高中数学 第一章 集合本章归纳总结课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 集合 第一章 本章归纳总结 第一章 知识结构 知识梳理 专题探究 即时巩固 本章主要学习了集合的概念 元素与集合 集合与集合间的关系 以及子集的性质与集合间的运算性质等 1 集合是 某些指定对象的全体 构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外 还可以是其他对象 集合的元素具有 确定性 互异性 无序性 集合的表示法 列举法 描述法 venn图法 解答集合问题 要明白它所表示的意义 即元素指什么 是什么范围 紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性质 判断给定对象能否构成集合时 要注意它的 确定性 在表示一个集合时 注意它的 互异性 无序性 2 元素与集合 集合与集合间的关系元素与集合之间是个体与整体的关系 不存在大小与相等关系 元素与集合间用 或 表示 集合与集合之间有包含关系 如子集 全集的关系 相等关系 真子集关系 熟练掌握集合的图形表示 会借助韦恩图 数轴解决集合问题 树立数形结合解题的意识 3 交 并 补 都是集合的运算 对于两个集合而言 交集是指这两个集合的公共元素组成的集合 并集是指由这两个集合的全部元素组成的集合 要注意集合元素的互异性 补集必须相对于指定的全集而言 一个集合的补集是指由不属于这个集合的全集中的全部其它元素组成的集合 4 求解含参数的集合运算问题 先对集合化简 使问题明朗化 再对参数进行讨论 讨论时既不能重复也不能遗漏 5 在集合运算过程中应力求做到 三化 1 意义化 即首先分清集合的类型 是表示数集 点集 还是某类图形 是表示函数的定义域 值域 还是表示方程或不等式的解集 2 具体化 具体求出相关集合中函数的定义域 值域或方程 不等式的解集等 不能具体求出的 也应力求将相关集合转化为最简形式 3 直观化 借助数轴 直角坐标平面 venn图等将有关集合直观地表示出来 从而借助 数形结合思想 解决问题 1 集合中元素的三性集合中的元素具有确定性 互异性和无序性 判断所给对象能否构成集合时 特别要注意它的 确定性 在表示一个集合时 要特别注意它的 互异性 无序性 学好集合的关系是把握 五个三 例1 下列说法 地球周围的行星能构成一个集合 实数中不是有理数的所有数能构成一个集合 1 2 3 与 1 3 2 是不同的集合 其中正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 是错误的 因为 周围 是个模糊的概念 随便找一颗行星无法判断其是否在地球的周围 因此它不满足集合元素的确定性 是正确的 虽然满足条件的数有无数多个 但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合 是错误的 因为集合中的元素具有无序性 答案 b 2 集合的三种表示方法集合的常用表示法有列举法 描述法和venn图法 这三种表示方法各有特点 应结合具体问题适当选用 特别要注意的是 在用描述法表示集合时 一定要弄清代表元素是什么 例2 设集合a x y x2 b y y x2 c x y y x2 则下列关系中不正确的一个是 a a c b b c c b ad a b c 解析 集合a是由二次函数y x2的自变量x组成的集合 即a r 集合b是由二次函数y x2的因变量y组成的集合 即b y y 0 而集合c是由二次函数y x2图像上所有点组成的集合 为点集 所以a b r c 答案 d 3 集合的三类按照集合中元素个数的多少 集合可分为有限集 无限集和空集三类 其中 空集是一个特殊的集合 它不含有任何元素 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 在解决集合之间关系的问题时 它往往易被忽视而导致解题出现失误 例3 设u r a x x2 3x 10 0 b x a 1 x 2a 1 且b ua 求实数a的取值范围 解析 由题意知a x x5 则 ua x 2 x 5 b ua 当b 时 显然有b ua 这时a 1 2a 1 得a 2 4 集合与集合的三种关系在一般情况下 集合与集合的关系有两种 即包含与不包含 若将相等从包含中区分出来 则两集合可以有三种关系 答案 a 5 集合的三种运算集合的运算有交 并 补 ua 要正确理解并会进行这三种运算 设全集为u 已知集合a b 则a b x x a且x b a b x x a或x b ua x x u且x a 例5 已知全集u x 4 x 4 x z a 1 a2 1 a2 3 b a 3 a 1 a 1 且a b 2 求 u a b 分析 要求 u a b 应先求出a b 这样问题就转化为求参数a的值 观察集合a b中元素的特点 若a b 2 则只能a2 3 2成立 解析 a b 2 2 a 又 a2 1 0 a2 3 2 解得a 1 当a 1时 a 1 2 2 b 2 0 2 则a b 2 2 与a b 2 矛盾 a 1 当a 1时 a 1 2 2 b 4 2 0 则a b 2 符合题意 此时a b 4 2 1 0 2 又 u 4 3 2 1 0 1 2 3 4 u a b 3 1 3 4 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓 是将知识转化为能力的桥梁 在日常学习中 要注意数学思想方法在解题中的运用 要增强运用数学思想方法解决问题的意识 这样能在求解过程中迅速找到解题思路或简化解题过程 集合中蕴涵的数学思想方法 1 数形结合思想数形结合思想 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维和形象思维结合 通过对图形的认识 数形结合的转化 可以培养思维的灵活性 形象性 使问题化难为易 化抽象为具体 通过 形 往往可以解决用 数 很难解决的问题 集合中常用的方法是数轴法和venn图法 1 数轴法对初学者来说 在进行集合的交集 并集 补集运算时 往往由于运算力差或考虑不全面而极易出错 此时 数轴分析法是个好帮手 它能将复杂问题直观化 在具体应用时 要注意端点是实心还是空心 以免增解或漏解 例6 已知集合a x 1 x 3 b x x m 2 1 若a b 求实数m的取值范围 2 若a b 求实数m的取值范围 解析 由题意得a x 1 x 3 b x x m 2 1 在数轴上画出集合a和b 若a b 则实数m 2落在 1的左边或与 1重合 m 2 1 即m 3 2 venn图法venn图是集合语言中的图像语言 它易引起清晰的视觉形象 能直观地表达概念 问题的本质以及相互之间的关系 加强这方面的学习和训练 对巩固数学知识 夯实基础 提高能力具有重要意义 例7 已知i为全集 集合m n i 若m n n 则 a im inb m inc im ind m in 答案 c 2 分类讨论思想分类讨论思想是数学思想中比较重要的一种思想 利用分类讨论思想解决分类讨论问题 已成为高考考查学生知识和能力的热点问题 首先 分类讨论问题一般都覆盖较多知识点 有利于对知识面的考查 其次 解分类讨论问题需要有一定的分析能力 一定的分类思想和技巧 运用分类讨论思想解决问题的关键是分类标准要明确 做到 不重不漏 解析 本题的实质是根据方程ax2 3x 2 0的实数根情况 确定实数a的取值 由题意知可以分为有一个实根和没有实根两种情况讨论 答案 c 3 转化与化归思想在解决一些集合问题时 如果一种集合的表达形式不好入手 那么就将其转化为另一种形式 使问题明朗化 如 a是b的子集 a b a a b b a b 等都是同一含义 另外 集合中数学语言的常见形式主要有三种 即文字语言 符号语言 图形语言 通过合理的相互转化 往往能简捷迅速地得到解题思路 例9 某校高一 5 班有50人 其中参加航模小组的有25人 参加电脑小组的有32人 求既参加航模小组又参加电脑小组的人数的最大值与最小值 解析 设u 高一 5 班学生 a 参加航模小组的学生 b 参加电脑小组的学生 设既参加航模小组又参加电脑小组的学生有x人 如图所示 从图中可得至少参加一组的有 25 x x 32 x 57 x 4 补集思想对于比较复杂 难于从正面入手的数学问题 在解题时 可调整思路 从问题的反面入手 探求已知和未知的关系 这样往往能化难为易 从而将问题解决 这就是补集思想 补集思想具有转换研究对象的功能 是转化思想的又一体现 集合中的补集运算常常与方程 不等式等相联系 特别是否定性的条件 如a a 可转化为a ra 有时求解将会十分方便 省去一些复杂的讨论 例10 若三个方程x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0至少有一个方程有实数解 试求实数a的取值范围 集合中的创新题主要是指题目中引入了新概念 新术语 新符号或定义新的运算的问题 处理这类问题的关键是要准确地理解相关 新内容 的含义 依据其含义寻找解题的切入点 例11 设m p是两个非空集合 定义m与p的差集为m p x x m 且x p 则m m p 等于 a pb m pc m pd m 集合中的创新题 答案 b 一 选择题1 2014 北京理 1 已知集合a x x2 2x 0 b 0 1 2 则a b a 0 b 0 1 c 0 2 d 0 1 2 答案 c 解析 a x x2 2x 0 0 2 a b 0 2 2 已知全集u 1 0 1 2 集合a 1 2 b 0 2 则 ua b a 0 b 2 c 0 1 2 d 答案 a 解析 ua 0 1 ua b 0 故选a 3 有下列结论 由1 2 3 4 5构成的集合含有6个元素 大于5的自然数构成的集合是无限集 边长等于1的菱形构成的集合是有限集合 某校高一入学成绩最好的学生构成的集合是有限集 其中正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 c 解析 正确 中集合的元素有5个 中边长等于1的菱形 夹角不定 对 故 不正确 答案 b 二 填空题5 已知集合a x r x 1 2 z为整数集 则集合a z中所有元素的和等于 答案 3 解析 用列举法将a z中的元素列举出来相加即可 a x r x 1 2 x r 1 x 3 a z 0 1 2 a z的元素的和为3 6 设集合a x z x 3 b x z x 2 全集u z 则 ua b 答案 2 1 0 1 2 解析 u z a x z x 3 b x z x 2 ua x z x 3 ua b x z 3 x 2 2 1 0 1 2 7 已知集合a 1 5 b x ax 5 0 且a b a