（应用数学专业论文）对偶toeplitz算子的交换性与乘积.pdf

( 对偶) t o e p i i t z 算子的交换性与乘积 摘要 本篇硕士论文主要研究b e r g m a n _ 上的t o e p l i t z 算子、单位球h a r d y 空间 和d i r i c h l e t 空间的正交补空间上的对偶t o e p l i t z 算子，着重考虑t t o e p l i t z 算 子的换位子和半换位子、( 对偶) t o e p l i t z 算子的交换性和乘积的有界性 第一章对相关的研究背景进行了概述，并说明了研究内容及意义 第二章研究了单位圆盘b e r g m a n 空间上县调和符号的t o e p l i t z 算子的( 半) 换 位子，主要使用be r i 暑z i n 变换和不变l a p l a c e 算子等方法，分别获得了形如f 乃，乃】一 n 和f 巧，弓】一孔n n + ) 的算子为限秩时的充要条件，其中，9 ，h 为有界调和 函数 第三章得到了单位球上向量值b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积野殆。有界 的充分条件和必要条件，主要利用了一个内积分解公式、矩阵的迹、b e r e z i n 变换 等工具 第四章刻画了单位球h a r d y 空间正交补上以有界多重调和函数为符号的对偶 t o e p l i t z 算子的交换性，证明了& 和国可交换当且仅当，和9 解析：或者，和9 共 轭解析；或者存在一个，9 的非平凡的线性组合为常数，其乎f ，9 为本性有界函数。 第五章刻画了单位球d i r i c h l e t 空间正交补上以有界多重调和函数为符号 的对偶t o e p l i t z 算予的交换性，主要证明了当妒，砂l d o ( b ) 为多重调和函数时， 品与岛可交换当且仅当妒和矽解析或者存在不全为零的常数a $ j b ，使得a 9 + b e 为常数 1 关键词：b e r g m a n 空i g ；h a r d y _ 空n ；d i c h l e t 空间；t o e p l i t z 算子；对偶t o e p l i t z 算 子；( 半) 换位子 i l c o m m u t a t l v i t ya n dp r o d u c t so f ( d u a l ) t o e p l i t zo p e r a t o r s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h et o e p l i t zo p e r a t o r so nb e r g m a ns p a c ea n d t h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s0 1 1t h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n t so ft h eh a r d ys p a c ea n d d i r i c h l e ts p a c eo ft h eu n i tb a l l ，a n df o c u so nt h e ( s e m i ) c o m m u t a t o r so ft h et o e p l i t z o p e r a t o r ，t h ec o m m u t a t i v i t yo ft h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sa n dt h ep r o d u c t so ft o e p l i t z o p e r a t o r s i nc h a p t e ri ，w ed i s c u s ss o m er e l a t e dr e s e a r c hb a c k g r o u n d s ，a n di n t r o d u c eo u r r e s e a r c hc o n t e n t i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z et h e ( s e m i ) c o m m u t a t o r so ft o e p l i t zo p e r a t o r sw i t h h a r m o n i cs y m b o l so nb e r g m a ns p a c eo ft h eu n i td i s k m a i n l yu s i n gt h eb e r e z i nt r a n s f o r ma n dl a p l a c i a n w eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h eo p e r - a t o r ( 乃，正】一t h no r 【乃，乃】一死n ( n n + ) w h i c hi sf i n i t er a n kr e s p e c t i v e l y ，w h e r e f ，9 ，ha r eb o u n d e dh a r m o n i cf u n c t i o n s i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n to rt h en e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h et o e p l i t z o p e r a t o r sp r o d u c t sw h i c hi sb o u n d e d ，m a i n l yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h ei n n e rf o r m u l a ， t h et r a c eo fm a t r i x ，b e r e z i nt r a n s f o l n la n ds oo n i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z ec o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hb o u n d e d p l u f i h a r m o n i cs y m b o l so nh a r d ys p a c eo ft h eu n i tb a l l w ep r o v et h a tsjs9 = sjsgi f a n do n l yi ft h a tb o t hfa n d9a r ea n a l y t i co nb 霄，o rb o t hfa n d 虿a r ea n a l y t i co nb n ， o rt h e r ee x i s t san o n t r i v a ll i n e a rc o m b i n a t i o no ffa n d9i sc o n s t a n t ，w h e r efa n d9a r e e s s e n t i a l l yb o u n d e df u n c t i o n s i i i i nc h a p t e r5 ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hb o u n d e d p l u r i h a r m o n i cs y m b o l so nd i r i c h l e ts p a c eo f t h eu n i tb a l l w ep r o v et h a ts 妒s 咖= s 咖s 咿 i fa n do n l yi ft h a tb o t h 妒a n d 妒a r ea n a l y t i co n 鼠，o rb o t h 万a n d 万a r ea n a l y t i co n 玩， o rt h e r ee x i s t san o n t r i v a ll i n e a rc o m b i n a t i o no f 妒a n d 矽i sc o n s t a n t k e yw o r d s ：b e r g m a n s p a c e ；h a r d ys p a c e ；d i r i c h l e ts p a c e ；t o e p l i t zo p e r a t o r ； d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r , ；( s e m i ) c o m m u t a t o r i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包 含其他人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究 的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 名：拗吼加削珥 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅， 可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范 大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者繇揣矿师虢孑场嗍：彤鼢 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范 管理条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发 表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关 文献的名称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机 构、出版地和版次等内容。论文中未注明的内容为本人的 研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：爿毛嚣丑 指导芍旃 1 1 研究背景概述 1 绪论 函数空间上的算子理论因为与算子理论、算子代数、函数论、微分方程、 复分析、微分拓扑等数学分支的紧密联系和在控制理论、量子力学、概率统计 等学科中的广泛应用而成为算子理论和分析领域的重要研究方向t o e p l i t z 算子， 对偶t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子是函数空间上重要的算子类，它们对算子理论、算 子代数和复分析有极其深刻的影响 t o e p l i t z 算子是现代算子理论中最重要的特殊算子类之一它为一般的算子 理论的研究提供了模型，同时，它对算子理论，函数论，指标理论及算子代数的发 展起着纽带的作用比如，著名的不变子空间问题可以转化成b e r g m a n 空间上算 子尬不变子空间格的饱和性质的研究 t o e p l i t z 算子理论开始于t o e p l i t z 矩阵的研究，所谓t o e p l i t z 矩阵是指在对角 线上为常值的单向无穷矩阵t o e p l i t zo 【1 】等人对此类矩阵的研究作了开拓性的 工作随后的几十年中，h a r t m a nr 和w i n t n e ra 【2 】【3 】在这方面做了很多工作，研究 了t o e p l i t z 矩阵谱，特别是给出了解析t o e p l i t z 算子的谱，谱包含定理等重要结 论1 9 6 4 年，美国数学家b r o w na 和h a l m o sp 【4 】利用算子语言给出了经典h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子的定义，并将h a r t m a ne 和w i n t n e ra 的许多结果推广到一 般的有界t o e p l i t z 算子，并得到刻画有界t o e p l i t z 算子和解析t o e p l i t z 算子的方 程，并系统地研究了它的代数性质此后，d o u g l a s 又开始用代数的方法去研究这 些问题，使得对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究，无论是从方法上，还是在理论 上，都有了很大进展关于经典的t o e p l i t z 算子理论可参见【5 】 人们对h a r d y 空间的研究起步较早，比较系统的成果可见 6 】 7 】，故其上的 算子理论也相对比较成熟而对b e r g m a n 空间及其上算子理论的研究较晚，可 见 8 9 】就它们函数本身而言，其中一个重要的差别在于h a r d y 空间中的函数 边界值几乎处处存在，而在b e r g m a n 情形下不成立同时，h a r d y 空间中函数的 l l 绪论 零点满足b l a s c h k e 条件，而在b e r g m a n 情形下至今没有完全刻画函数空间的众 多差异自然导致其上算子理论的差异比如在h a r d y 空间上，有界的t o e p l i t z 算 子是由有界符号诱导的，并且无非平凡的紧t o e p l i t z 算子然而在b e r g m a n 空间 上，t o e p l i t z 算子的有界性，可逆性难以刻画，比如有许多非平凡的紧算子，一些 无界符号可以诱导有界算子，甚至紧算子对于算子的谱，同样有许多巨大差异 在1 9 6 4 年，w i d o mh 【1 0 1 证明了h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的谱是连通的，随后 d o u g l a sr 5 1 指出其本质谱也是连通的。而在b e r g m a n 情形下，这显然是不成立 的 众所周知，h a n k e l 算子是与t o e p l i t z 算子密切相关的一类算子对h a n k e l 算子的研究起源于h a n k e l 矩阵，所谓h a n k e l 矩阵是指在反对角线上为常值的 单向无穷矩阵经典h a r d y 空间上h a n k e l 算子的有界性和紧性有着非常整齐 的刻画：当且仅当符号分别为有界可测函数和连续函数时，对应算子是有界的 和紧的在h a n k e l 算子理论中的一个非常重要的定理是n e h a r i 定理：若日是 h a r d y 空间上的一个有界h a n k e l 算子，那么存在妒l o r ) ，使得h = 也，并且 i | 巩l l = 怕l i = d i s t ( q o ，h o o ) 此定理有着广泛的应用，比如在日o 。控制理论中 的模型匹配问题，就是由n e h a r i 定理将其转化为相应的h a n k e l 算子的范数估计 关于h a n k e l 算子的其它结果可参见【l l 】 近年来，由于实际应用的需要，人们对经典h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子， h a n k e l 算子有了各种推广( 此时t o e p l i t z 算子的矩阵已不再是t o e p l i t z 矩阵) 这些 推广主要包含两个方面：一方面是函数空间所在的域的推广，比较常见的有g n 空 间中的单位球，多圆盘，拟凸域和有界对称域等等另一方面是测度的推广和改 变，比如加权l e b e s g u e 测度，以及从h a r d y 空间的弧长测度到b e r g m a n 空间和 d i r i c h l e t 空间的面积测度关于单位圆盘d 上的b e r g m a n 空间和加权b e r g m a n 空 间的t o e p l i t z 算子理论可参见【1 2 】【1 3 】，关于d i r i c h l e t 空间的t o e p l i t z 算子理论可 参见 1 4 2 0 与此同时，我们也可看到单复交函数论与多复变函数论存在许多重大差异， 可见 2 1 2 4 比如著名的c o r o n a 问题，c a r l e s o nl 2 5 】证明了d 在h 。o ( d ) 的极大 理想空间州中是稠的，而在高维情形下仍是个公开问题算子性质强烈地依赖于 1 绪论 它所在的解析区域，故单变量和多变量函数空间上的算子理论将有很大差异比 如，在1 9 7 7 年，d a v i ea 和j e w e l ln 在文【2 6 】中指出在高维h a r d y 空间上，t o e p l i t z 算子谱的连通性不成立再比如，符号在l 。o ( d ) 中的t o e p l i t z 代数的换位理想与 半换位理想是一致的，而在高维情形下，目前也是个公开问题。 对于t o e p l i t z 算子的各种形式推广，一个自然的问题是经典的t o e p l i t z 算子 理论是否仍然成立事实表明，在很多性质得到推广的同时，他们之间也存在着巨 大差异比如w i d o m 的谱连通定理在经典的h a r d y 空间上成立，但在高维球面的 h a r d y 空间上不再成立，并且给出两个反例分别说明谱与本质谱是不连通的，还 给出猜想：c r e ( 耳) = t r h * ( s ) + c ( s ) ( 妒) ，其中妒日( s ) + c ( s ) ，s 为单位球面，详见 文【2 6 】在1 9 9 5 年，c a og 和s u ns 【2 7 】证明了此猜想是正确的在经典的h a r d y 空 间上，d o u g l a s 5 1 证明了符号在三( d ) 中的t o e p l i t z 代数的换位理想与半换位理想 相同，此结论在高维情形下目前仍是个公开问题 t o e p l i t z 算子理论还有许多基本问题没有解决，它们的解决除了依赖于函数 空间及其所在区域边界几何性质外，还有赖于b a n a c h 代数，伊代数，代数拓扑等 方法的丰富和发展 1 2 研究内容及意义 在本章的第1 1 节己经提到自1 9 6 4 年b r o w na 。和h a l m o sp 研究了经典h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子，给出了 t o e p l i t z 算子交换的充要条件在b e r g m a n 空间 上，a x l e rs 【2 s 等人利用调和函数的不变平均值性质，讨论了有界调和符号的交 换t o e p l i t z 算子，g u ok 【2 9 1 等人获得了调和符号的换位子为限秩时的充要条件，在 此基础上，我们推广了其相应结论，得到了下述定理： 定理1 2 1 设，夕，危都是d 上的有界调和函数，则( 乃，乃】一死n ( 礼n + ) 是有限 秩算子当且仅当下述两个条件成立： ( i ) h 在d 上等于零 ( i i ) ，解析或夕解析 定理1 2 2 设，9 ， 都是d 上的有界调和函数，则【乃，乃】一取”n + ) 是有限 3 1 绪论 秩算子当且仅当满足下述两个条件： ( i ) h 在d 上等于零 ( i i ) f 和9 满足下述之一情形： ( a ) f 和9 解析； ( b ) ，和雪解析； ( c ) 存在不全为零的常数q 和p ，使得口，+ p 夕为常数 在1 9 9 4 年，s a r a s o n 3 0 】猜想b e 唱m a n 空间上稠定义的t o e p l i t z 算子乘积乃码有 界的充要条件是i f l 2 矛n l g l 2 的b e r e z i n 变换的乘积的上确界是有界的z h e n g 3 1 】证明 了s a r a s o n 猜想的必要性，部分地回答了这个问题在此基础上，s t r o e t h o f f 和z h e n g 3 2 1 、 j o n g d op a r k 3 3 】分别将其推广到了多圆盘和单位球上的情形r o b e r tk e r r 3 4 】研究 了单位圆盘向量值b e r g m a n 空间上符号为矩阵的t o e p l i t z 算子乘积砰殆。为有界 的条件我们探讨了单位球向量值b e r g m a n 空间上符号为矩阵的t o e p l i t z 算子乘 积昂恐，分别获得了其为有界时的充分条件和必要条件，主要结论如下： 定理3 1 1 设e 0 ，若矩阵b ( f + f ) 警】( ) j e 7 【( g + g ) 呈砉】( 叫) 的迹关于叫 至k 一致有界，贝u t o e p l i t z 算子乘积野殆：瑶( 霞) _ 磋( 四) 是有界的 定理3 1 2 若t o e p l i t z 算子乘积珏是有界的，则矩阵b ( ( p f ) 】( 叫) b ( g g ) 】 ( w ) 的迹关于w 风一致有界 在2 0 0 2 年，s t r o e t h o f fk 和z h e n gd 【3 5 】第一次系统地研究了b e r g m a n 空间的 正交补空间上的对偶t o e p l i t z 算子的代数及其谱性质虽然对偶t o e p l i t z 算子 的许多性质与t o e p l i t z 算子存在差异，如h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的谱及本 质谱是连通的，而此对于b e r g m a n 空间的正交补空间上的对偶t o e p l i t z 算子 并不成立见文 5 1 1 3 5 1 但事实表i 要j 4 , 2 4 , a s l ：b e r g m a n 空间的正交补空间上的对 偶t o e p l i t z 算子的某些性质与h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子确有类似之处在单 位圆盘的b e r g m a n 空间上，a x l e r 和e u 芒k o v i 芒( 2 8 j 刻画了调和符号的交换t o e p l i t z 算 子s t r o e t h o f f 和l z h e n g 3 5 】刻画了b e r g m a n 空间上对偶t o e p l i t z 算子的交换性就多 变量的b e r g m a n 空间而言，情况更加复杂。z h e n g 3 6 】研究了单位球上的带多重 调和符号的t o e p l i t z 算子的交换性c h o ee t c 【3 7 】在多圆盘上获得了类似的结果 4 i 绪论 最近，l u l 3 8 1 描述了单位球上的有界多重调和符号的对偶t o e p l i t z 算子的交换性 l u 和s h a n g 3 9 】刻画了多圆盘b e r g m a n 空间上对偶t o e p l i t z 算子的交换性由于单位 球h a r d y 空间的直交补不具有单变量时与h a r d y 空间的自然同构关系，因此关于其 上对偶t o e p l i t z 算子的研究是有意义的我们是在单位球h a r d y 空间的正交补空间 上考虑对偶t o e p l i t z 算子的交换性，主要结果如下： 定理4 1 1 令f ，g l o 。，则毋和趵可交换当且仅当下述条件之一成立： ( a ) f 和9 解析； ( b ) f 和夕共轭解析； ( c ) 存在不全为零的常数和p ，使得口，+ 励为常数 定理4 1 2 令，g l o 。，则岛s 仍是对偶t o e p l i t z 算子当且仅当，解析或夕共 獬，蝻s j s g = s f 9 p 由于d i r i c h l e t 空间与b e r g m a n 空间、h a r d y 空间上的函数论不同，从而它 们之间的算子理论也不同在d i r i c h l e t 空间上，r o c h b e r g ：币i ：l w u 等人f 1 4 _ 1 6 】首先探论 了以非负测度为符号的t o e p l i t z 算子之后曹广福等人1 1 7 - 1 8 , 4 0 研究了不同类型区 域的d i r i c h l e t 空间上t o e p l i t z 算子的紧性、凸性、f e d h o l m 性质、谱性质和若干代 数性质最近，w u 和y u 【4 1 】在单位圆盘d i r i c h l e t 直交补空间上研究了符号为调和 函数的对偶t o e p l i t z 算子的交换性我们考虑了单位球d i r i c h l e t 直交补空间上，以 有界多重调和函数为符号的对偶t o e p l i t z 算子的交换性，主要结果如下： 定理5 1 1 设妒，矽l o 。( b ) 为多重调和函数，则& & = & 当且仅当下述条 件之一成立：( i ) 垆和矽解析；( i i ) 存在不全为零的常数a 和b ，使得a 妒+ b 矽为常数 定理5 1 2 设妒，矽l o o 僻) 为多重调和函数，则& & = & 妒当且仅当下述条 件之一成立：( i ) 妒解析；( i i ) 矽为常数 5 2 有限秩t o e p l i t z 算子的换位子 2 1 引言与主要结果 由于符号映射，一乃不是乘法的，所以考虑两个算子的交换子何时为 零成为一个重要课题， 4 】在h a r d y 空间上对t o e p l i t z 矩阵进行分析，得出结论： 乃乃= 乃乃当且仅当厂，夕满足下列情形之一： ( 1 ) ，夕均解析 ( 2 ) ，雪均解析 ( 3 ) 存在不全为零的常数a ，b ，使得o ，+ 的是常值 在b e r g m a n 空间上，直到1 9 9 1 年，a x l e rs 【2 8 】等人利用调和函数的不变平均 值性质，讨论了有界调和符号的交换t o e p l i t z 算子文 3 5 对一般符号的对偶 t o e p l i t z 算子的交换性得出了与【4 】类似的结果在多圆盘和单位球h a r d y 空间 上，g u ok 幕l w a n g 【4 2 】获得了与由所有解析t o e p l i t z 算子跟有限秩算子形成的和 算子可交换的充要条件除此之外，g u ok ，s u ns 【2 9 】考虑了b e 唱m a n 空间上有限 秩调和符号t o e p l i t z 算子的换位子，d i n g ，x 和z h e n g ，d 【4 3 】考虑了有限秩调和符 号h a n l e l 算子的换位子如l j k oe u 芒k o v i 6 和i s s a ml o u h i c h i 4 4 1 考虑了有限秩拟齐 次符号t o e p l i t z 算子的换位子 我们是在单位圆盘b e r g m a n 空间上考虑t o e p l i t z 算子的( 半) 换位子为有限秩 时的符号特点，推广了文【2 9 】的相应结论，我们的主要结果： 定理2 1 1 设厂，9 ， 都是d 上的有界调和函数，则( 乃，l 】一死t t ( 凡n + ) 是有限 秩算子当且仅当满足下述两个条件： ( i ) h 在d 上等于零 ( i i ) 7 解析或g 解析 定理2 1 2 设，9 ，危都是有界调和函数，则陬，乃】一露n ( n n + ) 是有限秩算 子当且仅当满足下述两个条件： ( i ) h 在d 上等于零 6 2 有限秩t o e p l i t z 算子的换僦子 ( i i ) f 幂- f i g 满足下述之一情形： ( a ) 门铂夕解析； ( b ) ，和雪解析； ( c ) 存在不全为零的常数a 和p ，使得q ，+ 励为常数 2 2 预备引理 在证明定理之前，我们先给出三个引理，具体可见文 2 9 】 引理2 2 1 设，l 且，= ；：l 乃( z ) 万两( z n + ) ，其中乃( 名) 和易( z ) 在d 上解析 若乃是有限秩算子，则，= 0 引理2 2 2 设，夕都是有界调和函数，则( t s ，乃 是有限秩算子当且仅当- 解析或夕 解析 引理2 2 3 设，9 都是有界调和函数，则西，b 】是有限秩算子当且仅当下述条1 年芝 一成立： ( a ) f 和g 解析； ( b ) ，和雪解析； ( c ) 存在不全为零的常数口和p ，使得q ，+ 励为常数 2 3 定理证明 下面我们给出定理的证明 定理2 1 1 的证明：充分性显然下证必要性由已知可设，= + 万，g = g z + 瓦，h = h 1 + 一h 2 ，其中 ，2 ，9 1 ，9 2 ，h 1 ，h 2 都是b l o c h 空间中的函数( 乃，乃】= 霸。+ f ，其 中f = 墨1 巧 y j ( n n + ) ，巧，协l ：( d ) 因此我们有下式 b 【】一b f 巧乃】= b 【 n 】+ b f 】( 2 3 1 ) 由珐琏= 五两琏及b e r e z i n 变换的定义可知， b 【乃巧】( z ) = ( 夕1 + ，1 彘+ 五彘+ s l 9 1 】) ( 2 ) ， 2 有限秩t o e p l i t z 算子的换位子 b 【f 】( z ) = 因此( 2 3 1 ) 式可改写为 n j = l b z j 协】( z ) = ( 1 一i z l 2 ) 2 n 一( 夕z + 彘+ 五晚+ b 【五9 1 】一b ( ，9 0 ) ( z ) 一b h n 】( 名) = ( 1 一i z l 2 ) 2 ( 2 ) 历两 j = l ( 2 3 2 ) 当u 是调和函数时，我们有b m ( z ) = “( z ) ，所以 故( 2 3 2 ) 式可改写为 b f g ( z ) = 夕1 + 瓦磊+ b 【 瓦+ 7 为l 】 令盯= 厶( ，1 函一驴) ，上式两边同时消去( 1 一i z l 2 ) 2 ，有 上黠蜊_ ( ( 1 荆) 2 注意到( 1 一i z l 2 ) 2 篓。巧( z ) 否丽= 类似文 4 5 】，我们把上式变形为 j = 1 ( 2 3 3 ) ) ( z ) ( 2 3 4 ) z a z ) y j ( z ) ) + 仫) 必( z ) ；兰弓( z ) 坊( z ) ，其中易( z ) ，毋( z ) j 厂d 研1 鼎珂掀= 薹 o = 一，】| 一i = ( 一a z ) 2 ( 1 一a 叫) 2 v 差j 三：( d ) 而他) 否而+ 化) ；嗣( 2 3 5 ) 羽刁姒 触 2 有限秩t o e p l i t z 算子的换何子 关于埘微分危次，然后令= 0 ，则有 上辫州胪3 n 。献删 仁3 q 其中。幻，c k 是常数，忌= 1 ，2 ，由( 2 3 6 ) 式可知 啪= 上端州炉静洲- l - c k f ( z ， 利用文【2 9 中命题4 的证明方法可知乃是有限秩的因为 和9 2 ) 霭于 b l o c h 空间，所 以丕( 彘) = ( 1 一i z l z ) 2 五7 夕i ( z ) 有界当矗= 1 时，丕九，= 0 当凡 1 时， a ( h “) = 罐( 1 一i z l 2 ) 2 七 ：h 。伽一尼) 矽“。1 石 k = l 易知危1 和九2 有界且属于b l o c h 空间，因此( 驴) 有界综上可得盯( z ) l o 。， 且盯( z ) = 厶j 3 ：n + 1 3 弓( z ) 丽，其中乃，q 为解析函数，j = 1 ，建根据引理2 2 1 ， 盯( z ) = 0 ，所以 彘一h n 是调和的因此( 2 3 3 ) 可变为 n 一胪( z ) = ( 卜i z l 2 ) 2 巧( z ) 羽= b 赇z ) j = l 因为f = 墨1 巧p 胁是有限秩算子，所以当i z l 一1 一时：( 1 - 1 2 1 2 ) 2 羔1q 。协_ 0 ，故当_ 1 一时，h ( z ) _ 0 由极大模原理可知，h = 0 因此定理中的题设简化 为( 乃，t o 】= 一乃毛= f ，根据引理2 2 2 ，可知定理结论成立 定理2 1 2 的证明：与定理2 1 1 的证明类似，为完整起见，我们给出必要性 证明的前面几个步骤由题知可设 乃，乃】= 死n + f ，其中f = 釜1qo 协， 9 奄 一 谬 詹l 忍 嘴 仡脚 = n 1 + 忽 i | 竹 忍 2 有限秩t o e p l i t z 算子的换位子 巧，协l ：( d ，d a ) 因此我们有下式 b 【乃乃】一b 【乃巧】= b i b n 】+ b f 】 根据b e r e z i n 变换的定义可知， b t f t g ( z ) = ( f i 9 1 + 曼+ 五彘+ b 【五9 l 】) ( 名) ， b 【乃乃 ( z ) = ( g l k + g l f 2 + 彘五十b 【亚 】) ( z ) ， b f i ( z ) = 所以( 2 3 7 ) 可改写为 nn b z i 。协= ( 1 一l z l 2 ) 2 x j ( z ) 丽 j = l j = l ( 彘一夕1 五+ b f = g l 】一b j 2 f 1 】一b h n 】) ( z ) = ( 1 一i z l 2 ) 2 当u 是调和函数时，我们有b 【u ( z ) = u ( z ) ，所以上式可改写为 b 【止9 t 一虽 一 n ( z ) = n ( 1 一i z l 2 ) 2 j = l z j ( z ) y j ( z ) 一( f 1 9 2 一g l f 2 ) ( z ) 在上式两边作用五，且利用b e r e z i n 变换和丕的交换性，可得下式 ( 2 3 7 ) 巧易) ( 名) 一( 彘一夕1 ，2 ) ( z ) 令盯= 五( 五9 1 一磊 一护) ，接下来的步骤只需适当修改即可，在此从略充分性 显然证毕 1 0 一 一协 力 触 硝 p 2 z一1 上 ，l = 力，k川 n 危一 一眈 一 吼一尼，rk b 3 单位球上向量值b e r g m a n 空间上f l , 勺t o e p l i t z 算子乘积 3 1 引言与主要结果 1 9 9 4 年，s a r a s o n 3 0 】提出猜想：h a r d y 空间上稠定义的t o 印l i t z 算子乘积巧码有 界的充要条件是i f l 2 和| g i 2 的b e r e z i n 变换的乘积的上确界是有界的c r u z u r i b e 4 6 研究了以外函数为符号的t o e p l i t z 算子乘积的有界性和可逆性，部分 支持了s a r a s o n 猜想但是最近，n a z a r o v 4 7 给出了一个反例，说明了在h a r d y 空间 上t o e p l i t 算子乘积有界的必要条件不是算子乘积有界的充分条件t o e p l i t z 算子 乘积有界的充要条件还有待于人们继续去探索z h e n g 3 1 】证明t s a r a s o n 猜想的必 要性，部分地回答了这个问题在此基础上，j o n g d op a r k 3 3 】将其推广到了单位球 上的情形 除此之外，s t r o e t h o f f 和z h e n g 4 8 】给出t t o e p l i t z 算子乘积乃码有界和紧的充 分和必要条件r o b e r tk e r r 3 4 1 获得了单位圆盘向量值b e r g m a n 空间上符号为矩阵 的t o e p l i t z 算子乘积砰殆为有界的条件本文将其推广到了单位球上下面给出 我们的定理： 定理3 1 1 设 0 ，若矩阵b f ( p f ) 学】( w ) b 【( g g ) 警】( 钮) 的迹关于伽 上k 一致有界，贝j j t o e p l i t z 算子乘积砟，死。：己d 2u 。 m ) 一l 以2u 。r n ，疋i j 有界的 定理3 1 2 若t o e p l i t z 算子乘积珏。是有界的，则矩阵b 【( f + f ) 】( 叫) b ( g g ) 】 ( 幻) 的迹关于w b n 一致有界 接下来，我们先给出一些将要用到的基本概念设n ，m n + ，令c n 表 示n 维复欧氏空间，其内积记为( z ，加) c 。= ：1 乞砺记c “中的开单位球为 鼠= z c n ：h 1 ) ，i e d v 为鼠上的正规化l e b e s g u e 钡, , 0 度，若可测函 数，：鼠_ c m 有如下性质：( 厶。i i f ( z ) l l p 如( z ) ) 1 加 o 。，则称，上尸( b ? ) 日( 爵) 表示鼠上的关于各个变量均解析的向量函数所组成的空间向量 l1 3 单位球上向量值b e r g m a n 空问上f l , 勺t o e p l i t z 算子乘积 值b e 曙m a n 空间圮( 四) 是由满足下述条件的函数厂： f 日( 职) ，i l f l l l p ( b 署) = ( i i f ( z ) l l p 咖( 名) ) 1 p 0 ， = 1 一去 证明：因为d j ( t r 让) ( 叫) = 厶。a 1 d r ( z ) ，d j ( t g 让) ( 叫) = ka 2 d v ( x ) ，其 中a t f + ( z ) “( z ) 生盟等苎罄署茅觜耻，a 2 = g + ( z ) u ( z ) 堕墨浩专釜蓦蔫崭掣 所以 i 徊j t f 让( 叫) ，d j t g 口( 砌) ) c 。i = i a ，a 2 ) c 。d v ( z ) d v ( x ) l ，b nd b “ fr sc l i g ( x ) f + ( z ) | i i | 札( 2 ) i v ( x ) l l jb njb n 11 f 瓦初f 瓦初d u ( z ) 咖( z ) 1 6 3 单传球上向量值b e r g m a n 空闸上的t o e p l i t z 算子乘积 在估计上述不等式之前，先证明下述不等式： 小班巾) 雨南( 小g 州酬2 州z ) ) 泵1 啡旷脚， 其中 九( z ) = i i g ( z ) f + ( z ) 1 11 1 臼( z ) l 耳广二_ 石辆， 硼加厶备似础 事实上，令q = ( 2 n + 2 ) ( 2 + ) ，p = ( + l 了l + 1 ) 一q ，7 = p 6 一( 馆+ 1 ) ，可得 厶= 厶鞘裂禹州z ， ( 厶释1走( 厶尚1州z ，) 5 一 吼l 一扛，叫) i 叫2 + 6 ) ”u “7 b 。i 一( z ，叫) i 雕“、4 7 ( 臼g 南l j 2 托尚器州z ，) 赤 ( 厶两剖似z ，) 告 其中第一个不等号由h 刮d e r 不等式得到，第二个不等号由条件7 = 廊一( n + 1 ) 多。 可得另一方面因为磊n + l + ；= i j i ，所以结论成立 若记允( z ) # 己隶f 甚舅洚两，其中己= & l l g ( z ) f + ( z ) 1 1 2 + 芒 k ( z ) i 2 d r ( z ) ，则同理 可证 厶比州酮知( z 。三端嘶) ) 雨1 咧旷删 因此 i ( d j t p 乱( 钮) ，d j 殆u ( 础) ) o i 阳扔( 小删2 酢) ) 索晰旷脚砌旷删 1 7 三二皇垡壁堕堂兰堡竺皇! 窒塑占盟旦呈丛坚簦王垂婴 南( 厶 上n ( c