《线性代数模型》PPT课件.ppt

线性代数建模 线性代数内容简介 第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型 线性代数在数学建模中的应用举例 1距离问题2状态转移问题3马氏链模型 常染色体遗传模型 竞赛模型 4差分方程模型 市场经济的蛛网模型 国民经济的稳定性 投入产出分析 商品销售量预测 人口问题的差分方程模型 1距离问题 1 1基因间 距离 的表示1 2常见的距离公式 聚类分析 相似性度量 1 1基因间 距离 的表示 1 2常见的距离公式 聚类分析 绝对值距离欧式距离明考斯基距离兰氏距离马氏距离 绝对值距离两个n维向量X1与X2 距离D x11 x21 x12 x22 x1n x2n 欧式距离 分量平方求和再开方 欧氏距离定义 欧氏距离 Euclideandistance 也称欧几里得距离 它是一个通常采用的距离定义 它是在m维空间中两个点之间的真实距离 在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离 二维的公式是d sqrt x1 x2 y1 y2 三维的公式是d sqrt x1 x2 y1 y2 z1 z2 推广到n维空间 欧式距离的公式是d sqrt xi1 xi2 这里i 1 2 nxi1表示第一个点的第i维坐标 xi2表示第二个点的第i维坐标n维欧氏空间是一个点集 它的每个点可以表示为 x 1 x 2 x n 其中x i i 1 2 n 是实数 称为x的第i个坐标 两个点x和y y 1 y 2 y n 之间的距离d x y 定义为上面的公式 欧氏距离看作信号的相似程度 距离越近就越相似 就越容易相互干扰 误码率就越高 明考斯基距离 分量p次方求和再开p次方 d x1i x2i p 1 p这里i 1 2 n兰氏距离d 1 p x1i x2i x1i x2i 这里i 1 2 n 马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯 P C Mahalanobis 提出的 表示数据的协方差距离 它是一种有效的计算两个未知ion edit 样本集的相似度的方法 与ion edit 欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系 例如 一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息 因为两者是有关联的 并且是尺度无关的 scale invariant 即独立于测量尺度 2状态转移问题 所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下 系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能 如果可以转移的话 应如何具体实现 在本问题中 可采取向量表示状态 一物 或人 在此岸时相应位置用1表示 在彼岸时用0表示 例如 1 0 1 0 表示人和鸡在此岸 而狗和米则在对岸 i 可取状态 根据题意 并非所有状态都是允许的 例如 0 1 1 0 就是一个不可取的状态 本题中可取状态 即系统允许的状态 可以用穷举法列出来 它们是 人在此岸人在对岸 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 共有十个可取状态 对一般情况 应找出状态为可取的充要条件 ii 可取运算 状态转移需经状态运算来实现 在实际问题中 摆一次渡即可改变现有状态 为此也引入一个四维向量 转移向量 用它来反映摆渡情况 例如 1 1 0 0 表示人带狗摆渡过河 根据题意 允许使用的转移向量只能有 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 四个 规定一个状态向量与转移向量之间的运算 规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量 其运算为对应分量相加 且规定0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 在具体转移时 只考虑由可取状态到可取状态的转移 问题化为 由初始状态 1 1 1 1 出发 经奇数次上述运算转化为 0 0 0 0 的转移过程 我们可以如下进行分析 第一次渡河 第二次渡河 以下可继续进行下去 直至转移目的实现 上述分析实际上采用的是穷举法 对于规模较大的问题是不宜采用的 例2夫妻过河问题 这一问题的状态和运算与前一问题有所不同 根据题意 状态应能反映出两岸的男女人数 过河也同样要反映出性别 问题归结为由状态 3 3 经奇数次可取运算 即由可取状态到可取状态的转移 转化为 0 0 的转移问题 和上题一样 我们既可以用计算机求解 也可以分析求解 此外 本题还可用作图方法来求解 在H W平面坐标中 以 表示可取状态 从A 3 3 经奇数次转移到达O 0 0 奇数次转移时向左或下移动1 2格而落在一个可取状态上 偶数次转移时向右或上移动1 2格而落在一个可取状态上 为了区分起见 用红箭线表示奇数次转移 用蓝箭线表示第偶数次转移 下图给出了一种可实现的方案 故 这三对夫妻是可以过河的 假如按这样的方案过河 共需经过十一次摆渡 不难看出 在上述规则下 4对夫妻就无法过河了 读者可以自行证明之 类似可以讨论船每次可载三人的情况 其结果是5对夫妻是可以过河的 而六对以上时就无法过河了 3马氏链模型 随着人类的进化 为了揭示生命的奥秘 人们越来越注重遗传学的研究 特别是遗传特征的逐代传播 已引起人们广泛的注意 无论是人 还是动 植物都会将本身的特征遗传给下一代 这主要是因为后代继承了双亲的基因 形成自己的基因对 由基因又确定了后代所表现的特征 本节将利用数学的马氏链方法来建立相应的遗传模型等 并讨论几个简单而又有趣的实例 马氏链 马尔柯夫链 研究的是一类重要的随机过程 研究对象的状态s t 是不确定的 它可能取K种状态si i 1 k 之一 有时甚至可取无穷多种状态 在建模时 时间变量也被离散化 我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律 故马氏链研究的也是一类状态转移问题 例6中的关系既可用一转移矩阵表示 相应的转移矩阵为 且Sj 1 SjM 首先 任一转移矩阵的行向量均为概率向量 即有 1 I j 1 n 2 i 1 n 这样的矩阵被称为随机矩阵 常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合 以及其后代形成每种基因型的概率 如表所示 双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂 这些我们仅研究一个较简单的特例 a 假设 令n 0 1 2 i 设an bn和cn分别表示第n代植物中 基因型为AA Aa和aa的植物占植物总数的百分比 令x n 为第n代植物的基因型分布 当n 0时 表示植物基因型的初始分布 即培育开始时的分布 b 建模根据假设 ii 先考虑第n代中的AA型 由于第n 1代的AA型与AA型结合 后代全部是AA型 第n 1代的Aa型与AA型结合 后代是AA型的可能性为1 2 而第n 1代的aa型与AA型结合 后代不可能是AA型 因此当n 1 2 时 即 类似可推出 cn 0 显然有 ii 第n代的分布与第n 1代的分布之间的关系是通过表5 2确定的 2 3 4 将 2 3 4 式相加 得 根据假设 I 可递推得出 对于 2 式 3 式和 4 式 我们采用矩阵形式简记为 其中 注 这里M为转移矩阵的位置 5 由 5 式递推 得 6 6 式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系 为了计算出Mn 我们将M对角化 即求出可逆矩阵P和对角库D 使M PDP 1因而有Mn PDnP 1 n 1 2 其中 这里 是矩阵M的三个特征值 对于 5 式中的M 易求得它的特征值和特征向量 1 1 2 0 因此 所以 通过计算 P 1 P 因此有 即 所以有 即在极限的情况下 培育的植物都是AA型 若在上述问题中 不选用基因AA型的植物与每一植物结合 而是将具有相同基因型植物相结合 那么后代具有三种基因型的概率如表所示 M的特征值为 通过计算 可以解出与 相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2 及与相对应的特征内量e3 因此 解得 所以 因此 如果用基因型相同的植物培育后代 在极限情况下 后代仅具有基因AA和aa 现在 我们考虑在控制结合的情况下 如何确定后代中隐性患者的概率 b 建模由假设 iii 从第n 1代到第n代基因型分布的变化取决于方程 所以 其中 如果初始分布x 0 已知 那么第n代基因型分布为 解将M对角化 即求出特征值及其所对应的特征向量 得 计算 8 隐性患者逐渐消失 从 8 式中可知 每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1 2 9 c 模型讨论研究在随机结合的情况下 隐性患者的变化是很有意思的 但随机结合导致了非线性化问题 超出了本章范围 然而用其它技巧 在随机结合的情况下可以把 9 式改写为 10 群体的近交系数 设某群体中存在近亲婚配现象 称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数 例如 某村镇共有2000对婚配关系 其中有59对表亲 22对半堂亲和28对从表亲 则该村镇的近亲系数为 现在 我们来研究近亲结婚会产生什么结果 设某基因对由A a两种基因组成 出现A的概率为p 出现a的概率为q 1 p 在随机交配群体中 其子女为AA Aa及aa型的概率分别为p2 2pq及q2 对近交系数为F的群体 根据条件概率公式 后代出现aa型基因对的概率为 比较存在近亲交配的群体与不允许近亲交配 F 0 的群体 令 若a为某种隐性疾病的基因 易见 在近交群体中 后代产生遗传病 aa型 的概率增大了 且F越大 后代患遗传病的概率也越大 同样 后代出现AA型基因对的概率为p2 Fpq Aa型不可能是共同祖先同一基因的重复 故其出现的概率为2pq 1 F 例如 苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子aa型疾病 a为隐性疾病基因 隐性基因出现的频率 求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率 由前 表兄妹结婚的近交系数为1 16 故其子女发生该疾病的概率为而对禁止近亲结婚的群体 子女发生该疾病的概率仅为q2 10 4 表兄妹 或堂兄妹 结婚使子女发生该疾病的概率增大为大约7 19倍 由此可见 为了提高全民族的身体素质 近亲结婚是应当禁止的 11 其中 从 11 式中易得 经过计算 矩阵M的特征值和特征向量为 M对角化 则有 12 其中 即 即同胞对是 A AA 型的概率是2 3 是 a aa 型的概率为1 3 根据定义3 例7中状态S4即为一吸收链 具有r个吸收状态 n r个非吸收状态的吸收链 它的n n转移矩阵的标准形式为 注 非标准形式可经对状态重新编号 其中Ir为r阶单位阵 O为r s零阵 R为s r矩阵 S为s s矩阵 令 其中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态 经过n步转移后 处于s个非吸收状态的概率 在吸收链中 令F I S 1 称F为基矩阵 设甲胜一题的概率为p 0 p 1 p与两队的实力有关 甲队得分有5种可能 即0 1 2 3 4 我们分别记为状态S0 S1 S2 S3 S4 其中S0和S4是吸收状态 a1 a2和a3是非吸收状态 过程以S2作为初始状态 根据甲队赢得1分的概率为p 建立转移矩阵 S0S1S2S3S4 将上式改记为标准形式T 其中 计算F 令q 1 p 则 因为a2是初始状态 根据定理4 甲队获分为1 2 3分的平均次数为 根据定理5 以a2为初始状态 甲队最终获胜的平均转移欠数为 又因为 根据定理6 甲队最后获胜的概率 4差分方程建模 则被称为方程对应的齐次线性差分方程 若所有的ai t 均为与t无关的常数 则称其为常系数差分方程 即n阶常系数线性差分方程可写成 15 的形式 其对应的齐次方程为 16 也是方程 16 的解 其中c1 c2为任意常数 这说明 齐次方程的解构成一个线性空间 解空间 此规律对于 15 也成立 方程 15 可用如下的代数方法求其通解 步一 先求解对应的特征方程 17 C1 Cn为任意常数 为任意常数 i 1 2k 例13求解两阶差分方程 记t时段初市场上的供应量 即上一时段的生产量 为xt 市场上该商品的价格为Pt 商品成交的价格是由需求曲线决定的 即 x 图 和图 的区别在哪里 如何判定平衡点的稳定性呢 现在利用差分方程方法来研究蛛网模型 以验证上述猜测是否正确 我们知道 平衡点M 是否稳定取决于在M 附近供 需曲线的局部性态 为此 用M 处供 需曲线的线性近似来代替它们 并讨论此线性近似模型中M 的稳定性 设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 解得下一时段的商品量 21 将 19 式 21 式代入 20 式 整理得 19 但t 1时段的商品量则不再为 由 19 式得 22 22 式是一个常系数二阶线性差分方程 特征方程为 其特征根为 则 此时差分方程 22 是不稳定的 由线性差分方程稳定的条件 当r 2即b 2a时 22 式是稳定的 从而M 是稳定的平衡点 再生产的投资水平It取决于消费水平的变化量 设 易见 此时关系式 12 成立 又若取y0 1600 y1 1700 G 550 则由迭代公式 求得y2 1862 5 y3 2007 8 y4 2110 3 y5 2171 2 y6 2201 2 y7 2212 15 y8 2213 22 y9 2210 3 易见 投入产出分析 人大 投入产出分析 是研究经济系统各个部分间表现为投入与产出的相互依存关系的经济数量方法 瓦西里 列昂剔夫 WassilyW Leontief 1906 1999 是投入产出账户的创始人 SURVEYOFCURRENTBUSINESS March1999 pp9 1936年 列昂剔夫发表了 美国经济体系中的投入产出的数量关系 一文 接着在1941年又出版了 美国经济结构1919 1929 一书 1953年 又出版了 美国经济结构研究 一书 在这些著作中 列昂剔夫提出了投入产出方法 何其祥 投入产出分析 科学出版社 1999 pp4 投入产出分析是通过编制投入产出表来实现的 投入产出表有实物和价值两种形式 实物表亦称综合物资平衡表 按实物单位计量 主栏为各种产品 宾栏有三部分 资源 反映各种产品的来源 如年初库存 或储备 当年生产 进口和其他来源 中间产品 这一部分的项数 所列产品名称 排列都和主栏相同顺序 形成一个棋盘式平衡表 最终产品 分别列出固定资产的更新 改造 大修 年末库存 或储备 集体消费 个人消费和出口 这种平衡表的另一种形式 是去掉 资源 部分 将它与 最终产品 部分的有关项目合并 如将年初库存 或储备 与年末库存 或储备 合并成为库存 或储备 变化差额 将进口与出口合并成为进出口差额 列入 最终产品 部分 价值表按纯部分编制的 纯部分是由生产工艺 消耗构成 产品用途基本相同的产品所构成的部门 投入产出分析表可以从横向和纵列两个方向进行考察 横向从使用价值的角度反映各部门产品的分配使用情况 分为第一 第二两部分 纵列反映部门产品的价值形成 分为第一 第三部分 第四部分反映非生产部门和个人通过国民收入再分配所得到的收入 一般不编这一部分 数学模型在投入产出表的基础上 可以建立以下投入产出模型投入产出分析产品平衡模型Ax y x 式中A是直接消耗系数矩阵 x为各部门总产值列向量 y为最终产品列向量 移项求逆后得 I A 1y x 式中I为单位矩阵 价值构成模型ATx v m x 式中 AT为A的转置矩阵 v为劳动报酬 m为剩余产品 移项求逆后得 I AT 1 v m x 消耗系数在投入产出原理中 消耗系数分为直接消耗系数和完全消耗系数 前者又称为投入系数 工艺系数或技术系数 用于反映国民经济的生产技术结构 一般用符号aij表示 即纯部门j生产单位产品对纯部门i产品的消耗量 如炼一吨钢所消耗的生铁 计算公式是式中xij为j部门生产产品时对i部门产品的消耗量 又叫做中间流量 xj为j部门的产量 直接消耗系数与计划统计工作中广泛使用的消耗定额基本相同 但也有一些区别 其区别表现在 消耗定额是指生产单位产品的工艺消耗量 直接消耗系数除这种消耗外 还包括车间 厂部和公司的相应消耗 消耗定额一般只按实物计量 而直接消耗系数除按实物计量外 还采用货币计量 消耗定额一般是按某种产品的具体品种 型号确定的 如钢材的具体品种 型号 而直接消耗系数一般是按大类产品 如钢材 确定的 在直接消耗系数的基础上可以计算出完全消耗系数 它是生产单位最终产品对某种总产品或中间产品的直接消耗与间接消耗之和 例如 生产一台机器除直接消耗钢材外 还要消耗电力 而发电需要设备 生产设备又要消耗钢材 生产机器通过电力发电设备对钢材的消耗 叫做间接消耗 生产单位k种最终产品对i种产品的完全消耗系数 记作bik 的计算公式是计算公式上式写成矩阵为B AB I 由此得B I A 1完全消耗系数还有另一种计算公式计算公式 i j k 1 2 3 n 式中cik为生产单位k种最终产品对i种产品的完全消耗系数 上式写成矩阵为C A AC 由此得 C I A 1A两种完全消耗系数的关系如下 B C I A 1 I A 1A I A 1 I A I 实际应用上面所说的是静态投入产出模型 利用它可以进行经济分析 政策模拟 计划论证和经济预测 并为电子计算机在经济管理中的应用开辟了途径 投入产出分析的提出已经近半个世纪 在这段时间里 它有很大的发展 除上面所说的产品模型外 还有固定资产模型 生产能力模型 投资模型 劳动模型以及研究人口 环境保护等专门问题的模型 除上面所说的静态模型外 还有动态模型 优化模型等 企业投入产生分析模型 从表中可以看出 该商品在前5年相同季节里的销售量呈增长趋势 而在同一年中销售量先增后减 第一季度的销售量最小而第三季度的销售量最大 预测该商品以后的销售情况 一种办法是应用最小二乘法建立经验模型 即根据本例中数据的特征 可以按季度建立四个经验公式 分别用来预测以后各年同一季度的销售量 例如 如认为第一季度的销售量大体按线性增长 可设销售量 由 求得a 1 3 b 9 5 根据预测第六年起第一季度的销售量为 17 3 18 6 若认为销售量并非逐年等量增长而是按前一年或前几年同期销售量的一定比例增长的 则可建立相应的差分方程模型 仍以第一季度为例 为简便起见不再引入上标 以yt表示第t年第一节季度的销售量 建立形式如下的差分方程 最