（基础数学专业论文）具有逆断面的纯正半群.pdf

摘要 具有逆断面的正则半群是半群代数理论研究中的重要对象之一本文主要 研究了两类具有逆断面的纯正半群主要结果如下： 1 研究了具有逆断面的正规纯正半群得到了具有逆断面的正规纯正半群 的构造方法，证明了具有逆断面的正规纯正半群同构于左正规带、逆半群和右 正规带的拟直积 2 研究了具有c l i f f o r d 断面的正则纯正半群通过构造正则纯正半群上的左 逆半群同余和右逆半群同余，得到了正则纯正半群的次直积分解进而，证明了 具有c l i 舫r d 断面的正则纯正半群是正则纯正群 关键词 逆断面，正规纯正半群，拟直积，正则纯正半群，次直积 a b s tr a c t t h er e s e a r c ho fr e g u l a rs e m i g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l si so n eo ft h e m o s ti m p o r t a n to b j e c t so fa l g e b r a i cs e m i g r o u pt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t w o c l a s s e so fo r t h o d o xs e m i g r o u p sw i t ht r a n s v e r s a l sa r es t u d i e d t h em a i nr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ： 1 t h en o r m a lo r t h o d o xs e m i g r o u p sw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l sw e r es t u d i e d a n do n ec o n s t r u c t i n gm e t h o do ft h i sk i n do fs e m i g r o u p sw a so b t a i n e d f u r t h e r ， w ep r o v e dt h a te v e r yn o r m a lo r t h o d o xs e m i g r o u pw i t hi n v e r s et r a n s v e r s a l si si s o - m o r p h i ct ot h eq u a s i d i r e c tp r o d u c to fal e f tn o r m a lb a n d ，a l li n v e r s es e m i g r o u p a n dar i g h tn o r m a lb a n d 2 t h er e g u l a ro r t h o d o xs e m i g r o u p sw i t hc l i f f o r dt r a n s v e r s a l sw e r es t u d - i e d b yc o n s t r u t i n gal e f tr e g u l a ro r t h o g r o u p c o n g r u e n c ea n dar i g h tr e g u l a ro 卜 t h o g r o u pc o n g r u e n c eo nt h er e g u l a ro i r t h o d o xs e m i g r o u pw i t hi n v e r s et r a n v e r s a l ， w eo b t a i n e ds u b d i r e c tp r o d u c td e c o m p o s i t i o no fr e g u l a ro r t h o d o xs e m i g r o u p s w i t hc l i f f o r dt r a n s v e r s a l s w ea l s op r o v e dt h a tar e g u l a ro r t h o d o xs e m i g r o u p w i t hc l i f f o r dt r a n s v e r s a li sar e g u l a ro r t h o g r o u p k e y w o r d s i n v e r s et r a n s v e r s a l ，n o r m a lo r t h o d o xs e m i g r o u p ，q u a s i d i r e c tp r o d u c t ，r e g - u l a ro r t h o d o xs e m i g r o u p ，s u b d i r e c tp r o d u c t l l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盐錾丝指导教师签名： 盐自嚣 。气年。阳f j ，e l 哆年口6 月r 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论丈是= 羲 力 导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特剐加以标注：；阳致谢的地方外，奉论文不包含其他人b 经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它救育机构的学位或证书面 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 学位论文作者签名： 弭彖锦 。呷年66 月l ，日 两北人学硕卜学位论文 1 1 引言 第一章绪论 半群代数理论的研究可追溯至u 1 9 0 4 年，而系统的研究始于上世纪5 0 年代初， 相对来说是一个比较年轻的代数学分支2 0 世纪6 0 年代以来，由于它在理论计 算机科学、密码学、通信学等领域的重要应用价值，使其成为一个十分活跃的 研究领域 在半群代数理论中，对正则半群及其子类的研究直占据主导地位逆半 群和完全正则半群作为两类重要的正则半群，对它们的研究具有十分重要的 理论意义，近几十年来也取得了丰硕的成果对逆半群的研究起源于v a g n e rv v 和p r e s t o ngb 1 9 6 1 年，c l i 肋r dah 和p r e s t o ngb 曾提出观点说：“逆半群 是最具有研究前景的一类半群 i 删，随后的二十多年时间，充分证明了他们的 预言1 9 8 4 年，p e t r i c hm 所编著的逆半群( i n v e r s es e m i g r o u p 1 】) 一书囊括了 那个时代逆半群研究的绝大部分成果，进一步激发了代数学者对逆半群及其 相关理论进行深入研究1 9 4 1 年，c l i f f o r dah 2 】首次对完全正则半群进行了研 究，并给出了两个结构定理自那之后，许多学者开始对这类半群进行深入的研 究p e t r i c hm 和r e i l l ynr 共同撰写的完全正则半群( c o m p l e t e l yr e g u l a r s e m i g r o u p 3 】) 一书系统地介绍了完全正则半群的基本理论以及上世纪9 0 年代以 来该领域的最新研究成果，收录了包括该书作者在内的大量学者的研究工作， 并指出这一专门领域进一步发展的方向 随着逆半群代数理论的不断丰富，对以逆半群作为其子半群的正则半 群的研究越来越多地受到代数学者的关注1 9 8 2 年b l y t hts 和m c f a d d e nr b 【4 】首次提出了正则半群的逆断面的概念设s 是一个正则半群，s 的逆子半 群s o 称为s 的逆断面，如果s o 含且只含有s 的每个元的一个逆元，即对于任意 的z s ，l y ( x ) ns 。l = 1 具有逆断面的正则半群因有逆子半群作为其逆断面， 因而可借助逆断面的逆半群性质对它的结构、同余等进行有效地研究，从而达 1 第一章绪论 到有局部把握整体的目的许多学者对这类半群的性质以及具有特殊断面的正 则半群的结构进行了研究，取得了一些成果1 5 - 1 0 1 直至1 j 1 9 8 9 年，s a l t 5t l n i ) j 借 助i = z z 。i z s ) 和a = z 。x i x s ) 这两个集合，给出了一般情形下具有逆断 面的正则半群的一个很复杂的结构定理“这个结果是不能令人满意的，得不 到好的结构定理是因为j 和人是否为子半群还不清楚 【2 5 】1 9 9 7 年，唐西林【1 2 】证 明了，和人是子半群，更确切地，和a 分别是右正则带和左正则带，并且给出了 逆子半群成为逆断面的充分必要条件从而，上述s a i t 5t 的结构定理也得到了 简化一般来说，正则半群如果具有逆断面，则其逆断面未必唯一2 0 0 1 年b l y t h ts 和陈建飞【1 3 】证明了：若正则半群s 具有逆断面，则其所有逆断面都是同构的 从逆半群到正则半群的研究知道，逆半群及正则半群的特殊子类的定义和分 层刻画都是借助于同余，同余对于半群的结构是很重的1 9 9 5 年，汪立民【1 4 1 首 次对具有q 一逆断面的正则半群的同余进行- f n 画，之后又与唐西林【1 5 - 1 7 将这 一方法推广到一般的有逆断面的正则半群之上1 9 9 5 年，b l y t hts 和a l m e i d a s a n t o smh 1 8 也发表了他们关于同余的文章，1 9 9 8 年a l m e i d as a n t o smh 1 9 又 对逆断面上同余的扩张进行了研究经过二十多年的发展，逆断面的思想已经 得到了很大程度上的拓展一些代数学者在具体的研究工作中提出了纯正断 面陋，3 0 】，恰当断面【3 l 一删等断面的概念这些断面的出现进一步拓展了半群的研 究领域，丰富了半群的研究方法 1 2 预备知识 定义1 2 1 若非空集合s 上定义了一个二元运算“，且“ 满足结合 律，即 ( v a ，b ，c s ) ( 口b ) c = a ( b c ) ， 则称( s ，) 为半群在不引起混淆的情况下，我们将半群( s ，) 简记为s ，而将a b 简 记为曲 设s 是半群，若存在1 s 使得 2 两北大学硕l ：学位论文 站，郭= 甑 跚剃：吣一 ( a ，b s ) ap b 考( v c s ) a c p a c ，c a pc a ， 则称p 为半群s 上的同余，称( s p ，) 为商半群 3 第一章绪论 格林关系是研究半群的一种常用的工具，在半群理论的发展中起到非常重 要的作用，它是g r e e nja 于1 9 5 7 年给出的下面将介绍半群上格林关系的定 义 设s 是半群，s 上的格林关系c ，冗，了，冗，d 定义如下【别： 口c 6 甘s 1 a = s 1 b n 冗6 令a s l = b s l a f f b 令s 1 a s l = s 1 b s l 7 l = ca 冗d = v 冗 关于半群上的格林关系，有以下结论 引理1 2 ，7 1 2 0 1 若s 是半群，则下列命题成立： ( i ) ( a ，b s ) a l b = 争( s x ，y s 1 ) x a = b ，y b = o ； ( i i ) ( a ，b s ) a n b 号( 3 u ， s 1 ) a u = b ，b y = n ； ( i i i ) ( a ，b s ) n 了6 = 亨( | z ，y ，u ，u s 1 ) x a y = b ，u b v = o ； ( i v ) c 是右同余，冗是左同余； ( v ) 口= o 冗= 冗oc = cv 冗 引理1 2 8 1 2 0 】 设s 是半群，日是s t 的氕一类，若h 2nh = d ，则日2 = 日， 且是s 的子群 引理1 2 9 设s 是半群，e 是s 中的幂等元，则也是s 的子群，且s 的每 个咒类最多只包含一个幂等元 设s 为半群对a s ，若存在z s ，满足a x a = a ，则称a 为s 的正则元若 半群s 中的每一个元素都是正则的，则称s 为正则半群设a 为半群s 中的任一 元素，若存在a 7 s 使得a a a = a ，口7 7 = a t ，则称a 为a 的逆元a m 逆元之集 用y ( o ) 表示 设s 为正则半群对于任意的a s ，必定存在z s ，使得a = a x a s ，类 4 两北大学硕1 ：学位论文 似的有a s a v a s a s 于是，正则半群上的格林关系定义为【2 0 】： a c b 哥s a = s b 口冗6 = 今a s = b s 口歹6 仁今s a s = s b s 关于正则半群上的格林关系有以下命题 引理1 2 1 0 2 0 】若a ，6 是正则半群s 中的元素，则 ( i ) ( a ，b ) c 管3 a 7 y ( o ) ，6 ，y ( 6 ) 使得a 7 a = 6 ，6 ； ( i i ) ( a ，b ) 冗= 争3 a 7 y ( 口) ，6 ，y ( 6 ) 使得a a 7 = b y ； ( i i i ) ( a ，b ) 7 - 令3 a 7 y ( n ) ，6 ，y ( 6 ) 使得a 7 a = b i b 且a ( 1 7 = b b 定义1 2 1 1 2 1 l 设 a ) t j 是一族指标集为朋勺同型代数，若代数a 满足以下 条件： ( i ) a 是 a i j 的直积兀a 的子代数； i e l ( i i ) 对每个i i ，丌( a ) = a ，其中仉表示第i 个坐标的投影映射，则称a 为代 数 a ) i e i 的次直积 引理1 2 1 2 2 1 】 设a 是一个代数，( o d i e l 是a 上的一族同余，且n 吼= a ，则a 是 a o i i j r 的次直积 设s 是正则半群，若对任意的o s ，i y ( n ) i = 1 ，即存在唯一的a t s 使 得a a 7 a = a ，a t a a = a 7 ，则称s 为逆半群设s 是半群，口s ，若存在唯一 的z y ( n ) 使得a i r = ：r a ，则称元素a 为完全正则的若半群s 的每一个元素都是 完全正则的，则称s 为完全正则半群 关于逆半群与完全正则半群，有以下结论 引理1 2 1 3 1 2 0 设s 是半群，则下列命题等价： ( i ) s 是逆半群； ( i i ) s 是正则的，且其幂等元乘积可交换； ( i i i ) 每个c 一类和亿类包含且只包含一个幂等元； 5 第一章绪论 ( i v ) s 中的每一个元素只有唯一逆元 引理1 2 1 4 3 】设s 是半群，则下列命题等价： ( i ) s 是完全正则半群； ( i i ) s 的每一个冗一类都是s 的子群； ( i i i ) s 是群并半群； ( i v ) 对任意的口s ，a a s a 2 ； ( v ) s 是完全单半群的半格， 设s 是具有逆断面s 。的正则半群，对于。s ，z 在s 。中的唯一逆元记 作矿，并且用z 0 0 来表示( z 。) 。，我有以下引理 引理1 2 1 5 1 6 , 1 1 , 1 8 , 2 2 - 2 4 设s 是具有逆断面s 。的正则半群，则下列命题成 立： ( i ) 对于任意的z s ，z o o 。= 矿 ( i i ) 对于任意的z ，y s ， ( z y ) 。= ( x 。x y ) 。z 。= y o ( z 秒剪。) 。= y o ( z 。x y y 。) 。z 。 ( i i i ) 对于任意的z ，y s ， ( z 可。) 。= 可。z 。，( z 。秒) 。= 暑，。z 。 ( i v ) 对于任意的a ，b s ，s 上的格林关系定义如下： o c 6 骨a o a ：b o b a i c b铮a a o = b b o ( v ) s 是纯正的当且仅当对于任意的o ，b s 有( n 6 ) 。= b 。a 。 ( v i ) 下列两个集合 a = z 。z l z s ) ，i = z z 。i z s ) 分别为左正则带和右正则带，且，na = e ( s 。) ， p s 。的幂等元构成的半格 ( v i i ) 若s 是( 左，右) 正规纯正半群，则对于任意的n ，b ，c s 有a 。b c 。= a o b o o c o 6 两北人学硕i ：学位论文 第二章具有逆断面的正规纯正半群 本章研究了具有逆断面的正规纯正半群证明了具有逆断面的正规纯正半 群同构于坐正则带、逆半群和右正规带的拟直积 设b 是带，任意的x ，y ，z b 若x y z = x z y ，则称b 为左正规带若x y z = y , v , z ，则称b 为右正规带若x y z x = x z y x ，则称b 为正规带 定义2 1 1 3 设s 是半群，y 是半格， l q y ) 是一族指标集为y 的半 群，若存在满同态妒：s y 使得对任意的q y ；a 妒- 1 = & ，则称s 为半 群& ( q y ) 的半格y 定义2 2 【2 0 】设y 为半格，对任意的q y ，为半群，当a p 时，令s = u & ，且适合以下条件： ( i ) 对o t ，p y ，a p ，存在同态丸，p ：& 一昂； ( i i ) 如果q p ，y ，则a ，p 妒卢，7 = 九，7 ； ( i i i ) 对a y ，丸，口= 1 s 口 对任意的口& ，b 昂，定义a b = ( n 九，a 卢) ( w p ，a 卢) ，n ( s ，) 成为半群，称为半 群& 关于y 的强半格，记作【y ；& ；纯，以 引理2 3 2 0 设b 是带，b 是正规的当且仅当它是矩形带的强半格 引理2 4 2 0 设b 是带，b 是左正规的当且仅当它是左零带的强半格 引理2 5 1 2 0 1 设b 是带，b 是右正规的当且仅当它是右零带的强半格 引理2 6 2 0 每一个正规带都同构于一个左正规带与一个右正规带的织积 由文献【3 】引理i v 1 7 ，可以得到以下引理 引理2 7 设s = 陋；l e ；咖e ， 是左正规带令a l e ，b l ，则下面命题等 价： ( i ) a 6 ； ( i i ) e ，且n 。，= 6 ； ( i i i ) b = b a = a b 7 第二章具有逆断面的正规纯j f 半群 设q 是逆半群，e 为【2 的幂等元之集，l 为左j 下规带，兄为右j 下规带，且e = lnr 设e ，e ，e ，既然l 为左正规带，则己为左零带厶的强半格，记 为l = 【y ；二。；九，】同理，r 为右零带r f 的强半格，记为r = 【y ；r f ；妒e ，几 令s ： ( e ，口，) ：n q ，e l - l i ，r a - l a ) 定义s 上的乘法“ 如下： ( e ，o ，) ( g ，b ，h ) = ( e 矽，( 曲) ( 曲) 一1 ，a b ，h o b t 6 ，( 曲) 。- ( 口6 ) ) 本章后续部分中将( e ，a ，) ( 9 ，b ， ) 简记为( e ，a ，) ( 9 ，b ， ) 定理2 8 ( s ，) 为正规纯正半群，且酽= ( z 一1 z ，z - 1 ，z z 一1 ) i x q ) 为s 的 逆断面 证明首先证明( s ，) 满足结合律，y l m i ( s ，) 为半群 令( e ，o ，) ，( g ，b ，h ) ，( t ，c ，j ) s ，则分别有 ( e ，a ，似g ，b ， ) ) ( t ，c ，j ) = ( e ，( 曲) ( 曲) 一1 ，a b ， 饥一- 6 ，( 叫一- ( 0 6 ) ) ( t ，c ，j ) = ( e 九口，( 曲) ( 曲) 一1 咖( 曲) ( 曲) ，( 口6 c ) ( 咖) 一l ，a b c ，歹讥一l c ，( 出) 一1 ( 0 6 c ) ) = ( e e l - , , ( 曲c ) ( 咖) 一l ，a b c ，歹砂c l c ，( 咖) 一1 ( 幽) ) 和 ( e ，a ，) ( 9 ，b ，h ) ( i ，c ，歹) ) = ( e ，a ，f ) ( g c b b - , ( 蚴( 嘲一- ，6 c ，j 妒c t c ，( 一，( 呐) = ( e 咖，( 曲c ) ( 口6 c ) 一l ，a b c ，j i 妒c l c ，( 蚴一1 ( 蚴妒( 6 c ) 一1 ( 呐，( 口b c ) 一1 ( 。6 c ) ) = ( e 咖，【。b c ) ( 口b c ) 一- ，0 6 c ，歹妒c 一c ，( 曲c ) 一1 ( 曲c ) ) 即有( ( e ，n ，) ( 夕，b ， ) ) ( 瓦c ，j ) = ( e ，口，) 【( g ，b ， ) ( i ，c ，j ) ) ，所以( s ，) 是半群 对任意的( e ，a ，f ) s ，由s 的定义知对任意的夕l 口一- 口，h 一- 有( 9 ，b ，h ) s ( 其中b = a - 1 ) 从而 ( e ，a ，烈9 ，b ，h ) ( e ，a ，) = ( e 札，( 曲) ( 曲) 一1 ，a b ，h c b 一1 6 ，( 曲) 一1 ( 曲) ) ( e ，a ，) = ( e 妒a a - i , ( 。l b ) ( 口”一l 咖( n b ) ( c 嘞一l ，( 6 。b 口) ( c i b 。) 一l ，a b a ，f ) a - x a , ( a b a ) 一1 ( t i b n ) ) 8 两北大学硕i ：学位论文 = ( e e o c - , , ( 口6 0 ) ( n k ) 一- ，a b a ，f c a - l a , ( 。k ) 一1 ( 曲口) ) = ( e 矽一- ，一t ，a ，一- 口，口一- 口) = ( e ，o ，) 这说明( s ，) 是正则的 接下来证明( s ) 是正规纯正半群 对于任意的( e ，a ，f ) j e 7 ( s ) ， ( e ，a ，f ) = ( e ，a ，) ( e n f ) = ( e 咖，a ：( 口z - 1 , n 2 ，讥一- a ，( 口：) 一，口。) = ( e ，a 2 ，) 从而得到o = 6 2 ，即口e ；反过来，若a e ，( e ，a ，f ) s ，则( e ，o ，f ) e ( s ) 对于任意的n ，b ，c ，d e 且( e ，a ，) ，( g ，b ， ) ，( i ，c ，歹) ，( 1 ，d ，m ) s ，则( e ，a ，) ，( g ，b ，j 1 ) ，( i ，c ，j ) ，( 1 ，d ，m ) e ( s ) 从而有 和 ( e ，a ，) ( 夕，b ， ) ( i ，c ，j ) ( 2 ，d ，仇) = ( e ，( 曲) ( 口6 ) 一1 ，a b ， 妒6 一- 6 ，( 曲) 一1 ( 曲) ) ( i ，c ，歹) ( 1 ，d ，r n ) = ( e ，( a 6 ) ( o b ) 一t 咖( 曲) ( 曲) ，( n 6 c ) ( 幽) 一1 ，n 6 c ，j i 饥一l c ，( 咖) 一z ( 如) ) ( 1 d ，仇) = ( e 驴( 1 a - 1 ( 口6 c ) ( 删一- ，a b c ，歹妒c 一，c ，( 出) 一- ( 口6 c ) ) ( f d ，m ) = ( e ，( 口6 。) ( 曲。) 一1 ( 口k ) ( n 6 c ) ，( 曲唧( 。b c d ) 一l ，a b c d ，m 讥一d ，( 口6 c d ) 一1 ( 口6 c d ) ) = ( e 一1 ，( 。6 五) ( 。6 c d ) 一l ，a b c d ，r e e d 一1 d ，( 。1 6 嘲一1 ( 口6 c d ) ) ( e ，a ，) ( 瓦c ，歹) ( 9 ，b ，h ) q ，d ，m ) = ( e 矽n a - 1 , ( ) ( 们- 1 , a c ，j c b 一- 6 ，( 仳) 一t ( 们) ) ( 9 ，b ，h ) q ，d ，m ) = ( e ，( o c ) ( ) 一- ( ) 恤- 1 , ( 础) ( 删- 1 a c b ， 妒b l b ，( 删一1 ( 删) ( f ，d ，m ) = ( e ，( a c 6 ) ( 耐) 一l ，a c b ，h c b 1 6 ，( 础) 一1 ( 幽) ) ( z ，d ，m ) = ( e ，( o c 6 ) ( 础) 一l 砂( 础) ( 础) ，( n c 6 d ) ( a c 6 d ) 一1 ，o d 地，r e e d 一1 d ，( 。c 6 d ) 一1 ( 础d ) ) = ( e 一，( 口c 6 d ) ( 0 c 旧一l ，a c b d ，m c d 一1 d ，( a c i 旧一1 ( 6 d ) ) 9 第二章具有逆断面的正规纯正半群 由逆半群幂等元交换性可知a b c d = a c b d ，从而 有e ，a ，) ( 夕，b ， ) ( i ，c ，歹) ( z ，d ，m ) = ( p ，n ，) ( i ，c ，j ) ( 9 ，b ，h ) q ，d ，m ) ，a p e ( s ) 是 正规带故( s ，) 是正规纯正半群 最后证明s 。是( s ，) 的逆断面 对于任意的( 口a ，a - ia a 一1 ) ，( b - l b ，b ，b b 一1 ) s 。有 a 一1 n ，口一1 ，a a 一1 ) ( 6 1 b ，b - 1 , b b 一1 ) = ( n 一1 a 掣) a - l a , ( b a ) 一1 ( k ) ，( 6 口) 一1 ，b b 一1 地，( k ) ( k ) 一1 ) 另一方面， ( a - 1 口) ( ( 6 0 ) 一1 ( 沈) ) = a - 1 a 扣t 一1 b b a = a - l b b a = ( 6 0 ) 一1 ( 6 0 ) ， ( ( 6 n ) - 1 ( 6 口) ) ( o 一1 a ) = a - l b 一1 b a a 一1 0 = a - l b b a = ( 施) 一1 ( 6 n ) ， ( 6 6 1 ) ( ( 6 n ) ( 6 0 ) 一1 ) = b b 一1 b a a 一1 b = b a a 一1 b 一1 = ( k ) ( 6 n ) 一， ( ( 沈) ( 6 0 ) 1 ) ( 的- 1 ) = b a a 以b 。b b = b a a 一1 b = ( 沈) ( 6 n ) 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 可得( 阮) 一1 ( b a ) a - 1 n ；由( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可得( 阮) ( 阮) 一1 b b 从而由引理2 7 及其对偶命题可得 a - l a c a - a , ( b a ) 一1 ( k ) = ( 沈) 一1 ( 6 口) ， 进一步有 b b 一1 饥，( k ) ( 6 a ) 一- = ( 沈) ( 6 0 ) a 一1 口，口。1 ，a a 一1 ) ( 6 b ，b - l , 6 6 1 ) = ( ( 6 n ) 一1 ( 6 n ) ，( 6 0 ) ，( 6 口) ( 6 口) 一1 ) s 。 这说明s o 是s 的子半群 对任意的( n a ，a - 1a a 一1 ) s 。，存在( 6 b ，b ，b b 一1 ) s o ( 其中6 = a - i ) 使得 ( a - l a ，凸，a a _ 1 ) ( 6 b ，b ，6 6 1 ) ( n a ，a 一，0 n 一1 ) = a 一1 a 。- l a , ( b a ) 一1 ( k ) ，( 6 口) 一1 ，b b 一1 妒6 b ，( k ) ( k ) 一1 ) ( 口一1 0 ，口一1 ，a a 一1 ) = a 一1 a 九一l a ，( k ) 一1 ( 6 口) ( k ) 一1 ( 6 口) ，( 如) 一1 ( 口6 口) ，( 6 n ) 一1 口一，a a 一1 矽，( 咖) ( 幽) 一1 ) = a a c a - l a , ( a b a ) 1 ( 咖) ，( a b a ) - 1 , a a 一1 ) a a - x , ( 8 6 0 ) ( 幽) 一1 ) = ( a - l a ，a ，a a - 1 ) 1 0 两北人学硕一f ：学位论文 故酽是j 下则的 若( o 一1 n ，a ，a a 一1 ) s 。，且 ( a - l a ，a ，a a 一1 ) = ( a - l a ，o 一1 ，a a 一1 ) ( n 一1 a ，a 一1 ，a a 一1 ) = ( a - 1 0 咖i o 一1 ( a - 1 ) 一l ，( 口一1 ) 2 ( ( a - i ) 2 ) 一1 ，( a - 1 ) 2 ，a a 一1 妒( 口一1 ) 一1 口一1 ，( ( d 一1 ) 2 ) 一1 ( 口一1 ) 2 ) = ( a - 1 a 车) a - l a , ( d 2 ) 叱2 ，( a - 1 ) 2 ，a a c a 4 z - - 1 ，q 2 ( 口2 ) 一1 ) ， 则( 口一1 ) 2 = a 一，即n 一1 是幂等元因此，s 。的幂等元集合e ( s 。) = ( e 一1 e ，e 一1 ，e e 一1 ) l ( e e ) ) 取( ，一1 f ，一1 ，f 一1 ) ，( g - l g ，g 一1 ，g g 一1 ) e ( s 。) ，则 ( f - l f ，f 一1 ，f 一1 ) ( 9 1 9 ，g - l , g g 一1 ) = ( f - l f c f 一1 ( 广1 ) ，( ，- l g - 1 ) ( f - l g - * ) 一l ，f - l g - 1 , g g 一1 妒( g - 1 ) - * g - l , ( f - l g - ) 一1 ( i - 1 9 - * ) ) = ( f - 1 f c ：一1 ， ( 9 ，) 一- ( 9 ，) ( g f ) - 1 , g g 矽g g - z , ( 9 ，) ( 9 ，) 一，) ( g - l g ，g - l , g g 一1 ) ( ，一1 f ，f 一1 ，f f 一1 ) = ( g - l g c g 一1 ( 9 1 ) 一l ，( 9 1 ，一1 ) ( 9 1 ，一l - 1 , g 一1 f 一1 ，f 一1 砂( ，一1 ) 一1 l - l ( g - ) i 一1 ) 一1 ( g 一1 ，一1 ) ) = ( 9 g c g - * g , ( f g ) 一- ( ，9 ) ，( ，夕) ，f f 一1 j f f - 1 , ( 向) ( ，9 ) 一- ) 另一方面， ( f - i ，) ( ( 夕，) 一1 ( 夕，) ) = f - i f f 一1 9 一1 9 f = ，一1 夕一1 f g = ( g f ) 一1 ( 夕，) ， ( ( 9 ，) 一1 ( 9 ，) ) ( ，一1 f ) = f - t g 一1 9 f f 一1 f = f - l g 一1 9 = ( g f ) 一1 ( 9 ，) ， ( g g 一1 ) ( ( 夕似夕，) 一1 ) = g g 一1 9 f f 一1 9 一1 = g f f 一1 9 = ( g f ) ( g f ) ， ( ( 9 似9 ，) 一1 ) ( 鲫一1 ) = g f f 一1 9 一1 9 9 = g f f 一1 9 一1 = ( g f ) ( g f ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 由( 2 5 ) 和( 2 6 ) 可得( 夕，) 一1 ( g f ) f - 1 ，；由( 2 7 ) $ f l ( 2 8 ) 可得( 夕，) - 1 ( g f ) g g 从而由引理2 7 及其对偶命题可得 ( f - l f ，f 一1 ，f f 一1 ) ( 9 1 9 ，g 一1 ，g g 一1 ) = ( ( 夕厂) 一1 ( 夕，) ，( g f ) 一1 ，( g f ) ( g f ) 一1 ) ， ( 夕- 1 9 ，g 一1 ，g g 一1 ) ( ，一1 f ，f 一1 ，f f 一1 ) = ( ( ，夕) 一1 ( ，9 ) ，( f g ) 一1 ，( f g ) ( f g ) 一1 ) 1 1 第二章具仃逆断面的难规纯币半群 由逆半群幂等元的交换性f g = g f ，故 ( f - l f ，一1 ，f 一1 ) ( 夕一1 9 ，g - l , g g 一1 ) = ( g - l g ，g - l , g g 一1 ) ( ，一1 ，一1 ，f 一1 ) 至此，证明了s 。是正则半群且其幂等元可交换，即s 。是逆半群 下面只需证明对于任意的( e ，a ，) s ，存在唯一的( 9 ，b ，h ) s 。使 得( e ，a ，) ( 9 ，b ， ) ( e ，a ，) = ( e ，a ，f ) l i p 可说明酽是s 的逆断面 分别令g = e - l e ，b = a ，h = f f ，则( 夕，b ，h ) s 。容易验证 ( e ，a ，) ( 夕，b ， ) ( e ，a ，) = ( e ，a ，) ( e e ，a ，f 。) ( e ，a ，) = ( e c a a - 1 , ( 一，) ( 一，) 一，a a ，一1 妒( 口一- ) - - i q - - i ( 一- ) 一- ( a a - 1 ) ) ( e ，a ，) = ( e 咖，( 一1 ) ( 一- ) 一t ( 一t ) ( 一1 ) ，( 一- 口) ( a o , - l a ) 一- ，a a 一1 n ，f 掣：a - x a , ( 一- 口) 一1 ( 一1 口) ) ， 一i ，、 = 【e ，( a a l 口) ( 一l a ) 一1 a a1 0 ，缈d l 口，( 一l a ) 一1 ( 一l a ) j = ( e 咖h d t ，一- ，a ，厂一- 口，口一- a ) = ( e ，a ，) 由s 。的定义，唯一性是显然的故s 。为( s ，) 的逆断面 我们称定理2 8 中的( s ，- ) 是lq 和尺关于e 的拟直积【2 6 】，记为q ( l o q o r ；e ) 定理2 9 设s 是具有逆断面s o 的正规纯正半群，则s 同构于a ，s o 和，关 于e ( s 。) 的拟直积，即s 竺q ( aos 。oj ；e ( s 。) ) 证明对任意的a s ，显然有a a 。l 口。n a o o s 。和a 。a r 口。一并且 在这里集合 人= z 。z i z s ) ，i = z z 。i z s 分别为左正规带和右正规带，且人ni = e ( s 。) 从而由拟直积的定义 有( a a 。，a o o ，a 。a ) q ( a s 。oj ；e ( s 。) ) 我们定义映射圣如下 垂：s q ( ao s oo ，；e ( s 。) ) 西( 口) = ( a a 。，a ”，口。口) 1 2 两北人学硕i ：学位论文 设a ，b s ，则m ( n ) = ( a a 。，a 。0 ，n 。口) ，o ( b ) = ( b b 。，b ”，b 0 6 ) 若中( n ) = 圣( i ) ，则有a a 。= b b 。，a o o = 6 0 0 ，a 。a = b o b 从而有n = a a 。a = a a o a o o a o a = b b o b 0 0 b o b = b b o b = b 这表明西是单射由圣的定义，显然西是满射 于是，圣为双射 下面证明圣是同态 圣( n 6 ) = ( ( n 6 ) ( 0 6 ) 。，( a b ) 0 0 ，( a b ) o ( 口6 ) ) 圣( a ) 圣( 6 ) = ( a a 。，a 0 0 ，口。a ) ( 6 6 。，6 0 。，b o b ) = ( a a 。九。( o , o o ) 。，( a o o b o 。) ( o o o b o o ) 。，a o o b o 。，b o 嘶( b o 。) 。b o o , ( a o o b o 。) 。a o o b o 。) ) = ( a a 。掣) a o o a o , ( 口6 ) 。( 口6 ) 。，( a b ) o o ，b o b o b 。6 ”，( 曲) 。( 曲) 。) 另一方面， ( o 矿) ( ( 0 6 ) ( 口6 ) o ) = a a o a b b 。a 。= a b b 。a 。= ( n 6 ) ( n 6 ) o ， ( ( n 6 ) ( 0 6 ) 。) ( n o 。) = a b b 。a 。a a 。= a b b 。a 。= ( a b ) ( a b ) 。， ( 6 。6 ) ( ( 0 6 ) 。( 曲) ) = b 。b b 。a 。a b = b 。a 。a b = ( a b ) 。( 口6 ) ， ( ( 0 6 ) 。( n 6 ) ) ( 6 。b ) = b 。a 。a b b 。b = b 。a 。a b = ( a b ) 。( 0 6 ) 由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可得( 0 6 ) ( n 6 ) 。a a 。；由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 口- - j 得( 0 6 ) 。( a b ) b o b 从而由引理2 7 及其对偶命题可得 a a 。九。口。，( 0 6 ) 。( 口6 ) 。= ( 0 6 ) ( 0 6 ) 。，b o 劬6 a 6 ”，( 口6 ) 。( 口6 ) 。= ( 口6 ) 。( n 6 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 进一步有面p ( a b ) = 圣( 口) 圣( 6 ) ，即西是同态这就说明了s 同构于a ，s 。和，关 于e ( s 。) 的拟直积 第三章具仃c l i f f o r d 断面的正则纯证半群 第三章具有c l i f f o r d 断面的正则纯正半群 本章主要研究了具有c l i f f o r d 断面的正则纯正半群通过构造正则纯正半 群上的左正则纯正群同余和右正则纯正群同余，得到了正则纯正半群的结构定 理；进而，证明了具有c l i f f o r d 断面的正则纯正半群是正则纯正群 设s 是完全正则半群，若对于任意的z ，y s ，( z z 一1 ) ( 可可一1 ) = ( y y - 1 ) ( z z 一1 ) ，则称s 为c l i f f o r d 半群设s 为具有逆断面s 。的正则半群， 若酽为c l i f f o r d 半群，即对任意的a s 有a 。a = a a 。，则称s 。为c l i f f o r d 断面 引理3 1 设s 是具有逆断面铲的纯正半群若对任意的z s ，都有v ( x ) = v ( x 。x 2 ) ，则s 。为c l i f f o r d 断面 证明只需证明z o z = z o o 矿 对任意的z s ，有 进一步可得 z 。= x 。x x 。= z 。( z 。x 2 ) z 。= z 。z 。x x x 。 给( 3 1 ) 式两端左乘z 可得 z o = z o x o z z z o x x o = x x o x o x x x o ( 3 1 ) ( 3 2 ) 在( 3 2 ) 式中取z = z 。和z = z 0 。，并注意到( z o o z 。) ( z 。x 0 0 ) = ( z 。z 。) ( z 。z 。) ，贝0 分另0 有 z 。z 。 = z 。( z 。) 。( z 。) 。z 。z 。( z 。)