（基础数学专业论文）cc子群、半cc子群与群的结构.pdf

、 r 1illl l l l l l l l l l l l l lq u l 1115 目录 1 4 3 含有c c 一子群的有限群7 4 含有c c 一子群的局部有限群1 0 5 含有半c c 一子群的有限群1 4 参考文献1 7 致谢1 9 1 、 “ 6 口= 玩+ l i = 1 ，2 ，p 一2 ，6 0 l = 6 f 1 啄1 6 = 1 在第四节，我们还探讨了c c 一子群对局部有限群的的结构的影响，得到了， 定理4 1 设g 是局部有限群，若g 存在c g 一子群，但是其每一个真子群都不 含有c c - 子群，则g 是阶小于或者等于p g - 1 的初等阿贝尔p 一群被q 阶循环群的 扩张其中，p ，g 是互不相同的素数 定理4 2 设g 是局部有限群，若g 存在c c 一子群，但是其每一个无限真子群 都不含有c c 一子群，则g 是秩为q 一1 的可除阿贝尔p 一群被阶为q 的循环群 的扩张，p ，q 是互不相同的素数 另外本文还对含有半c c 一子群的群进行了研究 关键词：有限群局部有限群c c - 子群半c c 一子群 o fgi ft h ec e n t r a l i z e r c 6 ( z ) hf o re v e r y1 z h o b v i o u s l y ,g i sa c c - s u b g r o u po fg i nt h i sp a p e r ，t h e w em a i n l yp r o v et h ef o l l o w i n g ： c c - s u b g r o u p sa r ep r o p e rg r o u p s t h e o r e m3 4l e tgb eaf i n i t eg r o u p i fl e te a c hc c s u b g r o u p si sam a x i m a l s u b g r o u po fg ，t h e nl g i = p q n ，w h e r e 钆p 一1 e s p e c i a l l y , i f 佗= p 一1 ，t h e n g = ( a ) kn w h e r e ( a ) i sag r o u po fo r d e rp ，n = ( b 1 ) ( 5 2 ) ( 6 p 1 ) ， b e = l ，i = 1 ，2 ，p 一2 ，唯一l = 6 f 1 坛1 牲1 n e x t ，w es t u d yt h ec c - s u b g r o u p si nl o c a l l yf i n i t eg r o u p s t h e o r e m4 1l e tgb eal o c a l l yf i n i t eg r o u p i fgh a sac c - s u b g r o u p ，b u t e a c hp r o p e rs u b g r o u po fgh a sn op r o p e rc c - s u b g r o u p s ，t h e ngi sa ne x t e n s i o no f a ne l e m e n t a r ya b e j a ns u b g r o u po fo r d e r p q 一1b yac y c l i cg r o u po fo r d e rq ，w h e r e p ，qa r ep r i m en u m b e ra n d ，q ) = 1 t h e o r e m4 2l e tgb eal o c a l l yf i n i t eg r o u p i fgh a sac c - s u b g r o u p ，b u te a c h p r o p e ri n f i n i t es u b g r o u po fg h a sn op r o p e rc c - s u b g r o u p s ，t h e ngi sa ne x t e n s i o n o fd i v i s i b l ea b e l i a ns u b g r o u po fr a n kp 一1b yac y c l i cg r o u po fo r d e rq ，w h e r ep ，qa r e p r i m en u m b e ra n d ，q ) = 1 i nt h i sp a p e r ，w ea l s os t u d yt h eg r o u p sw h i c hc o n t a i ns e m i - c c - s u b g ：r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u pl o c a l l yf i n i t eg r o u p sc c - s u b g r o u p ss e m i c c - s u b g r o u p s u 、，；一 l 设g 为群，h 墨g ，称日为g 的一个g c 一子群，如果对任意的1 z h ，都 有( b ( z ) h 成立显然群g 本身为c c - 子群，我们称之为平凡的c c 一子群当 然并不是所有群都含有非平凡的c c 一子群，如：幂零群就不含有非平凡的c c 一子 群( 文献【2 】) 从1 9 世纪f r o b e n i u s 开始，关于含有c g 一子群的群的研究已有1 0 0 多年的历史，当然最初人们并没有给出c c 一子群的概念事实上，f r o b e n i u s 群的 f r o b e n i u s 核和补都足c c 一子群 1 9 6 2 年，j g t h o m p s o n 等确定了含有一个3 阶c c 一子群的群的结构，还得 出了若g 为单群时则g 鬟a 5 或者g 笺p s l ( 2 ，7 ) ( 文献【3 】) 1 9 6 3 年，m s u z u k i 确定了含有一个偶数阶c c 一子群的群的结构，得出了g 为 一个f r o b e n i u s 群或者g 为如( g ) ，( g ) ，q = 铲( 文献【4 】) 1 9 6 7 年，m a r c e lh e r z o g 对含有一个c c 一子群日的群作出分类，其中日满足 以下几个条件： ( 1 ) n a ( h ) ； ( 2 ) l n a ( h ) l ( i h l 一1 ) i h i ； ( 3 ) 3i | h i ； ( 4 ) 日不循环 得出了g 是一个以日为核的f r o b e n i u s 群或者g 垡p s l ( 2 ，3 ”) ，礼2 ( 文献 【5 】) 1 9 7 1 年，l r f l e t c h e r 确定了含有一个9 阶c c 一子群的群的结构特别的，当 g 为单群时，g 星p s l ( 3 ，4 ) ，且m 竺z 3xz a ( 文献【6 】) 1 9 7 6 年，z a r a d 得出了s y l o w - 3 子群为c c 一子群的群g 的分类( 文献f 7 】) ， 1 引言 日为循环群； 2 0 ) ，a 2 ； ( 5 ) g 皇p s l ( 2 ，口) ，q 3 ； ( 5 ) g 包含一个正规单群p s , l ( 2 ，3 n ) ，礼 1 ，且在g 中的指数为2 z 舡a d 在文献【8 - 1 2 】对含有c c 一子群的有限群的特征和性质进行了研究，为 后来含有c c 一子群的有限群的分类起到了重要的作用文献 1 3 - 1 9 】也从不同的角 度对含有c c 一子群的进行研究取得许多丰富的结果到了2 0 0 4 年，z a r a d 和w h e r f o r t 在文献【2 0 】给出了存在一个c c 一子群的群的结构，标志着含有c c 一子群 的有限群的分类研究取得很好的结果其结论如下： 设g 为有限群，g 包含一个c c - 子群m ，设h = ( m ) ，即是由能够整除 m 的阶的素数组成的集合则g 满足d ，且有以下几种情况： ( 1 ) m 为偶数阶非幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补的f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 型p s l ( 2 ，2 ”) ，礼2 ，且m 可解 ( c ) g 竺s z ( g ) ，q = 2 鼽“，n 1 ，且m 可解 ( 2 ) m 为偶数阶幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补的可解f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 是以m 为f r o b e n i u s 核的可解f r o b e n i u s 群 ( c ) g 矣p s l ( 2 ，2 n ) ，仃2 ，且m 为一个s y l o w - 2 子群 ( d ) g 垡( g ) ，q = 2 2 n + 1 ，死1 ，且m 为一个s y l o w - 2 子群 ( 3 ) m 为奇数阶非幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补或者为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 笺p s l ( 2 ，口) ，q 三3 ( m o d 4 ) ，且m 可解，阶为奇数，l m l = q ( q _ 1 ) 2 ( 4 ) m 为奇数阶幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补或者为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群 2 西南大学硕士学f z 论文引言 ( 6 ) 设g 为非交换单群，g 和肘按文献【2 0 1 中第二部分定理1 1 分类 ( c ) g 非单群，h = ( m ) c ，c h 和f ( g ) = f ( ，) = o n ，( 日) 为l 群s = h f ( h ) 为单群，且含有c c - 子群m f ( h ) f ( h ) 鲁a ，且( s ，m ) 和( 6 ) 中一个类 型 ( d ) g 为一个2 - f r o b e n i u s 群 期间还有很多群论工作者在c c 一子群的研究方面取得重要的进展，在此不一一 叙述 本文第一部分是研究含有c c 一子群的有限群，通过假定一些特殊子群为c c 一 子群时，比如说极小子群，极大子群，正规、次正规子群等来研究有限群的结构给出 了这些含有特殊的c c 一子群的有限群的结构的详细刻画主要得到了： 定理3 4 若g 的非平凡c c 一子群是极大子群，则i g l = p q n ，且佗p 一1 特别 地，当n = p 一1 时，g = ( a ) kn 其中，( a ) 为p 阶子群，n = ( b 1 ) ( 5 2 ) ( 6 p 1 ) ， b t = 坼1 ，i = 1 ，2 ，p 一2 ，蟛一1 = 6 f 1 坛1 噼1 本文第二部分是研究含有c c 一子群的局部有限群，从g c 一子群的某些存在性 来研究群的结构主要得到了； 定理4 1 设g 是局部有限群，若g 存在c c 一子群，但是其每一个真子群都不 含有c c 一子群，则g 是阶小于或者等于矿- 1 的初等阿贝尔p 一群被g 阶循环群的 扩张，p ，g 是互不相同的素数 定理4 2 设g 是局部有限群，若g 存在c c 一子群，但是其每一个无限真子群 都不含有c c 一子群，则g 是秩为口一1 的可除阿贝尔p 一群被阶为q 的循环群 的扩张，p ，q 是互不相同的素数 本文在最后一部分还对含有半c c 一子群的有限群进行了初步研究，设g 为有 限群，h g ，称日为g 的一个半c c 一子群，如果对任意的1 z h ，或者有 c b ( z ) h ，或者有l c c ( = ) l l l c c ( = ) nh l = p ，p 为一个素数半c c - 子群在有 限群中是广泛存在的，比如交换群的极大子群就是一个半c c 一子群半c c 一子群 和c c 一子群有一些类似的性质，但也有不同，比如，c c 一子群必为h a l l 子群，而半 c c 一子群不必是利用半c c 一子群的存在性对有限群的结构进行了简单刻画 3 预备知识 2预备知识 c c 一子群均为非平凡的子群，用_ g 表示日为 为g 的半g c 一子群其他未解释的名词和术语都 若日 g ，则日为g 的h a l l 子群 引理2 2 n 设g 为有限群，若日一 g ，则h g g 引理2 3 1 2 1 设g 为有限幂零群，则g 无c c 一子群 引理2 4 n ( 1 ) 1 若h k g ，且日 g ，则日_ k ； ( 2 ) 若日 g ，k g ，则日nk g ； ( 3 ) 若日 g ，k 一 日，则k g 引理2 5 【1 】设g 为有限群，若g 的s y l o w 子群均为循环群，若g 交换，则g 为 循环群；若g 非交换，则g 为由下列定义关系确定的亚循环群： g = ( a ，6 ) ，a m = 铲= 1 ，b - 1 a b = a ，( ( r 一1 ) n ，m ) = 1 ，p 三l ( m o dm ) ，i g i = m 几 引理2 6 1 2 2 1 设g 为有限群，若日 g ，且日qg ，h 可解，则日在g 中的补 也为c c 一子群，且日幂零；g 为一个f r o b e n i u s 群 注：该引理中的日可解这个条件可以去掉，因为对于正规的c c 一子群都可以 找到一个p 阶无不动点自同构，日必为幂零群 引理2 7 设g 为有限群，g 包含一个c c 一子群m ，设h = 1 - i ( m ) ，贝i jg 满 足d n ，且有以下几种情况： ( 1 ) m 为偶数阶非幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 足以m 为f r o b e n i u s 补的f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 望p s l ( 2 ，2 n ) ，佗2 ，且m 可解 ( c ) g 笺( 口) ，q = 2 2 ”+ 1 ，n 1 ，且m 可解 ( 2 ) m 为偶数阶幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补的可解f r o b e n i u s 群 ( 6 ) g 足以m 为f r o b e n i u s 核的可解f r o b e n i u s 群 4 西南大学硕七学位论文 预各如汉 ( c ) g 笺p s l ( 2 ，2 ”) ，l 2 ，且m 为一个s y l o w - 2 子群 ( d ) g 竺( 口) ，q = 2 2 n + 1 ，n 1 ，且、，为一个s y l o w 一2 子群 ( 3 ) m 为奇数阶非幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 足以m 为f i ( , b e n i u s 补或者为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群 ( b ) g 垡p s l ( 2 ，q ) ，q 三3 ( r o o d 4 ) ，且m 可解，阶为奇数，i m l = q ( q 1 ) 2 ( 4 ) m 为奇数阶幂零群，则以下之一成立： ( a ) g 是以m 为f r o b e n i u s 补或者为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群 ( b ) 设g 为非交换单群，g 和m 按文献【2 0 】中第二部分定理1 1 分类 ( c ) g 非单群，h = ( m ) g ，g h 和f ( g ) = f ( h ) = o n 。( 日) 为l 群s = h f ( h ) 为单群，且含有c c - 子群m f ( h ) f ( h ) 垡m ，且( s ，m ) 和( 6 ) 中一个类 型 ( d ) g 为一个2 - f r o b e n i u s 群 引理2 8 【2 4 】设g 是可除阿贝尔p 一群，则g 存在阶为q 的自同构的充要条件是 g 的秩大于或者等于g 一1 ，其中p ，口是素数 引理2 9 【2 3 】设g 是局部有限群，若存在g g 使得c c ( g ) 是有限的，则g 是几 乎局部可解群，即g 存在指数有限的局部可解子群 引理2 1 0 1 】设g 为有限群，若日 g ，k 一 ak 为一个f r o b e n i u s 群 引理2 i i ( 1 ) 设g 为有限群，若h 焉g ，则日9 毫g ( 2 ) 设g 为有限群，若日寿g ，且h k g ，那么日寿k 证明( 1 ) h 为g 的一个半c c 一子群，则对任意的1 z 日，或者有( z ) h ，或者有| c b ( z ) l g r g ( 。) n h i = p ，p 为一个素数对于z p 来说，1 矽h g ， 1 z h ，有( 护) = ( z ) 9 伊或者有l ( 护) i i ( 矿) nh g | = p 于是 h g 毫g ( 2 ) h 为g 的一个半c c 一子群，则对任意的l z h ，或者有c g ( z ) 5 预备知识 6 1 丁h ，显 = g ，( z ) ，于是 i = i c h ( x ) l ，即 西南大学硕f 学位论文仑奄c ( 1 3含有c c 一子群的有限群 我们先来研究含有c c 一子群的有限群，通过假定一些特殊子群为c c 一子群 时，来研究有限群的结构 定理3 1 设g 为有限群若g 的每个极小子群均为c c 一子群则i g l = p q 证明由于g 的每个极小子群均为素数阶循环群，故对任意p 丌( g ) ，p 阶群均 为c c 一子群由引理2 1 ，p 阶群均为g 的s y l o w 子群，于是i g i = p i p 2 m 显 然g 的s y l o w 子群均为循环群，由于g 存在c c - 子群，故g 非交换由引理2 5 ， 不妨设i ( n ) | = p i 。p i ：p i ，( 1 t s ) ，显然( ( i ) 的s y l o w 子群均为g 的c c - 子 群，于是t = 1 ，即i ( 口) 1 只含有一个素因子同理可证明i ( 6 ) 1 只含有一个素因子，则 i g l = p q 定理3 2 若g 的每个次正规子群均为c c - 子群，且g 不是单群，则l g l = p q 证明设nqg ，取p 元p o ，p 7 r ( g ) ，且pli i 由于 g ，故( p o ) 作用在 上为一个p 阶无不动点自同构，于是为幂零群又因为幂零群的任意子群都为 其次正规子群即的子群都为g 的次正规子群，于是为c c 一子群又因为幂零 群无c c 一子群，那么就只含有平凡子群，于是i n l = 口又因为c a ( n ) = n ，于 是有g c g ( n ) 焉a u t ( n ) ，于是g n 为交换群我们说g n 为一个素数阶群若 否，g i n 必存在非平凡正规子群m n ，于是m 司g ，同上可以证明l m i = q 与 m n 为非平凡正规子群矛盾于是有 g i = p q 定理3 3 设g 为有限可解群，若g 的每个正规子群为c c 一子群，那么l g l = p q ”， g = ( a ) g ，其中，( a ) 为p 阶子群 证明我们先说明g 的正规c c 一子群唯一我们设鱼g ，m 里g ，且 g ， m g 取p 元伽，p o g 一由于 g ，故伽) 作用在上为一个p 阶无 不动点自同构，于是为幂零群同理可以证明m 也为幂零群于是m 幂零且 正规，由引理2 可知，m 含有g g 一子群m ，与引理2 3 矛盾于是g 的正规 g c 一子群唯一 7 ( a ) l ( o ) l ，那么c a ( a 0 ) 中必含有r 元砌，使得r o m g o ， 伸为m 的某个共轭于是m g 矛盾于是( n ) 为g 的极大子群用( a ) 共轭作用于m 上，显然此作用为一个p 阶无不动点自同构，于是 m 为幂零群若m 含有2 个及其以上个素因子，因m 的s y l o w 子群为m 的特征 子群，那么m 中必存在g 的正规子群日那么( a ) h g 与( a ) 为g 的极大子群 相矛盾于是i m i = q n ，于是有i g i = p q n ( 2 ) 若m 扣g ，于是g ( m ) = m ，设m g 为m 的某个共轭，g g m ， 若m nm g 1 ，那么mnm g 为g 的c c 一子群，于是为g 的极大子群，从而有 m nm g = m = m g ，有g m ，矛盾于是g 是以m 为f r o b e n i u s 补的f r o b e n i u s 群，设为其核由于f r o b e n i u s 核和补都是c c 一子群，故f r o b e n i u s 核和补都是 极大子群由于f r o b e n i u s 核足正规的幂零群，于是| m i = p 若含有2 个及其以 上个素因子，因的s y l o w 子群为的特征子群，那么中必存在g 的正规子群 日那么m 日 p ，则可设 n = ( b 1 ) x b 2 ) x ( 6 n ) ，设p 为p 阶子群，且p = ( a ) 那么( b ，b a ，扩“) 望g ， 8 n = g = x 即存在整数如，i = 1 ，p 一1 ，使得矿= 。b 1 1 1 v 2 1 、1 2 啦i ，于足有( 矿_ ) 口= ( 6 0 ) h ( 鹾) 。( 6 ；一。) p 一- = 唿h i l t , 1 2 6 ；( 6 a p _ 1 ) 2 ，一- = b = b 1 再代入，于是有b 5 b t 3 2 6 ：= = ；( 砷砖啦，一t = b 1 从而有 砖砖+ l 6 ：= ，一：6 。 从而得到下面不定方程组 j，。+。12lk l p - 。1 三- 。l 。( 仇m 耐o d 口q ，) i 刊仇二：； 解这个不定方程组：可以推得如三一l ( m o dq ) 满足方程组，于是有矿= b 1 1 蛞1 b y - 一1 1 此时，g 的结构为g = ( a ) t u n ，其中，( o ) 为p 阶子群，= ( b 1 ) x ( b 2 ) ( 6 p 一1 ) ， 蜉一b i + l ，i = 1 ，2 ，p 一2 ，唯一1 = b i - 1 啄1 b p - 一1 1 证明完毕 9 舍南c c 一 4 含有f ，c 一子群的局部有限群 在研究含有g c 一子群的局部有限群之前，我们先给出下面一个引理： 引理4 1 设g 是局部有限群，m 是g 的极大子群，若对任意g g m 有 mnm a = 1 ，则存在n g a ，使得g = m m ，其中 肘璺g ，i a i = p ，p 是一个素数 证明显然对任意9 1 ，9 2 g 若眈g m a l ，则m 9 l 舰nm a , = 1 下面我们首先将证明m 的任意有限2 一子群足广义四元数群或者循环群，而其 有限p 一子群是循环群，其中p 3 ，p 7 r ( m ) 任意取m 的有限真子群尬，任 意元1 a g m ，令子群h = ，则日是g 的一个有限子群又令 k = hnm ，则易得对任意z h k 有knk 。= 1 ，因此日足有限f r o b e n i u s 群，k 是日的f r o b e n i u s 补由引理 2 5 ，k 的s y l o w2 一子群是广义四元数群或者 循环群，而其有限s l y o wp 一子群足循环群，其中p 3 ，p 7 r ( k ) 又显然a 以k ， 且由a 靠的任意性，从而得到m 任意有限2 一子群足广义四元数群或者循环群，而 其有限p 一子群足循环群，其中p 3 对任意g 的幂零子群，若满足n n m g 1 ，其中g g ，设1 他1 n a m a ，对 任意nez ( n ) 有n l m g ”n 肘g ，从而得到z ( n ) m a 因此不妨假设n l z ( ) ， 则又易得对任意礼o n 有n l m 缃nm a ，从而得到m g 假设g = u g g m g 由前面的讨论h = 是有限f r o b e n i u s 群，又 设f 是日的f r o b e n i u s 核，则有knf = 1 并满足h = f k ，且f 是幂零群 因此存在g o g 使得f m g o 故f 的s y l o w2 一子群足广义四元数群或者循 环群，而其有限s l y o wp 一子群是循环群，其中p 3 ，p 7 r ( f ) 又由f 是幂零 群，于是对任意p 7 r ( 刃，其阶为p 的子群a 是正规子群令h l = k a ，则易得 c m ( a ) = a ，a n k = 1 ，即研a 笺h 1 c m ( a ) 垒k 与a u t ( a ) 的一个子群同构，因 此k 是阿贝尔群由尬k 可得尬是阿贝尔群，于是由 五的任意性可得m 是 阿贝尔群显然m g o 也是阿贝尔群且f 塑m g o 任意取元1 k k ，则k 茌m 卯，因 此g = 又f 知= f ，由此可得f 里g ，即对任意g g 有f m g o g n m g o ， 】0 麓 西南大学硕士学位论文含有c c 一子群的局部有限群 矛盾，故假设g = u 。gm 9 不成立 设a g u g gm 9 ，则对任意g g 有 n m 9 = 1 ，否则m 。9 a m 筘1 ，矛 盾因此不妨设i a l = q ，q 是素数设m ma , i f ，即存在m 1 ，m 2 ，m 七m 使得m 令子群s = ，令t = m n s 则类似前面对任意s s t 有p n 丁= 1 ，因此s 足以t 为补的f r o b e n i u s 群又设冗是t 的f r o b e n i u s 核，即r = t u 丁s u 1 ，因此a r 又因为 r 笪t ，所以有m t ，从而有m tar ，故m = 1 即 ma m = 1 显然 m g ( m ) ，故g = m 村， ms g 对于有限群，若其含有c c - 子群，但是其每一个真子群都不含有c d 子群的情 况，这样的有限群是存在的，如p 口阶的非阿贝尔群下面探讨满足类似条件的局部有 限群 定理4 1 设g 是局部有限群，若g 存在c d 子群，但是其每一个真子群都不含 有c c - 子群，则g 是阶小于或者等于矿- 1 的初等阿贝尔p 一群被口阶循环群的扩 张其中p ，q 是互不相同的素数 证明设是局部有限群g 的c c - 子群，任意取z n ，y g n ，令子群 h = ，则易得日n 是日的c c - 子群，且日n 是日真子群因此g = h 是有限群 显然是极大子群若是正规子群，任意取a g n ，则g = n 易 得 n = 1 ，因此不妨设a 足q 阶元，q 是素数又 通过共轭作用是的 一个无不动点自同构，故是幂零群，且是特征单，从而可得是初等阿贝尔p 一 群，p 是素数又对任意1 b n ，显然 g = n ，而舻矿护z ( a ) f ln ， 于是1 = b b a b a 2 护，即i n i p q 若不是正规子群，则对任意g g n 有nn g = 1 ，故g 是以为 f r o b e n i u s 补的f r o b e n i u s 群，设g 的核为f ，显然f 也是g 的一个c c - 子群，因 此g 也存在一个正规的极大c d 子群，类似上面讨论g 也是g 是阶小于或者等于 矿- 1 的初等阿贝尔p 一群被q 阶循环群的扩张 1 1 证明设足g 的c d 子群 ( 1 ) 若是有限群，则由引理4 1 ，g 存在指数有限的正规子群m ，则易得g = m 且m n n = 1 ，n 通过共轭作用在m 上足一个无不动点自同构因此可得m 也是c d 子群 ( 2 ) 若是无限群，则显然对任意g g 一有nn o = 1 或者n n g = n 设f - n g = 1 ，则由引理4 1 ，g 中存在正规子群m 使得g = m ，且m 也是c c - 子群满足mnn = 1 因此易得m 是无限子群 由上面的讨论g 中一定存在无限的正规c c - 子群，设z g n ，则 n n = 1 因此不妨假设z 是一个阶为q 的元，q 是一个素数，则g = n ，且 足通过共轭作用是的一个g 阶无不动点自同构设日是的任意有限子 群，令k - - ，则k 是的一个有限子群，且肝= k 由此 是k 的一个口阶无不动点自同构若g = 2 ，显然k 是阿贝尔群，若口3 ， 由文献 2 5 】，k 足幂零群且c l ( ) ( q _ 1 。) 2 一q 2 - 1 _ i 由h 的任意性，则可得n 是幂零群 且c l ( n ) 呼 显然在中不存在无限的特征的真子群，否则假设小，0 是中的无限的特征 真子群，则o 是n o 的一个c c 一子群，矛盾因此易得是p 一群，且 换位子群l n 7 i 0 0 若i l 1 ，则存在a 隹z ( ) ，但是i n ：c k ( o ) i o o ，即 l g ：国( o ) i c o 令l = 瓯( 口) ，从而易得i g ：l g l c o ，且l o 是l g 的一 个c d 子群故n = 1 即是阿贝尔群 若i q l ( ) i = o o ，则n 1 ( n ) 是f 2 l ( n ) 的一个c c - 子群，即n = i l l ( n ) 此时易得中存在一个g 的指数有限的正规子群a ，则类似可得g = a ， 1 2 矛盾故i q l ( ) i 于是n = d f 其中d 是秩有限的可除阿贝尔p 一群， ，足有限p 一群又d 是的特征子群，故f = 1 即n = d 是可除阿贝尔 p 一群又对任意n n 有n n z n 2 ，f 一1 z ( g ) ，因此n 矿n 扩n 一= 1 ，即 。 ，从而可得是秩小于或者等于q l 的可除阿贝尔p 一群， 义由引理2 8 ，是秩等于q 一1 的可除阿贝尔p 一群 又若q = p ，则 是有限p 一群，因此易得存在1 n o q l ( n ) i 1 么( g ) ，这与是c c - 子群相矛盾故q p 1 3 含有半c c t 群的有限群 一子群的有限群 i 了初步的研究下面引理是f f 限p 一群中 存在阶为矿的子群日满足f ：j ( 日) = h ， 定理5 1 设g 是有限幂零群若g 中存在非平凡的半c c 一子群日则下列结 论成立： ( 1 ) 日是g 的极大子群； ( 2 ) g 是p 一群，日是阶小于或者等于矿。的初等交换群，且g 中存在包含日 的极大类子群特别地，当p = 2 时候，则g 是极大类2 一群 证明若日足g 的极大子群，则由g 足幂零群，则对任意1 z h 容易得到 l c g ( z ) ：c c ( z ) nh i p 因此下面我们假设日不是g 的极大子群 我们断言z ( g ) nh = 1 否则假设1 z z ( g ) nh ，则c c ( x ) = g ，而 i c g ( z ) ：c c ( x ) n h l p ，这与日不是g 的极大子群相矛盾从而可以得到z ( g ) 是 阶为p 的循环群因此g 是p 一群 假设z ( v ) = ，其中扩= 1 设a g h z ( g ) ，a n g ( 日z ( g ) ) ， 且满足a p h z ( g ) 若a p h ，则由a c c ( a ) 且z c i g ( 矿) ，因此可以得 到i ( 扩) ：c g ( a p ) nh l p 2 设a p = z n y ，其中y h ，n 是一个整数令 子群k = ，则k 是交换群显然y k ，若y 1 ，则同样可以得到 l c o ( y ) ：c c ( y ) nh i 矿故y = 1 ，即a p = 2 1 n 于是a p = 1 或者 = 即k 是阶为矿的交换群 令子群g 1 = = k 日，则易得日nk = 1 下面证明。( k ) = k 假 设i c v 。( k ) i p 3 ，则。( k ) nh 1 设1 b c g ，( k ) nh ，于是k c o ( b ) ，从 而可得i c c ( b ) ：c c ( b ) nh l p 2 ，矛盾故c c ，( k ) = k 由引理5 1 ，g l 是极大类 p 一群 现在考虑子群l = z ( g ) h ，由于z ( e ) 是交换群，因此显然有l h 若1 ， 1 4 西南大学硬十学位论文 贝由三鱼g i 可知nz f ；1 ) 1 ，于是片nz ( g 1 ) 1 取l z 上nz ( g 1 ) 则k ( z ) ，从而有l ( j ；( z ) ：c c ( x ) f 3 日i 矿，矛盾因此日是交换群同样 妒= 日p 粤a l ，故日是初等交换p 一群，又由i a l ：n a 。( 日) i = i g i ：i = p 且 玩，= 1 ，可得l 驯矿 当p = 2 时候，则日足阶为2 的循环群，工是阶为4 的初等交换2 群此时可 得c a ( l ) = l ，因此由引理5 1 ，g 是极大类2 一群 定理5 2 设g 为有限可解群，若g 的每个极小次正规子群为半c c 一子群，则 g 为交换群，或者为一个f r o b e n i u s 群 证明由于g 为可解群那么g 存在个合成列l = a o 司_ a l 鱼里g 。= a ，g 的 合成因子为素数阶循环群当s = 2 时，可知g l 为个素数阶群，且为g 的极小次正 规子群，由题意，g l 为半c c 一子群，若g l 为c c 一子群，由引理2 6 知，g 为个 f r o b e n i u s 群否则存在g g 1 ，使得i c a ( g ) l i c a ( g ) ng 1i = p ，即 c a 0 ) i l i a , i = p ， 于是l g l = i c a ( g ) i = p q ，若p = q ，则显然g 为交换群，若p q ，由于p 元和口元可 交换，所以g 为交换群下面我们设s 3 由引理2 1 1 可知，g l 为g i 的半c c - 子群，i 2 设g j 是次正规列中出现 的第一个群，使得g 1 不为其c c - 子群，对于g 2 到g f l ，g l 均为其c c 一子群 于足就有g l 司q l ，又由于g l 为q 一1 的h a u 子群，从而有g l 司q ，取g g 1 ， i c g , ( g ) l l l a l | = p ，p 为一个素数可以证明i ( 9 ) i = l c g ，( a 1 ) i = p q ，于是有 c o ，( a s ) 司q ，即c e j ( a i ) 为a 的次正规子群，由g 的每个极小次正规子群为半 c c - 子群，取c 劬( a 1 ) 的q 阶子群q ，由于c 岛( a s ) 为交换群，于是q 司c a , ( a 1 ) ， q 为g 的极小次正规子群，于是为g 的半c c 一子群，由半c c 一子群的定义可知， c f g j ( g 1 ) 为g 的c c - 子群，于是，( g 1 ) 司g ，由引理2 6 ，g 为一个f r o b e n i u s 群 定理5 3 设g 为有限可解群，若g 的每个极小正规子群为半c c 一子群，则g 为交换群，或者为一个f r o b e n i u s 群 证明设日，为两个极小正规子群，于是为半c c 一子群，日nn = 1 由于日， 为两个正规的幂零群，于是都为f ( g ) 的子群，由结论，f ( g ) 为极小正规子群的 中心化子的子群，于是日和的每个元都可以交换，而日和都为初等交换群， 1 5 西南大学硕+ f ：学位论文a 苜半c c 一子群的训喂群 于足，日和都只能为素数阶的，即，。的阶为矿或者，_ l 口于是为g 的正规的 c c 一子群若日 g ，g 为f r o b e n i u s 群；若日= g ，则g 为交换群 若日，中有任何一个为c c 一子群那么g 就为f r o b e n i u s 群 关于半c c 一子群的研究，本文只涉及一些初步，还有很多重要的问题有待解决， 从上面的结论中我们看到，中心的存在与舞对含有半e c 一子群的有限群确实存在影 响，为此提出个问题：中心怎样对半f c 一子群的存在性加以影响? 和研究c c 一 子群一样，半c c 一子群在整个有限群范围内的分类是什么样子的，这些也是有意义 的问题 1 6 ( 1 9 6 7 ) 【6 】l r f l e t c h e r ，a c h a r a c t e r i z a t i o no fp s l ( 3 ，4 ) ，j a l g ，1 9 ，2 7 4 - 2 8 1 ( 1 9 7 1 ) 吲z a r a d ，ac l a s s i f i c a t i o n o f3 c c - g r o u p sa n da p p l i c a t i o n s t og l a u b e r m a n - g o l d s c h m i d tt h e o r e m ，j ，a l g ，4 3 ，1 7 6 - 1 8 0 ，( 1 9 7 6 ) 【8 】z 心a d ，ac l a s s i f i c a t i o no fg r o u p sw i t hac e n t r a l i z e rc o n d i t i o n ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c 1 5 ，8 1 8 5 ，( 1 9 7 6 ) 【9 】z 心a da n dd c h i l l a g ，o nf i n i t eg r o u p sc o n t a i n i n gac c - s u b g r o u p ，a r c h d m a t h 2 4 ，2 2 5 - 2 3 4 ，( 1 9 7 7 ) 【1 0 z 心a da n dd c h i l l a g ，o nf i n i t eg r o u p sc o n t a i n i n gac c - s u b g r o u p ，舡c h d 。 m a t h 3 5 ，4 0 1 4 0 5 ，( 1 9 8 0 ) 【1 1 】z 舡a da n dm h e r z o g ，ac l a s s i f i c a t i o no fg r o u p sw i t hac e n t r a l i z e rc o n d i t i o ni i ： c o r r i g e n d u ma n da d d e n d u m ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c 1 6 ，5 5 - 6 0 ，( 1 9 7 7 ) 【1 2 】z 舡a da n dm h e r z o g ，ac l a s s i f i c a t i o no fg r o u p sw i t hac e n t r a l i z e rc o n d i t i o ni i ： c o r r i g e n d u ma n da d d e n d u m ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c 1 7 ，1 5 1 6 0 ，( 1 9 7 7 ) 【1 3 j s w i l l i a m s ，p r i m eg r a p hc o m p o n e n t so ff i n i t eg r o u p s ，j a l g 6 9 ，4 8 5 1 3 ，( 1 9 8 1 ) 1 7 s e m i n m a t u n i v p a d o v a ，1 0 2 ，1 - 2 2 ( 1 9 9 9 ) 【1 9 】l u c i d o ，m a r i as i l v i a ，a d d e n d u mt op r i m eg r a p hc o m p o n e n t so f f i n i t ea l m o s ts i m