（理论物理专业论文）fe、al体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究.pdf

摘要 弹性模量是材料的工程应用、构件设计和科学研究等方面的重要物理量， 也是金属材料评定和选用以及加工工艺选择的主要依据。随着社会发展和国 防的需要，近代航空、航天、无线电及其精密仪器工业对金属材料的弹性有 更高要求，不仅要有高的弹性模量，而且还要稳定，所以我们要不断地改善 金属材料的性能和探究新的金属及金属合金材料，并不断地开发超高强高韧、 高耐腐蚀、超耐热和高弹性模量的金属、金属合金、复合材料和合成材料。 本学位论文应用改进分析型嵌入原子( m a e a m ) 模型和非简谐理论，研 究了f c c 结构金属a i 、b c c 结构金属f e 的体弹性模量，以及它们的体弹性 模量与温度、压强的关系，并得到如下创新结果： l 采用改进分析型嵌入原子模型计算金属f e 、a l 趋向绝对零度时的体弹 性模量，所得结果与实验测量数据吻合的很好，说明改进分析型嵌入原子模 型台匕叫q 日l x 好地描述b c c 结构金属f e 、f c c 结构金属a l 趋近绝对零度时的体弹 性模量。 2 结合改进分析型嵌入原子模型和非简谐效应，研究发现b c c 结构金属 f e 、f c c 结构金属a l 的体弹性模量是温度的二次函数： 金属f e 为8 仃) = 1 7 3 2 1 8 7 1x 1 0 一t + 7 3 3 3x 1 0 _ 1 1 t 2 m b a r 金属a l 为b 门1 ：o 8 0 2 1 2 3 6 1 0 4t + 3 2 7 5 1 0 。1 1t 2 m b a r 这一结果说明非简谐效应是导致金属材料体弹性模量随温度变化的主要因 素。 3 结合改进分析型嵌入原子模型和非简谐效应，研究发现金属f e 的体弹 性模量b 随压强p 规律：b ：1 7 3 2x1 0 i i + 三尸+ 7 9 2 7 1 0 1 1l n ( p 5 7 7 3 1 0 m + 1 ) ，即 9 金属f e 的体弹性模量b 随压强p 增加而增大，并且遵循以下而且当压强小于 4 x 1 0 p a 时与已有数据吻合很好，并发现简谐系数和第二非简谐系数都不影 响体弹性模量随压强的变化规律。在压强小于l o p a 时，b p 曲线相当的平坦， 即在压强增大时，金属的弹性模量变化很小；在压强大于1 0 1 2 p a 之后，曲线相当 陡，即在压强增大时弹性模量急剧增大。这说明当压强较小时，晶体间距较 大，引力起主要作用；当压强增大时，原子间距逐渐减少，原子间斥力逐渐 占主导作用；当压强继续增大时，原子问斥力迅速增大，固体难被压缩，弹 性模量迅速增大。这说明铁的体弹性模量是一个与压强有关的物理量。 关键词：m a e a m 模型，非简谐理论，体弹性模量，温度，压强 i i a b s t r a c t t h ee l a s t i c p r o p e r t i e so fm a t e r i a l sp l a y a l le s s e n t i a lr o l ei nt h ea s p e c to f e n g i n e e r i n gd e s i g na n da p p l i c a t i o n ，s c i e n t i f i cr e s e a r c he ta 1 a l s o ，i ti st h ep r i m a r y f o u n d a t i o nf o rt h ee v a l u a t i o na n dt h ep r e f e r e n c eo fm e t a lm a t e r i a l sa n dt h e p r o c e s s i n gt e c h n i c a lo p t i o no fm a t e r i a l s f o rt h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t ya n dt h e n a t i o n a ld e f e n s e ，s u c ha sm o d e ma v i a t i o na n d s p a c ei n d u s t r y , r a d i oi n d u s t r y , p r e c i s ei n s t r u m e n ta n dp r e c i s i o nm e t e ri n d u s t r y , t h e r ea r eg r e a th i g h e rd e m a n d sf o r t h ee l a s t i cp r o p e r t i e so ft h em e t a l sm a t e r i a l s t h a ti st os a y , t h ee l a s t i cm o d u l u so f t h em e t a l sm a t e r i a l sm u s tb eh i g h e ra n di n v a r i a b l e t h e r e f o r e ，w em u c ht r yo u r b e s tt oi m p r o v et h ep r o p e r t i e so ft h em e t a lm a t e r i a l sc o n t i n u o u s l y , t oe x p l o r et h e n e wm e t a lm a t e r i a l sa n dt h en e wa l l o y sm a t e r i a l s ，a n dt od e v e l o pt h em e t a l sa n d t h ea l l o y c o m p o s i t em a t e r i a l sw i t ht h ep r o p e r t i e so fu l t r a - h i g h s t r e n g t ha n d m a l l e a b i l i t y , h i g hc o r r o s i o nr e s i s t a n t ，s u p e r h e a tr e s i s t i n ga n dh i g hm o d u l u s t h em o d i f i e d a n a l y t i c a l e m b e d d e da t o m ( m a e a m ) m o d e la n d t h e a n h a r m o n i ce f f e c ta r eu s e dt os t u d yt h eb u l km o d u l u so ff c ca im e t a la n db c c f em e t a l i nt h ep a p e r , t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ： 1 t h eb u l km o d u l u sc a l c u l a t e db yt h em a e a m m o d e lf o rb c cf em e t a la n d f c ca im e t a la tz e r ot e m p e r a t u r ei si ng o o da g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n td a t a a v a i l a b l e i ti n d i c a t e st h a tt h em a e a mm o d e lc a nb ea p p l i e dt oi n v e s t i g a t et h e b u l km o d u l u sf o rb c cf em e t a la n df c c a 1m e t a l i i i 2 c o n s i d e r i n gt h ea n h a r m o n i ce f f e c t ，a p p l y i n gt h em a e a m im o d e la n dt h e a n h a r m o n i ct h e o r y , t h ev a r i a t i o no ft h eb u l km o d u l u sw i t ht e m p e r a t u r ec a nb e d e s c r i b e ds u c c e s s f u l l y t h a ti s ，t h eb u l km o d u l u sf o rb c cf em e t a lc a nb e d e s c r i b e db yaq u a d r a t i cf u n c t i o no ft e m p e r a t u r e b ( r ) ：1 7 3 2 一1 8 7 1 。l o 一r + 7 3 3 3 。1 0 - n r z ， a n dt h eb u l km o d u l u sf o rf c ca im e t a lc a nb ed e s c r i b e db yaq u a d r a t i cf u n c t i o n o f t e m p e r a t u r eb ( 丁) = 0 8 0 2 1 2 3 6 1 0 一t + 3 2 7 5x1 0 1 1t 2 t h er e s u l td e m o n s t r a t e s t h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r e s e n tm e t h o d 3 t h em a e a mm o d e la n dt h ea n h a r m o n i ct h e o l ya l eu s e dt os t u d yt h eb u l k m o d u l u sa n dw ef i n dt h a tt h eb u l km o d u l u si n c r e a s e sw i t ht h ep r e s s u r ef o rf e m e t a l t h er e l a t i o n s h i pc a nb ed e s c r i b e db yaq u a d r a t i cf u n c t i o no fp r e s s u r e ， b ：1 7 3 2 1 0 1 1 + 二尸+ 7 9 2 7 1 0 1 1i n ( p 5 7 7 3 1 0 一1 2 + 1 ) ，a n dt h er e s u l ti si ng o o da g r e e m e n t 9 w i t ht h ed a t aa v a i l a b l e w h e nt h ep r e s s u r ei sl e s st h a n4 xl0 1 1 p a ，p r e s s u r eh a v e n o t h i n gt od ow i t ht h eh a r m o n i cc o e f f i c i e n ta n dt h es e c o n da n h a r m o n i cc o e f f i c i e n t t h eb pc h i v ei sf l a tw i t h i nt h ep r e s s u r el e s st h a n10 1 1 p a , t h a ti st os a y , w i t ht h e i n c r e a s eo ft h ep r e s s u r e ，t h eb u l km o d u l u sg r o ws l o w l y a n dt h e r ew i l lb eag r e a t s t e e pb pc u r v ew h e nt h ep r e s s u r ei sg r e a t e rt h a n 101 2 p a t h eb u l km o d u l u s i n c r e a s e sg r e a t l yw i t ht h ei n c r e a s e so ft h ep r e s s u r e t h e s ec a nb ee x p l a i n e dw i t h t h ei n t e r a t o m i ci n t e r a c t i o n ：w h e nt h ep r e s s u r ei ss m a l l ，t h e r ei sg r e a ti n t e r a t o m i c d i s t a n c e ，a n dt h ea t t r a c t i v ef o r c ei sr e l a t i v e l yb i g g e r w i t ht h ei n c r e a s eo fp r e s s u r e ， t h ei n t e r a t o m i cd i s t a n c ed e c r e a s e d ，a n dt h er e p u l s i v ef o r c ei s p r e d o m i n a t e g r a d u a l l y ；w i t ht h ec o n t i n u a l l yi n c r e a s i n go fp r e s s u r e ，t h er e p u l s i v ef o r c ei n c r e a s e d g r e a t l y , i t sb e c o m i n gv e r yd i f f i c u l tt oc o m p r e s s ，a n dt h eb u l km o d u l u si st h e r e f o r e i v r e i n f o r c e dg r e a t l y t h er e s u l td e m o n s t r a t e st h ei n f l u e n c eo ft h ep r e s s u r eo nt h e b u l km o d u l u sf o rf em e t a l k e y w o r d s ：m a e a mm o d e l ；a n h a r m o n i ct h e o r y ；b u l km o d u l u s ；t e m p e r a t u r e ； p r e s s u r e v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：朱湘萍2 0 0 7 年1 1 月8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大 学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密m 。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：朱湘萍日期：2 0 0 7 年11 月8 日 导师签名：廖树帜日期：2 0 0 7 年1 1 月8 日 5 7 f e 、a l 体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 第一章金属材料弹性模量的研究 1 1 材料的弹性模量 弹性模量是一个描述材料弹性性质的物理量，了解这种性质对基础科学研 究和材料的实际工程运用都有重要意义，而且对弹性模量的研究是研究材料 本构关系的重要内容。 h o o k e 定律指出：对于足够小的形变( 在弹性变形范围内) ，应力与应变成线 性关系。对于各向同性材料，单向拉伸时，正应力( o ) 与正应变( ) 成正比 o - = y e ( 1 1 ) 其中y 为材料的一种弹性参数即杨氏模量。杨氏模量是描写材料本身弹性的 物理量，反映了材料对于形变的抵抗能力，对于一定的材料来说，拉伸时和 压缩时的杨艮漠量不完全相同，但在一般计算中可以不考虑这种差别而认为 绝大多数材料在拉伸和压缩时具有同样的y 值。 类似地，在纯剪切变形时，切应力( f ) 与切应变( y ) 成正比 r = g y( 1 2 ) 其中g 为材料的另外一种弹性参数即剪切模量。g 反映了材料抵抗剪切形变 的能力。 横向应变与纵向应变之比的绝对值称为泊松比，记作p = 引( 1 - 3 ) 描写了材料横向收缩或膨胀的特性。 通过理论推导，还能找出杨氏模量、剪切模量和泊松系数之间的关系，即 对于各向同性) 均匀的弹性体，有 高校教师在职硕士学位论文 g = 高( i - 4 ) 还有一个非常重要的弹。i i 参数，即体弹一i i 模量。晶体的体弹。i i 模量的定义 式为 ( 觌 m 5 ， 其中u 为研究对象的总内能，v o 是晶体在平衡位置时的体积。体弹性模量b 与g 、y 、肛的关系可以表示川为 肚高( 1 - 6 ) y = h 辨 m 7 ， 即描写弹性体弹性性质的物理量g 、y 、b 和肛只有两个是独立的，只要知 道其中的两个弹性常数，理论上可以计算出另外的两个弹性常数。 1 2 金属材料杨氏模量研究进展 我们知道，在弹性变形的应力和应变之间有一个具有重要意义的关系常数 一弹性模量，如拉伸时，有杨氏模量e ；剪切时，存在剪切模量g 。在应力、 应变关系的意义上，弹性模量是产生1 0 0 弹性变形所需的应力。在工程中 弹性模量是表征材料对弹性变形的抗力，即材料的刚度，其值越大，则在相 l q 应力下产生的弹性变形就越小。在机械零件或建筑结构设计时，为了保证 不产生过大的弹性变形，都要考虑所选用弹性模量。因此弹性模量是结构材 料的重要力学性能之一。 目前，已经有大量的理论、实验工作研究了材料的杨氏模量，以及弹性 模量与热膨胀系数等物性参数的关系。 f e 、体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 1 2 1 杨氏模量与热膨胀系数的关系 研究金属的热膨胀、弹性模量与温度的关系在物理学、地球物理学等领域 都有着非常重要的意义，它们是金属热振动、非简谐性振动的宏观表现。材 料的热膨胀和弹性模量本质上都与材料的晶体结构和原子间作用力有着密切 的关系【2 】，所以两者之间有着必然的联系。研究两者之间的联系，在材料的 物理性能理论研究与生产应用中有着较高的研究价值与应用前景。从弹性模 量的物理本质可知，一般随着温度升高，原子间距增大，相互作用力减少， 金属的弹性模量将会降低，弹性模量和温度的关系可以由下式表示： 一d h ，m + 聊生r - t e ：0 魂础 ( 1 8 ) 其中h = e 反，m 为常数( m 取- 2 5 ) ，e 。为温度等与德拜温度o 。时 金属的弹性模量，且有 o d = 1 3 7 式中m 是相对原子量，屹为原子在熔点瓦时体积。 分得 ( 1 9 ) 考虑口，= 万d r7 1 ，并整理积 e = e 。p 册，口r 矽 ( 1 1 0 ) 可进一步推导在一定的温度范围内弹性模量温度系数同膨胀系数存在如 下关系【3 】 口+ 聊= o ( 1 1 1 ) 式中m 为常数( m 约为4 0 1 0 乏) ，如下表格1 - 1 ： 高校教师在职硕士学位论文 表格1 - 1 些金属与合金口值( 温度范围1 0 0 c 一1 0 0 c ) 【3 】 1 2 。2 金属材料的弹性模量与德拜温度的关系 。 金属的弹性模量e 是表征晶体原子间结合力弱强的一个物理量，而德拜 温度o 。同金属晶体的原子振动有关，一般o 。越高，原子问结合力越强，相 应金属的弹性模量越大，而且它们有下列关系【4 1 o 。= ( 6 万2 刀) 3 ( h k ) ( e p ) “2 ( 1 1 2 ) 式中e 是弹性模量，p 是密度，n 为单位体积内的晶格粒子数。一般说来， 弹性模量高，则它的德拜温度o n 也高，如表格1 2 所示1 4 1 表格1 - 2 一些金属弹性模量与其对应的德拜温度 e 1 0 ，p a1 5 6 87 3 5 02 0 0 4 11 2 2 5 0 2 0 5 8 04 4 1 0 g l o ，p a 5 6 82 0 3 8 7 6 9 34 5 4 78 0 3 617 6 4 o d ，k9 01 7 04 1 0 3 10 - 3 4 04 6 03 3 0 1 2 3 金属的弹性模量与金属熔点的关系 材料熔点的高低反映了原子间结合力的性质和大小，金属的弹性模量与熔 4 f e 、体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 点满足波蒂维( p o r t e v i n ) 经验公式5 】 e = k t s 。p 6 ( 1 1 3 ) 式中，五为金属的熔点( 绝对温度) ，v 为比容，ka ，b 为常数。一般说来 a l ，6 2 ，从上式看到，金属的熔点愈高，弹性模量愈大。如下表格1 3 表格1 3 一些金属的弹性模量与其对应的熔点【5 1 1 3 金属材料的体弹性模量 材料的体弹性模量也是是固体力学中一个非常重要的弹性参数，在机械制 造，特别在汽车、飞机、船舶、枪炮等的设计中尤其应予以考虑。经常使用 两种体弹性模量，即等熵体弹性模量和等温体弹性模量，等熵体弹性模量定 义为 b 一矿( 飘( 1 - 1 4 ) 等温体弹性模量定义为 岛一矿( 嘉) r ( 1 - 1 5 ) 高校教师在职硕士学位论文 因为体弹性模量定义式中含有压力p 和体积项v ，它容易与热力学建立 紧密联系，因而等温体弹性模量和等熵体弹性模量这两种模量之间有如下关 系【6 】 ， 屏= b ( 1 + c t 2 c v t 尸b s 、1 ( 1 - 1 6 ) 其实，剪切模量g 也存在等熵模量和等温模量之分，只不过在各向同性固体 的在纯剪切变形中，因为没有体积变化做功，等熵剪切模量和等温剪切模量 相等。对于各向异性的固体而言，它们不完全相等。这里本文对他们不加区 分。 具体地，金属晶体的体积为v ，由势能函数与晶体体积v 的函数关系可 得，在不计晶体热效应条件下，晶体体积的改变依赖于外力p 。根据功能原 理，外界对物体作功p ( - 矿) 等于物体内能的增量棚，即【7 】 d u = p ( - d v 、) 得到 d u p 一万 ( 1 1 7 ) 当p 为压应力时，体弹性模量为 k ：一v 鱼 d y ( 1 - 1 8 ) 将式( 1 1 7 ) 代入( 1 一1 8 ) 中则得 q 吼 m 、 上式表明弹性模量与原子间势能的关系，亦间接表明了体弹性模量与原子间 结合力的关系。 f e 、m 体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 1 4 本选题目的、意义和主要研究内容 1 4 1 本文研究目的和意义 材料的使用、研究、发展与人类文明相伴随。当前，我们生活中的技术系 统由五个主要部分即运输、信息、能源、生物工程和材料所组成，而这五个 部分与金属材料息息相关【引。铝合金的发展给航空技术打下了基础；用高耐 热性的镍基和钻基的超合金制造了出喷汽式飞机；用中子可穿透的锆合金制 作了加压水冷式核反应器。金属材料是工业重要组成部分，如钢合金是汽车 工业主要消耗材料，铝及铝合金在交通运输、航空航天、兵器制作的主要材 料。基础生产、支柱产业和高新技术产业也对金属材料提出了多方面的需求。 所以，在材料科学研究中，要求不断地改善金属、合金材料的结构、性能， 探究新的金属、合金材料，并不断地开发超高强高韧、高耐腐蚀、超耐热和 高弹性模量的金属、合金复合材料和合成材料，以满足社会发展和国防的需 要。 弹性模量是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，是材料力学性 能中最稳定的指标【9 1 。它在机械结构和计算中占有重要地位。在其他条件相 同时，材料的弹性模量越高，由这种材料制成的构件刚度愈高，即在受到外 力作用时保持其固有的尺寸和形状愈强。有许多工程构件，例如，飞机构架 上的金属构件，不允许在运行中发生较大的变形，否则就不能正常工作。因 此，弹性模量是工程设计中不可缺少的数据，是人们选择和使用材料的依据 之一，特别作为减振动元件或结构则要求材料应变能要高。 金属材料，一般要求足够的弹性模量，以保证能承受足够的载荷，而不致 产生永久形变。弹簧、游丝、簧片等弹性材料，主要利用了金属材料的弹性 7 高校教师在职硕士学位论文 变形可复原的特性，其以弹性模量为其主要性能指标。近代航空、航天、无 线电及其精密仪器仪表工业对金属材料的弹性有更高要求，不仅要有高的弹 性模量，而且还要恒定。比如：喷汽式飞机要得到更大的推进力，必需提高 涡轮燃烧系统的温度，这就要求材料有更好的耐高温性能；飞机和火箭对材料 最重要的要求是强度与重量的比值要大，所以理论上研究金属材料的弹性模 量，研究金属材料的体弹性模量与温度、压强的变化关系，( 对于制造工艺上 调整这些影响因素，以期改变金属材料弹性模量，) 具有重要的理论和实际意 义。 1 4 2 主要研究内容 基于改进分析型嵌入原子( m a e 删) 理论，考虑非简谐效应，本选题 在参阅了大量的理论、实验研究成果的基础上，具体研究了面心立方结构 金属a l 和体心立方结构金属f e 的体弹性模量与温度、压强的关系。主要 内容有： 1 分析金属材料弹性模量的影响因素 2 介绍金属材料弹性模量的理论计算方法 3 理论推导得出f c c 、b c c 结构金属的体弹性模量与温度，具体推导得 出f c c 结构金属a 1 、b c c 结构金属f e 的体弹性模量与温度的函数关系。 4 理论推导得出f c c 、b c c 结构金属的体弹性模量与压强的函数式，并 研究推导得出了f c c 结构金属f e 的体弹性模量与压强的函数式。 f e 、a l 体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 第二章金属材料的弹性模量及影响因素 2 1 金属弹性模量的微观分析 金属的体弹性模量与其原子本性、原子半径及晶体点阵类型有关。在元素 周期表中，金属的弹性模量随元素原子序数的增加而有规律变化。下面我们 研究金属材料的弹性模量随元素序数增加的变化规律【7 1 。 金属原子问以金属键相结合构成晶体点阵。由于金属键没有方向性和饱和 性，因此构成金属原子间最致密状态。金属原子间结合力粗略的可以看成金 属离子和自由电子吸引力和金属离子间排斥力的综合作用。原子间的排斥力 是短程力。显然，任何外力作用于金属之后，形成了外力与原子间结合力新 的平衡，外力改变了相邻原子间距离。当外力出去后，原予间结合力使晶体 点阵呈现无外力时的规则状态。所以，金属的弹性性质是金属原子间结合力 的宏观表现，金属弹性变形阶段是相邻原子间距发生了改变。 在无外力时，晶体点阵原子具有最低的能量。原子问势能、结合力与原子 间距离的关系可以用双原子模型表示，以u l 代表原子间斥力势能、u 2 代表 原子间引力势能，合力势能u 为 u 也川一号+ 专 ( 2 一1 ) 式中a 、b 、m 、n 均为常数。在变形较小时，原子间斥力大于引力，所以刀 m 。原子间作用力f 为 ，a u m an b p = 一= 一一+ _ 动 厂卅1 ，”1 ( 2 - 2 ) 令m a = a ，n b = b ，m + l = m ，n + i = n ，式( 2 2 ) 变为 9 高校教师在职硕士学位论文 f = 一万a + 歹b， ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 与式( 2 1 ) 具有相同形式。式( 2 - 3 ) 中第一项为两原子吸引力，第二项为 排斥力。 原子间结合力f 与原子间距r 不存在线性关系。所以从物理本质上讲，金 属弹性模量并不是常数。有原子相互作用理论计算，当两原子受最大拉应力 而不断开时，其问距可发生达2 3 的变化。但是，实际金属最大弹性变形为 1 ，因此，原子间距与作用力之间的关系可近似线性处理，即应力与应变之 间遵从胡克定律。在这个意义上讲，金属弹性模量可作为常数引用，胡克定 律有其实用意义。 如果金属晶体的体积为v ，则势能与晶体体积v 的函数关系可得，在不 计晶体热效应时，晶体体积的改变则依赖于外力p 。根据功能原理，外界对 物体作功p ( _ ) 等于物体内能的增量训，则 d u p2 一万 体积压缩模量为 k ：一y 生：矿堡 d vd y 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 上式表明体弹性模量与原子势能的关系，亦间接表明了体弹性模量与原子间 结合力的关系。 2 2 温度对金属材料弹性模量的影晌 由金属体弹性模量的物理本质知，一般地，随着温度升高，原子间距增大， 相互作用力减弱，金属的体弹性模量将会降低，出现软化现象。图2 - l 给出了 金属的弹性模量随温度与熔点比值的变化关系曲线。 1 n f e 、舢体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 图2 1 金属弹性模量随温度的关系【l o 】 一般而言，金属的弹性模量随温度的变化常用温度系数表示【1 1 】 = 壶警 ( 2 - 6 ) 1 当o d 丁 6 0 0 时，大多数金 属如f e 、c u 、a i 、m g 等的弹性模量随温度的升高呈指数函数形式急剧下降。 高校教师在职硕士学位论文 3 当温度丁 o ，根据d e b y e 理论，固体的压强与其体积、体系势能平均值以及热振动能量之间的关系是 p ：一一d u + ，一e ( 2 2 0 ) d vv 、 在高压与温度不高的条件下，我们忽略热振动对压强的贡献且在温度不变 时，有 p ：一f ，型、1 l a 矿上 而体弹性模量为 则 r p = 一罢+ 黑 v 肌+ 1v 甩+ 1 肛了m ( m + r 1 ) a + 学 y 埘+ 1矿肿1 f ，丝、1 ：丝亟! 一生业 l a 矿上 v 肿2 v 肿2 结合上面三式，有 = ( n + m + 2 蛳+ 1 ) 百p ( 2 - 2 1 ) 1 7 高校教师在职硕士学位论文 令( 雾) t , p - + o 罐( 翘p 枷珥鼠堋o ) ，式子可以写成 ( 飘= 或+ 鼠反万p ( 2 - 2 2 ) 此式便是我们所得到的占( 丁，p ) 与p 之间的普遍关系式。 文献2 6 】等用热力学方法导出了晶体的弹性模量与压强的变化关系。但讨 论均未涉及具体物质的微观结构，所得出的规律不能反映具体物质的差异。 金属材料中原子间的相互作用从根本上决定着金属材料的各种性质，所以从 具体物质的相互作用势出发，推导得出弹性模量随压强的变化规律，讨论原 子相互作用势对弹性模量随压强变化规律的影响，具有实际的意义。 2 3 2l j 势作用下的弹性模量随压强的变化规律 许多晶体( 如惰性元素晶体) n n 子相互作用势遵从l j 势 撕，= 4 占 ( 詈) 1 2 一( 手) 6 c 2 2 3 ， 由此求得晶体的相互作用势能u 随体积的变化如下形式 u ( = 一旦+ 旦 y1y ” ( 2 2 4 ) 对于f c c 结构晶体，有 ( 嚣 r2 ( 刀+ 所+ 2 ) 一( 聆+ ) ( m + ) 务 ( 2 2 5 ) 压强不太高时，o + 1 炀+ 1 ) ； + 肼+ 2 ) ，忽略上式中的第二项，积分得到 b 仍尸) = 鼠+ 0 + 朋+ 2 ) 尸 ( 2 2 6 ) 鼠是t = o k ，p b o p a 时晶体的弹性模量，最后可以推导得弹性模量随压强关 系的一级近似【2 7 1 f e 、体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 b 驴) = 鼠一锴l n b o + o + 肌+ 2 妒】( 2 - 2 7 ) 取l m o l 固体作计算，n = n o ，下表列出了几种晶体的势参数以及由此计 算出的物理量 表2 - 1 几种晶体的占，盯及口，b ，b o 的值 2 3 3m o r s e 势作用下的弹性模量随压强的变化 对于体心立方( b c c ) 结构金属，晶体体积矿= 告尺3 j 利用 等v2 ( 筹r ( 等v ) = 黑4n r ( 豢r ) 皿一等v 辄叱( 署v 卜得到 一= i l i l = 一i 1 厂= 一一门h h=yl i ，1 寸士o l a lala 2 la a ”“一o 【a 2 j ， 。 压强p 和体弹性模量b 分别为 而 k 嘉b 。( r - r o ) 地。( r - r o ) 2 + 4 e 2 ( r - r o ) 3 】( 2 - 2 8 ) b ：一v o p ： a 矿 一矿塑竺 8 v a r = 一嘉( r - r o ) + 3 州r - r o ) 2 + 4 9 2 ( r - r o ) 3 】( 2 - 2 9 ) + 互丽4 - f 【占。( r - r o ) + 6 占。( r - r o ) 2 + 1 2s ：( r - r o ) 3 】 1 9 且 b c 卅c 雾，丁 对于b c c 结构金属 ( 2 3 1 ) b c 器卜一抖1 2r 币一争扩，+ 熹一) = 一手各i 。皿一r 。) + 3 t ( r r 。) 2 + 4 2 皿一r o ) 3 】 + 等i 0 + 6 t 很一ro ) + 1 2 ：( r 趣。2 1 ( 2 - 3 2 ) 一等1 6 l + 2 4 郇- r o ) 】 一熹【o 承_ r o ) + 3 - ( r _ r 。) 2 “2 ( r _ “) 3 1 + 熹【o + 6 。很_ r o ) 囊 一了l 式中等2 4 e 2 ( r r 。) 项忽略不计。 j o 将( 2 2 8 ) 、( 2 - 2 9 ) 式代a 4 2 3 2 ) 式可得 ( 筹) r = l 一( 等。+ 吾p ) ( 2 - 3 3 ) 此即b c c 结构金属晶体( 如金属f e ) 的体弹性模量b 与压强p 所满足的 微分方程。下面采用叠代法求解该方程的近似解。 金属的体弹性模量的数量级一般是1o n n m 2 ，而压强即使为1 0 0 0 0 个大 气压( 即p 1 0 9n m 2 ) ，其值也远远比b 值小，因此，( 2 3 3 ) 式括号中的第二 项远小于第一项。作零级近似处理，括号中的第二项可忽略，这时( 2 3 3 ) 式的 o ， 一3 一尺o，一2灯鱼眦 2 0 g r 盼 属 “ ，一。 ： r 、l，_， 艮 物 一 眩 历 狮 忍 一 r 水 一 魄 岛 k 箝鱼群 i i 一 塑觎 f e 、a l 体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 零缴觯为 尸= 召一b 。+ 鲁仙( 曰一鲁“口。一鲁 ( 2 - 3 4 ) 其中鼠为p - - - o 时的体弹性模量，将( 2 3 4 ) 式作一级近似处理并代入( 2 3 3 ) 式 的右端，可得( 2 3 3 ) 式的一级近似解 1 n ( + 1 ) b = 风+ 吾p + ( 一3 x 4 3 + 2 b o ) 二譬( 2 - 3 5 ) 2 4 本章小结 弹性模量是描述材料的力学性能的一个非常重要的物理量，本章从材料 的微观分析出发，具体讨论了影响金属材料弹性常数的温度、压强因素。事 实上，影响金属弹性模量的因素还有很多，例如相变因素和原子核外电子、 晶格固有振动等结构特征以及因素。在温度对弹性模量影响研究中，着重考 虑原子非简谐振动，具体推导了金属的体弹性模量与温度的函数关系；在分 析压强的影响时，从热力学角度出发，研究了弹性模量与压强的的普遍关系； 分析具体的分子势l j 势、金属势m o r s e 势，推导出了具体结构金属的体弹 性模量与压强的函数关系。 2 1 f e 、砧体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 第三章金属材料体弹性模量理论计算方法 3 1 计算弹性模量的方法分类 弹性模量是一种反映金属材料基本性质的物理量，了解这种性质对基础科 学研究和金属材料的实际工程运用都有很重要的意义，而且对金属的弹性模 量的研究是研究金属材料本构关系的重要内容。理论研究方面，金属弹性模 量的计算一般局限在零温度和零压强及常温常压条件下的计算，温度较高的 有限温度条件下及压强较高的有限压强条件下的计算比较困难。金属弹性模 量的计算方法一般分为解析法和基于从头计算的方法。 而考虑温度、压强因素的影响，金属材料的弹性模量是温度、压强的函 数。理论计算高温高压的弹性模量在实际工程应用中也具有十分重要的意义。 计算高温高压的弹性模量的方法，大致上可以分为三类【2 8 1 。 第一类为解析方法。其基本思想是认为弹性模量对温度、压力依赖有一 个固定关系，这个关系中的未知数可以通过常温常压附近的数据分析获得。 只要推导出这个关系，可以求出金属材料一定温度、压强范围内的弹性模量。 第二类为经典分子动力学方法。这种方法按该体系内部的力学规律来计 算、确定位形转变。体系中的每一个分子都服从经典的牛顿力学。每个分子 运动的动力学用理论力学上的哈密顿量或拉格朗日量来描述，也可以直接用 牛顿运动方程来描述。 第三类为从头计算方法。包括量子蒙特卡罗方法、基于密度泛函的从头 算方法、从头算分子动力学方法等。蒙特卡罗方法是利用随机变量的一个数 值序列来得到特定问题的近似数值计算方法。量子力学中的态函数是直接与 概率相关的量，人们自然地想到可以利用蒙特卡罗方法来求解量子力学问题。 ，3 高校教师在职硕士学位论文 量子蒙特卡罗方法也可以用来计算弹性模量。例如：c wg r e e f f 等人利用量 子m o n t ec a r l o 方法对高压下m g 的热弹性进行了研究，发现密度2 9 1 是影响 剪切模量的重要因素。 基于密度泛函的从头算方法种类很多，它们一般都能进行弹性模量的计 算，其中各种全势计算方法比较准确。用从头算的方法计算弹性模量，可以 分绝对零度和非绝对零度条件两种情况计算。绝对零度弹性模量的理论研究 较多，是一个渐趋成熟的研究领域，但是这种计算忽略温度对弹性模量的影 响，其计算结果必然与一定温度条件下的实际情况存在差距，尤其当温度较 高时，误差会变得不可忽略。 本章着重介绍了基于密度泛函理论的从头算( a bi n i t i o ) 方法和改进分析 型嵌入原子( m a e a m ) 模型理论两种当今流行的研究金属材料弹性模量的 计算方法，分析、介绍了这些方法提出的背景、基本思想、适用范围和各自 的优缺点。 3 2 基于密度泛函的从头算方法 从头算作为理论研究的基本方法，已经被广泛应用在材料研究的各个领 域。本小节将就基于密度泛函的从头算方法的产生、基本思想、应用和局限 展开论述。 从头算定义：从头算方法又称为第一性原理方法( a b i n i t i oo rf i r s t - p r i n c i p l e s m e t h o d ) ，它将多原子体系当作由电子和原子核构成的多粒子系，利用量子力 学中的基本原理，在不引入任何实验参数情况下对多原子体系进行处理。之 所以称其为从头算方法或者第一性原理方法，都是强调这种方法的基础性， 这种计算建立在对于由微观粒子构成的物理系统具有普适性的量子力学基本 f e 、a l 体弹性模量的改进分析型嵌入原子理论研究 原理基础上。如果再借助一些对于具体系统的近似，可以在不需要任何实验 参数的情况下导出系统的性质。而几乎所有的量子力学基本原理都可以由作 为量子力学基础的五个基本公设( p o s t u l a t e ) 推导出。 3 2 1 基于密度泛函的从头算方法的产生 基于h a r t r e e f o c k 近似的从头算方法，因为不能很好的处理宏观物资中数 量如此巨大的电子数( 1 0 2 3 个) ，所以主要用来计算直接与分子尺度相关的性 质，如对分子结构、分子的结合能等的计算。后来，一种采用电子密度来研 究多粒子体系性质的不同的方法得到了广泛关注。最早用电子密度来研究固 体性质的是t h o m a s 3 0 1 和f e r m i ”1 。t h o m a s f e r m i 理论假定：体系中电子运动 相互独立，没有相互关联，电子动能由基于自由电子的结果( 【n ( r ) 】) 5 7 3 ) 的局域 近似得到。体系的势能由p o i s s o n 方程决定。虽然这个方法在描述真实体系 时只取得了有限的成功，但是这个理论却是后来的密度泛函理论的雏形，它 使得人们将注意力集中在电子密度而不是精确的波函数这一细节上。 在t h o m a s 和f e r m i 这一开创性的工作之后，d i r a c 3 2 】j 艮快提出：可以通过 在相互作用中增加交换相互作用项，来考虑交换效应，而这一项直接来自对 均匀电子气中的交换能的处理。s l a t e r l 3 3 1 提出对交换势的近似，认为一个具有 变化电子密度的体系的交换势可以近似用一个局域密度依赖的项 n ( r ) 】m 来 表示。s l a t e 对h a r t r e e f o c k 理论的近似处理使得从头算可以计算真实的固体， 这就是所谓的x a