高中数学 2.5.2 离散型随机变量的方差同步课件 北师大版选修23.ppt

1 了解离散型随机变量方差的概念 2 掌握离散型随机变量方差的求法 3 会根据方差的意义解决有关的实际问题 1 离散型随机变量的方差的概念和计算 难点 2 离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系 易混点 3 两点分布 二项分布的方差的求法 第2课时离散型随机变量的方差 课标要求 核心扫描 自学导引 1 离散型随机变量的方差 设x是一个离散型随机变量 我们用来衡量x与ex的平均偏离程度 e x ex 2是 x ex 2的 称之为随机变量x的 记为 方差越 随机变量的取值越集中在其周围 方差越大 随机变量的取值就越 由方差的定义知dx x1 ex 2p1 x2 ex 2p2 xn ex 2pn e x ex 2 期望 方差 dx 小 均值 分散 设x为离散型随机变量 则y ax b a b为常数 也是一个离散型随机变量 且 1 两点分布若x服从参数为p的两点分布 则 2 二项分布若x b n p 则dx 2 离散型随机变量方差的性质 dy d ax b a2dx 3 常见分布的方差 dx p 1 p np 1 p 你能类比样本数据方差的计算公式 理解离散型随机变量方差的计算公式吗 想一想 1 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度 方差或标准差越小 则随机变量的取值越集中在其均值周围 反之 方差或标准差越大 则随机变量的取值就越分散 2 随机变量的方差是一个数 方差的定义给出了求随机变量的方差的方法 而对于常见分布的方差要当作公式记忆 以简化运算 名师点睛 1 对随机变量方差的理解 1 理解随机变量x的意义 写出x的所有可能取值 2 求x取每个值的概率 3 写出x的分布列 4 由期望的定义求ex 5 由方差的定义求dx 注意 若x b n p 则直接利用公式ex np dx np 1 p 求解 3 离散型随机变量期望与方差的求法 随机变量的方差即为总体的方差 它是一个常数 不随抽样样本而客观存在的 样本方差则是随机变量 它是随样本不同而变化的 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本方差越来越接近于总体方差 4 随机变量的方差与样本的方差的关系 题型一离散型随机变量的方差 例1 求 1 dx 2 设y 2x 1 求dy 已知随机变量x的分布列是 1 由分布列可知 ex 0 0 2 1 0 2 2 0 3 3 0 2 4 0 1 1 8 dx 0 1 8 2 0 2 1 1 8 2 0 2 2 1 8 2 0 3 3 1 8 2 0 2 4 1 8 2 0 1 1 56 思路探索 解 e 2x 1 2ex 1 2 6 d 2x 1 1 2 6 2 0 2 1 2 6 2 0 2 3 2 6 2 0 3 5 2 6 2 0 2 7 2 6 2 0 1 6 24 dx 1 56 d 2x 1 4dx 6 24 2 法一 随机变量y 2x 1的分布列为 法二 求随机变量的方差一般有如下方法 1 列出随机变量的分布列 求出均值 利用方差的定义求解 2 借助方差的性质求解 3 对于特殊的分布列 可直接利用公式求解 规律方法 求 1 ex dx 2 设y 2x 3 求ey dy 训练1 已知x的分布列为 设某运动员投篮投中的概率为p 0 6 1 求一次投篮时投中次数 的期望和方差 2 求重复5次投篮时投中次数 的期望和方差 1 投篮一次有两个结果 命中与不中 因此命中次数 服从两点分布 2 重复5次投篮可认为是5次独立重复试验 命中次数 服从二项分布 题型二两点分布与二项分布的方差 例2 思路探索 所以e p 0 6 d p 1 p 0 24 2 由题设 b 5 0 6 e np 5 0 6 3 d npq 5 0 6 0 4 1 2 解 1 服从两点分布 求离散型随机变量的期望与方差有以下两个关键环节 1 写出离散型随机变量的分布列 2 正确应用期望与方差公式进行计算 规律方法 题型三均值与方差的应用 均值和方差是随机变量的两个重要特征 在日常生活中常有体现 在实际问题中 仅靠均值还不能完全说明随机变量的分布特征 还必须研究其偏离平均值的离散程度 才能得出相关结论 审题指导 解题流程 离散型随机变量的期望与方差的计算是高考的热点问题 题目以应用题为背景 全面考查概率 期望 方差等重点内容 解题的关键是确定概率类型及随机变量的取值 准确求出相关的概率值 题后反思 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相等 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 训练3 试评定这两个保护区的管理水平 甲保护区违规次数x的数学期望和方差为ex 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 dx 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 乙保护区的违规次数y的数学期望和方差为 ey 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 dy 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 因为ex ey dx dy 所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动 乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定 解 误区警示忽略分布列的性质而致错 当分布列中的概率值是待定常数时 应先求出这些待定常数