【教学设计】《直线的方程》（数学北师大必修二）.doc

直线的方程教学设计本课时编写：崇文门中学 高巍巍教材分析: 从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益. 贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.教学目标：【知识与能力目标】1掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；2掌握直线的一般式方程；3能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；4能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。【过程与方法】1.让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；2.使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想.【情感态度与价值观】1.使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2.利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.教学重难点： 【教学重点】直线的点斜式方程.【教学难点】对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解. 课前准备： 课件、学案、实物模型. 教学过程： 一、课题引入：问题1： (1)若同学小李说，有一条铁路经过徐州市，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路的方向)(2)若同学小王说，有一条铁路是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路经过哪座城市)(3)若同学小张说，有一条铁路经过徐州市，且是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(知道了)问题2 :(1)过已知点A(1，3)的直线有多少条？（无数条）(2)斜率为2的直线有多少条？（无数条）(3)过已知点A(1，3)，且斜率为2的直线有多少条？（一条） 问题3 ：确定一条直线需要几个独立条件？你能举例说明吗？学生可能的回答：(1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角)；(2)已知直线上的两个点.问题4 若(x1x2)，则直线的斜率为 .若x1=x2，则直线的斜率 .探究：若直线经过点A(1，3)，斜率为2，点P 在直线上运动，那么点P的坐标(x，y)应满足什么样条件?当点P(x，y)在直线上运动时，点P与定点A(1，3)所确定的直线的斜率等于2，故有， （1）即y3= 2x(1)， （2）即2x+y1=0. （3）问题5 点A（-1，3）的坐标满足上述各方程吗？答：方程（1）中x-1，丢掉了点A；方程（2）及（3）中x=-1，补上点A.问题6 直线上任意一点的坐标与方程（2）(或（3）的解有什么关系？答：当点P在直线上运动时，其坐标（x，y）满足2x+y1=0反过来，以方程2x+y1=0的解为坐标的点都在直线上二、新课探究：1.直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.注： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0时，直线方程为；3.当直线倾斜角为90时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.4.表示直线去掉一个点；表示一条直线.2.直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.注：1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在 轴上的截距.3.直线的两点式方程经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.注：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的的表示与选择的顺序无关.4在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式 通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式4.直线的截距式方程若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.注：1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.3.截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况5.直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式注：1A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线当B=0，A0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线2在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2xy+1=0，也可以是，还可以是4x-2y+2=0等）6.中点坐标公式若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式7.直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy1=k(xx1)（x1，y1）是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式y=kx+bk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C为系数任何位置的直线三、知识应用：题型一点斜式方程例1求满足下列条件的直线方程。 （1）过点P（4，3），斜率k=3； （2）过点A（1，4），倾斜角为135； （3）过点P（3，4），且与x轴平行；（4）过点P（5，2），且与y轴平行【答案】（1）3x+y+9=0（2）x+y3=0（3）y=4（4）x=5 解：（1）直线过点P（4，3），斜率k=3，由直线方程的点斜式得直线方程为y3=3(x+4)，即3x+y+9=0 （2）倾斜角为135，k=tan 135=1，直线方程为y4=(x+1)，即x+y3=0 （3）与x轴平行的直线，其斜率k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)=0(x3)，即y=4 （4）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x=5 【设计意图】点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=x0题型二斜截式方程例2写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？ 【答案】y=2x+m m=-1解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=21+m，m=-1即为所求题型三已知两点求直线方程例3.（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为_； （2）若点P（3，m）在过点A（2，1），B（3，4）的直线上，则m的值为_【答案】（1）x=2 （2）-2解：（1）因为两点的横坐标相等都是2，所以直线方程是x=2；（2） 因为直线过点A（2，1），B（3，4），所以直线方程是：，即，把点P（3，m）代入得，.题型四截距式求直线方程例4直线过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程【答案】x+3y9=0或4xy+16=0 解：由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程 设直线的方程为，则a+b=12 又直线过点（3，4）， 由解得或. 故所求的直线方程为或， 即x+3y9=0或4xy+16=0题型五直线方程的一般式例