（运筹学与控制论专业论文）非线性时变系统稳定性的若干结果.pdf

摘要 l a s a l l e 不变原理是分析自治系统稳定性非常有效的工具，然而该原理不可以 直接应用到非线性时变系统中去，因为u 一极限集不再是一个不变集为了解决这 一困难，本文第二章通过构造一个虚拟的输出函数，引入某种可测条件( 零状态可 测) ，建立一个时变系统的稳定性判据，并说明该判据是l a s a l l e 不变原理在时变系 统中的推广本文第三章在极限系统的框架下，通过引入条件稳定的概念，来研究 一类非线性时变系统( 殆周期系统) ，把l y a p 硼o v 函数放宽为半正定且沿系统解的 导数半负定，得到一个较一般的稳定性定理最后说明第二章主要定理是第三章定 理的必要条件 关键词非线性时变系统，一致渐近稳定，条件稳定，极限函数，极限系统，极限 解，l a s a l l e 不变原理，积分不变原理 a bs t r a c t l a s a l l ei i l v 撕a n c ep r i n c i p l ei s 锄e 脏c t i v et o o li ns t u d y i i l gn o n l i n e a rt i m e i n v 撕a n t s y s t e m s ，h 0 w e 、，e r t h j s 西耐a n c ep 血c i p i ec 觚tb ed i r e c t l ye x t e n d e dt on o n l i i l e a rt i m e v a d ，m gs y s t e n l s ，b e c 挑s eu - i i m i ts e t sa 他n o ta l w a y si n v a r i a n t i nc h 印t e r2 ，am o d i 6 c d d e t e c 讪i l 毋( w e a i ( 1 yz e r o - s t a t ed e t e c t a l b i l i 劝i s 锄p 1 0 y e dt oo v e f c o m et h ed 嘶c u l 钒t h e n w ep r o p o a 面硎0 nb yc o n s 仃u c t 啦av i n u a lo u t p u t 缸n c t i r r h ec 一矧o nc 加b e r e g 砌e d 舔ag e n e r a l 础i o fl a s a l l ei n _ 嘶柚c ep 血c i p l ei 1 1t i m e 、，a d ，i n gs y s t 锄s 1 1 1 c h a p t e r3 ，w es t u d y 也e 豁y l n p t o t i c a l l ya h n o s tp e r i o d i cs y s t e m sw i t h i nt h e 丘a m e 、d 成 o fl i 而ts y s t e i n sb yi l 删u c i n gt h ec o n c 印to fc o n d i t i o m ls t a b i l i 毗a n dag e r a lu a s t h e o r e mi sp r o p o s e dw i t hap o s i t i v es e m i - d e f i n i t el y a p u n o v 矗l n c t i o na n di t sn e g a t i v e m i d e f i n i t et i m ed e r i v a t i v e f i n a l i y ，w es h o wt h a tt h em a i nt h e o r e mo f c l l a p t e r2i sa n e c e s s a 巧c o n d i t i o no f 也et 1 1 e o r e mo fc h a p t e r3 k e y w o r d st h e 。叮i n gn o n l i l l e a rs y s t e 峨岫i f 0 n n 嬲y m p t o t i cs t a b i l i 劬c o n d i t i o n a ls 协 b i l i 呗l i r i l i t 劬c t i o n i 础ts y s t e 玛l i m i ts o l u t i o 玛l a s a l l em 丽姐c ep 渤c i p l e ，i i l t e g r a i 洫谢a n c ep 血c i p l e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的 研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说 明并表示谢意 作者签名：弛垒盂l日期：圣迸：区凸 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：缸釜。三导师签名：立叠避 日期：塑坚：! ：! 兰 第一章引言 1 1 问题的背景 稳定性是系统控制设计理论中的一个最基本性质，1 9 世纪末俄国数学家b ，a - p l l n o v 建立了稳定性的基础理论【l 】，提供了一套分析非线性时变系统稳定性强有力 的工具，即引入正定且沿系统解的导数为负定的l y a p 岫o v 函数，来保证系统一致浙 近稳定 由于l y a p u n o v 方法在判别系统稳定性时不依赖于系统的解，因而在控制设计 中被广泛应用，然而在通常情况下，寻找合适的l y a p 岫0 v 函数却是一件困难的工 作在控制应用中，我们常取能量函数作为备选l y 印岫o v 函数，通常情况下能量函 数本身是正定或半正定，其沿系统解的导数是半负定的【1 7 】在自治系统中，我们 可以借助强有力的l a s a l l e 不变原理来解决这类系统的稳定性，该原理给出了两个 条件来保证个稳定的系统是渐近稳定的，其一tl y a p l l i l o y 函数沿系统解的导数是 半负定的，其二；集合s = z d iy ( z ) = o ) 不含非零的整条轨道在最近的文 章中，该原理被应用和推广到许多不同的研究领域中去例如，b y m e s 和m 矾i n 【2 】， 利用观测方程和某种积分条件得到了积分不变原理，并且应用到研究耗散系统的稳 定性但足这些结果并不可以直接应用到二般的时变系统，因为在一般的时变系统 中，极限集不再是一个不变集了【5 】然而无论是在理论上还是实际应用中，时变 系统稳定性的研究都是非常有必要的例如时下流行的移动机器人模型【l6 】，它是 一类非完整系统，虽然该系统本身可以是时不变的，但却无法用时不变的反馈控制 将其镇定下来，必须用时变的连续控制或不连续控的制才行，因而这个由时不变系 统和时变的反馈控制构成的闭环系统就是个时变系统 事实证明l a s a l i e 不变原理分析自治系统是非常有效的，因而如何把其推广到 般时变系统就引起了广泛关注 3 ，1 0 ，1 5 ，1 2 为了克服时变系统中u - 极限集不再 是不变集这一困难， 1 5 受积分不变原理的启发，构造个虚拟的观测方程，引入一 个修正的零状态可测性的概念，即弱零状态可测性( w z s d ) ，得到个稳定性判据， 该该判据足在一致稳定的条件下，由弱零状态可测保证系统是一致渐近稳定的本 华东师范大学硕士论文 非线性时变系统稳定性的若干结果 文第二章把弱零状态可测作进一步改进，给出关于时不变输出函数= 忍( z ) 的某种 可测性，在此本文仍沿用弱零状态可测这一叫法，弱l y a p u n o v 函数满足。( z ) y ( t ，z ) sv n ( z ) ，y ( 亡，z ) s 一口( ( z ) ) ，其中( z ) ，( z ) 分别是连续半正定和正 定函数，构造虚拟输出函数y = 彬( z ) ，则由系统弱零状态可测性可以保证系统的一 致渐近稳定性本章接着证明在周期系统中零状态可测( z s d ) 可以推出弱零状态可 测，由此把判据推广到周期系统然后考虑在自治系统中，s = z d i y ( z ) = 0 不含非零的整条轨道蕴含着系统是零状态可测，因此该判据应用到自治系统，就得 到了著名的l a s a l l e 不变原理换句话说。该判据是l a s a l l e 不变原理在时变系统中 的推广最后给出弱零状态可测的验证条件，并用此条件验证一个例子，作出仿真 图。 在 1 2 中，基于系统稳定性理论是研究时间趋于无穷时系统解的极限性质，极 限系统和拟不变集的概念就被引入来克服这一实质性的困难，并把l a s 8 l l e 不变原 理推广到了殆周期系统和渐近自治系统，但是该文章要求l y a p 蚰o v 函数足正定的， 也没有给出如何确定拟不变集的方法把l y 印岫o v 函数放宽为半正定，沿系统解的 导数为半负定，得到殆周期系统的一致渐近稳定性定理，进而扩展了l y a p u n o v 方 法然而应该注意，本章并没有推广到最一般的情况，而是有条件的，定理( 3 2 3 ) 要求( z ) y ( 厶z ) w i ( z ) ，y ( t ，z ) 一a ( w ( z ) ) 。即y ( t ，z ) 和y ( t ，z ) 存在某种 关联另一方面无论是系统( 3 1 ) 关于集合m 一致渐近稳定，还是 圣= ，+ ( 屯z ) ) 关 于集合m 一致渐近稳定，都不是很容易直接验证的，但是不妨碍其作为一种理论 探讨在本章的最后通过引理得知，极限解零状态可检测可推出系统是w z s d ，由 此可知第二章主要定理就可以作为第三章定理的推论了，也就是说本章定理可以看 作l a s a l l e 不变原理在时变系统中的推广 2 本章研究系统 第二章时变系统的稳定性判据 2 1 预备知识 圣= ，( t ，z )( 2 1 ) ! ，= ( 写)( 2 2 ) 其中，：f o ，o 。) d _ 舻关于z 连续对舌一致，( t ，z ) 一致有界，且v t 【0 ，) ，( t ，o ) = o ：d r 为连续函数 对于系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 本章提出个改进的可测性，在周期系统中它可以蕴含 零状态可测，因而称之为弱零状态可测 定义2 1 1 若存在无界序列 。) 和位于紧集k 内的解序列 z ( t ，t 。，z n ) ) 满足 l i m ，l ( z 0 + 亡n ，k ，z n ) ) = o n 则对于任意无界序列 s n ) ，都存在子列 s ) 使得 l i mz ( s + t ，z ) = o 那么称系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 为弱零状态可测似口矽y 韶加嵋触如舰幻6 纠，记作形峦d 注：本文中弱零状态可测与 1 3 】中的定义有区别，是一种互不包含的关系 1 3 】 定义了时变输出函数的w z s d ，本文是定义在时不变输出函数上但条件更强，然而 它们都是零状态可测的推广，因而本文借用这个名词 定义2 1 2 k 为无界序列， z ( t ，t n ，z n ) ) 是系统( 2 1 ) 的解列。如果 z + k ，如，z n ) ) 在 o ，。) 的任一紧子集上都一致收敛于连续函数牙( ) ，则称雪( ) 为系统( 2 1 ) 关于 序列 k ) 的一个极限解 下面介绍本章将要用到的引理 3 华东师范大学硕士论文 非线性时变系统稳定性的若干结果 引理2 1 1 【j 习考虑系统( 2 1 ) ，若，( t ，z ) 一致有界则对于任意位于紧集片内的 解列 z ( t ，t 。，) ) ( t n _ o o ) ，都存在( n ) 的子列 ，使得 z + 亡住。，亡”。，z n 。) ) 在f o ，o o ) 的任意紧子集内一致收敛一个极限解牙( t ) 引理2 1 2 【j 3 】考虑系统( 2 1 ) ，若，( t ，z ) 一致有界且关于连续z 对t 一致。则系统 每一个关于 k 极限解牙( ) 都满足 ，t 牙( t ) = 牙( o ) + l i m ，( 7 - + 亡住，牙( t ) ) d l v t o ( 2 3 ) “一。 ，0 引理2 1 3 【，9 】令m 是舻中包含原点的子集，危定义为j l ：b r 彤_ r 的连续 函数， ( z ) o 掣m ) 且 ( z ) = o 扛m ) ，定义如( z ) 全i i l f ，m 忙一引i ，并且系 统( 2 1 ) 是一致稳定如果存在与岛无关常敷k 0 ，使得 ，t fi l ( z t o ，知) ) d 丁k ， v o ，跏风( 2 4 ) ，幻 其中6 = 6 ( 7 ) 是依据系统( 2 1 ) 一致稳定性定义中的值，那么对于v e o ，j o 使得 如( z ，幻，z o ) ) o ，对于v 0 ，j t = t ( e ) 使 得v t 。_ o o ，z n 毋 j z + t ”，如，z 住) i o ，使得对于v n 有s n t ，因此对 于v 如_ 。，2 。夙 l z ( s n + k ，k ，z 。) i ， v n 4 华东师范大学硕士论文非线性时变系统稳定性的若干结果 即对于v n _ o o ，z 。毋 l i mz ( s n + k ，k ，z 。) = o ( 2 6 ) n + 因此系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 为w z s d 下面给出一个利用极限解来判断弱零状态可测的简单方法 命题2 2 2 考虑系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，孟( ) 是系统的一个极限解，如果 ( 牙( t ) ) = o 号 牙( t ) _ 0 ，那么该系统是脚 证明，若 z ( 以如，) ) _ o o ) 是位于紧集k 内的解序列，并且满足 l i m ( z ( + 亡n ，t n ，z 。) ) = 0 ， v t 0 ( 2 7 ) 住 因为，( t ，z ) 是一致有界的，由引理( 2 1 1 ) 可知存在 n ) 的子列 几。) ，使得 z ( 亡+ t ，岛h ，z ) ) 在【o ，o o ) 的任一紧子集上一致收敛于极限解孟( t ) ，可得 ( 牙( t ) ) = l i m ( z + ，t ，h ，) ) = o( 2 8 ) l + 因此 l i m 厉( t ) = 0( 2 9 ) 由( 2 9 ) 式可知，对于任意无界序列 s 。 ，都存在子列( s n 。) 使得 i 童( 。) i o ，可以找到序列 t n ， 死) 和f _ o ，使得 i z ( 瓦+ t n ，t 竹，z n ) f = e o ( 2 1 7 ) 由 。 _ o ，可知死一记乙= k + 萼，磊= z ( 乇，“，如) ，显然磊_ ， 且z o + 乙，k ，牙n ) = 。 + k ，t n ，) 因此 l i i n n 。( z ( t + 乇，乙，雪。) )= 1 i m ( + 乙，t n ，z n ) ) 呻( ) 口 sl i my ( t + k ，z 0 + 磊，k ，z n ) ) ，( x ) l i my ( t t l ，z 。) l i mm ( z n ) = 0( 2 1 8 ) 因为系统是w z s d ，由定义( 2 1 1 ) 可知，对于无界序列 誓) ，存在子列( 争) 使得 l i m 。( 二罟! + 乇。，己。，互。) = o ( 2 1 9 ) n _ z 即 l i m2 ( z k + k 。，霸。，。) = o ( 2 2 0 ) 可知( 2 1 7 ) 式和( 2 2 0 ) 式矛盾，故而系统是致稳定的 6 华东师范大学硕士论文非线性时变系统稳定性的若干结果 定理2 3 2 考虑系统( 2 1 ) ，存在连续可微函数y ： 0 ，o o ) d _ r 满足 - 矿( z ) sy ( t ，z ) 肌( z ) y ( ，z ) s a ( w ( z ) ) ( 2 2 1 ) c 2 2 ) v o ，v z d ，其中a 是连续x 类函数，彤和) ，瞰( 。) 分别为d 上的连续半正定 和正定函数定义虚拟输出函数可= w ( z ) ，如果系统是脚，则该系统是一致渐 近稳定 证明t 由定理( 2 3 1 ) 易知系统( 2 1 ) 是一致稳定的，下面证明该系统是一致吸引反 证，假设系统是不一致吸引的，即j o 0 和紧集确，使得对于每一个铭，都存 在s n 钆和位于紧集内的解序列 z ( ，t 。，z 。) 满足 i z ( n + s 。，t n ，z 。) i e o ， v n ( 2 2 3 ) 依照一致稳定的定义，取占= 万( e o ) ，则 z ( t ，t 。，z 竹) l 6 ，v 【t n ，屯+ s n 】 ( 2 2 4 ) 另一方面，由于系统是一致稳定，则v a 0 ，| 口= 盯( a ) 使得 z ( t ，岛，z o ) l 6 ，b ，记 日2 燧( z )王甘4 对( 2 2 2 ) 式两边进行积分得 一 乜( ( z ( 7 ，o ，z o ) ) ) 打y ( ，z o ) 一y ( ，z ( t ，t o ，z o ) ) y ( 幻，z o ) 肼( z o ) 日 ( 2 2 6 ) 由( 2 2 6 ) 式和引理( 2 1 3 ) 可知 j i mq ( ( z ( t ，t o ，z o ) ) ) = o c o 。 7 ( 2 2 7 ) 并且该收敛是对初始时刻如一致又因为q 是k 类函数，因此 j i mw ( z ( t ，如，铷) ) = o ，v 知岛 ( 2 2 8 ) w 且该收敛是对初始时刻一致取磊= k + 等，靠= z ( 乙，k ，z n ) ，易知乙_ o o 由( 2 2 8 ) 式可知 l i mw ( z ( t + 厶，t ，z n ) ) = 0( 2 2 9 ) n + c 因此 墨恐w 0 + 厶，乇，孟n ) ) = 桌恐( z ( t + 矗，k ，z ) ) = o ( 2 3 0 ) n 一 由于系统是、z s d ，因此对于无界序列 挚 ，存在子列 兰挚 使得 1 i mz ( 警+ k ，k ，圣) = o ( 2 3 1 ) 故而 l i m m + z ( s + k 乞。，z ，h ) = ，曼恐z ( 兰笋+ 乙。，如。，z t h ) = l i mz ( 三导+ 己。，k ，孟) m _ z ：o( 2 3 2 ) 可知( 2 2 3 ) 式和( 2 3 2 ) 式矛盾，因此系统是一致吸引的绩上所证可得系筝是一致 渐近稳定的一 由定义( 2 1 1 ) 可知，在周期系统中w z s d 蕴含z s d ，下面将说明z s d 也蕴 含w z s d 引理2 3 1 考虑系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，( t ，z ) 连续周期函数，若系统是零状态可测的俐， 则该系统是珊 证明：设，( t ，z ) 的周期为j f l ，取r = 亡n 一【t n t 1 t ，则死【o ，卅由于( 矗 为有界 数列，因而必有收敛子列，不妨令兄。一知【0 ，卅由，( 厶z ) 为周期函数可知 熙弛+ t z ) = 熙她+ 一州纠z ) = + 幻，z ) ( 2 3 3 ) 8 华东师范大学硕士论文非线性时变系统稳定性的若干笙墨 由引理( 2 1 1 ) 可知，解序列 z ( t + z n ，t n ，z n ) ) 收敛于系统( 2 1 ) 一个极限解牙( ) ，那 么z ( t + ，z 。) 一牙( t ) 因此 牙( t ) = 且mz ( t + k ，t 。，z n 。) ，t 2 恕+ 上m + 。z ( 7 + k ，。”) ) 别 2 熙- + 熙l ，( 7 - + 2 z ( 丁+ k ，t ) ) 打 = 孟( o ) + 上熙竹“一( 7 - + 亡州。) ) 打 = 牙( o ) + ，f + 如，孟( 7 ) ) 打 ( 2 1 3 4 ) - ，0 即牙( ) 为圣= ，( 亡+ t o ，z ) 的解。记z ( t ，如，至( o ) ) = 牙( 一岛) ，显然z ( ，o ，牙( o ) ) 为圣= ，( t ，z ) 的解若 ( 孟( t ) ) = o ，则 ( z ( t 一幻，t o ，牙( o ) ) ) = 危( 牙( t ) ) = o 由于系 统( 2 1 ) ( 2 2 ) 为z s d 的，因此 j l i lz 一幻，t o ，厉( o ) ) = o ( 2 3 5 ) 可知 鼻m 童( 亡) = o ( 2 3 6 ) 由命题( 2 2 2 ) 可得系统( 2 1 h 2 2 ) 是w z s d 通过引理( 2 3 1 ) ，我们就可以把定理( 2 3 2 ) 推广引用到周期系统中，得到如下 结论 推论2 3 1 考虑系统( 2 1 ) ，( t ，z ) 是连续周期函数，存在连续可微函数y ： o ，) d _ r 满足 w 7 ( z ) y ( 舌，z ) w ，1 ( z ) ( 2 3 7 ) 矿( ，z ) 一q ( - 矿( z ) ) ( 2 3 8 ) v t o ，v z d ，其中q 为连续k 函数，w ( z ) ，m ( 霉) 分别为d 上的连续半正定 和正定函数定义虚拟输出函数可= ( z ) ，如果系统是z 妨，贝- i 系统是一致渐近稳 定 9 华东师范大学硕士论文 非线性时变系统稳定性的若干结果 注：考虑自治系统 圣= ，( z ) ( 2 3 9 ) 定义虚拟输出函数为可= y 0 ) ，可知s = 扛d i y ( z ) = o ) 不含非零的整条轨道 蕴含着系统是z s d ，由此定理( 2 3 2 ) 就可以简化为著名的l a s a l l e 不变原理了，也 就是说定理( 2 3 2 ) 是l a s a l l e 不变原理在时变系统中的推广 例2 4 1 考虑系统 2 。4举例应用 t 2 + 乳 z 12 一面可丽z 1 + z 2 功 勋= z 32 t 2 + 2 亡 一可可丽钇川1 如 z 1 + z 2 一z 3 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 取y ，z ) = ( 云b + 1 ) ( z i + z ；) ，v 旷( z ) = z ；+ z ；，仉，l ( z ) = 2 ( z ；+ z ；+ z ；) 显然 w ( z ) y ，z ) u ，l ( z ) 经过简单计算可知 咖= 罾+ 甏m 一= 州z ) 取该系统的一个极限解孟( ) = ( 互1 ( 力，奶( 如牙3 ( ) ) t ，若w ( 童( t ) ) = o ，则可得牙1 ( t ) 三 o ，2 2 ( ) 三0 ，由引理( 2 。1 2 ) 可知 巅归烈o ) + z 2 引卅以沪蹦舢 ( 2 4 3 ) 西( t ) = 西( o ) e x p ( 一f )( 2 4 4 ) 则互3 ( t ) _ o ，因此牙( t ) _ o ，由命题( 2 2 2 ) 可知系统是脚，因此该系统是一致 渐近稳定的 下面通过仿真给出系统的解的图像，图1 和图2 是在不同初始条件下系统解的 轨迹 华东师范大学硕士论文 非线性时变系统稳定性的若干结果 图l 图2 1 1 第三章非线性时变系统稳定性( 极限方法) 3 1 预备知识 本文研究非自治系统 圣= ，( t ，z ) ( 3 1 ) 其中，：【o ，o o ) d _ 舻为连续函数，d 舻，并且，( t ，o ) = o ，v 亡【0 ，。) 定义3 1 1 对于无界序列 t n 和连续函数，( 亡，z ) ，如果存在连续函数，( t ，z ) ，使 得 厂0 + 厶，z ) ) 在 0 ，6 。) 的任一紧子集上都一致收敛于广( t ，z ) ，则称序列( n 为，( t ，茁) 的可容许序列，并称广( t ，z ) 为，( t ，z ) 的一个极限函数 注：一般情况下连续函数，( t ，z ) 的极限函数并不唯一，如果 ， + k ，z ) ) 收敛 于广( t ，z ) ，则( ， + k + 南，z ) ) 收敛于厂 + 如，z ) 。记q ( ，) 为，( t ，z ) 极限函数的 全体，这就意味着q ( ，) 在乎移变化下是闭的 定义3 1 2 如果连续函数广( ，z ) 是，( 亡，z ) 的一个极限函数，则称 壹= ，( t ，。)( 3 2 ) 为系统( 3 1 ) 的一个极限系统 定义3 1 3 如果对于任意无界序列 t 。 ，都存在一个子列( t n 。) 为连续函数，( t ，z ) 的 可蓉诗謦碱那么称 媾曲为殆羁耘钓m p t o t i c 口l y n t m o s t p 日i o d 动记作a a p ) 时不变函数，0 ) 是一类最简单a a p 函数，其每个极限函数都是它本身另 外周期函数，( t ，z ) 也是从p 函数，其每一个极限函数可以看做，( t ，z ) 的平移，( t + t o ，z ) 本章所研究系统( 3 1 ) 中的，( 亡，z ) 为a a p 函数下面将给出础心函数的一个 判据 命题3 1 1 ，川如果，： 0 ，。) d 一舻在【o ，o o ) k 上一致连续且有界，其中，c 是d 上的任一紧子集，那么，( t ，o ) 是允4 p 函数 12 华东师范大学硕士论文非线性时变系统稳定性的若干结果 我们研究系统稳定性将要借助条件稳定的概念。其在本章中起到非常重要作用， 下面给出原系统和极限系统条件稳定的定义 定义3 1 4 如果对于v o ，| 石= 6 ( e ) 满足 iz ，o ，z o ) i 0 ，都存在t = t ( e ) 满足 iz ( ，t o ，z o ) i 0 ，j 6 = 6 ( s ) 满足 i 矿( t ，z o ) l 0 。都存在丁= 丁( ) 满足 iz ( t ，t o ，z o ) l 而，v z o 与( 3 9 ) 式矛盾综上所证可知系统一致稳定一 1s 华东师范大学硕士论文非线性时变系统稳定性的若干结果 定理3 2 2 考虑系统( 3 1 ) ，存在连续可饭的见护函数y ：( 0 ，o 。) d 一冠满足 w 7 ( z ) y ，z ) w ，1 ( z ) y ( 亡，z ) 一q ( ( z ) ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) v t 0 ，z d 。若p = ，+ ( ，z ) ) 关于m 一致渐近稳定则该系统一致渐近稳定 证明：由m 和尬的定义可知尬cm 根据定义( 3 1 5 ) 可知，如果 圣= 广( ，z ) ) 关于m 一致渐近稳定，则忙= 广( ，z ) 关于尬一致渐近稳定，由定理( 3 2 1 ) 易 知系统( 3 1 ) 是一致稳定的，因而只需证明系统的一致吸引性下面利用反证法证 明一致吸引性，假设系统( 3 1 ) 不一致吸引，即j d 0 和紧集翔，使得对于每一 个n ，都存在s n 讥和位于紧集峋内的解序列 z ( t ，k ，) ) 满足 i z ( t 。+ s 。，如，z 。) i e o ， v 礼 ( 3 1 3 ) 因为 主= 厂( t ，z ) ) 关于m 一致渐近稳定，所以对于v e o ，不妨令e = 等，都存 在t = r ( e ) 满足 1z ( t ，o ，跏) l n ，易知乙一o 。，_ o o ，因此 z ( ，z 。) ) 必有收敛子列，不失一般性 不妨令z ，n ，) _ 而对( 3 2 7 ) 式两边关于t 积分可得 口( 7 ( z ) ) d 7 - 一y ( 7 ，z ) d 7 - y o o ，z o ) 一y ，z ) ，1 ( z o ) 日 ( 3 1 5 ) j 幻，幻 由引理( 2 1 3 ) 可知 j i mq ( ( z ( t ，幻，勋) ) ) = o ( 3 1 6 ) 并且该收敛是对初始时刻一致又因为口是k 类函数，因此 皿mw ( z ( ，幻，z o ) ) = o c 由于z ( ，。，z 。) 一而，且m 为闭集，可得牙o m 1 6 ( 3 1 7 ) 华东师范大学硕士论文 非线性时变系统稳定性的若干结果 因此 另一方面因为，( 亡，z ) 是趾心函娩不失一般性不妨令， + ，z ) _ 广( ，z ) ， l i k - + z ( 如+ s n ，t 。，z 。) = h mz ( 磊，气，z n ) t - w = l i mz ( r + ，t n ，) t r w = 1 i mz ( r + ，z ( ，k ，z 。) ) = z ( t ，o ，牙d )( 3 1 8 ) 其中矿( t ，0 ，) 是= ，( f ，z ) 的解因为2 0 m ，由( 3 1 4 ) 式可知l 矿( t ，0 ，孟o ) i 0 ，j6 = j ( e ) o ，使得iz ( t ，幻，z o ) i e ，v t o ，z o 鼠n 肘，t o r + 任取无界序列 k ) 一o o ，则 iz 0 + t n ，o + k ，z o ) i ，v 亡t o ，n ，z o 岛nm ( 3 2 0 ) 由于，z ) 为a a p 函数，不妨令，( 舌+ 死，z ) _ ， ，z ) 由于宕= ，( ，z ) 的解 在【o ，o 。) 存在且惟一，并且极限方程未= ，+ ( t ，z ) 的解在 o ，o o ) 上有定义，根据引 理( 3 1 3 ) 可知 z ( + t n ，t o + 如，z o ) _ z + ( t ，t o ，z o ) ， v t t o( 3 2 1 ) 其中z ( ，o ，z o ) 是圣= ，4 ( 屯z ) 的解由( 3 2 0 ) 式和( 3 2 1 ) 式可知 z 。( t ，o ，z o ) i 0 ，3 t = r ) ，满足iz ( t ，t o ，z o ) i 岛v t2 o + z o m ，南矿任取无界序列 如) _ o o ，则 iz ( + 厶，如+ t n ，z o ) i e ，v t o + ez o m( 3 2 3 ) 因此由( 3 2 1 ) 式可知 iz ( ，z o ) i 关于m 一致吸引综上所证可得命题成立一 根据引理( 3 2 1 ) 并参看定义( 3 1 4 ) 和定义( 3 1 5 ) ，我们就可以得到本章重要结 论 定理3 2 3 考虑系统( 3 1 ) ，存在连续可饭的九伊函数y ：【0 ，) d 一冠满足 - 矿p ) y ( t ，z ) w ，1 ( z ) ( 3 2 5 ) y ( ，z ) 一a ( i 矿( z ) )( 3 2 6 ) v 孟0 ，z d 如果系统( 3 1 ) 关于m 一致渐近稳定，则该系统一致渐近稳定 本文第二、三章两章分别用弱零状态可测和条件稳定的概念，解决了l y a p l l n o v 函数半正定且沿解轨道半负定的系统的一致渐近稳定性问题，其实这两种方法是相 关连的，换句话就是 推论3 2 1 定理( 3 2 3 ) 号定理( 2 3 2 ) 证明：，( ，z ) 为a a p 函数，由引理( 3 1 2 ) 可知，( t ，z ) 关于z 连续对一致系 统( 3 ，1 ) 关于m 一致渐近稳定，根据引理( 3 2 1 ) 可知， 圣= ，( t ，z ) ) 关于m 一致渐 近稳定，即极限系统从m 内出发的解都一致收敛于原点又因为，( t ，z ) 为础世函 数，引理( 2 1 2 ) 表明系统的极限解都是极限系统的解，因此从m 内出发的极限解 都一致收敛于原点，显然位于m 内的极限解也一致收敛于原点，根据命题( 2 2 2 ) 可知系统( 2 1 ) 。( 2 2 ) 是w z s d ，故而定理( 2 3 2 ) 成立一 18 总结与展望 随着机器人模型研究的深入，非线性时变系统的稳定性理论更具实践意义，因 而引起了更为广泛的兴趣研究时变系统稳定性理论最为有效的是l y a p 佃o v 方法， 其关键是寻找合适的l y a p l l n 0 v 函数y ( t ，z ) 现有的稳定性理论一般要求y ( t ，z ) 是 正定、沿系统解的导数半负定，然而在实践中备选函数通常是半正定且沿系统解的 导数半负定，因而拓展l y 印l l n o v 方法就非常必要了 本文用两种方法来研究时变系统稳定性，进一步拓展了l y a p u n o y 方法第二 章通过引入弱零状态可测性( w z s d ) 概念，得到时变系统的一般稳定性判据，并给 出弱零状态可测的验证条件第三章在极限系统的框架下。借助条件稳定来研究一 类殆周期系统的稳定性，得到一个稳定性定理然而应当声明本文得到的结果是有 局限性的，文中要求l y a p u n o v 函数y ( t ，z ) 满足： w ( z ) sy ( ，z ) ( z ) y ( t ，z ) 一o ( w ( z ) ) 其中q 是连续k 类函数，彤( z ) ，婀( z ) 分别为连续半正定和正定函数可见l y a p u n o v 函数y ( t ，z ) 并不是最般的半正定、沿系统解的导数半负定情形，而与其导数存在 关联如何才能把y ( t ，z ) 放宽到半正定且沿系统解的导数半负定，正是作者一直在 思考的问题，作者认为在本文基础上，借助m a 缸d s o v 构造辅助函数的方法是可行的 途径 1 9 参考文献 【l 】a m l y a p 衄o v 。s t a b i l i t yo f m o t i n 蹦y o f i 【：a c a d 锄i c ，1 9 9 6 2 】c i b ) r m 鹤a n d c f m 加“a n i i l t e 酬- i n y 撕柚c e 州眦i p l e f o r n 优d i n e a rs y s t c i l l s ”耻e t r a 璐a u 咖a t c 0 n 缸，v 0 1 4 0 ，p p 9 8 3 9 9 4 ，j m l e ，l9 9 5 【3 】d a e y e i s。伽p t i ) t i cs t a b i l i t y o fn o n a l j t d 咖d 屿s y s t e i mb yl i a p 岫o v sd i r e c t 咄t 1 1 0 d 。s y 贰c 衄响ll e 位，v d 2 5 ，p p 2 7 3 2 8 0 ，1 9 9 5 【4 】e 。p r y 龃。a ni l 毗g r a li 删a f 吐m c e 呻k i p l e 五wd i 依佗n t i a li l l c l 惦i o 璐w i 也a p p l i c a 如啦i n a d p a 矗v ec d l ”s 队mj c 蚰昀l0 恤i 甄v 0 1 3 6 3 ，p p 9 6 m 9 8 0 ，1 9 9 8 【5 】h k 扭l i l 。n h e 缸s y s t e i i 岱”n i i r de d i t i o n u p p 盯s a d d l e