高考数学一轮复习 第十二章 第2讲 用样本估计总体课件 理 苏教版 .ppt

考点梳理 1 通常我们对总体作出的估计一般分成两种 一种是用样本的频率分布估计总体的分布 另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征 2 在频率分布直方图中 纵轴表示 数据落在各小组内的频率用 表示 各小长方形的面积总和等于 第2讲用样本估计总体 1 频率分布直方图与茎叶图 各小长方形的面积 1 3 频率分布直方图的作法步骤 求全距 决定组数和组距 组距 分组 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 统计频数 计算频率 列出频率分布表 画出频率分布直方图 4 将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的 顺次连结起来 就得到频率分布折线图 随着 的增加 作图时所分的 增加 组距减小 相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线 统计中称之为总体分布的密度曲线 它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比 中点 样本容量 组数 5 茎叶图不仅能够保留原始数据 而且能够展示数据的分布情况 茎是指中间一列数 叶就是从茎的旁边生长出来的数 在样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 1 众数 中位数 平均数众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 一个复习指导频率分布直方图 均值与方差 茎叶图是核心考点 需要好好掌握 解决频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目 关键是弄清图表中有关量的含义 并从中提炼出有用的信息 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积相等 由此可以估计中位数值 2 平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和 3 众数 最高的矩形的中点的横坐标 助学 微博 1 2011 江苏卷 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10 6 8 5 6 则该组数据的方差s2 答案3 2 考点自测 2 2012 盐城期末考试 某校举行2011年元旦汇演 七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图所示 则去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值为 答案85 3 2013 湖州模拟 一个容量为20的样本 数据的分组及各组的频数如下 10 20 2 20 30 3 30 40 x 40 50 5 50 60 4 60 70 2 则x 根据样本的频率分布估计 数据落在 10 50 的概率约为 答案40 7 4 2012 南通调研 某教师出了一份三道题的测试卷 每道题1分 全班得3分 2分 1分和0分的学生所占比例分别为30 50 10 和10 则全班学生的平均分为 分 答案2 5 2013 南京模拟 某校为了了解高三男生的身体状况 检测了全部480名高三男生的体重 单位 kg 所得数据都在区间 50 75 中 其频率分布直方图如图所示 若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 2 3 则体重小于60kg的高三男生人数为 解析由图可知 前三组的频率之和为1 0 0125 0 0375 5 0 75 由题意 设前3组的频率分别为x 2x 3x 则x 2x 3x 6x 0 75 即x 0 125 所以体重小于60kg的人数为3 0 125 480 180 答案180 例1 某中学高一女生共有450人 为了了解高一女生的身高情况 随机抽取部分高一女生测量身高 所得数据整理后列出频率分布表如下 1 求出表中字母m n m n所对应的数值 2 在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图 考向一频率分布直方图的绘制与应用 3 估计该校高一女生身高在149 5 165 5cm范围内有多少人 3 该所学校高一女生身高在149 5 165 5cm之间的比例为0 12 0 28 0 20 0 16 0 76 则该校高一女生在此范围内的人数为450 0 76 342 人 方法总结 用频率分布直方图解决相关问题时 应正确理解图表中各个量的意义 识图掌握信息是解决该类问题的关键 频率分布直方图有以下几个要点 1 纵轴表示频率 组距 2 频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比 3 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率 所有的小矩形的面积之和等于1 即频率之和为1 训练1 从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中抽取一个样本 考察竞赛的成绩分布 将样本分成5组 绘成频率分布直方图 如图 图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1 3 6 4 2 最右边一组的频数是6 请结合频率分布直方图提供的信息 解答下列问题 1 样本的容量是多少 2 列出频率分布表 3 成绩落在哪个范围内的人数最多 并求该小组的频数 频率 4 估计这次竞赛中 成绩不低于60 5分的学生占总人数的百分比 2 由以上得频率分布表如下 例2 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种a 将其与原有的一个优良品种b进行对照试验 两种小麦各种植了25亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 品种a 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 412 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 445 451 454品种b 363 371 374 383 385 386 391 392 394 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 1 作出数据的茎叶图 2 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 考向二茎叶图的应用 3 通过观察茎叶图 对品种a与b的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 解 1 如下图 2 由于每个品种的数据都只有25个 样本不大 画茎叶图很方便 此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况 便于比较 没有任何信息损失 而且还可以随时记录新的数据 3 通过观察茎叶图可以看出 品种a的亩产平均数 或均值 比品种b高 品种a的亩产标准差 或方差 比品种b大 故品种a的亩产稳定性较差 方法总结 1 茎叶图的优点是保留了原始数据 便于记录及表示 能反映数据在各段上的分布情况 2 茎叶图不能直接反映总体的分布情况 这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征 进一步估计总体情况 训练2 在一项大西瓜品种的实验中 共收获甲种大西瓜13个 乙种大西瓜11个 并把这些大西瓜的重量 单位 斤 1斤 500克 制成了茎叶图 如图所示 据此茎叶图写出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是 1 2 解析从这个茎叶图可以看出 甲种大西瓜的重量大致对称 平均重量 众数及中位数都是30多斤 乙种大西瓜的重量除了一个51斤外 也大致对称 平均重量 众数及中位数都是20多斤 但甲种大西瓜的产量比乙种稳定 总体情况比乙好 答案 1 甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜 2 甲种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定 例3 甲乙二人参加某体育项目训练 近期的五次测试成绩得分情况如图 1 分别求出两人得分的平均数与方差 2 根据图和上面算得的结果 对两人的训练成绩作出评价 考向三用样本的数字特征估计总体的数字特征 方法总结 1 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明的描述 它们所反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述其波动大小 甲 8 6 7 8 6 5 9 10 4 7 乙 6 7 7 8 6 7 8 7 9 5 1 分别计算两组数据的平均数 2 分别计算两组数据的方差 3 根据计算结果 估计一下两名战士的射击水平谁更好一些 训练3 2013 宁波模拟 甲 乙两名战士在相同条件下各射靶10次 每次命中的环数分别是 抽样方法 直方图 茎叶图与概率的交汇问题 准确提取直方图 茎叶图中的信息是解此类题的关键 借助这些数据结合独立事件 互斥事件可设计概率 分布列问题 高考在此结合点处命题有加强的趋势 热点突破32统计与概率的综合问题 示例 2011 北京卷 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以x表示 1 如果x 8 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 2 如果x 9 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数为19的概率 审题与转化 第一步 本题考查了统计中的茎叶图知识和平均数 方差的计算及概率的计算 第二步 1 从茎叶图中提取数据 利用平均数 方差公式计算 2 利用列举法求古典概型概率 2 记甲组四名同学为a1 a2 a3 a4 他们植树的棵数依次为9 9 11 11 乙组四名同学为b1 b2 b3 b4 他们植树的棵数依次为9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 所有可能的结果有16个 它们是 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b4 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a2 b4 a3 b1 a3 b2 a3 b3 a3 b4 a4 b1 a4 b2 a4 b3 a4 b4 反思与回顾 第四步 茎叶图是一个将数据分成主 次两部分 把主要部分当做茎 次要部分当作叶表达数据的一个图 它是一种常用的统计图 因此考题常将茎叶图作为载体来考查平均数 方差以及概率问题 1 2010 江苏卷 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 从中随机抽取了100根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标 所得数据都在区间 5 40 中 其频率分布直方图如图所 高考经典题组训练 示 则其抽样的100根中 有 根棉花纤维的长度小于20mm 解析由图可知频率为 0 01 0 01 0 04 5 0 3 有0 3 100 30 根 答案30 2 2011 浙江卷 某中学为了解学生数学课程的学习情况 在3000名学生中随机抽取200名 并统计这200名学生的某次数学考试成绩 得到了样本的频率分布直方图 如图 根据频率分布直方图推测 这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 解析根据样本的频率分布直方图 成绩小于60分的学生的频率为0 02 0 06 0 12 0 20 所以可推测3000名学生中成绩小于60分的人数为600名 答案600 3 2009 江苏卷 某校甲 乙两个班级各有5名编号为1 2 3 4 5的学生进行投篮练习 每人投10次 投中的次数如下表 则以上两组数据的方差中较小的一个为s2 4 2010 天津卷 甲 乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如