t 旁4 4a 却) o十( al 4 a q 多一销一a 一8 ) + ( als ac e -d 肫肜聃朗哪一 沁水a 一占子a 枷) + ( 十十4 a 。l 石q g + 私。堡月一 +