高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第五节数列的求和精讲课件 文.ppt

第五节数列的求和 第五章 例1 求和 1 sn 1 11 111 2 sn 3 求数列1 3 4 5 6 7 7 8 9 10 的前n项和sn 分组后 可用公式求和 思路点拨 通过分组 直接用公式求和 自主解答 解析 1 ak 11 1 1 10 102 10k 1 10k 1 k个1 sn 10 1 102 1 10n 1 10 102 10n n 当x 1时 当x 1时 sn 4n 3 ak 2k 1 2k 2k 1 2k 1 k 1 sn a1 a2 an 点评 通过对原数列通项结构特点的分析研究 将数列分解为若干个能求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 使用这种方法的关键是对通项的合理分解变形 1 求和 sn 变式探究 错位相减法求和 例2 2013 惠州第三次调研 已知向量p an 2n q 2n 1 an 1 n n 向量p与q垂直 且a1 1 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn log2an 1 求数列 anbn 的前n项和sn 思路点拨 1 由向量p与q垂直 得2nan 1 2n 1an an 是以1为首项 2为公比的等比数列 利用等比数列的通项公式可求an 2 由an bn n 2n 1 则sn 1 2 2 3 22 n 1 2n 2 n 2n 1 利用错位相减法可求其和 自主解答 解析 1 因为向量p与q垂直 所以2nan 1 2n 1an 0 即2nan 1 2n 1an 所以 2 所以 an 是以1为首项 2为公比的等比数列 所以an 2n 1 2 因为bn log2an 1 所以bn n 所以an bn n 2n 1 所以sn 1 2 2 3 22 n 1 2n 2 n 2n 1 所以2sn 1 2 2 22 n 1 2n 1 n 2n 点评 1 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 就使用错位相减法求数列 an bn 的前n项和 2 错位相减 的本质是 指数相同的两式相减 因此在写出 sn 和 qsn 的表达式后 将两式 指数相同的两项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 由 得 sn 1 2 22 2n 1 n 2n 2 n 2n 1 1 n 2n 1 所以sn 1 n 1 2n 变式探究 2 2012 武汉武昌区调研改编 已知数列 an 满足a1 2 an 1 3an 3n 1 2n n n 1 设bn 证明 数列 bn 为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 求数列 an 的前n项和sn 1 证明 bn 1 bn bn 为等差数列 又b1 0 bn n 1 an n 1 3n 2n 2 解析 设tn 0 31 1 32 n 1 3n 则3tn 0 32 1 33 n 1 3n 1 2tn 32 3n n 1 3n 1 例3 2013 四川内江市一模文改编 已知各项均不相等的等差数列 an 的前四项和为s4 14 且a1 a3 a7成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设tn为数列的前n项和 求证tn 裂项相消法求和 1 解析 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 a3 a7成等比数列 所以 a1 2d 2 a1 a1 6d 解得a1 2d 舍去d 0 因为s4 14 所以4a1 6d 14 所以d 1 a1 2 所以an n 1 n n 点评 裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项 使这些拆开的项出现有规律的相互抵消 没有抵消的项的代数和就是求和的结果 使用此法的关键 一是合理裂项 二是正确抵消 变式探究 3 2012 安徽江南十校联考 在等比数列 an 中 a1 0 n n 且a3 a2 8 又a1 a5的等比中项为16 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log4an 数列 bn 的前n项和为sn 是否存在正整数k 使得 k对任意n n 恒成立 若存在 求出正整数k的最小值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题知a3 16 又a3 a2 8 则a2 8 q 2 an 2n 1 存在这样的正整数k可取最小值3 倒序相加法求和 例4 若f x 对 x r都有f x f 1 x 1 求 n n 的值 2 若数列满足an f 0 f 1 求数列的通项公式 点评 等差数列求和公式的推导方法叫做倒序求和法 如果一个数列 an 满足a1 an a2 an 1 其前n项和sn就可以用倒序求和法求解 变式探究 4 函数y f x 的图象关于点对称 则f 5 f 4 f