（电力电子与电力传动专业论文）基于小波分析的输电线路故障诊断.pdf

亟堡望三丕堂堡主堂堡丝墨 一 a b s t r a c t t h ee c o n o m i ca n dr e l i a b l eo p e r a t i o no fp o w e rs y s t e mr e q u h sa 1 1e x a c ta i l d 加t d e t e m l i n a t i o no f 也e 口o i m 、v h e r eaf a i l l to c c u r s am e t h o do fq u i c l c l ya n da c c u r a t e l y j o c a t i n 立仃a n s m i s s i o n1 i 1 1 ef a u l t sh a sb e e nam u c h - d e s 沁dt o o lf o rc o n t r d lc e n t l 玎 o p e r a 幻r sa i l dt h er 印a i rc r e w s ，a i l di t i s a i s oa ni m p o r t a n t 代s e a r c ha r e ai ne l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g t m e l i n gw a v ei sam u t a t i o na n ds i n g u l a r i t ys i g n a l t h ep 印e rd i s c u s st h e s i n g u i a r i 哆d e t e c t i o nt h e o f yo fw a v e 】e tt r a n s f o 讽，亡h 妊h e 。巧主sa p p ! i e dt oa n a 】y s i so f f 狐1 tc h a r a c t e r i s t i c so f t h et 啪s i e n t 仃a v e l i n gw a v e s ， t h i sp a p e ra n a i y s e sm e 订a i l s i e n ts t a t ep r o c e s s i i l go ft h ep o w e rs y s t e m ，a n d t h e o r e t i c a l锄a l y s i sa n ds i m u l a d o nr e s u l t ss h o wt h es h o n a g eo f 也ef o u r i e r f o 衄a t i o n 锄ds h o r t t i m ef o l l r i e rt r a l l s f o r i n a t i o n ( s t f di nt h ef a u l td e t e c t i o n o fp o 、v e rs y s t e mt r a l l s m i s s i o nl i n e s ；a l s ot h j sp a p e rs 眦如撕z e sm em e t h o d so ff 乱l t 1 0 c a t i o no f 也et r a n s m i s s i o nl i n e sa tp r e s e n t a i m e da tm ek e yp r o b l e mo ft r a v e l i n g w a v ei o c a t i o na c c u r a t ee x 廿a c t i o no f 幺u 王tt i m 口s ，an e wm c t h o du s i n gt h ew a v e l e t 订a l l s f o 丌ni sb r o u 曲to u tw h i c hc a nd e t e c ta n da 1 1 a l y z et l l et r a i l s i e mf a u l ts i g n a l s n e p r a c t i c a lp r o b l e m s i nt h ef a u l td e t e c t i o na 1 1 df a u l tl o c a t i o nu s i n gt 1 1 ew a v e l e t t r a n s f o m a c c o r d i n gt ot h em o d e lo fp r a c t i c a lp o w e rs y s t e m 廿a n s m i s s i o nl i n e s ， s i m u l a t i o nr e s u i t ss h o wt h a tm ew a v e l e t 删y s i si s “a i l a b i l i t ya 1 1 da c c u r a t ei nt 1 1 e 订【v e l i n gw a v ef h l tt i m e se x t r a c t i o n f a u hs i g n 砒sa n dn o i s es i 回i a l sa p p e a rd i 丘e r e n tf e a t l l r ei nt 1 1 ew a v e l e tt r a n s f o n s a c c o r d i n gt ot h es h o n a g 芒o f 矗u nd e t e c d o na i g 谢t 址n sa tp r e s e n ad e y e 工0 p n a l g o r i t h mi no r d e rt os o l v et h es h o r t a g eo fg e n e r a la l g o r i t l l ma tp r e s e mi si m r o d u c e d t om e e td e m a n d so ff 撕l td e t e c t i o ni nt t l en o i s ee n v i r o n m e m t h ea l g o r i t ，w h j c h m u l t i p l j e s 也ec o r r e s p o n d i n gw a v e l e tc o e 塌c i e n t so fa d j a c e n t 五n es c a l e s ，e n h a n c e st h e f e a t u r eo fd i s c o m i n u 时p o no fs i g n a l sa i l di n h j b i t st h ee 雎c to fn o i s es i g n a l s r e s u l t so fm c o r ya 芏1 a l y s i sa n d p o w e rs y s t e m 廿a n s m i s s i o nl i n e ss i m u l a t i o n ss h o wt h j s m e m o di se f f e c t i v e k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o m l ；f h l td e t e c t i o n ；n o i s ee i i m i n a t i o n i i 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的背景与意义 电能是现代社会中最重要、也是最方便的能源。电力系统由发电机、变压 器、母线、输电线路及用电设备组成。输电线路一方面跨越的空间距离大，一 般为几十到几千千米，另一方面长期暴露在环境条件恶劣的户外，无法进行有 效的维护，与其他电气元件比较，输电线路所处的条件决定了它是电力系统中 最容易发生故障的一环。输电线路上，最常见同时也是最危险的故障是相与相 或相与地之间的非正常连接，即短路。其中以单相接地短路最为常见，而三相 短路是比较少见的。在输电线路上，还可能发生断线及几种故障同时发生的复 合故障。短路发生时会产生很大的短路电流，同时使系统中电压大大降低。短 路点短路电流及短路电流的热效应和机械效应会直接损坏电气设备。电压下降 影响用户的正常工作，影响产品质量。短路更严重的后果，是因为电压下降可 能导致电力系统发电厂之间并列运行的稳定性遭受破坏，引起系统振荡，直至 整个系统瓦解。因此输电线路的短路故障诊断是电力系统故障诊断的一个重点。 高压输电线路发生故障后的暂态行波中包含着丰富的故障信息，这些信息 包括：由故障点产生的初始行波到达故障点标志着故障发生；三相行波的幅值 和相位包含着故障相信息；初始行波和随后的反射行波到达检测点的时间差代 表着故障距离；线路两端初始行波的幅值和极性可以用于识别故障方向：线路 阻波器前后行波陡度的变化可用于识别区内外故障等等。不同原理的行波保护 正是以上述故障信息为基础而构造的。电力系统输电线路故障诊断技术用来解 决电力系统运行中故障检测、故障类别的判断以及故障点精确定位问题。精确 的故障定位为现场巡线人员及时提供准确、可靠的信息，减轻人工巡线的负担， 同时加快线路的恢复供电，减少因停电造成的综合经济损失，为提高电力系统 运行的安全性、经济性和可靠性发挥着重要的作用。采用一种有效的故障检测 算法即对赦障信号的精确分析是实现上述目的的第步，也是至关重要的一步。 在信号处理中，信号有平稳信号和非平稳信号之分。电力系统输电线路故障 信号是属于非平稳信号。在信号分析中，变换就是寻求对信号的另外一种表示 方法，使得比较复杂的、特征不够明确的信号在变换后的形式下变得简洁和特 武汉理工大学硕士学位论文 征明确。长期以来在工程中，傅立叶变换是信号处理的重要数学工具，特别是 对于平稳信号的分析处理，它把一个周期变化的信号表示成一族具有不同频率 的正弦波的线性叠加。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的信号转化为频域 中的信号，因此是一种纯频域的分析方法。对于具有突变性质的、非稳定变化 的信号，我们不只是感兴趣该信号的频率，而且尤其关心该信号在不同时刻的 频率，也就是说，需要时间和频率两个指标来刻画该信号，显然傅立叶变换是 无能为力的。时频分析方法的典型例子是窗口傅立叶变换，但是其窗函数的大 小和形状是固定不变的。而实际的信号是由多种频率分量组成的，当信号尖锐 变化时，需要有一个短的时间窗为其提供更多的频率信息；而当信号变化平缓 时，需要一个长的时间窗用于描述信号的整体行为。这就导致了小波变换的出 现。小波变换在非平稳信号的分析中具有独特的优势在于它可以有灵活可变的 时频窗口，以适应不同频率的分辨率的需要，在时域和频域上都具有表征信号 局部特征的能力，形象地说小波变换具有“变焦”地的功能，因此常常被称为 “数学显微镜”。【l 叫 随着科技的不断发展，故障暂态信号的准确测量与变换、模拟信号的高速 采样以及高速计算机的应用，基于暂态故障分析的超高速保护原理将有更加广 阔的应用前景。由于电力系统故障暂态信号具有持续时间短、所占频带宽等特 点，使得传统的信号分析工具如傅立叶变换和短时傅立叶变换等难以对其进行 有效的分析。而拥有“数学显微镜”美誉的小波变换却非常适合用来分析非平 稳信号，本课题就是在这种前提下提出和展开研究工作的。 1 2 小波分析的国内外研究现状 1 2 1 小波分析的发展简史 小波分析( w 矗v e l e ta n a | y s i s ) 是2 0 世纪数学研究中杰出的成果之一。小波分析 方法作为一种比较成熟的理论，是在2 0 世纪8 0 年代后才逐步发展和兴起的， 特别是现代小波的奠基者m e ”r 、d a u b e c h i e s 等人做出了重大贡献。小波分 析理论的发展和工程应用紧密地联系在一起，并相互促进。小波理论指导下的 每一次成功的应用，又反过来促进小波理论的发展。1 9 9 0 年，d a u b e c h i e s 在美 国作了关于小波分析的系列讲座，极大地推动了小波理论研究和工程应用的发 展。它作为数学学科的一个分支，汲取了现代分析学中诸如泛函分析、数值分 2 武汉理工大学硕士学位论文 析、傅立叶分析、样条分析、调和分析等众多分支的精华。它克服了工程界一 直应用的傅立叶变换不能在时频域同时具有局部化特性的缺点，通过小波基 的伸缩和平移，可根据信号的变换特征自适应地调整分析窗，这种方法更能准 确地捕捉到故障中的突变信号。 自从1 8 2 2 年傅里叶( f o u r i e r ) 发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变 换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但 傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的( 即 频域分辨率最高) ，而在时域无任何定位性( 或分辨能力) ，也即傅里叶变换 所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段 上的频率信息。相反，当一个函数用6 函数展开时，它在时间域的定位是完全 准确的，而在频域却无任何定位性( 或分辨能力) ，也即6 函数分析所反映的 只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间 信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不 同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节：探地信号，在不同目标出现的 位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们 为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段( 或瞬间) 的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析 和6 分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号， 一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。 为了研究信号在局部时间范围的频率特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的 g a b o r 变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ，简记为s t f t ，又称为加窗傅里叶变换) 。虽然s t f t 己在许多领域 获得了广泛的应用，但由于s t f t 的本身特点决定了其窗函数的大小和形状与时 间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号 一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，要求时间窗能根据频率的变化 而变化，所以s t f t 在处理高频信号时已不在实用了“1 。 小波分析( w a v e l e t sa n a l y s i s ) 是近年迅速发展起来的新兴学科，具有深 刻的理论意义和广泛的应用范围。小波分析是一种信号的时间一尺度( 时间一 频率) 分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号 局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可以改变的时频局部化分 析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部 3 武汉理工大学硕士学位论文 分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带 的瞬变反常信号并分析其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。由于小波具有 多分辩分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在小波域进行 去噪、压缩处理后，作反变换得到去噪和压缩后的信号和图像。小波分析用于 非平稳信号和图像的处理优于传统的傅里叶变换已被许多应用领域的事实所证 实。因此，自小波分析诞生到现在不过1 0 年的时间，就在诸如地球物理勘探、 信号信息处理、图像处理、语音分割与合成、故障诊断、雷达信号分析等取得 了很佳的应用效果。 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属 1 9 1 0 年h a a r 提出的规范正交基，这是最早的小波基，但当时并没有出现“小波” 这个词。1 9 3 6 年l i t t 】e w o o d 和p a l e y 对傅里叶级数建立了二进制频率分量分 组理论，对频率按二进制进行划分，其傅里叶变换的相位变化并不影响函数的 大小，这是多尺度分析思想的最早来源。1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗傅里叶变换 ( 或称短时傅里叶变换) 对弥补傅里叶变换的不足起到了定的作用。后来， c a l d e r o n 、z y g m u n d 、s t e r n 等将l p 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子 理论；1 9 6 5 年c a l d e r o n 发现了再生核公式，它的离散形式已接近小波展开， 只是还无法得到一个正交系的结论。1 9 8 1 年，s t o r m b e r g 对h a a r 系进行了改进， 证明了小波函数的存在性。1 9 8 2 年b a t t l e 在构造量子场论中采用了c a l d e r o n 再生核公式的展开形式”1 。 小波概念的真正出现应算于1 9 8 4 年。法国地球物理学家m o r l e t 在分析地 震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开。随后，他与 g r o s s m a n 共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1 9 8 5 年，法国的大数学 家m e y e r 首先提出了光滑的小波正交基，对小波理论做出了贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。1 9 8 7 年m a l l a t 将计算机视觉领域 内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辩分析的概念，统一了在 此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正交小波基一一 d a u b e c h i e s 基，为小波的应用研究增添了催化剂，同年，d a u b e c h i e s 在美国主 办的小波专题讨论会上进行了十次演讲，引起了广大数学家、物理学家甚至某 些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。 4 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 2 小波研究的国内外现状 国外研究小波的时间较早，8 0 年代就有大量的相关文章和著作发表，m a l l a t 算法一一( f w t ) 这是小波理论突破性的成果，其作用相当于傅里叶分析的f f t 。 m a l l a t 算法的提出使小波从理论研究走向宽广的应用领域。1 9 8 9 年，m e y e r 出 版的小波与算子”1 是目前较权威较系统的小波理论著作。美国t e x a sa m 大 学数学与电气工程教授、逼近论中心主任、小波研究的权威之一崔锦泰( c h u i c k ) 著的a ni n t r o d u c t i o nt ow a v e l e t s ”是美国科学出版社出版的部 小波分析的入门书。崔教授主编的长达7 0 0 余页的会议论文集1 使得小波研究 向深广方向发展。d a u b e c h i e si 的“t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ”“总结了她 的研究成果，为向世界科技工作者普及小波理论做出了积极的贡献。 我国对小波的研究起步相对较晚，1 9 9 4 年形成国内的小波研究高潮，并在 信号的去嗓和图像的压缩、机械故障检测等方面取得了较大的进展。目前，国 内的小波著作主要有刘贵忠、邸双亮编著的小波分析及应用“3 1 ，秦前清、杨宗 凯编著的实用小波分析“，程正兴编著的小波分析算法与应用“，杨福生编著的 小波变换的工程分析与应用”“，李建平主编的小波分析与信号处理理论、 应用及软件实现“，我国目前发表的小波学术论文以在各种领域的应用性文章居 多，如小波在图像处理和压缩中的应用”，小波在模式识别与特征提取中的应 用，小波在故障诊断和去噪中的应用“。，小波在地球物理勘探中的应用等等 小波基础理论方面的研究主要有小波算法的研究，量化方法的研究。从公 开发表的应用性文章的内容看，主要可分为两大部分，一部分是利用小波分析 对信号进行消噪处理，以提高解释方法的分辨率，这一部分包括小波变换用于 信噪分离、弱信号的提取以及信号奇异点与奇异度的测定和多尺度边缘检测与 重构；另一部分是利用小波分析做图像或数据压缩。一个图像经小波分解后， 图像轮廓主要体现在小波系数的低频部分，而细节部分主要体现在高频部分， 因此可以采用不同的量化方法对不同层次的低频系数和高频系数进行量化处 理，对量化后的小波系数进行重构，以达到图像或数据压缩的目的。利用小波 分析对信号或图像进行去噪或压缩处理，最关键的就是如何选取阈值和如何进 行闽值的量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪和压缩的质量。 小波分析虽然在许多应用领域已取得了一定的成果，但专家预言小波分析 的真正高潮还没有到来”“w ，主要原因如下： 5 武汉理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 小波理论尚待进一步完善，除一维小波理论比较成熟以外，高维小波、 向量小波的理论还远非人们所期待的那样，特别是各类小波，如正交小波、双 正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质尚待更深入的研究； ( 2 ) 最优小波基的选取方法研究。虽然国内外已有些最优基选取方法的 研究，但缺乏系统规范的最佳小波基的选取方法，即针对不同的问题能最优地 选择不同的小波基以实现最好的应用效果。我们知道不存在一种小波基能适应 所有的情况，因此，小波基的优化选择将始终是小波理论研究的重要内容： ( 3 ) 目前小波分析软件远不如有限差分方法( f d m ) 、有限元方法( f e m ) 、 边界元方法( e e m ) 等软件成熟和完善，更无大型系统权威的小波分析软件，作 为商品的高水平小波分析软件几乎没有： ( 4 ) 小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩，人们期待利用小波 能够实现高压缩比、高重现度图像的压缩，并探索在图像的边缘检测、分类与 描述中的应用。 ( 5 ) 小波分析的应用范围虽然很广，但真正取得极佳应用效果的领域并不 多，人们正在挖掘有前景的应用领域； 众所周知不存在一种小波基能够适应所有的情况，针对不同的问题应最优地 选取不同的小波基以实现最好的应用效果，因此小波基的优化选择将始终是小波 理论研究的重要内容。另一方面，目前，基于小波变换的图像压缩编码主要或基 本上套用d a u b e c h i e s 小波基，所采用的图像主要是b a b a r a 、l e n a 、g o l d h i l l 、 w o m a n 等广泛使用的测试图像，针对某一领域的具体应用，缺乏对小波变换理论 与实际应用相结合的研究。此外，计算时间、压缩倍数和失真程度很难辨证的统 一。对现已构造出来的几种重要的小波基很难找到系统论述其构造过程、正交性、 支撑区间、对称性以及消失矩的权威论述，给其应用带来较大的困难。同时，也 许是由于小波源程序具有较高的商业价值，因此几乎所有的作者都不愿意直接写 出小波源程序代码u “。 1 3 本论文的主要工作 本论文是研究小波分析在电力系统输电线路中故障检测与测距的应用性研 究课题，作者在本课题中的主要工作有： 1 简要介绍了小波分析基础理论，总结了小波分析的发展简史以及国内外 6 武汉理工大学硕士学位论文 的研究现状： 2 分析了电力系统的故障暂态过程，总结了目前输电线路故障测距方法， 针对行波测距方法的关键问题一故障时刻的准确提取，理论分析和仿真研究了 傅立时变换和短时傅立叶变换在电力系统输电线路故障时刻的准确提取中的不 足，运用小波变换来检测和分析故障暂态信号的方法，依据实际电力系统的模 型进行了仿真，结果表明小波分析在行波故障时刻提取中是有效、精确的； 3 分析了故障信号和噪声信号在小波变换下呈现了不同特征以及噪声的小 波分解在较细尺度层上的相关性，针对目前的故障检测算法在强噪声背景下在 故障特征提取中的不足，提出了一种基于小波变换在噪声环境下的故障检测改 进算法一空间滤波器法。用空间滤波器法加上默认的软闽值降噪法不但抑制了 噪声的影响而且增强了信号在突变点处的特征，从而更有利于故障点的检测。 理论分析和基于电力系统输电线路的仿真结果均表明了该算法的有效性； 4 对各种故障用m a t l a b 进行仿真研究，检验故障检测算法和本文对降噪算 法改进的实际效果。 7 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 引言 第2 章小波变换基础理论知识 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是2 0 世纪数学研究成果杰出的代表之一。它 作为数学科学的一个分支，汲取了现代分析数学中诸如泛函分析、傅立叶分析、 数值分析、样条分析、调和分析等众多分支的精华。小波分析方法作为一种比 较成熟的理论，是在2 0 世纪8 0 年代后逐步形成和日臻完善的，特别是现代小 波的奠基者_ m e y e r 、d a u b e c h i e s 等人做出了重大贡献。小波分析理论的发展 和工程应用是相互促进的，小波理论指导下的每一次成功的应用，又反过来促 进小波理论的上升和发展。尤其是d a u b e c h i e s 于1 9 9 0 年在美国作了关于小波 分析的系列讲座著名的“小波十讲”( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) ，极大 地推动了小波理论的研究和工程应用的发展。“ 小波分析是一种时域一频域分析，介于纯时域的方波( 6 函数) 分析和纯 频域的传统傅立叶分析之间。它在时域和频域同时具有良好的局部化性质 ( 1 0 c a l i z a t i o nn a t u r e ) 。它可以根据信号的不同频率成分，采用逐渐精细的时 域或频域步长，因而可以聚焦到对象( 函数、信号、图像等) 的任意细节，并加 以分析。从这个意义上讲，小波分析被誉为“数学显微镜”。因此，它在信号分 解与重构( d e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o n ) 、信号和噪声分离技术 ( t e c h n i q u e so fs e p a r a t i o nn o i s ef r o ms i g n a l s ) 、特征提取( c h a r a c t e r i s t i c e x t r a c t i o n ) 、数据压缩( d a t ac o m p r e s s i o n ) 等工程应用中，显示出巨大的优越 性。而这些正是近2 0 0 多年来大量应用于诸多工程领域的傅立叶分析无法做到 的。 2 2 小波变换数学基础 小波变换是从傅立叶变换的基础上发展起来的。自从1 8 2 2 年傅里叶 ( f o 谢e r ) 发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最 完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。 8 一 茎坚望三查兰堡主堂垡堡苎 - _ _ _ _ _ _ - - _ 一一一 2 2 1 傅立叶变换 定义1 设信号，( ，) d ( r ) ，则其f o u r i e r 变换定义为： 一 巴 f ( 珊) = i p l “厂o ) 疵 ( 2 1 ) 定义2f o u r i e r 逆变换定义为 厂( f ) = 去j e f 矽 ( 2 - 2 ) 式( 2 一1 ) 和式( 2 2 ) 形成了f o u r i e r 交换对，可对信号实施分解和综合。傅 立叶变换的基本思想源于傅立叶级数。设输入信号为周期函数信号，除基波外 还含有不衰减的直流分量和各次谐波，可表示为 x ( f ) = 6 。c o s o 甜) + 口。s m 科) 】 ( 2 3 ) 式中n = 0 ，l ，2 ，；u 为基频角频率；口。和6 n 分别为各次谐波的正弦项 和余弦项的振幅。 由于各次谐波的相位可能是任意的，所以把他们写成为分解成有任意振幅 的正弦项和余弦项之和。口1 ，矗分别为基波分量的正、余弦项的振幅，b o 为直流 分量。根据傅氏级数的原理，可以求出q ，岛分别为 q = 亭f 工( r ) s i n ( 耐) 魂 ( 2 - 4 ) 6 1 = 素【x ( f ) c o s ( 肼) 出 ( 2 5 ) 由式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可得x ( t ) 的基波分量为 x l ( f ) = 口】s i n ( c w ) + 6 lc o s ( 耐) ( 2 6 ) 在数值计算中，式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 的积分可以用梯形法则求得 ”寺【2 黔等) 】 ( 2 _ 7 ) ”扣0 + 2 黔c o s ( 七争” ( 2 _ 8 ) 式中：n 一个基频周期内的采样点数。 耽第k 次采样值 、x 分别为k = o 和n 时的采样值 9 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 2 短时傅立叶变换 由于傅立叶变换只在频域具有局部分析的能力，而在时域内无任何分辨率。 为此g a b o r 于1 9 4 6 年引入了短时傅立叶变换( s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o 珈) 。 短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变 换分析每个时间间隔内的信号，以便得出该时间间隔存在的频率特性。它的数 学定义为： g ( ，f ) = 仁，( r ) 页i = 再也 ( 2 - 9 ) 式中，g ( t ) 为窗函数，厂o ) 为待分析函数，随着时间f 的变化，g ( t ) 所确定的“时 间窗”在t 轴上移动，对f ( t ) “逐渐”进行分析。g ( ，f ) 大致反应了f ( t ) 在时 刻f 、频率u 的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗口上的展开就可以表示 在 t 一6 ，t + 6 ，一，+ 】这一区域的状态，把这一区域称之为窗口。6 和 e 分别成为时宽和频宽，体现了时频分析中的分辨率，窗口越小则分辨率越高。 显然，最理想的选择是6 和e 都非常小，从而得到更好的时频效果，但根据“测 不准原理”，6 和e 是互相制约的，两者不可能同时达到任意小。这就表明，短 时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的 缺陷，但它存在着自身不可克服的缺陷，如当窗口函数g ( t ) 一旦确定，则矩形窗 口的形状也随之确定，6 和e 只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗 口的形状。因此，短时傅立叶变换本质上仅具有单一分辨率，若要改变分辨率， 则需要重新选择窗函数g ( t ) 。故短时傅立叶变换比较适合于分析平稳信号，而对 于非平稳信号，尤其是当波形变化剧烈，主频为高频时，则要求较高的时间分 辨率( 即6 要小) ；而当波形变化比较平稳时，主频为低频时，则要求有较高的 频率分辨率( 即e 要小) ，这是短时傅立时变化无能为力的口j 。 2 t 3 小波变换理论 2 3 1 连续小波变换 定义l 设函数p ( f ) r ( r ) 且满足如下允许性条件，即 c ，= 胖c ，1 2 等 o ，z ；6 0 = 七6 0 口：，6 0 r ，七z ， ， 贝0 。， ( f ) 变为，t o ) = 口0 7 2 y ( d i ，一忌6 0 ) 称 d 呢， = i ，( f ) 妒肚( f 矽 ( 2 - 1 4 ) 为离散小波变换。 当取2 时式( 3 5 ) 称为二进小波变换，从以的取值可以看出，二进小波 变换可以将正频率轴划分为邻接的频带，实现信号的无重叠全频分解。例如， 设采样得到的信号最高频率为1 0 0 h z ，对它进行一次小波变换，得到尺度一下的 两个频带5 0 l o o h z 和0 5 0 h z 的信息：再对低频信号进行小波变换，又得到尺 度二的两个频带2 5 5 0 h z 和o 2 5 h z 的信息。以此类推，就可以把一个信号分 解到若干个互不重叠的频带。这一特性使得它特别适合于信号的奇异性检测， 因此，本文利用二进小波变换实现对故障暂态信号的提取。 小波变换的时频窗口与短时傅立叶变换的时频窗口不同，其窗口形状为两 个矩形，即为 武汉理工大学硕士学位论文 6 + 口f 一日盯，6 + 口f + + 口仃r 生一三盯妒，皇) _ + 三盯矿 ( 2 1 5 ) “ 其中，6 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率 轴上的位置，也影响窗口的伸缩。当分析高频分量时( 口减小，这里取口 o ) ， 时间窗口自动变窄，频率窗口的高度增加；当分析低频特性时( d 增大) ，此时 时间窗口自动变宽，而频率窗口的高度自动减小。这样小波变换对于不同的频 率，在时域上的取样步长能自动调节，即在低频时小波变换的时间分辨率较差， 而频率分辨率则较高：在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率则 较低，者正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点这便是它优 于经典傅立叶变换之处。傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换的时一频窗 比较如图2 1 所示。 雠巨频域糊睦悯撇四时域 图2 1傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换的时频窗比较 2 4 多分辩分析与m a | i a t 算法 法国学者m a l l a t 等人把滤波器组与图象处理中的金字塔编码算法相结合， 于2 0 世纪8 0 年代末创立了多分辨分析理论，在函数空间的概念上形象地说明 了小波的多分辨特性，统一了小波构造方法，并给出了正交小波变换的快速算 法_ m a l l a t 算法，应用该算法在作信号的时一频分析时，仅需要待分析信号 的有关数据和双尺度方程的传递系数 h 。) 和 g ，并不需要尺度函数巾( t ) 和小 波函数1 i ，( t ) 的具体表达形式，它的作用相当于经典傅立叶分析中的快速傅立叶 变换。 2 4 1 多分辩分析 令1 l r ( t ) 是任一小波函数并且考虑它生成的r i e s z 基 1 i ，j 。) 。对于每个je z 1 2 亟堡望三查堂堡主兰垡丝苎一 令w ，表示 j 七z 的线性张成的闭包，即 ，= c 伽： r ) ( 2 1 6 ) 则r ( r ) 能够分解分解为空间w ，的直接和，如下式所示 三2 ( 异) = ，：= ；形一。阜t ；- 式中求和与加号上的黑点表示“直接和”。由此可得， 厂( z ) = - - - + g l ( x ) + go ( 工) + g l ( x ) + - 对于每个j z ，则l 2 ( r ) 的闭子空间 一；一一：阜一j z 这些子空间具有f 述 ( 1 ) c 以1c c _ c 。 ( 2 ) 幽5r ( u 矿，) = 上2 ( r ) ； j z ( 3 ) ny ，= ( o ) ： ，e z ( 4 ) + l = 巧，j z ； ( 5 ) 厂矿，c ，( 2 x ) 矿，+ l ， 2 4 2m a l i a t 算法 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 19 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 多分辩分析框架表明厂( f ) 三2 ( r ) 可分解为无穷个小波分量的直和，对 于正交小波v ( t ) ，可得 上2 ( r ) = 霞，：一t o 彤一10 形oo l0 ( 2 - 2 5 ) 在实际应用中，仅知道f ( t ) 的近似函数f n ( t ) ，例如由采样信号所决定的信 号函数可看作f n ( t ) ，此时可以在多分辩框架下理解为f n ( t ) e v 。因而尺度空间的 有限分解为 。= 既0 k = o 一。o 圪一l = 睨o 一lo 0 砜o ( 2 - 2 6 ) 其中，予空间及其分量表述为 ，7 ( f ) = c f “( f ) ， 。( f ) t ( 2 2 7 ) w ( f ) = d ? ( r ) ，w ) ( 2 2 8 ) ( f ) = 。矿( 2 卜”) ， 庐( r ) 矿。 ( 2 。2 9 ) 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 ( f ) = g 。( 2 f n ) ， y ( f ) y ， ( 2 3 0 ) t 小波分解算法，小波分解算法要实现的目标是：在 巾( t - n ) 是标准正交基下，已 知 c z “) 、 。) 和 g 。) ，求 c ：) d ： 。 由k = ko 与 由( t _ n ) 的正交性可得 c ：= ( ，。，戎，。) = ( ，o + w o ，丸，) = ( 1 ，丸，。) = c ：( 破，唬，。) = c ：( 2 k ( 2 r 一女) ，( r 一 ) ) = ( c ：( 2 咒妒( 2 f 一) ，h ( 2 ( r h ) 一m ) ) ( 2 _ 3 1 ) l = 2 尼c ：k ( 庐( 2 卜i ) ，庐( 2 f _ 2 ”一m ) ) t” 令，k = 2 n + m ，由式( 2 3 1 ) 可得 c ：= 2 一必c ： 一。 ( 2 - 3 2 ) 同理可得 d ? = 2 一彤c ：g 。 ( 2 3 3 ) 以此类推，当一。= 一十时，可得一般分解关系式 f ：2 嘿+ 吃一：。 ， o i 以= 2 c ：“艮：。 l 女 ( 2 3 4 ) 重构算法是分解算法的逆过程 c ：“= 2 乃( c ： 。+ c f g 。) ( 2 - 3 5 ) i 若将小波分解过程看作对输入信号序列进行双通道滤波的过程，则滤波器的 输出分别对应于输入信号的低频概貌和高频细节。由于两滤波器的输出序列长 度与序列长度相同，因此，结果总长度变为原始信号长度的两倍。由于原始信 号的频带被等分为低通和高通两部分，所以总长度变为原始信号的两倍。由于 原始信号的频带被等分为低通和高通两部分，所以滤波后输出序列的带宽只有 原始信号的一半。由带限信号的采样定理可知，可以将采样率降低一半而不会 丢失任何信息，因而对滤波输出进行二抽取是允许的。 二抽取得分解示意图如图2 2 所示， 和d j 。的数据长度为上尺度的一半， 图中符号圜表示二抽取，对应的c j 。 使总的输出序列长度与输入长度保持一 致。小波重构过程是小波分解的逆过程，如图2 3 所示。图中符号匝 表示二 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 插值。 c ，女 d ，一2 。主 c ，一2 ， 2 5 小结 图2 2 二抽取分解示意图 t 一- 圈一，田 d 卜2 ， c 卜2 ， 图2 3 二插值重构示意图 c j ，七 本章对小波分析与小波变换算法的数学基础作了介绍，其中主要包括连续 小波变换、离散小波变换、多分辩分析、正交小波变换的m a l l a t 算法，这是本 文的研究主题基于小波分析的输电线路故障诊断的理论基础。这其中的理 论主要参考文献 1 】、【2 】、 3 。 传统的傅立叶变换的缺点在于不能同时对信号在时域和频域上进行局部 化。为解决这一问题而提出的加窗傅立叶变换，但是由于窗函数一旦选定，其 时频窗则随之确定，因此仅适合于变化不剧烈的渐变信号。这就导致了小波分 析理论的出现。小波分析是在傅立叶分析的基础上发展而来的一种新的时频分 析工具。它克服了傅立叶变换不能对信号进行局部化分析这一严重缺点，小波 分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，对高频成分采用逐渐精细的取 样步长，从而可以聚焦到信号的任意细节。同时有很强的特征提取功能，尤其 对突变信号的处理，表现出非常明显的优点，从而使小波分析的应用具有非常 广阔的前景。 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章输电线路故障诊断概述 电力系统由发电机、变压器、母线、输电线路及用电设备组成，在电力系统 可能发生的各种故障中，危害较大且发生概率较高的首推短路故障。所谓短路， 是指电力系统正常运行情况以外的相与相之间或相与地( 或中性线) 之间的连 接。产生短路故障的主要原因是电力设备绝缘损坏。引起绝缘损坏的原因主要 有：各种形式的过电压( 如雷击过电压或操作过电压) 引起的绝缘子、绝缘套 管表面闪络、绝缘材料恶化等引起绝缘介质击穿；恶劣的自然条件及鸟兽跨接 裸露导体造成短路；运行人员的误操作等。短路故障又可分为三相短路、两相 短路、单相接地短路以及两相接地短路。其中三相短路时三相电路仍然对称， 称为对称短路。其余三类统称为不对称短路，各种短路的示意图和代表符号如 表3 1 所示。其中以单相接地短路故障最为常见，约占到6 5 左右。 表3 1各种短路的示意图和代表符号 短路种类示意图短路代表符号 三相短路 l专 f ( 3 ) ?| | ， 两相接地 短路 ， 勺 f ( 1 ，1 ) ， 两相短路 fl 1 产) 单相接地 短路 7 f ( 1 ) 鲁 ， 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 3 2 无限大功率电源供电系统的三相短路分析 3 2 1 无限大功率电源 在三相供电系统中，为了方便地分析电力系统的暂态过程，常常假设电源的 容量为无限大，其电压和额定频率保持恒定，内阻抗为零。无限大功率是个相 对的概念，通常以供电电源( 系统) 的内阻抗与短路回路总阻抗的相对大小来判断 电源是否为无限大功率电源。若电源的内阻抗小于短路回路总阻抗的1 0 ，即 可以认为电源为无限大电源。例如，多台发电机并联运行或短路点远离电源等 情况，都可以看作无限大功率电源供电的系统。对于含有无限大功率电源的系 统进行电磁暂态过程分析，可以获得清晰的物理概念，较易得到短路电流的周 期分量、非周期分量、衰减时间常数与冲击电流等。 3 2 2 暂态过程分析 有一无限大功率电源供电的三相对称系统如图3 2 所示 前，电路处于稳定状态，设a 相电流和电压分别为 屯2 ，。( o ) s i n ( 6 w + 臼一致o ) ) 虬= 虬s i n ( 耐+ 印 舯：，2 而丽 响= 一筹 假设在短路发生 图3