高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理学案 苏教版选修5.doc

1.2第一课时余弦定理预习课本p1316，思考并完成以下问题 (1)什么是余弦定理？ (2)余弦定理有哪些变形？ 1余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c.点睛注意公式中边角的对应，注意公式中加减号2余弦定理的变形：cos a，cos b，cos c.1在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a2，c3，b60.则b_.解析：由余弦定理可得b2a2c22accos b492237，所以b.答案：2在abc中，若ab1，c，则角c_.解析：由cos c得cos c，所以c.答案：3在abc中，已知2absin ca2b2c2，则c_.解析：由2absin ca2b2c2得2sin c，由余弦定理cos c，所以sin ccos c，即tan c，在abc中，0cbc，a最大cos a.又0a180，a120.(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理，求解时要注意“大边对大角、大角对 大边”(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求角活学活用1在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a1，b，c，则b_.解析：由余弦定理得cos b.又0b0)由余弦定理的变形得，cos a.a45.答案：45已知两边及一角解三角形典例在abc中，已知a，b，b45，解此三角形解法一：由余弦定理知b2a2c22accos b23c22c.即c2c10.解得c或c，当c时，由余弦定理得 cos a.0a180，a60，c75.当c时，由余弦定理得cos a.0ab，ab，a60或120.当a60时，得c75.由余弦定理得c2a2b22abcos c3222，c.或用正弦定理求边c，由得c.当a120时，得c15，同理可求c，故a60，c75，c，或a120，c15，c.已知两边及一角解三角形的方法及注意事项(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题 活学活用1在abc中，已知a8，b7，b60，则c_.解析：由余弦定理，有b2a2c22accos b，即7282c216ccos 60.即c28c150.解得c3或c5.答案：3或52在abc中，b，ab，bc3，则sin a_.解析：由余弦定理可得ac292235，所以ac.再由正弦定理得，所以sin a.答案：余弦定理在边角转化中的作用题点一：利用余弦定理实现角化边1在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，已知bcos cccos b2b，则_.解析：由余弦定理得bcos cccos bbca，所以a2b，即2.答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2在abc中，若lg(ac)lg(ac)lg blg，则a_.解析：由题意可知lg(ac)(ac)lg b(bc)，所以(ac)(ac)b(bc)即b2c2a2bc.所以cos a.又0abc，c为最小角，由余弦定理得cos c，c.答案：5已知在abc中，b2ac且c2a，则cos b_.解析：b2ac，c2a，b22a2，cos b.答案：6若abc的三个内角满足sin asin bsin c51113，则abc的形状是_解析：在abc中，sin asin bsin c51113，abc51113，故令a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos cb2c2，则abc为钝角三角形；若a2b2c2bc，则a为120；若a2b2c2，则abc为锐角三角形其中正确的为_(填序号)解析：中，a2b2c2可推出cos ac2可推出c为锐角，但abc不一定为锐角三角形；所以正确，错误答案：9在abc中，a，b，c分别为a，b，c的对边，b，b，ac4，求边 长a.解：由余弦定理得，b2a2c22accos ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又因为ac4，b，所以ac3，联立解得a1，c3，或a3，c1.所以a等于1或3.10在abc中，已知a5，b3，角c的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边长c.解：5x27x60可化为(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去)cos c.根据余弦定理，c2a2b22abcos c523225316.c4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1已知a，b，c为abc的三边长，若满足(abc)(abc)3ab，则角c的大小为_解析：(abc)(abc)3ab，a2b2c2ab，即，cos c，c60.答案：602在abc中，边a，b的长是方程x25x20的两个根，c60，则边c的长为_解析：由题意，得ab5，ab2.由余弦定理，得c2a2b22abcos ca2b2ab(ab)23ab523219，c.答案：3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是_解析：设边长为7的边所对角为，根据大边对大角，可得cos ，60，18060120，最大角与最小角之和为120.答案：1204在abc中，ab3，bc，ac4，则ac边上的高为_解析：由余弦定理，可得cos a，所以sin a.则ac边上的高habsin a3.答案：5若abc的内角a，b，c所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且c60，则ab的值为_解析：依题意得两式相减得ab.答案：6设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin a5sin b，则角c_.解析：由3sin a5sin b可得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t0)，则b3t，c7t，可得cos c，故c.答案：7在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知c2，acos bbcos a.(1)求bcos a的值；(2)若a4，求abc的面积解：(1)acos bbcos a，根据余弦定理得，ab，2a22b27c，又c2，a2b27，bcos a.(2)由acos bbcos a及bcos a，得acos b.又a4，cos b，sin b，sabcacsin b.8在abc中，bc，ac3，sin c2sin a.(1)求边ab的长；(2)求sin的值解：(1)在abc中，根据正弦定理，得，即absin c2bc2.(2)在abc中，根据余弦定理，得cos a.于是sin a.从而sin 2a2sin acos a，cos 2acos2asin2a.故sinsin 2acoscos 2asin.第二课时余弦定理的应用(习题课)利用余弦定理解决实际问题典例地平面上有一旗杆op，为了测量它的高度，在地平面上取一基线ab40 m，在a处测得p点的仰角oap30，在b处测得p点的仰角obp45，又测得aob60，求旗杆的高度(精确到0.1 m)解如图所示，设opx m，在aop中，poa90，oap30，aox.在bop中，pob90，obp45，box.在aob中，aob60，ab40，ab2ao2bo22aobocosaob，即1 6003x2x22xx，x2，x40 26.6(m)因此旗杆高约为26.6 m.利用余弦定理解决实际问题时，关键是根据所求问题将已知量置于可解三角形内，通过解三角形解决 活学活用1海上一观测站测得方位角240的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里此时海盗船距观测站10海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过_分钟，海盗船到达商船解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于a，b，c处，20分钟后，海盗船到达d处，在adc中，ac10，ad20，cd30，由余弦定理得cosadc.adc60.在abd中，由已知得abd30，bad603030，bdad20，60(分钟)答案：2如图所示，位于东海某岛的雷达观测站a，发现其北偏东45，与观测站a距离20海里的b处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站a东偏北(045)的c处，且cos .已知a，c两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为 cos ，045，所以sin ，cos(45)，在abc中，bc280010022010340，所以bc2，该货船的船速为4海里/小时答案：4利用余弦定理解决几何问题典例在abc中，bc5，ac4，coscad，且adbd，求abc的面积解设cdx，则adbd5x，在cad中，由余弦定理，得cos cad.解得x1.在cad中，由正弦定理，得，sin c4，scabacbcsin c45.故三角形abc的面积为.解三角形广泛应用于解各种平面图形，解题时可将问题纳入三角形中去解决，理清已知条件与待求问题，再根据正、余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求活学活用已知梯形abcd的上底ad长为1 cm，下底bc长为4 cm，对角线ac长为4 cm，bd长为3 cm，求cos dbc及梯形abcd的面积解：过d作deac交bc的延长线于e，则在dbe中，deac4，be5，所以，由余弦定理得cosdbc.因为0dbcsin2bsin2c，则abc的形状为_解析由题意得sin2asin2bsin2c，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20.cos a0，a为钝角，即三角形为钝角三角形答案钝角三角形一题多变1变条件本例的条件变为：若2sin acos bsin c，则abc的形状为_解析：法一：由已知得2sin acos bsin csin (ab)sin acos bcos asin b，即sin (ab)0，因为ab，所以ab，即abc是等腰三角形法二：由正弦定理得2acos bc，再由余弦定理得2aca2b2ab.即abc是等腰三角形答案：等腰三角形2变条件本例的条件变为：若2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c且sin bsin c1，试判断abc的形状解：由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，所以cos a，sin a，则sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，所以sin bsin c，所以sin bsin c.因为0b，0cbc，a2b2c2，则角a的取值范围是_解析：因为a20，所以a为锐角，又因为abc，所以a为最大角，所以角a的取值范围是.答案：2在abc中，_.解析：原式.答案：3已知a，b两地的距离为10 km，b，c两地的距离为20 km，经测量，abc120，则a，c两地的距离为_ km.解析：ac210220221020cos 120，ac10.答案：104在abc中，sin 2asin2bsin2csin bsin c，则a的取值范围是_解析：由题意，根据正弦定理，得a2b2c2bcb2c2a2bc1cos a00，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形答案：锐角三角形6在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，c，则abc的面积是_解析：由c2(ab)26可得a2b2c22ab6.由余弦定理及c可得a2b2c2ab. 所以由得2ab6ab，即ab6.所以sabcabsin6.答案：7.如图所示，在abc中，已知bc15，abac78，sin b，求bc边上的高ad的长解：在abc中，由已知设ab7x，ac8x，由正弦定理，得，sin c.c60(c120舍去，由8x7x，知b也为钝角，不符合要求)由余弦定理得(7x)2(8x)215228x15cos 60，x28x150.x3或x5，ab21或ab35.在abd中，adabsin bab，ad12或ad20.8已