湖北省孝感市高级中学高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若z=（a）+ai为纯虚数，其中ar，则=（）aib1cid12与极坐标（2，）不表示同一点的极坐标是（）a（2，）b（2，）c（2，）d（2，）3如图，abc是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点d，交bc于e，过点b的圆的切线与ad的延长线交于点f，在上述条件下，给出下列四个结论：bd平分cbf；fb2=fdfa；aece=bede；afbd=abbf所有正确结论的序号是（）abcd4已知命题p：“存在x01，+），使得（log23）1”，则下列说法正确的是（）ap是假命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”bp是真命题；p“不存在x01，+），使得（log23）1”cp是真命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”dp是假命题；p“任意x（，1），都有（log23）x1”5设f（x）是定义在整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）k2成立时，总可以推出f（k+1）（k+1）2成立”那么下列命题总成立的是（）a若f（3）9成立，则当k1时均有f（k）k2成立b若f（5）25成立，则当k5时均有f（k）k2成立c若f（7）49成立，则当k8时均有f（k）k2成立d若f（4）=25成立，则当k4时均有f（k）k2成立6已知下列四个命题：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）=2x2x，则xr，f（x）=f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）=1；p4：在abc中，若ab，则sinasinb其中真命题的个数是（）a1b2c3d47在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y21，x0，y0的点p（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）abcd8在一个正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc中点，点q为平面abcd内一点，线段d1q与op互相平分，则满足的实数的值有（）a0个b1个c2个d3个9一物体在力f（x）=3x22x+5（力单位：n，位移单位：m）作用下沿与力f（x）相同的方向由x=5m直线运动到x=10m所做的功是（）a925jb850jc825jd800j10在同一直角坐标系中，函数y=ax2x+与y=a2x32ax2+x+a（ar）的图象不可能的是（）abcd11已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），则第60个数对是（）a（10，1）b（2，10）c（5，7）d（7，5）12已知定义在r上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1x），f（1）=a，且当0x1时，f（x）的导函数f（x）满足：f（x）f（x），则f（x）在2015，2016上的最大值为（）aab0cad2016二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13如图，点d在o的弦ab上移动，ab=4，连接od，过点d作od的垂线交o于点c，则cd的最大值为14若不等式|x1|+|2x+2|a2+a+2对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为15在正四棱锥pabcd中，m，n分别为pa，pb的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线dm与an所成角的余弦值为16设函数f（x）=x2+axlnx（a1）若对任意的a（3，4）和任意的x1，x21，2，恒有m+ln2|f（x1）f（x2）|成立，则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e（）若d为ac的中点，证明：de是o的切线；（）若oa=ce，求acb的大小18已知函数f（x）=|x3|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，求实数a的取值范围19已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=4sin（）（1）求圆c的直角坐标方程；（2）若p（x，y）是直线l与圆面4sin（）的公共点，求x+y的取值范围20如图几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，bcd=120，cb=cd=ce=1，ab=ad=ae=，且ecbd（1）求证：平面bed平面aec；（2）m是棱ae的中点，求证：dm平面ebc；（3）求二面角dbmc的平面角的余弦值21设命题p：关于x的方程a2x2+ax2=0在1，1上有解，命题q：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围22已知函数f（x）=alnx，其中a为常数（）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（）（i）若函数g（x）=af（x）lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1x2），求证：x1+x23ea112015-2016学年湖北省孝感市高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若z=（a）+ai为纯虚数，其中ar，则=（）aib1cid1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数代数形式的运算法则求解【解答】解：z=（a）+ai为纯虚数，其中ar，=i故选：c2与极坐标（2，）不表示同一点的极坐标是（）a（2，）b（2，）c（2，）d（2，）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用极坐标的表示方法即可得出【解答】解：与极坐标（2，）不表示同一点的极坐标是故选：b3如图，abc是圆的内接三角形，bac的平分线交圆于点d，交bc于e，过点b的圆的切线与ad的延长线交于点f，在上述条件下，给出下列四个结论：bd平分cbf；fb2=fdfa；aece=bede；afbd=abbf所有正确结论的序号是（）abcd【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项【解答】解：圆周角dbc对应劣弧cd，圆周角dac对应劣弧cd，dbc=dac弦切角fbd对应劣弧bd，圆周角bad对应劣弧bd，fbd=bafad是bac的平分线，baf=dacdbc=fbd即bd平分cbf即结论正确又由fbd=fab，bfd=afb，得fbdfab由，fb2=fdfa即结论成立由，得afbd=abbf即结论成立正确结论有故答案为d4已知命题p：“存在x01，+），使得（log23）1”，则下列说法正确的是（）ap是假命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”bp是真命题；p“不存在x01，+），使得（log23）1”cp是真命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”dp是假命题；p“任意x（，1），都有（log23）x1”【考点】特称命题；命题的否定【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论【解答】解：命题p：“存在x01，+），使得（log23）1”，因为log231，所以（log23）1成立，故命题p为真命题，则p“任意x1，+），都有（log23）x1”故选：c5设f（x）是定义在整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）k2成立时，总可以推出f（k+1）（k+1）2成立”那么下列命题总成立的是（）a若f（3）9成立，则当k1时均有f（k）k2成立b若f（5）25成立，则当k5时均有f（k）k2成立c若f（7）49成立，则当k8时均有f（k）k2成立d若f（4）=25成立，则当k4时均有f（k）k2成立【考点】全称命题【分析】根据题意，对于定义域内任意整数k，由f（k）k2成立，则f（k+1）（k+1）2成立的含义是指条件成立时，结论一定成立，反之不一定成立【解答】解：根据题意，得；对于a，当k=1或2时，不一定有f（k）k2成立；对于b，不能得出：任意的k5时，有f（k）k2成立；对于c，若f（7）49成立，不能推出当k8时均有f（k）k2成立；对于d，f（4）=2516，对于任意的k4，均有f（k）k2成立故选：d6已知下列四个命题：p1：若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；p2：若f（x）=2x2x，则xr，f（x）=f（x）；p3：若，则x0（0，+），f（x0）=1；p4：在abc中，若ab，则sinasinb其中真命题的个数是（）a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面内两条相交的直线垂直，则l，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（x）=2x2x=f（x），故xr，f（x）=f（x），故正确；p3：若=x+1+11，且当x=0时，等号成立，故不存在x0（0，+），f（x0）=1，故错误；p4：在abc中，根据大边对大角可知，若ab，则ab，由正弦定理可知，sinasinb，故正确故选：b7在平面直角坐标系xoy中，满足x2+y21，x0，y0的点p（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）abcd【考点】类比推理【分析】类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论【解答】解：类似的，在空间直角坐标系oxyz中，满足x2+y2+z21，x0，y0，z0的点p（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：b8在一个正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc中点，点q为平面abcd内一点，线段d1q与op互相平分，则满足的实数的值有（）a0个b1个c2个d3个【考点】向量在几何中的应用【分析】根据题意可知，要满足线段d1q与op互相平分，必须当四边形d1pqo是平行四边形时，才满足题意，从而求得点p和点q位置，求出的值【解答】解：线段d1q与op互相平分，且，qmn，只有当四边形d1pqo是平行四边形时，才满足题意，此时有p为a1d1的中点，q与m重合，或p为c1d1的中点，q与n重合，此时=0或1故选c9一物体在力f（x）=3x22x+5（力单位：n，位移单位：m）作用下沿与力f（x）相同的方向由x=5m直线运动到x=10m所做的功是（）a925jb850jc825jd800j【考点】平面向量数量积的运算【分析】由功的意义转化为定积分来求即可【解答】解：由题意知，所作的功w=（3x22x+5）dx=（x3x2+5x）=950125=825故选：c10在同一直角坐标系中，函数y=ax2x+与y=a2x32ax2+x+a（ar）的图象不可能的是（）abcd【考点】函数的图象【分析】讨论a的值，当a=0时，知d可能，当a0时，求出函数ax2x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x32ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项【解答】解：当a=0时，函数y=ax2x+的图象是第二，四象限的角平分线，而函数y=a2x32ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故d符合要求；当a0时，函数y=ax2x+图象的对称轴方程为直线x=，由y=a2x32ax2+x+a可得：y=3a2x24ax+1，令y=0，则x1=，x2=，即x1=和x2=为函数y=a2x32ax2+x+a的两个极值点，对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，故a、c符合要求，b不符合，故选：b11已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），则第60个数对是（）a（10，1）b（2，10）c（5，7）d（7，5）【考点】归纳推理；进行简单的合情推理【分析】我们可以在平面直角坐标系中，将：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对【解答】解：我们在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如下图示：有（1，1）为第1项，（1，2）为第2项，（1，3）为第4项，（1，11）为第56项，因此第60项为（5，7）12已知定义在r上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1x），f（1）=a，且当0x1时，f（x）的导函数f（x）满足：f（x）f（x），则f（x）在2015，2016上的最大值为（）aab0cad2016【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的连续性【分析】求出函数的周期，结合函数在0x1时，f（x）递减，求出f（x）在2015，2016上的单调性，从而求出函数的最大值即可【解答】解：定义在r上的函数f（x）是奇函数，满足f（x）+f（x）=0，f（x）=f（x），f（x+1）=f（1x），f（x+2）=f（x+1）+1=f1（x+1）=f（x）=f（x），即f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2），f（x+4）=f（x），函数的周期为4，0x1时，f（x）的导函数f（x）满足：f（x）0，f（x）在（0，1）递减，即f（x）在2015，2016递减，f（x）在2015，2016上的最大值为f=f（45041）=f（1）=f（1），f（1）=a，f13如图，点d在o的弦ab上移动，ab=4，连接od，过点d作od的垂线交o于点c，则cd的最大值为2【考点】综合法与分析法(选修）【分析】由题意可得 cd2=oc2od2，故当半径oc最大且弦心距od最小时，cd取得最大值，故当ab为直径、且d为ab的中点时，cd取得最大值，为ab的一半【解答】解：由题意可得ocd为直角三角形，故有cd2=oc2od2，故当半径oc最大且弦心距od最小时，cd取得最大值故当ab为直径、且d为ab的中点时，cd取得最大值，为ab的一半，由于ab=4，故cd的最大值为2，故答案为214若不等式|x1|+|2x+2|a2+a+2对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为【考点】绝对值三角不等式【分析】|x1|+|2x+2|=，利用一次函数的单调性可得最小值为：2不等式|x1|+|2x+2|a2+a+2转化为：2a2+a+2，解出即可得出【解答】解：|x1|+|2x+2|=，可得最小值为：2不等式|x1|+|2x+2|a2+a+2转化为：2a2+a+2，解得实数a的取值范围是故答案为：15在正四棱锥pabcd中，m，n分别为pa，pb的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线dm与an所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】如图所示，建立空间直角坐标系设点o是底面中心，e为bc的中点，连接oe，pe，op可得op平面abcd，oebc，pebc于是oep为侧面与底面所成二面角的平面角，tanoep=不妨取oe=1，则op=，ab=2利用向量夹角公式即可得出【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系设点o是底面中心，e为bc的中点，连接oe，pe，op则op平面abcd，oebc，pebcoep为侧面与底面所成二面角的平面角，则tanoep=不妨取oe=1，则op=，ab=2o（0，0，0），a（1，1，0），d（1，1，0），b（1，1，0），p（0，0，），n（，），m=， =cos，=异面直线dm与an所成角的余弦值为故答案为：16设函数f（x）=x2+axlnx（a1）若对任意的a（3，4）和任意的x1，x21，2，恒有m+ln2|f（x1）f（x2）|成立，则实数m的取值范围是m【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先求导函数f（x），利用导数的正负，确定函数的单调性，得到当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减，从而可得|f（x1）f（x2）|f（1）f（2）=对任意a（3，4），恒有m+ln2+ln2，等价于m，求出右边函数的值域，即可求得结论【解答】解：f（x）=，当=1，即a=2时，f（x）=0，f（x）在（0，+）上是减函数；当1，即a2时，令f（x）0，得0x或x1；令f（x）0，得x1当1，即1a2时，令f（x）0，得0x1或x；令f（x）0，得1x，综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；当a2时，f（x）在（0，）和（1，+）上单调递减，在（，1）上单调递增；当1a2时，f（x）在（0，1）和（，+）上单调递减，在（1，）上单调递增；当a（3，4）时，f（x）在1，2上单调递减当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值|f（x1）f（x2）|f（1）f（2）=+ln2对任意a（3，4），恒有m+ln2+ln2m，构造函数g（a）=，则g（a）=，a（3，4），g（a）=0函数g（a）在（3，4）上单调增g（a）（0，）故答案为：m三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，ab是o的直径，ac是o的切线，bc交o于点e（）若d为ac的中点，证明：de是o的切线；（）若oa=ce，求acb的大小【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】（）连接ae和oe，由三角形和圆的知识易得oed=90，可得de是o的切线；（）设ce=1，ae=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度【解答】解：（）连接ae，由已知得aebc，acab，在rtabc中，由已知可得de=dc，dec=dce，连接oe，则obe=oeb，又acb+abc=90，dec+oeb=90，oed=90，de是o的切线；（）设ce=1，ae=x，由已知得ab=2，be=，由射影定理可得ae2=cebe，x2=，即x4+x212=0，解方程可得x=acb=6018已知函数f（x）=|x3|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x3时，当x2时，当2x3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x3|x2|，当x3时，f（x），即为（x3）（x2），即1成立，则有x3；当x2时，f（x）即为（3x）（2x），即1，解得x；当2x3时，f（x）即为3x（x2），解得，x，则有x3则原不等式的解集为，3）3，+）即为，+）；（2）由绝对值不等式的性质可得|x3|xa|（x3）（xa）|=|a3|，即有f（x）的最大值为|a3|若存在实数x，使得不等式f（x）a成立，则有|a3|a，即或，即有a或a则a的取值范围是（，19已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为=4sin（）（1）求圆c的直角坐标方程；（2）若p（x，y）是直线l与圆面4sin（）的公共点，求x+y的取值范围【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆c的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=t，又直线l过c（1，），圆c的半径是2，可得结论【解答】解：（1）因为圆c的极坐标方程为=4sin（），所以2=4（sincos），所以圆c的直角坐标方程为：x2+y2+2x2y=0（2）设z=x+y由圆c的方程x2+y2+2x2y=0，可得（x+1）2+（y）2=4所以圆c的圆心是（1，），半径是2将代入z=x+y得z=t 又直线l过c（1，），圆c的半径是2，由题意有：2t2所以2t2即x+y的取值范围是2，220如图几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，bcd=120，cb=cd=ce=1，ab=ad=ae=，且ecbd（1）求证：平面bed平面aec；（2）m是棱ae的中点，求证：dm平面ebc；（3）求二面角dbmc的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面bed平面aec；（2）根据线面平行的判定定理即可证明dm平面ebc；（3）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角dbmc的平面角的余弦值【解答】解：（1），abd为正三角形，bcd=120，cb=cd=ce=1，取bd的中点o，则aobd，ocbd，则bdac，ecbd，ecac=c，bd面aec，bd面bed，平面bed平面aec（2）若m是棱ae的中点，取ab的中点n，则mn是abe的中位线，则mnbe，bcd=120，cb=cd=1，cbo=30，abd=60，abd+cbd=60+30=90，即abbc，dnab，dnbc，dmmn=m，面dmn面ebc，dm面dmn，dm平面ebc（3）由（1）知bd面aec，bcd=120，cb=cd=ce=1，ab=ad=ae=，oc=，ao=，ac=+=2，则ae2+ce2=3+1=4=ac2，则aece，oc=，ce=1，oeac，则oe=建立以o为原点，oa，ob，oe为x，y，z轴的坐标系如图：则d（0，0），a（，0，0），e（0，0，），m（，0，），b（0，0），c（，0，0），则=（，），=（0，0），=（，0）设平面dbm的一个法向量为=（x，y，z），则，则y=0，令z=，则x=1，即=（1，0，），设平面bmc的一个法向量为=（x，y，z），则y=，令x=3，则z=5，=（3，5），则cos，=，即二面角dbmc的平面角的余弦值是21设命题p：关于x的方程a2x2+ax2=0在1，1上有解，命题q：关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：若p正确，则由题意，a0，则a2x2+ax2=（ax+2）（ax1）=0的解为：或，原方程在1，1上有解，只需或，解得：a（，11，+）或a（，22，+）综上p真时，a（，11，