高考数学一轮复习 第十四章 第5讲 数学归纳法课件 理 苏教版 .ppt

第5讲数学归纳法 考点梳理 1 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n 时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法 2 数学归纳法的基本形式 设p n 是关于自然数n的命题 若p n0 成立 奠基 假设p k 成立 k n0 可以推出p k 1 成立 归纳 则p n 对一切大于等于n0的自然数n都成立 k 1 一个命题趋势预计在2014年高考中 数学归纳法可能会与数列 不等式等内容相结合考查 与数列相结合的题目 一般会采取 归纳 猜想 证明 的命题思路 以解答题的形式出现 难度较大 为中高档题 助学 微博 解析边数最少的凸n边形是三角形 答案3 考点自测 答案2k 答案1 a a2 4 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得下列成立的说法是 n 6时该命题不成立 n 6时该命题成立 n 4时该命题不成立 n 4时该命题成立 解析法一由n k k n 成立 可推得当n k 1时该命题也成立 因而若n 4成立 必有n 5成立 现知n 5不成立 所以n 4一定不成立 法二其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 答案 考向一数学归纳法的原理 方法总结 数学归纳法证题的两个步骤缺一不可 证明n k 1成立时 必须用n k成立的结论 用数学归纳法证题的过程可以总结为 两个步骤一个结论 用数学归纳法证明等式时其过程也是 两个步骤一个结论 训练1 2011 南通调研 用数学归纳法证明 例2 2010 江苏卷 已知 abc的三边是有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 n n 考向二数学归纳法的应用 假设当n k k 1 时 coska和sina sinka都是有理数 当n k 1时 由cos k 1 a cosa coska sina sinka sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 及 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是有理数 即当n k 1时 结论成立 综合 可知 对任意正整数n cosna是有理数 方法总结 数学归纳法适用于证明与正整数有关命题的一种常见方法 常用数学归纳法可以证明 恒等式 不等式 数的整除性 几何中计算问题 数列的通项与求和等 证明过程可以用综合法 也可以用分析法或其他方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有 放缩法 基本不等式法 作差比较法等 例3 设数列 an 的前n项和为sn 且方程x2 anx an 0有一根为sn 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 猜想数列 sn 的通项公式 并给出严格的证明 考向三归纳 猜想与证明 方法总结 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再利用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 因此要务必保持猜想的正确性 同时要注意数学归纳法步骤的书写 训练3 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题时 常以数列与不等式的综合为主线 同时考查数列递推关系 不等式证明 不等式性质等 在证明时 比较法 放缩法 分析法 反证法等证明不等式的方法在此都可使用 有时还要考虑与原不等式等价的命题 热点突破36数学归纳法证明不等式问题 示例 2012 大纲全国卷改编 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 设bn xn 3 求数列 bn 的通项公式 反思与回顾 第三步 本题考查了数列的通项公式 研究函数与数列相结合的综合运用 既考查了直线方程 又考查了函数解析式 以及不等式的证明 试题比较综合 有一定的难度 做这类试题就