高考数学一轮总复习 第2节 不等式的证明课件（选修45）.ppt

选修4 5不等式 选讲 第2节不等式的证明 1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 并能利用它们证明一些简单不等式 2 能利用三个正数的算术平均 几何平均不等式证明一些简单的不等式 解决最大 小 值的问题 了解基本不等式的推广形式 n个正数的形式 3 能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式 解决最大 小 值问题 要点梳理 1 比较法 考点自主回扣 2 综合法与分析法 1 综合法 从 出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的 论证而得出命题成立 2 分析法 从 出发 逐步寻求使它成立的 条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 已知条件 推理 要证的结论 充分 3 反证法与放缩法 1 反证法证明命题时先假设要证的命题 以此为出发点 结合 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 的结论 以说明假设不正确 从而得出原命题成立 我们把这种证明方法称为反证法 不成立 已知条件 矛盾 2 放缩法证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值 或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 放大 缩小 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 解析 根据条件和分析法的定义可知选项b最合理 答案 b 2 已知a b c 0 ab bc ac 0 abc 0 用反证法求证a 0 b 0 c 0时的反设为 a a 0 b 0 c 0b a 0 b 0 c 0c a b c不全是正数d abc 0 解析 反证法提出假设时 是否定 a 0 b 0 c 0 应为a b c不全是正数 答案 c 考向互动探究 拓展提高比较法证明不等式的方法与步骤1 作差比较法 1 作差比较法证明不等式的一般步骤 作差 将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差 变形 将差式进行变形 化简为一个常数 或通分 因式分解变形为若干个因式的积 或配方变形为一个或几个平方和等 判号 根据已知条件与上述变形结果 判断不等式两边差的正负号 结论 肯定不等式成立的结论 2 作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法证明不等式的一般步骤 作商 将不等式左右两边的式子进行作商 变形 将商式的分子放 缩 分母不变 或分子不变 分母放 缩 或分子放 缩 分母缩 放 从而化简商式为容易和1比较大小的形式 判断 判断商与1的大小关系 就是判断商大于1或小于1或等于1 结论 2 作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 一般使用作商比较法 提醒 在使用作商比较法时 要注意说明分母的符号 2 用分析法证明不等式时 不要把 逆求 错误地作为 逆推 分析的过程是寻求结论成立的充分条件 而不一定是充要条件 同时要正确使用 要证 只需证 这样的连接 关键词 提醒 分析法与综合法常常结合起来使用 称为分析综合法 其实质是既充分利用已知条件 又时刻瞄准解题目标 即不仅要搞清已知什么 还要明确干什么 通常用分析法找到解题思路 用综合法书写证题过程 xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 由条件x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 思路点拨所证结论中含有 至少 从正面证明难以入手 故可利用反证法证明 拓展提高对于某些问题中所证结论若是 都是 都不是 至多 至少 等问题 一般用反证法 其一般步骤是反设 推理 得出矛盾 肯定原结论 拓展提高放缩法的关键是控制放缩的幅度 幅度过大或过小都会与所证不等式有差异 思想方法26转化与化归思想在柯西不等式中的应用典例 2014 福建高考 已知定义在r上的函数f x x 1 x 2 的最小值为a 1 求a的值 2 若p q r是正实数 且满足p q r a 求证 p2 q2 r2 3 审题视角 1 根据绝对值不等式的性质求解 2 利用第 1 问的结论和柯西不等式证明 考能感悟提升 1 解 因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 1 x 2时 等号成立 所以f x 的最小值等于3 即a 3 2 证明 由 1 知p q r 3 又p q r是正实数 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 方法点睛使用柯西不等式的一般形式求最值时 关键是结合已知条件构造两个适当的数值 变形为柯西不等式的形式 思维升华 方法与技巧 1 不等式的证明方法灵活 要注意体会 要根据具体情况选择证明方法 2 柯西不等式的证明有多种方法 如数学归纳法 教材中的参数配方法 或判别式法 等 参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛 柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项