高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法实战演练 理.doc

2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法实战演练 理1(2015陕西卷)设fn(x)是等比数列1，x，x2，xn的各项和，其中x0，nn，n2.设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明解析：由题设，fn(x)1xx2xn，gn(x)，x0.当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)；当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)那么，当nk1时，fk1(x)fk(x)xk1gk(x)xk1xk1.又gk1(x)，令hk(x)kxk1(k1)xk1(x0)，则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时，hk(x)0，hk(x)在(0,1)上递减；当x1时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增所以hk(x)hk(1)0，从而gk1(x).故fk1(x)gk1(x)，即nk1时不等式也成立由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)gn(x)2(2017安徽模拟)如图，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线c：y23x(y0)上的n个点，点ai(ai,0)(i0,1,2，n)在x轴的正半轴上，且ai1aipi是正三角形(a0是坐标原点)(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点an(an,0)(nn*)的横坐标an关于n的表达式并证明解析：(1)依题意得：x1，y1，y3x1，解得a12，同理可得a26，a312.(2)依题意，得xn，yn，又y3xn，所以2(anan1)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nn*)下面用数学归纳法予以证明：当n1时，命题显然成立：假定当nk时命题成立，即有akk(k1)，则当nk1时，由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)，得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即a2(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解得ak1(k1)(k2)(ak1k(k1)ak不合题意，舍去)，即当nk1时成立由知，猜想成立，ann(n1)(nn*)3(2017重庆模拟)已知数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析：(1)由已知有：an122，所以2，即bn14bn2，bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.当n1时，a2ca1，命题成立；设当nk时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1，不等式成立故由知当c2时，anan1.当c2时，令，由anan1c得an.当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)，an1(1)当nlog3时，an13，an13.因此c不符合要求所以c的取值范围是.4(2014重庆卷)设a11，an1b(nn*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nn*成立？证明你的结论解析：(1)a22，a31，可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立综上可知，an1(nn*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，