高中数学 第一章 1.2.1 第3课时 排列的综合应用课件 新人教A版选修23.ppt

第3课时排列的综合应用 类型一含有 在 与 不在 约束条件的排列问题 典型例题 1 2013 长春高二检测 某一天的课程表要排入政治 语文 数学 物理 体育 美术共六节课 如果第一节不排体育 那么共有 种不同的排课程表的方法 2 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员 派5名队员参加比赛 3名主力队员安排在第一 三 五位置 其余7名队员中选2名安排在第二 四位置上 那么不同的出场安排有 种 3 用0到9这十个数字 可组成多少个没有重复数字的四位偶数 解题探究 1 题1的约束条件是什么 应如何解决 2 题2的约束条件是什么 应如何解决 3 题3的约束条件是什么 应如何解决 探究提示 1 题1的约束条件是 第一节不排体育 可以按第一节优先安排 分两步计数 也可以用间接法求解 2 题2的约束条件是 3名主力队员安排在第一 三 五位置 其余7名队员选2名安排在第二 四位置上 解决方法 先安排一 三 五位置 再安排二 四位置 3 约束条件是 没有重复数字 0不在首位 末位为偶数 可按特殊元素优先安排或特殊位置优先安排或间接法求解 解析 1 方法一 第一节排其他课有种 其他5节课有种 所以有 种 方法二 间接法 六门课总的排法是种 其中不符合要求为体育排在第一节 有种排法 因此符合条件的排法应是 种 答案 600 2 分两步完成 第一步 安排三名主力队员 有种 第二步安排另2名队员 有种 所以共有 种 答案 252 3 方法一 当个位数字排 0 时 千位 百位 十位上可以从余下的9个数字中任选3个来排列 故有 个 当个位上从 2 4 6 8 中任选1个来排时 则千位上从余下的8个非零数字中任意选1个 百位 十位上再从余下的8个数字中任选2个来排 按分步乘法计数原理有 个 所以没有重复数字的四位偶数有 个 方法二 当个位数字排 0 时 同方法一有个 当个位数字是 2 4 6 8 之一时 千位 百位 十位上可从余下9个数字中任选3个的排列中减去千位数是 0 的排列数得 个 所以没有重复数字的四位偶数有 个 方法三 千位数上从 1 3 5 7 9 中任选一个 个位数上从 0 2 4 6 8 中任选一个 百位 十位上从余下的8个数字中任选2个排列有 个 千位数上从 2 4 6 8 中任选一个 个位数上从余下的4个偶数中任选1个 包括0在内 百位 十位从余下的8个数字中任选2个排列 有 个 所以没有重复数字的四位偶数有 个 方法四 将没有重复数字的四位数划分为两类 四位奇数和四位偶数 没有重复数字的四位数有 个 其中四位奇数有 个 所以没有重复数字的四位偶数有 个 互动探究 在题1中 若将约束条件变为 第一节不排体育 第六节不排数学 则结果如何 解析 六门课总的排法是种 其中不符合要求的可分为 体育排在第一节有种排法 如图中 数学排在最后一节有种排法 如图中 但这两种排法 都包括体育排在第一节 数学排在最后一节 如图中 这种情况有种排法 因此符合条件的排法应是 种 拓展提升 含有 在 与 不在 约束条件排列问题的求解原则和常用方法 1 求解原则 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子不排某些元素 解决该类排列问题的原则主要是按 优先 原则 即按优先排特殊元素或优先满足特殊位子的分步计数 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时 应分类讨论 2 常用方法 直接法 直接根据约束条件分步或分类计数 间接法 问题的正面分的情况较多 或计算较复杂 而反面情况数较少或计算简单时选用间接法 变式训练 用0 1 2 3 4 5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字 1 六位奇数 2 个位数字不是5的六位数 3 不大于4310的四位偶数 解析 1 第一步 排个位 有种排法 第二步 排十万位 有种排法 第三步 排其他位 有种排法 故共有个六位奇数 2 方法一 直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同 因此需分两类 第一类 当个位排0时 有个 第二类 当个位不排0时 有个 故符合题意的六位数共有 个 方法二 排除法 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数 这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况 故符合题意的六位数共有 个 3 当千位上排1 3时 有个 当千位上排2时 有个 当千位上排4时 形如40 42 的各有个 形如41 的有个 形如43 的只有4310和4302这两个数 故共有 个 类型二含有 相邻 与 不相邻 约束条件的排列问题 典型例题 1 2012 辽宁高考 一排9个座位坐了3个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法种数为 a 3 3 b 3 3 3c 3 4d 9 2 2013 天津高二检测 省内某电视台连续播放6个广告 3个不同的商业广告 2个不同的亚运宣传广告 1个公益广告 要求最后播放的不能是商业广告 且亚运宣传广告与公益广告不能连续播放 2个亚运宣传广告也不能连续播放 则不同的播放方式有 a 48种b 98种c 108种d 120种 3 3名男生 4名女生按照不同的要求排队 求不同的排队方法的种数 1 全体站成一排 男 女各站在一起 2 全体站成一排 男生必须站在一起 3 全体站成一排 男生不能站在一起 4 全体站成一排 男 女都不相邻 解题探究 1 题1中应如何处理才能保证排座时每家人坐在一起 2 解决题2中问题的入手点是什么 3 对于 相邻 与 不相邻 问题 常用的处理方法是什么 探究提示 1 题1中把每一家人 捆绑 在一起 看成一个整体就可保证排座时每家人坐在一起 2 解决题2中问题的入手点是最后播放的广告是什么 以此讨论求解 3 对于 相邻 问题常利用捆绑法 对于 不相邻 问题常利用插空法 解析 1 选c 捆绑法 分步完成 先将每家 绑在一起 看成3个元素 全排列 共有种排法 然后每个家3口人 再各自全排列 则有种排法 据分步乘法计数原理 共有种方法 2 选c 插空法 分两类 第一类 最后一个播公益广告 则有第二类 最后一个播亚运宣传广告 则有据分类加法计数原理 共有 种 3 1 男生必须站在一起是男生的全排列 有种排法 女生必须站在一起是女生的全排列 有种排法 全体男生 女生各视为一个元素 有种排法 由分步乘法计数原理知 共有种排队方法 2 三个男生全排列有种方法 把所有男生视为一个元素 与4名女生组成5个元素全排列 有种排法 故有种排队方法 3 先安排女生 共有种排法 男生在4个女生隔成的5个空中安排 共有种排法 故共有种排法 4 排好男生后让女生插空 共有种排法 拓展提升 含有 相邻 与 不相邻 约束条件的排列问题的解法1 相邻问题捆绑法对于要求某几个元素相邻的排列问题 可将相邻的元素 捆绑 起来 看作一个 大 元素 与其他元素一起排列 然后再对捆绑元素内部进行排列 2 不相邻问题插空法对于要求有几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排好 然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处 变式训练 1 2013 重庆高二检测 由1 2 3 4 5 6组成没有重复数字且1 3都不与5相邻的六位偶数的个数是 a 72b 96c 108d 144 解析 选c 第一步 先选一个偶数排个位 有3种方法 第二步 若5在十位或十万位 则1 3有三个位置可排 共 个 若5排在百位 千位或万位 则1 3只有两个位置可排 共 个 故按要求的所有排列数共有3 24 12 108 个 2 有5盆菊花 其中黄菊花2盆 白菊花2盆 红菊花1盆 现把它们摆放成一排 要求2盆黄菊花必须相邻 2盆白菊花不能相邻 则这5盆花的不同摆放种数是 a 12b 24c 36d 48 解析 选b 利用相邻问题捆绑法 间隔问题插空法得 固定顺序的排列问题 典型例题 1 由1 2 3 4 5五个数字组成各位数字不同的五位数 使2必须在4的右边 可以不相邻 有 种排法 2 7人站成一排 1 甲 乙 丙排序一定时 有多少种排法 2 甲在乙的左边 不一定相邻 有多少种不同的排法 解析 1 设所求的排法有x种 这种对于符合条件的每一排法 不改变2 4的位置 只改变2 4的顺序 有种排法 由分步乘法计数原理 五个数字的全排列有种方法 而五个数字的全排列有种方法 所以得 60种 答案 60 2 1 方法一 7人的所有排列方法有种 其中甲 乙 丙的排序有种 又对应甲 乙 丙只有一种排序 所以甲 乙 丙排序一定的排法共有种 方法二 插空法 7人站定7个位置 只要把其余4人排好 剩下的3个空位 甲 乙 丙就按他们的顺序去站 只有一种站法 故种 2 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等 而7人排列数恰好是这二者之和 因此满足条件的有种 拓展提升 固定顺序的排列问题的解法这类问题的解法是采用分类法 n个不同元素的全排列有种排法 m个元素的全排列有种排法 因此种排法中 关于m个元素的不同分法有类 而且每一分类的排法数是一样的 当这m个元素顺序确定时 共有种排法 规范解答 排列的综合应用 典例 条件分析 规范解答 1 先考虑老师有种站法 再考虑其余6人全排 故不同站法总数为 种 3分 2 2名女生站在一起有种站法 视为一种元素与其余5人全排 有种排法 所以有不同站法 种 6分 3 先站老师和女生 有种站法 再在老师和女生站位的间隔 含两端 处插入男生 每空一人 则插入方法种 所以共有不同站法 种 9分 4 7人全排列中 4名男生不考虑身高顺序的站法有种 而由高到低有从左到右和从右到左的不同 所以共有不同站法 种 12分 失分警示 防范措施 1 分类 与 分步 的意识在解有约束条件的排列应用题时 切记根据约束条件特殊位置安排情况或特殊元素当选情况分类 按安排先后顺序分步 如本例 1 2 3 均用到了分步的方法 2 两个关注在用 捆绑法 时 要关注大元素中各个元素间的顺序 在用 插空法 时要关注谁去插空 有几个空要插 如本例中的第 2 3 题的求解 类题试解 某次文艺晚会上共演出8个节目 其中2个唱歌 3个舞蹈 3个曲艺节目 求分别满足下列条件的排节目单的方法 1 一个唱歌节目开头 另一个压台 2 2个唱歌节目不相邻 3 2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻 解析 1 先排唱歌节目有种排法 再排其他节目有种排法 所以共有 种 排法 2 先排3个舞蹈节目 3个曲艺节目有种排法 再从其中7个空 包括两端 中放2个排唱歌节目 有种插空方法 所以共有 种 排法 3 把2个相邻的唱歌节目看作一个元素 与3个曲艺节目排列共种排法 再将3个舞蹈节目插入 共有种插空法 最后将2个唱歌节目互换位置 有种排法 由分步乘法计数原理 符合要求的排法共有 种 1 有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列 其中红球甲和黑球乙相邻的排法有 a 720b 768c 960d 1440 解析 选d 两个元素相邻的问题 一般用捆绑法 把红球甲和黑球乙看作一个元素 则问题变成6个元素在6个位置进行排列 红球甲和黑球乙两个元素之间还有一个排列共有故选d 2 用数字1 2 3 4 5组成无重复数字的四位偶数的个数 a 8b 24c 48d 120 解析 选c 个位数有种排法 十位 百位 千位有种排法 从而共有个不同的四位偶数 3 在航天员进行的一项太空实验中 要先后实施6个程序 其中程序a只能出现在第一步或最后一步 程序b和c实施时必须相邻 请问实验顺序的编排方法共有 种 解析 实验顺序编排的方法共有 种 答案 96 4 在数字1 2 3与符号 五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 解析 符号 只能在两个数之间 这是间隔