湖南省长沙市高二数学 暑假作业5 函数的奇偶性及周期性 理 湘教版.doc

作业5：函数的奇偶性及周期性参考时量：60分钟 完成时间： 月 日 一、选择题1、函数为奇函数,且当时,则(a) (b) 0 (c) 1 (d) 2【答案】a 2、定义在上的函数满足.当时，当时，。则f1+f2+f3+f2015=( b )（a）335 （b）336 （c）3381678 （d）20123、设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为（ a ） a:-10 b：10 c:2 d:-2【答案】a【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。 联立，解得，。4、设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)f()的所有x之和为(c)a b c8 d8解析：f(x)是偶函数，f(2x)f() f(|2x|)f(|)又f(x)在(0，)上为单调函数， |2x|，即2x或2x 整理得2x27x10或2x29x10设方程2x27x10的两根为x1，x2，方程2x29x10的两根为x3，x4.则(x1x2)(x3x2)()8.答案：c5、已知函数f(x)是r上的偶函数，g(x)是r上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(0)2，则f（2012）的值为（ ）a2 b0 c2 d2解析：由g(x)f(x1)g(x)f(x1)， 即g(x)f(x1) 得f(x1)f(x1)0 f(x1)f(x1)即f(x2)f(x) f(x4)f(x2)f(x)则f(x)是以4为周期的周期函数 f(2 012)f(0)2.答案：a6、已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ b ）a. b. c. d. 二、填空题7、设是定义在r上的周期为2的函数，当时，则 1 .8、定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且f(x)在3，2上单调递减，又，是锐角三角形的两内角，则f(sin )与f(cos )的大小关系是_f(sin )f(cos )9、已知是定义在上的奇函数.当时,则不等式的解集用区间表示为_.【答案】 10、设为实常数,是定义在r上的奇函数,当时,若对一切成立,则的取值范围为_【答案】. 三、解答题11、知函数的定义在上函数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数 ；（2）在是增函数；（3）解不等式11【解析】 12、定义在1,1上的奇函数f(x)，已知当x1,0时，f(x)(ar)(1)写出f(x)在0,1上的解析式；(2)求f(x)在0,1上的最大值；(3)若f(x)是0,1上的增函数，求实数a的取值范围. 解：(1)设x0,1，则x1,0， f(x)4xa2x，f(x)a2x4x，x0,1(2)f(x)a2x4x，x0,1， 令t2x，t1,2， g(t)att2(t)2.当1， 即a2时，g(t)maxg(1)a1；当12， 即2a4时，g(t)maxg()；当2， 即a4时，g(t)maxg(2)2a4.综上：当a2时，f(x)的最大值为a1，当2a4时，f(x)的最大值为，当a4时，f(x)的最大值为2a4.(3)因为函数f(x)在0,1上是增函数，所以f(x)aln22xln44x2xln2(a22x)0恒成立，即a22x0恒成立，a22x恒成立2x1,2， a4.13、定义在r上的增函数yf(x)对任意x，yr都有f(xy)f(x)f(y) (1)求f(0)； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xr恒成立，求实数k的取值范围 解答：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0. (2)证明：令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0， 则有0f(x)f(x)即f(x)f(x)对任意xr成立，所以f(x)是奇函数 (3)因为f(x)在r上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数 f(k3x)f(3x9x2)f(3x9x2)， 所以k3x0对任意xr成立令t3x0，问题等价于t2(1k)t20对任意t0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其对称轴为x，当0即k0，符合题意；当0即k1时，对任意t0，f(t)0恒成立解得1k12.综上所述，