福建师大附中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1抛物线y=2x2的准线方程是（）abcd2下列有关命题的说法正确的是（）a“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”b“x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是真命题c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（）a2b4c2d44如图，空间四边形oabc中，点m在oa上，且om=2ma，点n为bc中点，则x，y，z的值分别是（）abcd5在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值是（）abcd6a0，c0是方程ax2+y2=c表示椭圆的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件7设椭圆c： =1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd8与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（）a=1b=1c=1d=19已知点p是抛物线x2=4y上的动点，点p在其准线上的射影是点m，点a的坐标（4，2），则|pa|+|pm|的最小值是（）abc3d210过点c（4，0）的直线与双曲线=1的右支交于a、b两点，则直线ab的斜率k的取值范围是（）a|k|1b|k|c|k|d|k|111若点o和点f（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）a3+2，+）b32，+）c，+）d，+）12过抛物线：y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为a，并且点a也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）abcd二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13若向量=（1，1）与=（2，1，2）的夹角的余弦值为，则的值为14已知p为椭圆上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，f1pf2=60，则f1pf2的面积s=15如图，在二面角ab中，线段ac，bd，acab，bdab，ac=cd=4，ab=bd=2，则二面角ab的大小为16（理） 设o为坐标原点，向量，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程kx2+（2k）y2=1表示双曲线”若“pq”是真命题，“q”是真命题，求实数k的取值范围18如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab=ad=aa1=1，bad=60，baa1=daa1=45（1）求bd1；（2）求证：bd面acc1a119如图所示，平面abcd平bcef，且四边形abc为矩形，四边bcef为直角梯形，bfce，bcce，dc=ce=4，bc=bf=2（）求证：af平面cde；（）求直线be与平面ade所成角的余弦值；（）求点b到平面ade的距离20已知抛物线c：y2=2px（p0）上的一点m的横坐标为3，焦点为f，且|mf|=4直线l：y=2x4与抛物线c交于a，b两点（）求抛物线c的方程；（）若直线l1l，且直线l1与抛物线c相切于点p，求直线l1的方程及abp的面积21如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是矩形，且ad=2cd=2，aa1=2，若o为ad的中点，且cda1o（）求证：a1o平面abcd；（）线段bc上是否存在一点p，使得二面角da1ap的大小为？若存在，求出bp的长；若不存在，说明理由22如图所示，点f1（1，0），f2（1，0），动点m到点f2的距离是，线段mf1的中垂线交mf2于点p（）当点m变化时，求动点p的轨迹g的方程；（）设直线l：y=kx+m与轨迹g交于m、n两点，直线f2m与f2n的倾斜角分别为、，且+=，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1抛物线y=2x2的准线方程是（）abcd【考点】抛物线的简单性质【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=，故选：d2下列有关命题的说法正确的是（）a“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2（a+b）x+ab=0”b“x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是真命题c命题“xr，使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】四种命题【分析】一一判断即可得出结论【解答】解：命题“若xa且xb，则x2（a+b）x+ab0”的否命题是：若x=a或x=b，则x2（a+b）x+ab=0，故a错误；x=1”是“x25x6=0”的根的逆命题是：x25x6=0的根是x=1，是假命题，故b错误；命题“xr使x2+x+10”是特称命题，其否定命题为：xr，使x2+x+10，故c错误；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为命题“若sinxsiny”，则“xy”，正确；故选：d3设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（）a2b4c2d4【考点】共线向量与共面向量【分析】两个平面平行，可得法向量共线，列出关系式求出k即可【解答】解：平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由题意可得，k=4故选：d4如图，空间四边形oabc中，点m在oa上，且om=2ma，点n为bc中点，则x，y，z的值分别是（）abcd【考点】空间向量的基本定理及其意义【分析】根据题意，结合图形，出用、和表示出、即可【解答】解：因为空间四边形oabc中，如图所示；点m在线段oa上，且om=2ma，n为bc的中点，所以=（+），所以=+=+；又，x=，y=，z=故选：a5在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m和n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成角的余弦值是（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点b1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，将am平移到b1e，nc平移到b1f，则eb1f为直线am与cn所成角棱长为1，则b1e=b1f=，ef=，coseb1f=，故选d6a0，c0是方程ax2+y2=c表示椭圆的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件【考点】椭圆的标准方程【分析】由a0，c0时方程ax2+y2=c不一定表示椭圆，判断充分性不成立；由方程ax2+y2=c表示椭圆时a0，c0成立，判断必要性成立【解答】解：a0，c0时，方程ax2+y2=c不一定表示椭圆，如a=c=1时，方程表示圆，充分性不成立；方程ax2+y2=c表示椭圆时，a0，c0且a1，c1，必要性成立；所以a0，c0是方程ax2+y2=c表示椭圆的必要不充分条件故选：c7设椭圆c： =1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】设|pf2|=x，在直角三角形pf1f2中，依题意可求得|pf1|与|f1f2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|pf2|=x，pf2f1f2，pf1f2=30，|pf1|=2x，|f1f2|=x，又|pf1|+|pf2|=2a，|f1f2|=2c2a=3x，2c=x，c的离心率为：e=故选d8与双曲线y2=1有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（）a=1b=1c=1d=1【考点】双曲线的标准方程【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线y2=1有相同渐近线的双曲线方程为y2=，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，则答案可求【解答】解：由，得a2=8，b2=2，c2=6，得c=，即椭圆的半焦距为设与双曲线y2=1有相同渐近线的双曲线方程为y2=，所求双曲线的焦点在y轴上，则0，双曲线方程化为：，设双曲线的实半轴长为m，虚半轴长为n，则m2=，n2=2，解得：=2所求双曲线的方程为故选：b9已知点p是抛物线x2=4y上的动点，点p在其准线上的射影是点m，点a的坐标（4，2），则|pa|+|pm|的最小值是（）abc3d2【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为p到准线与p到a点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中p到准线的距离等于p到焦点的距离，进而推断出p、a、f三点共线时|pf|+|pa|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|fa|，则|pa|+|pm|最小值可求【解答】解：抛物线的焦点坐标f（0，1），准线方程为y=1根据抛物线的定义可知|pm|=|pf|，所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|af|，当a，p，f三点共线时，取等号，所以|pa|+|pm|的最小值为=，故选：a10过点c（4，0）的直线与双曲线=1的右支交于a、b两点，则直线ab的斜率k的取值范围是（）a|k|1b|k|c|k|d|k|1【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质【分析】根据题意，设直线ab的方程为y=k（x4），与双曲线消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得到k的取值范围【解答】解：设a（x1，y1）、b（x2，y2），直线ab的方程为y=k（x4），由消去y，得（3k2）x2+8k2x16k212=0x1+x2=，x1x2=直线ab与抛物线的右支有两个不同的交点，化简此不等式组可得k23，即|k|故选：b11若点o和点f（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）a3+2，+）b32，+）c，+）d，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点p，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据p，f，o的坐标表示，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围【解答】解：设p（m，n），则=（m，n）（m+2，n）=m2+2m+n2f（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的左焦点，a2+1=4，a2=3，双曲线方程为，点p为双曲线右支上的任意一点，n2=1，=（m，n）（m+2，n）=m2+2m+n2，m2+2m+n2=m2+2m+1=m，函数在，+）上单调递增，m2+2m+n23+2，的取值范围为3+2，+）故选a12过抛物线：y2=2px（p0）的焦点f作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为a，并且点a也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意画出图形，把a的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a2+b2=c2求得双曲线的离心率【解答】解：如图，设a（x0，y0），则|af|=2（），又|af|=，解得，a（）在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，解得：，由a2+b2=c2，得，即，故选：a二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13若向量=（1，1）与=（2，1，2）的夹角的余弦值为，则的值为5或1【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【分析】根据两向量的夹角余弦值公式，列出方程求出的值即可【解答】解：因为=2+2=4，|=，|=3，且夹角的余弦值为，所以=，化简得2+45=0，解得=5或1故答案为：5或114已知p为椭圆上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，f1pf2=60，则f1pf2的面积s=【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的标准方程可得：c=4，设|pf1|=t1，|pf2|=t2，根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，再根据余弦定理可得：t12+t22t1t2=64，再联立两个方程求出t1t2=12，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，c=4，设|pf1|=t1，|pf2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10，在f1pf2中，f1pf2=60，所以根据余弦定理可得：|pf1|2+|pf2|22|pf1|pf2|cos60=|f1f2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22t1t2=64，把两边平方得t12+t22+2t1t2=100，所以得t1t2=12，f1pf2=3故答案为：315如图，在二面角ab中，线段ac，bd，acab，bdab，ac=cd=4，ab=bd=2，则二面角ab的大小为【考点】二面角的平面角及求法【分析】设二面角ab的大小为，由已知得： =，利用向量数量积的应用进行求解，由此能求出二面角ab的大小【解答】解：设二面角ab的大小为，则=+，且，=， =0， =0，平方得： =2+2+2+2=4+16+4242cos=16，解得cos=则=故答案为：16（理） 设o为坐标原点，向量，点q在直线op上运动，则当取得最小值时，点q的坐标为（）【考点】空间向量的数量积运算【分析】由已知中o为坐标原点，向量，点q在直线op上运动，我们可以设=（，2），求出向量，的坐标，代入空间向量的数量积运算公式，再根据二次函数的性质，可得到满足条件的的值，进而得到点q的坐标【解答】解：，点q在直线op上运动，设=（，2）又向量，=（1，2，32），=（2，1，22）则=（1）（2）+（2）（1）+（32）（22）=6216+10易得当=时，取得最小值此时q的坐标为（）故答案为：（）三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程kx2+（2k）y2=1表示双曲线”若“pq”是真命题，“q”是真命题，求实数k的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出p，q成立的k的范围，根据“pq”是真命题，“q”是真命题，判断出p真q假，得到关于k的不等式组，解出即可【解答】解：若p成立，则9kk10，即1k5，若q成立，则（2k）k0，即k0或k2，若“pq”是真命题，“q”是真命题，p真q假，1k218如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，ab=ad=aa1=1，bad=60，baa1=daa1=45（1）求bd1；（2）求证：bd面acc1a1【考点】直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用空间向量法即可求bd1；（2）利用空间向量法证明，即可证明bd面acc1a1【解答】解：（1）=，|2=|=|2+|2+|2+222|=1+1+1+211cos45211cos60211cos45=31=2，则|=证明：（2）=， =，则=（）（）=，则，即bdac，=（）=|cos45|cos45=1，故，即bdaa1，aa1ac=a，bd面acc1a119如图所示，平面abcd平bcef，且四边形abc为矩形，四边bcef为直角梯形，bfce，bcce，dc=ce=4，bc=bf=2（）求证：af平面cde；（）求直线be与平面ade所成角的余弦值；（）求点b到平面ade的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）以c为坐标原点，以cb、ce、cd所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过与平面cde的一个法向量的数量积为0，即得结论；（）设平面ade的一个法向量为=（x1，y1，z1），取z1=1，得=（0，1，1），求出法向量与的夹角的余弦值值，计算即可；（）根据面ade的一个法向量为=（0，1，1）以及的坐标，求出点b到平面ade的距离即可【解答】（）证明：以c为坐标原点，以cb、ce、cd所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，根据题意可得c（0，0，0），a（2，0，4），b（2，0，0），d（0，0，4），e（0，4，0），f（2，2，0），=（0，0，4），易得=（1，0，0）是平面cde的一个法向量，=（0，0，4）（1，0，0）=0，af平面cde；（）解：设平面ade的一个法向量为=（x1，y1，z1），=（2，0，0），=（0，4，4），则，取z1=1，得=（0，1，1），设直线be与平面ade所成角为，则，所以，所以be与平面ade所成角的余弦值为；（）解：由（）知平面ade的一个法向量为=（0，1，1），点b到平面ade的距离为20已知抛物线c：y2=2px（p0）上的一点m的横坐标为3，焦点为f，且|mf|=4直线l：y=2x4与抛物线c交于a，b两点（）求抛物线c的方程；（）若直线l1l，且直线l1与抛物线c相切于点p，求直线l1的方程及abp的面积【考点】抛物线的简单性质【分析】（）利用抛物线的定义得，求出p，即可求抛物线c的方程；（）联立方程，求出|ab|，利用直线l1与抛物线c相切，求出直线l1的方程，求出直线l1与l的距离，即可求abp的面积【解答】解：（）依题意得，所以p=2，所以抛物线方程为c：y2=4x； （）联立方程，设a（x1，y1），b（x2，y2），消去x得y22y8=0，从而，由弦长公式得，设直线l1的方程为y=2x+b，联立方程，得y22y+2b=0，由=48b=0得，所以直线l1的方程为，直线l1与l的距离为，所以21如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是矩形，且ad=2cd=2，aa1=2，若o为ad的中点，且cda1o（）求证：a1o平面abcd；（）线段bc上是否存在一点p，使得二面角da1ap的大小为？若存在，求出bp的长；若不存在，说明理