高考数学二轮复习 阶段提升突破练（四） 理 新人教A版.doc

阶段提升突破练(四)(立体几何)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()a.mlb.mnc.nld.mn【解题导引】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选c.由题意知，=l，所以l，因为n，所以nl.2.(2017长沙二模)如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为()a.b.c.d.2【解析】选a.由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中的三棱锥c1-bde，其中点e是cd中点，bde面积s=1，三棱锥c1-bde的高h=cc1=2，所以该四面体的体积：v=sh=.3.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()a.10b.12c.14d.16【解题导引】主要考查如何将三视图转化为几何体问题，突出考查考生的空间想象能力.【解析】选b.由三视图可画出立体图，该立体图各面中只有两个相同的梯形的面，s梯=22=6，s全梯=62=12.【加固练习】(2017黄冈模拟)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是()a.13b.16c.25d.27【解析】选c.几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，所以长方体底面边长为2，则长方体外接球半径为r，则2r=5，所以r=，所以长方体外接球的表面积s=4r2=25.4.(2017合肥二模)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有()a.0条b.1条c.2条d.1条或2条【解析】选c.如图所示，四边形efgh为平行四边形，则efgh，因为ef平面bcd，gh平面bcd，所以ef平面bcd，因为ef平面acd，平面bcd平面acd=cd，所以efcd，所以cd平面efgh，同理ab平面efgh.5.(2017昆明一模)如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2，bc=1，bb1=1，点p是ab的中点，则异面直线bc1与pd所成角等于()a.30b.45c.60d.90【解题导引】根据题意，取cd的中点q，连接bq，c1q，得出bqpd，c1bq是异面直线bc1与pd所成角(或其补角)，利用等边三角形求出c1bq的值即可.【解析】选c.长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2，bc=1，bb1=1，取cd的中点q，连接bq，c1q，因为点p是ab的中点，所以bqpd，所以c1bq是异面直线bc1与pd所成角(或其补角)，如图所示：在c1bq中，c1b=bq=c1q=，所以c1bq=60，即异面直线bc1与pd所成角等于60.6.(2017全国卷)在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为棱cd的中点，则()a.a1edc1b.a1ebdc.a1ebc1d.a1eac【解析】选c.以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2，则a1(2，0，2)，e(0，1，0)，b(2，2，0)，d(0，0，0)，c1(0，2，2)，a(2，0，0)，c(0，2，0)，=(-2，1，-2)，=(0，2，2)，=(-2，-2，0)，=(-2，0，2)，=(-2，2，0)，因为=-2，=2，=0，=6，所以a1ebc1.7.(2017洛阳二模)一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形.其中正确的结论是()a.(1)(3)b.(2)(4)c.(2)(3)(4)d.(1)(2)(3)(4)【解析】选b.正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.三角形截面不过正方体的中心，故(1)不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故(2)正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故(3)不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故(4)正确.8.如图所示，abcd-a1b1c1d1是棱长为6的正方体，e，f分别是棱ab，bc上的动点，且ae=bf.当a1，e，f，c1共面时，平面a1de与平面c1df所成锐二面角的余弦值为()a.b.c.d.【解析】选b.以点d为原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，a1(6，0，6)，d(0，0，0)，c1(0，6，6)，由题意知：当e(6，3，0)，f(3，6，0)时，a1，e，f，c1共面，设平面a1de的法向量为n=(a，b，c)，=(6，0，6)，=(6，3，0)，则取a=1，得n=(1，-2，-1)，设平面c1df的一个法向量为m=(x，y，z)，=(0，6，6)，=(3，6，0)，则取x=2，得m=(2，-1，1)，设平面a1de与平面c1df所成锐二面角为，则cos=，所以平面a1de与平面c1df所成锐二面角的余弦值为.二、填空题(每小题5分，共20分)9.(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_.【解析】由三视图可知长方体的体积为v1=211=2，两个四分之一圆柱的体积之和为v2=1212=，所以该几何体的体积为v=2+.答案：2+【加固训练】(2017大庆二模)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_.【解析】由三视图可知：该几何体为三棱锥p-abc，其中底面是底边与底边上的高都为2的等腰三角形abc，侧面pac底面abc，高为2.所以这个几何体的体积v=222=.答案：10.(2017全国卷)已知三棱锥s-abc的所有顶点都在球o的球面上，sc是球o的直径.若平面sca平面scb，sa=ac，sb=bc，三棱锥s-abc的体积为9，则球o的表面积为_.【解析】取sc的中点o，连接oa，ob，因为sa=ac，sb=bc，所以oasc，obsc.因为平面sac平面sbc，所以oa平面sbc.设oa=r，va-sbc=ssbcoa=2rrr=r3，所以r3=9r=3，所以球的表面积为4r2=36.答案：3611.(2017本溪二模)已知a，b表示两条不同直线，表示三个不同平面，给出下列命题：若=a，b，ab，则；若a，a垂直于内的任意一条直线，则；若，=a，=b，则ab；若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面内的无数条直线；若a，a，则.上述五个命题中，正确命题的序号是_.【解析】对于，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于同一平面内两条相交的直线，故ab，a不一定垂直平面，故不正确，对于，a，a垂直于内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a，又a，则，故正确，对于，=a，=b，则ab或ab，或相交，故不正确，对于，若a不垂直于平面，则a可能垂直于平面内的无数条直线，故不正确，对于，根据线面垂直的性质，若a，a，则，故正确.答案：12.如图，pa平面abc，acbc，pa=ac=1，bc=，则二面角a-pb-c的余弦值大小为_.【解析】以点c为原点，ca为x轴，cb为y轴建立空间直角坐标系.因为a(1，0，0)，b(0，0)，c(0，0，0)，p(1，0，1)，所以=(0，0，1)，=(-1，-1)，=(0，0)，设平面apb的法向量为n1=(x1，y1，z1)，平面pbc的法向量为n2=(x2，y2，z2)，则所以可取n1=(2，0)，n2=(-1，0，1)，所以cos=-，所以二面角a-pb-c的余弦值为.答案：三、解答题(每小题10分，共40分)13. (2017江苏高考)如图，在三棱锥a-bcd中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别在棱ad，bd上，且efad.求证：(1)ef平面abc.(2)adac.【解题导引】(1)利用abef及线面平行判定定理可得结论.(2)利用面面垂直的性质得bcad，又abad，从而得到ad平面abc，即可得adac.【证明】(1)在平面abd内，因为abad，efad，所以efab.又因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.(2)因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcd=bd，bc平面bcd，bcbd，所以bc平面abd.因为ad平面abd，所以bcad.又因为abad，bcab=b，ab平面abc，bc平面abc，所以ad平面abc，又因为ac平面abc，所以adac.14.如图，在四棱锥p-abcd中，pc底面abcd，四边形abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2，e是pb的中点.(1)求证：平面eac平面pbc.(2)若二面角p-ac-e的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值.【解析】(1)因为pc平面abcd，ac平面abcd，所以acpc，因为ab=2，ad=cd=1，adc=90，所以ac=bc=，所以ac2+bc2=ab2，所以acbc.又因为bcpc=c，所以ac平面pbc，因为ac平面eac，所以平面eac平面pbc.(2)如图，以c为原点建立空间直角坐标系，则c(0，0，0)，a(1，1，0)，b(1，-1，0).设p(0，0，a)(a0)，则e，=(1，1，0)，=(0，0，a)，=，取m=(1，-1，0)，则m=m=0，m为平面pac的一个法向量.设n=(x，y，z)为平面eac的一个法向量，则n=n=0，即取x=a，y=-a，z=-2，则n=(a，-a，-2)，依题意，|cos|=，则a=1.于是n=(1，-1，-2)，=(1，1，-1).设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos|=，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为.【加固训练】1.如图，在三棱锥s-abc中，平面sab平面sbc，abbc，as=ab.过点a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点.求证：(1)平面efg平面abc.(2)bcsa.【证明】(1)因为as=ab，afsb，垂足为f，所以点f是sb的中点.又因为点e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又因为efeg=e，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又因为af平面sab，afsb，所以af平面sbc.因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afab=a，af平面sab，ab平面sab，所以bc平面sab.因为sa平面sab，所以bcsa.2.如图所示，已知pa平面abcd，abcd是矩形，pa=ad，m，n分别为ab，pc的中点，求证：(1)mn平面pad.(2)平面pmc平面pdc.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，设pa=ad=a，ab=b.(1)易知为平面pad的一个法向量，=(b，0，0).又因为=，所以=0，所以.又因为mn平面pad，所以mn平面pad.(2)由(1)知p(0，0，a)，c(b，a，0)，m，d(0，a，0)，所以=(b，a，-a)，=，=(0，a，-a)，设平面pmc的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，由即所以令z1=b，则n1=(2a，-b，b)，设平面pdc的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，则即解得令z2=1，则n2=(0，1，1)，由于n1n2=0-b+b=0，所以n1n2，所以平面pmc平面pdc.15.如图，在四棱锥a-efcb中，aef为等边三角形，平面aef平面efcb，efbc，bc=4，ef=2a，ebc=fcb=60，o为ef的中点.(1)求证：aobe.(2)求二面角f-ae-b的余弦值.【解题导引】(1)要证aoeb，只需证明ao平面ebcf.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角余弦值.【解析】(1)因为aef是等边三角形，o为ef的中点，所以aoef.又因为平面aef平面efcb，交线ef，ao平面aef，所以ao平面ebcf.因为be平面ebcf，所以aobe.(2)取bc的中点d，连接od.如图分别以oe，od，oa为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0，0，a)，e(a，0，0)，b(2，2-a，0)，=(a，0，-a)，=(2，2-a，-a)，设平面abe的法向量n1=(x，y，z)，则令z=1，得所以n1=(，-1，1).平面aef的法向量n2=(0，1，0).所以cos=-.因为二面角f-ae-b为钝二面角，所以余弦值为-.16.如图(1)，在等腰梯形cdef中，cb，da是梯形的高，ae=bf=2，ab=2，现将梯形沿cb，da折起，使efab且ef=2ab，得一简单组合体abcdef如图(2)所示，已知m，n分别为af，bd的中点. (1)求证：mn平面bcf.(2)若直线de与平面abfe所成角的正切值为，则求平面cdef与平面ade所成的锐二面角大小.【解析】(1)连接ac，因为四边形abcd是矩形，n为bd中点，所以n为ac中点.在acf中，m为af中点，故mncf.因为cf平面bcf，mn平面bcf，所以mn平面bcf.(2)依题意知daab，daae且aba